Расчет прямоугольной пластины методом Власова-Канторовича

Full Text

Обоснование. Одним из важных и распространенных элементов конструкций в строительстве, машиностроении, авиации и других областях являются материалы, представленные в виде различных тонкостенных пространственных конструкций. К такому роду относятся системы, представленные в виде пластин различной формы, наибольшую популярность набирает конструкция в виде прямоугольника, имеющая обширную область применения за счет свойств данных конструкций, таких как легкое воспроизведение формы, а также ее рациональное применение заключается в экономии материала, так как имеет высокую несущую способность. Пластины могут применяться как самостоятельный элемент либо быть составной частью конструкции.

Цель — на основе метода Власова – Канторовича для прямоугольных пластинок получить дифференциальные уравнения и численное значения прогиба с учетом граничных условий и начальных параметров в виде равномерно распределенной нагрузки, цилиндрической жесткости, толщины, координатной функции по соответствующему виду загружения. Получить графические зависимости прогиба заданной пластинки с ее координатными значениями с помощью разработанной программы в системе Mathcad.

Методы. В данной работе был проведен расчет прямоугольной пластины с размерами a × b c жестким защемлением по всем сторонам. В основу положено уравнение Лагранжа. Прогиб представляет собой произведение двух функций от соответствующих им координат (х,у):

w(х, у) = W₁(y) f₁(x),

где f₁ — заданная функция; W₁(y) — искомая функция.

Для того чтобы задать определенную функцию, используется статический метод расчета. А именно предполагается выделение из конструкции бесконечно узкого элемента в виде полосы заданной размерностью d(y) под действием приложенной нагрузки, тем самым мы можем определить уравнение изгиба балки по соответствующей оси. Уравнение изогнутой линии оси представляется в безразмерной форме, называемой «функция поперечного распределения прогиба».

Главное условие заданной функции — это удовлетворение краевым условиям:

При x = 0 и x = a, f₁(0) = 0, и f₁(a) = 0; и ее вторая производная:

$d{f}_1\left(x\right)=\frac{2\pi }{a}\sin \left(x\frac{2\pi }{a}\right),dd{f}_1\left(x\right)=\frac{4{\pi }^2}{a^2}\cos \left(x\frac{2\pi }{a}\right)$,

при x = 0 и x = a,  f₁(0) = 0 и f₁(a) = 0.

Cистема n линейных обыкновенных дифференциальных уравнений равновесия имеет вид:

$\sum _{(i=0)}^n[{a_j}_i{W}_i^{IV}-2b_{ji}{W}_i^{II}+c_{ji}{W}_i]=\frac{G_j}{D}$.

Коэффициенты и свободный член уравнения определяются следующим образом:

$a_{11}{W}_1^{IV}-2b_{11}{W}_1^{II}+c_{11}{W}_1=\frac{G_1}{D}$,

$a_{11}={\int }_0^a{\left(f_1\right(x\left)\right)}^{2}dx$,

$b_{11}={\int }_0^a{\left(f_1\right(x\left)\right)}^{2}dx$,

$c_{11}={\int }_0^a{\left(dd{f}_1\right(x\left)\right)}^{2}dx$,

$G=q\times {\int }_0^a{\left(f_1\right(x\left)\right)}^{2}dx$.

Для решения принимаем один член ряда:

$W_1\left(y\right)=W_{11}\sin \left(\frac{y\pi }{a}\right)$.

Определяем прогиб пластинки путем подстановки в выражение прогиба численных значений координат середины пластинки:

w(х,у) = W₁(y) f₁(x),

w(0.5, 0.5) = –8.32 · 10–7.

Результаты. При использовании системы компьютерного анализа Mathcad и полученного численным методом значение прогиба стальной пластинки с учетом ее граничных условий были выведены следующие графические зависимости прогиба от координатных значений при их значениях по осям Х и У принятые равными 0,25 и 0,5 (рис. 1).

 

Рис. 1. Результат численного анализа

 

Выводы. В отличие от других методов расчета вариационный метод расчета Власова – Канторовича является преимущественным, главным отличием является понижение краевой задачи. Разбивая пластину на полосы, в виде балок по осям ох и оу прогиб задается определенной функцией, подразумевающей под собой обобщенной перемещение. Тем самым, имея искомые коэффициенты разложения, получаем точное замкнутое решение.

About the authors

Самарский государственный технический университет

Email: ya.dezender73@gmail.com

студент, группа 20п-4, факультет промышленного и гражданского строительства

Russian Federation, Самара

Самарский государственный технический университет

Author for correspondence.
Email: ratmanova654@mail.ru

научный руководитель, кандидат технических наук, доцент

Russian Federation, Самара

References

Supplementary files