Приближенное интегрирование при решении задач

全文:

Обоснование. Решение многих практических задач, связанных с вычислением определенного интеграла, не всегда можно осуществить, используя формулу Ньютона – Лейбница, так как не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции или вычисление значений первообразной сложно из-за громоздкости ее формулы. Тогда возможно применение различных приближенных методов интегрирования. Наиболее распространенными методами считаются: метод прямоугольников, метод трапеций и метод парабол. Основная идея каждого из этих методов заключается в замене исходной подынтегральной функции на более простую функцию, значения которой совпадают с заданной в конечном числе точек.

Цель — на примере продемонстрировать применение приближенных методов интегрирования: с точностью до 0,01 вычислить интеграл

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{\cos x}{1+x}dx$.

Методы. Значение определенного интеграла было найдено тремя способами. В первом случае использовался метод трапеций, во втором — метод парабол, в третьем — метод прямоугольников. Так как интеграл нужно было вычислить с заданной степенью точности, то в первую очередь для каждого из методов было найдено количество разбиений. Для этого во всех трех способах решалось неравенство |Rn(f)| ≤ 0,01, где в качестве Rn(f) использована формула для нахождения абсолютной погрешности соответствующего метода. Для каждого из методов был вычислен шаг интегрирования.

Результаты. Были определены узлы интегрирования и значения подынтегральной функции в них для метода трапеций и метода парабол. В случае метода прямоугольников также были найдены узлы интегрирования, но значение подынтегральной функции было вычислено для полусуммы i-го и (i – 1)-го узлов. Полученные данные приведены в таблицах 1–3.

 

Таблица 1. Значения функции в узлах интегрирования для метода трапеций

Номер узла i	0	1	2	3	4	5	6
Узел xi	0	π/12	π/6	π/4	π/3	5π/12	π/2
Значение функции f(xi)	1	0,7655	0,5684	0,3961	0,2442	0,1121	0

 

Таблица 2. Значения функции в узлах интегрирования для метода парабол

Номер узла i	0	1	2	3	4
Узел xi	0	π/8	π/4	3π/8	π/2
Значение функции f(xi)	1	0,6633	0,3961	0,1756	0

 

Таблица 3. Значения функции в узлах интегрирования для метода прямоугольников

Номер узла i	0	1	2	3	4
Узел xi	0	π/8	π/4	3π/8	π/2
Полусумма узлов (xi–1 + xi) / 2		0,1963	0,589	0,9817	1,3744
Значение функции f((xi–1 + xi) / 2)		0,8198	0,5232	0,2803	0,0821

 

Выводы. С использованием данных таблиц и соответствующих формул для каждого из рассмотренных методов — метода трапеций (1)–(2), метода парабол (3)–(4) и метода прямоугольников (5)–(6) — получили приближенное значение интеграла с точностью до 0,01:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\approx \frac{b-a}{2n}\left(f\left(a\right)+f\left(b\right)+2\sum _{i=1}^{n-1}f(x{}_{{}_i})\right)$ (1)

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{\cos x}{1+x}dx\approx \frac{\pi }{24}(1+0+2\cdot \mathrm{2,0863})=\mathrm{0,67}$ (2)

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\approx \frac{b-a}{6n}\left(f\left(a\right)+f\left(b\right)+2\sum _{i=1}^{n-1}f(x{}_{{}_{2i}})+4\sum _{i=1}^{n}f(x{}_{{}_{2i-1}})\right)$ (3)

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{\cos x}{1+x}dx\approx \frac{\pi }{24}(1+0+2\cdot \mathrm{0,3961}+4\cdot \mathrm{0,8399})=\mathrm{0,67}$ (4)

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\approx \frac{b-a}{n}\sum _{i=1}^{n}f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right)$ (5)

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{\cos x}{1+x}dx\approx \frac{\pi }{8}(\mathrm{0,8198}+\mathrm{0,5232}+\mathrm{0,2803}+\mathrm{0,0821})=\mathrm{0,67}$. (6)

Причем во всех трех случаях ответ получился одинаковым, что подтверждает правильность расчетов.

作者简介

Самарский государственный социально-педагогический университет

编辑信件的主要联系方式.
Email: galimova.alsu@sgspu.ru

студентка, группа ФМФИ-б20МФо, факультет математики, физики и информатики

俄罗斯联邦, Самара

Самарский государственный социально-педагогический университет

Email: olga.kechina@pgsga.ru

научный руководитель, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физики, математики и методики обучения

俄罗斯联邦, Самара

参考

补充文件