Синтез управления мостовым краном при разгоне и торможении

Full Text

Обоснование.

При возрастающих скоростях грузоподъемных кранов значительно увеличивается время обрабатываемости грузов из-за увеличения амплитуды его раскачивания, возникающего при пуске и торможении механизмов. Одним из направлений снижения амплитуды раскачивания груза при торможении является применение приборов и тормозных устройств, способных изменять тормозной момент по ступенчатой или плавно-нарастающей характеристике. Изучение данных процессов торможения и разработка законов рационального торможения рассмотрены в работах Л.Я. Будикова, В.Ф. Гайдамаки, О.В. Григорова, H.Dresig, С.А. Казака, Н.А. Лобова, М.М. Рунова, M. Scheffler и др.

Обоснование.

разработать метод определения закона изменения управляющей силы как функции от времени при торможении мостового крана с учетом минимизации амплитуды раскачивания его груза.

Методы.

Для описания движения мостового крана была принята следующая расчетная схема (рис. 1). Мостовой кран представлен как тележка массой m1 на колесах. К ее центру масс на жестком невесомом стержне длиной l подвешен груз массой m2 [1]. Управляющая сила F толкает и останавливает тележку. Движение данной механической системы определяется в координатах перемещения тележки x угла отклонения стержня от вертикали φ.

 

Рис. 1. Расчетная схема

 

В данной модели мы пренебрегли силами трения. Тогда уравнения движения данной системы запишется в виде:

$\left\{\begin{array}{l}(m_1+m_2)\ddot{x}+m_2(\ddot{\phi }\cos \phi -{\dot{\phi }}^2\sin \phi )=F,\\ m_{2}l\ddot{x}\cos \phi +m_2{l}^2\ddot{\phi }+m_{2}gl\sin \phi =0.\text{\hspace{0.33em}}\end{array}\right.$                    (1)

На практике угол φ не превышает 15°, поэтому его можно считать сравнительно малым, тогда:

$\left\{\begin{array}{l}\ddot{x}+\mu \ddot{\phi }=u,\\ \ddot{x}+l\ddot{\phi }+g\sin \phi =\mathrm{0,}\end{array}\right.$                                               (2)

где µ = m2 / (m1 + m2), u = m2 / (m1 + m2).

Вычитая из первого уравнения второе, получим:

       $\ddot{\phi }+{\omega }^2\phi =-\frac{u}{(1-\mu )l}$                                         (3)

где ω2 = g / ((1 – µ)l).

Данное линейное неоднородное уравнение (3) имеет решение (4), в котором постоянные и функции (5), (6) можно получить методом варьирования постоянных Лагранжа.

$\phi =q_1\left(t\right)\cos \omega t+q_2\left(t\right)\sin \omega t$                                            (4)

$q_1\left(t\right)=\phi \left(0\right)+\frac{1}{(1-\mu )l}{\int }_0^{t}u\left(t\right)\cdot \sin \omega tdt$                          5)

$q_2\left(t\right)=\frac{\dot{\phi }\left(0\right)}{\omega }+\frac{-1}{(1-\mu )l}{\int }_0^{t}u\left(t\right)\cdot \cos \omega tdt.$                          (6)

В качестве целевой функции принимаем величину, пропорциональную механической энергии груза в момент остановки τ тележки мостового крана:

$I\left(u\right)=\frac{1}{2}{\dot{\phi }}^2\left(\tau \right)+\frac{1}{2}{\omega }^2{\phi }^2\left(\tau \right)$                                               (7)

Подставляя решение (4), (5) и (6) в функционал (7), получаем следующее выражение:

$I\left(u\right)={\left(\phi \left(0\right)+\frac{1}{(1-\mu )l}{\int }_0^{\tau }u\left(t\right)\cdot \sin \omega tdt\right)}^2+{\left(\frac{\dot{\phi }\left(0\right)}{\omega }+\frac{-1}{(1-\mu )l}{\int }_0^{\tau }u\left(t\right)\cdot \cos \omega tdt\right)}^2$                (8)

На функцию (8) наложено ограничение (9), заключающееся в том, что в момент остановки скорость тележки равна нулю.

$\dot{x}\left(\tau \right)-\dot{x}\left(0\right)=-\dot{x}\left(0\right)={\int }_0^{\tau }\ddot{x}dt={\int }_0^{\tau }(u-\mu l\ddot{\phi })dt$                                                                   (9)

Подставляя (4) и (5) в (9), получаем выражение:

${\int }_0^{\tau }\left(1+\frac{\mu }{1-\mu }\cos \omega (\tau -t)\right)\cdot u\left(t\right)dt=-\left(\dot{x}\right(0)+\mu l(\dot{\phi }\left(0\right)\cdot (1-\cos \omega \tau )-\omega \sin \omega \tau \left)\right)$                         (10)

Для минимизации функционала I(u) при учете ограничения (10) применяется конечно-разностный метод Эйлера [2, 3]. То есть функция u(t) ищется в виде конечного ряда значений {uk}, соответствующих моментам времени t = k · h, где h = (τ/N) — шаг разбиения отрезка времени [0, τ], k и N — целые неотрицательные числа, k ≤ N. В промежуточные моменты времени искомая функция u(t) определена следующим образом:

 $u(k\cdot h+\Delta t)=u_k+\left(\frac{u_{k+1}-u_k}{h}\right)\Delta t$                                  (11)

Подставляя выражение (11) в функционал (8) и ограничение (10), мы получаем квадратичную форму (12) и линейную форму (13):

$I\left(u\right)={\left(\phi \left(0\right)+{\sum }_{k=0}^n{u}_k{s}_k\right)}^2+{\left(\frac{\dot{\phi }\left(0\right)}{\omega }+{\sum }_{k=0}^n{u}_k{c}_k\right)}^2$                   (12)

${\sum }_{k=0}^n{u}_k{d}_k=-\left(\dot{x}\left(0\right)+\mu l\left(\dot{\phi }\right(0)\cdot (1-\cos \omega \tau )-\omega \sin \omega \tau )\right)$,              (13)

где интегралы заменяются соответствующими функциями.

Из исходной задачи мы получили задачу минимизации квадратичной формы I(u) от переменных uk с линейным ограничением на переменные. Решая эту задачу минимизации, мы получаем искомое приближенное решение {uk}. Данное решение может быть построено с помощью метода множителей Лагранжа либо с помощью метода локальных вариаций [4].

Результаты. 

С помощью разработанного метода было смоделировано торможения мостового крана грузоподъемностью 15 тонн со следующими исходными данными:

 $\left\{\begin{array}{l}{m}_1=28000\text{\hspace{0.33em}кг}\\ m_2=5000\text{\hspace{0.33em}кг}\\ l=8\text{\hspace{0.33em}м}\\ x\left(0\right)=\mathrm{1,25}\text{\hspace{0.33em}м/с}\\ \phi \left(0\right)=\dot{\phi }\left(0\right)=0\end{array}\right.$                                                              (14)

В результате была получена последовательность {uk}, при этом система (2) была проинтегрирована численно. Результаты численного моделирования приведены на рис. 2.

 

Рис. 2. Графики решения системы уравнений (2)

Выводы.

В ходе выполнения работы был разработан метод нахождения управляющей тормозной силы как функции от времени при торможении мостового крана с учетом минимизации амплитуды раскачивания груза после его остановки. В результате моделирования процесса торможения при указанных выше исходных данных угол отклонения груза от вертикали не превышает 0,063 рад, что положительно влияет на обрабатываемость груза.

About the authors

Самарский государственный технический университет, филиал

Author for correspondence.
Email: nibetne@mail.ru

студент, группа М-19

Russian Federation, Сызрань

Самарский государственный технический университет, филиал

Email: 20svetlana04@mail.ru

студентка, группа ХТ-22

Russian Federation, Сызрань

Самарский государственный технический университет, филиал

Email: schevschenkolg@mail.ru

доцент, кафедра «Технология машиностроения»

Russian Federation, Сызрань

References

Supplementary files