Исследование колебаний космической тросовой системы при изменении длины троса

全文:

Обоснование. Космические тросовые системы – это комплекс спутников, соединенных тросами, совершающий орбитальный полет. Многие задачи, связанные с их применением, включают этап свертывания троса. Такая необходимость может возникнуть при завершении активной фазы работы тросовой системы; для доставки груза, пристыковавшегося к нижнему концу троса, на космическую станцию; для транспортировки космического мусора, захваченного гарпуном или сетью, в режиме жесткой сцепки [1, 2]. Задача свертывания троса является более сложной, чем развертывания, поскольку из-за влияния силы Кориолиса происходит раскачка троса на конечном этапе свертывания. Существует много различных законов управления процессом свертывания троса [3]. Свертывание с постоянной скоростью является наиболее простым из возможных законов и обеспечивает наибыстрейшее решение задачи, при этом на конечном этапе наблюдается переход тросовой системы во вращение [4].

Цели: изучение колебаний космической тросовой системы при равномерном свертывании троса, получение приближенного аналитического решения для амплитуды колебаний троса.

Методы. С помощью уравнений Лагранжа второго рода с учетом того, что изменение длины троса происходит с постоянной скоростью, получено дифференциальное уравнение, описывающее колебания космической тросовой системы на круговой орбите (рис. 1):

 

Рис. 1. Механическая система

 

$r_{A}sin\left(\theta \right)(\frac{\mu }{(r_A^2-2r_{A}cos(\theta \left)\right(l_0-kt)+(l_0-kt{)}^2{)}^{3/2}}-{\omega }^2)-2k(\dot{\theta }+\omega )+\ddot{\theta }(l_0-kt)=0, \left(1\right)$

где k – скорость свертывания троса, θ – угол отклонения троса от местной вертикали, ω – угловая скорость спутника «А», $r_A$ – модуль радиус-вектора спутника «А», μ – гравитационный параметр Земли, $l_0$ – начальная длина троса. В силу малости угла θ уравнение (1) было линеаризовано. Далее был произведен переход к новым переменным: амплитуде x и фазе y, и применён метода Ван-дер-поля для систем с медленным временем. Проведено усреднение уравнений и получено аналитическое решение для амплитуды колебаний механической системы (2):

$x=x_{0}exp\left(\frac{k}{2l_0}\right(-ln(\mu -{\omega }^2(r_A+kt-l_0{)}^3)+3ln(r_A+kt-l_0)+ln({\omega }^2(l_0-r_A{)}^3+\mu )-3ln(r_A-l_0)+\left(\right(k-2l_0\left)ln\right(kt-l_0\left)\right)/k-\left(\right(k-2l_0\left)ln\right(-l_0\left)\right)/k\left)\right), \left(2\right)$

где $x_0$ – значение амплитуды в момент времени .

Результаты. Разработана математическая модель колебаний космической тросовой системы в процессе равномерного свертывания, получено приближенное аналитическое решение для амплитуды колебаний. С помощью разработанной математической модели была произведена серия расчетов с различными значениями параметра . Сравнение численного решения уравнения (1) в Wolfram Mathematica с аналитическим решением (2) с параметрами $r_A=6671000$ м, $l_0=20000$ м представлено на рисунке 2.

 

Рис. 2. Графики численного решения уравнения (1) и аналитического решения амплитуды (2): а — при значении параметра k = 1; б — при значении параметра k = 0,1

 

Выводы. При равномерном свертывании троса наблюдается переход колебаний космической тросовой системы во вращение на конечном этапе свертывания. Аналитическое решение для амплитуды, полученное методом Ван-дер-Поля, хорошо согласуется с результатами, полученными путем численного интегрирования. При уменьшении значения параметра k на начальном этапе свертывания уменьшается амплитуда колебаний космической тросовой системы.

作者简介

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Email: danilrazdol@gmail.com

студент, группа 1305-010303D, институт авиационной и ракетно-космической техники

俄罗斯联邦, Самара

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

编辑信件的主要联系方式.
Email: ledkov@inbox.ru

научный руководитель, кандидат технических наук, доцент кафедры теоретической механики

俄罗斯联邦, Самара

参考

补充文件