Исследование колебаний космической тросовой системы при изменении длины троса
- Authors: 1, 1
-
Affiliations:
- Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева
- Issue: Vol 1 (2023)
- Pages: 324-325
- Section: Теоретическая и прикладная механика
- URL: https://journals.eco-vector.com/osnk-sr2023/article/view/398422
- ID: 398422
Cite item
Full Text
Abstract
Обоснование. Космические тросовые системы – это комплекс спутников, соединенных тросами, совершающий орбитальный полет. Многие задачи, связанные с их применением, включают этап свертывания троса. Такая необходимость может возникнуть при завершении активной фазы работы тросовой системы; для доставки груза, пристыковавшегося к нижнему концу троса, на космическую станцию; для транспортировки космического мусора, захваченного гарпуном или сетью, в режиме жесткой сцепки [1, 2]. Задача свертывания троса является более сложной, чем развертывания, поскольку из-за влияния силы Кориолиса происходит раскачка троса на конечном этапе свертывания. Существует много различных законов управления процессом свертывания троса [3]. Свертывание с постоянной скоростью является наиболее простым из возможных законов и обеспечивает наибыстрейшее решение задачи, при этом на конечном этапе наблюдается переход тросовой системы во вращение [4].
Цели: изучение колебаний космической тросовой системы при равномерном свертывании троса, получение приближенного аналитического решения для амплитуды колебаний троса.
Методы. С помощью уравнений Лагранжа второго рода с учетом того, что изменение длины троса происходит с постоянной скоростью, получено дифференциальное уравнение, описывающее колебания космической тросовой системы на круговой орбите (рис. 1):
Рис. 1. Механическая система
где k – скорость свертывания троса, θ – угол отклонения троса от местной вертикали, ω – угловая скорость спутника «А», – модуль радиус-вектора спутника «А», μ – гравитационный параметр Земли, – начальная длина троса. В силу малости угла θ уравнение (1) было линеаризовано. Далее был произведен переход к новым переменным: амплитуде x и фазе y, и применён метода Ван-дер-поля для систем с медленным временем. Проведено усреднение уравнений и получено аналитическое решение для амплитуды колебаний механической системы (2):
где – значение амплитуды в момент времени .
Результаты. Разработана математическая модель колебаний космической тросовой системы в процессе равномерного свертывания, получено приближенное аналитическое решение для амплитуды колебаний. С помощью разработанной математической модели была произведена серия расчетов с различными значениями параметра . Сравнение численного решения уравнения (1) в Wolfram Mathematica с аналитическим решением (2) с параметрами м, м представлено на рисунке 2.
Рис. 2. Графики численного решения уравнения (1) и аналитического решения амплитуды (2): а — при значении параметра k = 1; б — при значении параметра k = 0,1
Выводы. При равномерном свертывании троса наблюдается переход колебаний космической тросовой системы во вращение на конечном этапе свертывания. Аналитическое решение для амплитуды, полученное методом Ван-дер-Поля, хорошо согласуется с результатами, полученными путем численного интегрирования. При уменьшении значения параметра k на начальном этапе свертывания уменьшается амплитуда колебаний космической тросовой системы.
Full Text
Обоснование. Космические тросовые системы – это комплекс спутников, соединенных тросами, совершающий орбитальный полет. Многие задачи, связанные с их применением, включают этап свертывания троса. Такая необходимость может возникнуть при завершении активной фазы работы тросовой системы; для доставки груза, пристыковавшегося к нижнему концу троса, на космическую станцию; для транспортировки космического мусора, захваченного гарпуном или сетью, в режиме жесткой сцепки [1, 2]. Задача свертывания троса является более сложной, чем развертывания, поскольку из-за влияния силы Кориолиса происходит раскачка троса на конечном этапе свертывания. Существует много различных законов управления процессом свертывания троса [3]. Свертывание с постоянной скоростью является наиболее простым из возможных законов и обеспечивает наибыстрейшее решение задачи, при этом на конечном этапе наблюдается переход тросовой системы во вращение [4].
Цели: изучение колебаний космической тросовой системы при равномерном свертывании троса, получение приближенного аналитического решения для амплитуды колебаний троса.
Методы. С помощью уравнений Лагранжа второго рода с учетом того, что изменение длины троса происходит с постоянной скоростью, получено дифференциальное уравнение, описывающее колебания космической тросовой системы на круговой орбите (рис. 1):
Рис. 1. Механическая система
где k – скорость свертывания троса, θ – угол отклонения троса от местной вертикали, ω – угловая скорость спутника «А», – модуль радиус-вектора спутника «А», μ – гравитационный параметр Земли, – начальная длина троса. В силу малости угла θ уравнение (1) было линеаризовано. Далее был произведен переход к новым переменным: амплитуде x и фазе y, и применён метода Ван-дер-поля для систем с медленным временем. Проведено усреднение уравнений и получено аналитическое решение для амплитуды колебаний механической системы (2):
где – значение амплитуды в момент времени .
Результаты. Разработана математическая модель колебаний космической тросовой системы в процессе равномерного свертывания, получено приближенное аналитическое решение для амплитуды колебаний. С помощью разработанной математической модели была произведена серия расчетов с различными значениями параметра . Сравнение численного решения уравнения (1) в Wolfram Mathematica с аналитическим решением (2) с параметрами м, м представлено на рисунке 2.
Рис. 2. Графики численного решения уравнения (1) и аналитического решения амплитуды (2): а — при значении параметра k = 1; б — при значении параметра k = 0,1
Выводы. При равномерном свертывании троса наблюдается переход колебаний космической тросовой системы во вращение на конечном этапе свертывания. Аналитическое решение для амплитуды, полученное методом Ван-дер-Поля, хорошо согласуется с результатами, полученными путем численного интегрирования. При уменьшении значения параметра k на начальном этапе свертывания уменьшается амплитуда колебаний космической тросовой системы.
About the authors
Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева
Email: danilrazdol@gmail.com
Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева
Author for correspondence.
Email: ledkov@inbox.ru
научный руководитель, кандидат технических наук, доцент кафедры теоретической механики
Russian Federation, СамараReferences
- Huang P., Zhang F., Chen L., et al. A review of space tether in new applications // Nonlinear Dyn. 2018. Vol. 94, No. 1. P. 1–19. doi: 10.1007/s11071-018-4389-5
- Пикалов Р.С., Юдинцев В.В. Обзор и выбор средств увода крупногабаритного космического мусора // Труды МАИ. 2018. № 100. С. 2.
- Chen Y., Huang R., He L., et al. Dynamical modelling and control of space tethers // Nonlinear Dyn. 2014. Vol. 77, No. 4. P. 1077–1099. doi: 10.1007/s11071-014-1390-5
- Ledkov A.V., Pikalov R.S. Nonlinear control of tether retrieval in an elliptical orbit // Russian Journal of Nonlinear Dynamics. 2023. Vol. 19, No. 2. P. 201–218. doi: 10.20537/nd230401