О дополняемости некоторых подпространств в пространствах Лоренца

Full Text

Обоснование. Система функций Хаара играет важную роль в теории симметричных пространств и ее изучение поэтому актуально.

Цель — найти условия дополняемости подпространств, порожденных подпоследовательностями системы Хаара.

Методы. Дается определение системы Хаара $\left\{{\chi }_n^k\right\}$ и ортопроектора. В [1] установлено, что при определенных условиях ортопроектор на подсистему $\left\{{\chi }_n^1\right\}$ в пространстве L₁ не ограничен. В связи с этим возникает вопрос о его ограниченности в пространстве Лоренца Λ(ϕ) .

Обозначим через Φ множество возрастающих вогнутых на [0, 1] функций, удовлетворяющих условиям: ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 1.

Всякая функция ϕ ∈ Φ порождает пространство Лоренца Λ(ϕ) с нормой

${||X||}_{\Lambda \left(\varphi \right)}={\int }_2^{1}x\left(t\right)d\varphi \left(t\right)$,

где x*(t) — невозрастающая перестановка функции |x(t)|.

Для $\forall \alpha >0$ определим функцию ${\varphi }_{\alpha }\in \Phi$ такую, что $\exists C>0$:

$\forall t\in \left[\mathrm{0,}1\right]C^{-1}{\log }_2^{-\alpha }(2/t)\le {\varphi }_{\alpha }\left(t\right)\le C{\log }_2^{-\alpha }(2/t)$.

Результаты. Получена следующая теорема об ограниченности ортопроектора P на систему ${\left\{{\chi }_{nk}^1\right\}}_{k=1}^{\infty }$ в пространстве Лоренца Λ(ϕα):

Теорема: Пусть возрастающая последовательность натуральных чисел n_k удовлетворяет условию

${\sup }_{k=\mathrm{1,2...}}{n}_{k+1}/n_k<\infty$,

P — ортопроектор на подсистему $\left\{{\chi }_n{}^{1}k\right\}$ и α > 0 . Для того чтобы P был ограничен в пространстве Лоренца Λ(ϕα), необходимо и достаточно, чтобы

${sup}_{k=1,2,...} n_k \sum _{j=k}^{\infty } 1/n_j < \infty$

Выводы. Найдены условия дополняемости подпространств, порожденных подпоследовательностями системы Хаара в одном классе пространств Лоренца.

About the authors

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Author for correspondence.
Email: horohorina-yana@mail.ru

студентка, группа 4541-010501D, механико-математический факультет

Russian Federation, Самара

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Email: astash56@mail.ru

научный руководитель, доктор физико-математических наук, профессор

Russian Federation, Самара

References

Supplementary files