Дискретные отображения осцилляторов и эффект нелинейного резонанса
- Авторы: Кудряшкин Н.А.1
-
Учреждения:
- Самарский национальный исследовательский университет
- Выпуск: Том 1 (2022)
- Страницы: 246-246
- Раздел: Физика
- URL: https://journals.eco-vector.com/osnk-sr/article/view/107877
- ID: 107877
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Обоснование. Нелинейные явления в физических системах находятся в центре внимания современной науки и техники. Их исследование позволяет получить новые знания о законах окружающего мира и разработать технические устройства, функционирующие на новых физических принципах. Сложность нелинейных явлений определяет актуальность применения к ним метода математического моделирования. Поэтому разработке нелинейных математических моделей в настоящее время уделяется большое внимание исследователей.
Цель — проектирование дискретных во времени нелинейных динамических систем, отображающих характеристики резонанса в колебательной системе с нелинейной емкостью. Метод проектирования должен учитывать данные, полученные в ходе экспериментальных исследований.
Методы. Решение поставленной задачи основано на методах теории нелинейных колебаний и цифровой обработки сигналов. За основу были взяты результаты, полученные в работах [1, 2]. Следуя им, для дискретизации времени в аналоговом осцилляторе использован метод инвариантности импульсных характеристик (МИИХ). Метод находит широкое применение в теории и практике проектирования линейных дискретных фильтров. Он привлекателен с физической точки зрения, т. к. сохраняет временные характеристики отклика линейной системы на внешнее воздействие.
Исследование проводится в два этапа. На первом из них формулируется дифференциальная модель аналоговой системы — колебательного контура с барьерной емкостью обратносмещенного p–n-перехода, в малосигнальном режиме определяется зависимость резонансной частоты Ωr контура от напряжения смещения.
На втором этапе проводится дискретизация времени в дифференциальной модели нелинейного осциллятора. В результате получается разностное уравнение:
y[n] – 2α cos(2πΩr (y [n – 1])) y [n – 1] α2 y[n – 2] = εx [n – 1], (1)
где y[n] — осциллирующая переменная, функция дискретного времени, α и ε — параметры потерь и внешнего воздействия. Сформированное таким образом уравнение (1) и есть искомое дискретное отображение нелинейного осциллятора. Являясь итерируемым отображением, оно дает простой алгоритм генерации временного ряда y[n] под внешним воздействием x[n]. Компьютерный анализ характеристик ряда y[n] целесообразно проводить методами цифровой обработки сигналов. В качестве объекта теории колебаний в дискретном времени систему, определяемую отображением (1), можно также обозначать как дискретный осциллятор Дюффинга.
Результаты. Проанализированы резонансные характеристики контура с барьерной емкостью p–n-перехода при гармоническом внешнем воздействии. Показано, что зависимости амплитуд колебаний от частоты внешнего воздействия асимметричны относительно резонансной частоты линейного контура и могут содержать гистерезисные участки. Наличие гистерезиса характерно и для зависимости от амплитуды внешнего воздействия. Показано, что результаты математического моделирования находятся в хорошем соответствии с данными эксперимента.
Выводы. В работе предложено моделировать нелинейные эффекты в колебательных системах методом дискретных отображений с учетом экспериментально установленных характеристик нелинейных элементов, составляющих систему. Для численного анализа осцилляций следует использовать методы цифровой обработки сигналов.
Ключевые слова
Полный текст
Обоснование. Нелинейные явления в физических системах находятся в центре внимания современной науки и техники. Их исследование позволяет получить новые знания о законах окружающего мира и разработать технические устройства, функционирующие на новых физических принципах. Сложность нелинейных явлений определяет актуальность применения к ним метода математического моделирования. Поэтому разработке нелинейных математических моделей в настоящее время уделяется большое внимание исследователей.
Цель — проектирование дискретных во времени нелинейных динамических систем, отображающих характеристики резонанса в колебательной системе с нелинейной емкостью. Метод проектирования должен учитывать данные, полученные в ходе экспериментальных исследований.
Методы. Решение поставленной задачи основано на методах теории нелинейных колебаний и цифровой обработки сигналов. За основу были взяты результаты, полученные в работах [1, 2]. Следуя им, для дискретизации времени в аналоговом осцилляторе использован метод инвариантности импульсных характеристик (МИИХ). Метод находит широкое применение в теории и практике проектирования линейных дискретных фильтров. Он привлекателен с физической точки зрения, т. к. сохраняет временные характеристики отклика линейной системы на внешнее воздействие.
Исследование проводится в два этапа. На первом из них формулируется дифференциальная модель аналоговой системы — колебательного контура с барьерной емкостью обратносмещенного p–n-перехода, в малосигнальном режиме определяется зависимость резонансной частоты Ωr контура от напряжения смещения.
На втором этапе проводится дискретизация времени в дифференциальной модели нелинейного осциллятора. В результате получается разностное уравнение:
y[n] – 2α cos(2πΩr (y [n – 1])) y [n – 1] α2 y[n – 2] = εx [n – 1], (1)
где y[n] — осциллирующая переменная, функция дискретного времени, α и ε — параметры потерь и внешнего воздействия. Сформированное таким образом уравнение (1) и есть искомое дискретное отображение нелинейного осциллятора. Являясь итерируемым отображением, оно дает простой алгоритм генерации временного ряда y[n] под внешним воздействием x[n]. Компьютерный анализ характеристик ряда y[n] целесообразно проводить методами цифровой обработки сигналов. В качестве объекта теории колебаний в дискретном времени систему, определяемую отображением (1), можно также обозначать как дискретный осциллятор Дюффинга.
Результаты. Проанализированы резонансные характеристики контура с барьерной емкостью p–n-перехода при гармоническом внешнем воздействии. Показано, что зависимости амплитуд колебаний от частоты внешнего воздействия асимметричны относительно резонансной частоты линейного контура и могут содержать гистерезисные участки. Наличие гистерезиса характерно и для зависимости от амплитуды внешнего воздействия. Показано, что результаты математического моделирования находятся в хорошем соответствии с данными эксперимента.
Выводы. В работе предложено моделировать нелинейные эффекты в колебательных системах методом дискретных отображений с учетом экспериментально установленных характеристик нелинейных элементов, составляющих систему. Для численного анализа осцилляций следует использовать методы цифровой обработки сигналов.
Об авторах
Назар Андреевич Кудряшкин
Самарский национальный исследовательский университет
Автор, ответственный за переписку.
Email: nazar.kudryashkin@mail.ru
студент, группа 4301-030302D, физический факультет
Россия, СамараСписок литературы
- Зайцев В.В. Дискретный осциллятор Ван дер Поля: конечные разности и медленные амплитуды // Известия вузов. ПНД. 2017. Т. 25, № 6. С. 70–78. doi: 10.18500/0869-6632-2017-25-6-70-78
- Зайцев В.В., Карлов А.В. Томсоновские автогенераторы в дискретном времени: синтез динамических систем // Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2022. № 3. doi: 10.30898/1684-1719.2022.3.1
Дополнительные файлы
![](/img/style/loading.gif)