Расчет прямоугольной пластины методом Власова-Канторовича
- Authors: 1, 1
-
Affiliations:
- Самарский государственный технический университет
- Issue: Vol 1 (2023)
- Pages: 356-358
- Section: Статика, динамика и устойчивость упругих систем
- URL: https://journals.eco-vector.com/osnk-sr2023/article/view/424774
- ID: 424774
Cite item
Full Text
Abstract
Обоснование. Одним из важных и распространенных элементов конструкций в строительстве, машиностроении, авиации и других областях являются материалы, представленные в виде различных тонкостенных пространственных конструкций. К такому роду относятся системы, представленные в виде пластин различной формы, наибольшую популярность набирает конструкция в виде прямоугольника, имеющая обширную область применения за счет свойств данных конструкций, таких как легкое воспроизведение формы, а также ее рациональное применение заключается в экономии материала, так как имеет высокую несущую способность. Пластины могут применяться как самостоятельный элемент либо быть составной частью конструкции.
Цель — на основе метода Власова – Канторовича для прямоугольных пластинок получить дифференциальные уравнения и численное значения прогиба с учетом граничных условий и начальных параметров в виде равномерно распределенной нагрузки, цилиндрической жесткости, толщины, координатной функции по соответствующему виду загружения. Получить графические зависимости прогиба заданной пластинки с ее координатными значениями с помощью разработанной программы в системе Mathcad.
Методы. В данной работе был проведен расчет прямоугольной пластины с размерами a × b c жестким защемлением по всем сторонам. В основу положено уравнение Лагранжа. Прогиб представляет собой произведение двух функций от соответствующих им координат (х,у):
w(х, у) = W1(y) f1(x),
где f1 — заданная функция; W1(y) — искомая функция.
Для того чтобы задать определенную функцию, используется статический метод расчета. А именно предполагается выделение из конструкции бесконечно узкого элемента в виде полосы заданной размерностью d(y) под действием приложенной нагрузки, тем самым мы можем определить уравнение изгиба балки по соответствующей оси. Уравнение изогнутой линии оси представляется в безразмерной форме, называемой «функция поперечного распределения прогиба».
Главное условие заданной функции — это удовлетворение краевым условиям:
При x = 0 и x = a, f1(0) = 0, и f1(a) = 0; и ее вторая производная:
,
при x = 0 и x = a, f1(0) = 0 и f1(a) = 0.
Cистема n линейных обыкновенных дифференциальных уравнений равновесия имеет вид:
.
Коэффициенты и свободный член уравнения определяются следующим образом:
,
,
,
,
.
Для решения принимаем один член ряда:
.
Определяем прогиб пластинки путем подстановки в выражение прогиба численных значений координат середины пластинки:
w(х,у) = W1(y) f1(x),
w(0.5, 0.5) = –8.32 · 10–7.
Результаты. При использовании системы компьютерного анализа Mathcad и полученного численным методом значение прогиба стальной пластинки с учетом ее граничных условий были выведены следующие графические зависимости прогиба от координатных значений при их значениях по осям Х и У принятые равными 0,25 и 0,5 (рис. 1).
Рис. 1. Результат численного анализа
Выводы. В отличие от других методов расчета вариационный метод расчета Власова – Канторовича является преимущественным, главным отличием является понижение краевой задачи. Разбивая пластину на полосы, в виде балок по осям ох и оу прогиб задается определенной функцией, подразумевающей под собой обобщенной перемещение. Тем самым, имея искомые коэффициенты разложения, получаем точное замкнутое решение.
Full Text
Обоснование. Одним из важных и распространенных элементов конструкций в строительстве, машиностроении, авиации и других областях являются материалы, представленные в виде различных тонкостенных пространственных конструкций. К такому роду относятся системы, представленные в виде пластин различной формы, наибольшую популярность набирает конструкция в виде прямоугольника, имеющая обширную область применения за счет свойств данных конструкций, таких как легкое воспроизведение формы, а также ее рациональное применение заключается в экономии материала, так как имеет высокую несущую способность. Пластины могут применяться как самостоятельный элемент либо быть составной частью конструкции.
Цель — на основе метода Власова – Канторовича для прямоугольных пластинок получить дифференциальные уравнения и численное значения прогиба с учетом граничных условий и начальных параметров в виде равномерно распределенной нагрузки, цилиндрической жесткости, толщины, координатной функции по соответствующему виду загружения. Получить графические зависимости прогиба заданной пластинки с ее координатными значениями с помощью разработанной программы в системе Mathcad.
Методы. В данной работе был проведен расчет прямоугольной пластины с размерами a × b c жестким защемлением по всем сторонам. В основу положено уравнение Лагранжа. Прогиб представляет собой произведение двух функций от соответствующих им координат (х,у):
w(х, у) = W1(y) f1(x),
где f1 — заданная функция; W1(y) — искомая функция.
Для того чтобы задать определенную функцию, используется статический метод расчета. А именно предполагается выделение из конструкции бесконечно узкого элемента в виде полосы заданной размерностью d(y) под действием приложенной нагрузки, тем самым мы можем определить уравнение изгиба балки по соответствующей оси. Уравнение изогнутой линии оси представляется в безразмерной форме, называемой «функция поперечного распределения прогиба».
Главное условие заданной функции — это удовлетворение краевым условиям:
При x = 0 и x = a, f1(0) = 0, и f1(a) = 0; и ее вторая производная:
,
при x = 0 и x = a, f1(0) = 0 и f1(a) = 0.
Cистема n линейных обыкновенных дифференциальных уравнений равновесия имеет вид:
.
Коэффициенты и свободный член уравнения определяются следующим образом:
,
,
,
,
.
Для решения принимаем один член ряда:
.
Определяем прогиб пластинки путем подстановки в выражение прогиба численных значений координат середины пластинки:
w(х,у) = W1(y) f1(x),
w(0.5, 0.5) = –8.32 · 10–7.
Результаты. При использовании системы компьютерного анализа Mathcad и полученного численным методом значение прогиба стальной пластинки с учетом ее граничных условий были выведены следующие графические зависимости прогиба от координатных значений при их значениях по осям Х и У принятые равными 0,25 и 0,5 (рис. 1).
Рис. 1. Результат численного анализа
Выводы. В отличие от других методов расчета вариационный метод расчета Власова – Канторовича является преимущественным, главным отличием является понижение краевой задачи. Разбивая пластину на полосы, в виде балок по осям ох и оу прогиб задается определенной функцией, подразумевающей под собой обобщенной перемещение. Тем самым, имея искомые коэффициенты разложения, получаем точное замкнутое решение.
About the authors
Самарский государственный технический университет
Email: ya.dezender73@gmail.com
Самарский государственный технический университет
Author for correspondence.
Email: ratmanova654@mail.ru
References
- Иванов, С. П. Изгиб прямоугольных пластин: учебное пособие / С. П. Иванов. – Йошкар-Ола: Марийский государственный технический университет. 2011. С. 48–54.