Приближенное интегрирование при решении задач
- Authors: 1, 1
-
Affiliations:
- Самарский государственный социально-педагогический университет
- Issue: Vol 1 (2023)
- Pages: 187-188
- Section: Математика
- URL: https://journals.eco-vector.com/osnk-sr2023/article/view/409151
- ID: 409151
Cite item
Full Text
Abstract
Обоснование. Решение многих практических задач, связанных с вычислением определенного интеграла, не всегда можно осуществить, используя формулу Ньютона – Лейбница, так как не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции или вычисление значений первообразной сложно из-за громоздкости ее формулы. Тогда возможно применение различных приближенных методов интегрирования. Наиболее распространенными методами считаются: метод прямоугольников, метод трапеций и метод парабол. Основная идея каждого из этих методов заключается в замене исходной подынтегральной функции на более простую функцию, значения которой совпадают с заданной в конечном числе точек.
Цель — на примере продемонстрировать применение приближенных методов интегрирования: с точностью до 0,01 вычислить интеграл
.
Методы. Значение определенного интеграла было найдено тремя способами. В первом случае использовался метод трапеций, во втором — метод парабол, в третьем — метод прямоугольников. Так как интеграл нужно было вычислить с заданной степенью точности, то в первую очередь для каждого из методов было найдено количество разбиений. Для этого во всех трех способах решалось неравенство |Rn(f)| ≤ 0,01, где в качестве Rn(f) использована формула для нахождения абсолютной погрешности соответствующего метода. Для каждого из методов был вычислен шаг интегрирования.
Результаты. Были определены узлы интегрирования и значения подынтегральной функции в них для метода трапеций и метода парабол. В случае метода прямоугольников также были найдены узлы интегрирования, но значение подынтегральной функции было вычислено для полусуммы i-го и (i – 1)-го узлов. Полученные данные приведены в таблицах 1–3.
Таблица 1. Значения функции в узлах интегрирования для метода трапеций
Номер узла i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Узел xi | 0 | π/12 | π/6 | π/4 | π/3 | 5π/12 | π/2 |
Значение функции f(xi) | 1 | 0,7655 | 0,5684 | 0,3961 | 0,2442 | 0,1121 | 0 |
Таблица 2. Значения функции в узлах интегрирования для метода парабол
Номер узла i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Узел xi | 0 | π/8 | π/4 | 3π/8 | π/2 |
Значение функции f(xi) | 1 | 0,6633 | 0,3961 | 0,1756 | 0 |
Таблица 3. Значения функции в узлах интегрирования для метода прямоугольников
Номер узла i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Узел xi | 0 | π/8 | π/4 | 3π/8 | π/2 |
Полусумма узлов (xi–1 + xi) / 2 | 0,1963 | 0,589 | 0,9817 | 1,3744 | |
Значение функции f((xi–1 + xi) / 2) | 0,8198 | 0,5232 | 0,2803 | 0,0821 |
Выводы. С использованием данных таблиц и соответствующих формул для каждого из рассмотренных методов — метода трапеций (1)–(2), метода парабол (3)–(4) и метода прямоугольников (5)–(6) — получили приближенное значение интеграла с точностью до 0,01:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
. (6)
Причем во всех трех случаях ответ получился одинаковым, что подтверждает правильность расчетов.
Full Text
Обоснование. Решение многих практических задач, связанных с вычислением определенного интеграла, не всегда можно осуществить, используя формулу Ньютона – Лейбница, так как не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции или вычисление значений первообразной сложно из-за громоздкости ее формулы. Тогда возможно применение различных приближенных методов интегрирования. Наиболее распространенными методами считаются: метод прямоугольников, метод трапеций и метод парабол. Основная идея каждого из этих методов заключается в замене исходной подынтегральной функции на более простую функцию, значения которой совпадают с заданной в конечном числе точек.
Цель — на примере продемонстрировать применение приближенных методов интегрирования: с точностью до 0,01 вычислить интеграл
.
Методы. Значение определенного интеграла было найдено тремя способами. В первом случае использовался метод трапеций, во втором — метод парабол, в третьем — метод прямоугольников. Так как интеграл нужно было вычислить с заданной степенью точности, то в первую очередь для каждого из методов было найдено количество разбиений. Для этого во всех трех способах решалось неравенство |Rn(f)| ≤ 0,01, где в качестве Rn(f) использована формула для нахождения абсолютной погрешности соответствующего метода. Для каждого из методов был вычислен шаг интегрирования.
Результаты. Были определены узлы интегрирования и значения подынтегральной функции в них для метода трапеций и метода парабол. В случае метода прямоугольников также были найдены узлы интегрирования, но значение подынтегральной функции было вычислено для полусуммы i-го и (i – 1)-го узлов. Полученные данные приведены в таблицах 1–3.
Таблица 1. Значения функции в узлах интегрирования для метода трапеций
Номер узла i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Узел xi | 0 | π/12 | π/6 | π/4 | π/3 | 5π/12 | π/2 |
Значение функции f(xi) | 1 | 0,7655 | 0,5684 | 0,3961 | 0,2442 | 0,1121 | 0 |
Таблица 2. Значения функции в узлах интегрирования для метода парабол
Номер узла i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Узел xi | 0 | π/8 | π/4 | 3π/8 | π/2 |
Значение функции f(xi) | 1 | 0,6633 | 0,3961 | 0,1756 | 0 |
Таблица 3. Значения функции в узлах интегрирования для метода прямоугольников
Номер узла i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Узел xi | 0 | π/8 | π/4 | 3π/8 | π/2 |
Полусумма узлов (xi–1 + xi) / 2 | 0,1963 | 0,589 | 0,9817 | 1,3744 | |
Значение функции f((xi–1 + xi) / 2) | 0,8198 | 0,5232 | 0,2803 | 0,0821 |
Выводы. С использованием данных таблиц и соответствующих формул для каждого из рассмотренных методов — метода трапеций (1)–(2), метода парабол (3)–(4) и метода прямоугольников (5)–(6) — получили приближенное значение интеграла с точностью до 0,01:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
. (6)
Причем во всех трех случаях ответ получился одинаковым, что подтверждает правильность расчетов.
About the authors
Самарский государственный социально-педагогический университет
Author for correspondence.
Email: galimova.alsu@sgspu.ru
студентка, группа ФМФИ-б20МФо, факультет математики, физики и информатики
Russian Federation, СамараСамарский государственный социально-педагогический университет
Email: olga.kechina@pgsga.ru
научный руководитель, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физики, математики и методики обучения
Russian Federation, СамараReferences
- Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов: учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений / под ред. Б.П. Демидовича. Москва: Астрель; АСТ, 2004. 495 с.
- Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для втузов. В 2-х т. Москва: ИнтегралПресс, 2004. Т. 1. 415 с.
- Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа: учеб. для вузов. Т. 1: Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды. 3-е изд., перераб. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2009. 399 с.