Analysis of long-term observations of the groundwater level In an aseismic region

Abstract


The results of the analysis of continuous precise time series of atmospheric pressure and groundwater level fluctuations in a well drilled to a depth of 400 m in the territory of Moscow are presented. The observations are remarkable in terms of their duration of more than 22 years (from February 2, 1993 to April 4, 2015) and by the sampling interval of 10 min. These long observations are suitable for exploring the stationarity of the properties of hydrogeological time series in a seismically quiet region, which is important from the methodological standpoint for interpreting the similar observations in seismically active regions aimed at earthquake prediction. Factor and cluster analysis applied to the sequence of multivariate vectors of
the statistical properties of groundwater level time series in the successive 10-day windows after adaptive compensation for atmospheric pressure effects distinguish five different statistically significant states of the time series with the transitions between them. An attempt to geophysically interpret the revealed states is made. Two significant periods – 46 and 275 days – are established by spectral analysis of the sequence of the transitions times between the clusters.


ВВЕДЕНИЕ

Изменения уровня подземных вод несут информацию об объемных деформациях в земной коре. Если скважина пробурена во флюидонасыщенный горизонт достаточной мощности, то вариации уровня будут характеризовать объемные деформации, определяющие региональные процессы в земной коре. Анализ данных о вариациях уровня воды в скважине позволяет исследовать лунно-солнечные приливные процессы в твердой земле [Bredehoft, 1967; Rojstaczer, Agnew, 1989; Багмет и др., 1989; Любушин и др., 1997; Виноградов и др., 2011], а также получать данные об изменчивости свойств земной коры в данном районе по отклику изменения уровня на изменения атмосферного давления [Любушин, Малугин, 1993; Любушин, Лежнев, 1995; Копылова и др., 2009]. Долговременные наблюдения в сейсмически активном районе могут дать информацию о предвестниках землетрясений [Roeloffs, 1988; Roeloffs et al., 1989; Igarashi, Wakita, 1991; Копылова и др., 2000; Копылова, 2001; 2006; Болдина, Копылова, 2017], а информация, полученная в асейсмических, платформенных областях, необходима для выявления путем сравнительного анализа развития аномальных процессов в сейсмоактивных районах [Киссин, Гумен, 1994].

Параллельные измерения на нескольких скважинах, пробуренных в разные флюидонасыщенные горизонты, могут дать информацию о гидродинамических процессах в данном регионе [Любушин и др., 1999; Беседина и др., 2015]. Наконец, анализ результатов измерений поможет выявить гидродинамические режимы, обусловленные техногенными воздействиями: отбор воды из данного или другого водонасыщенного горизонта, закачка жидкости, изменение нагрузки на почву в связи с проведением строительных работ и т.д. Ценность информации о геофизических и гидродинамических процессах возрастает при условии проведения многолетних непрерывных наблюдений с высокой чувствительностью и относительно высокой частотой съема данных. При этих условиях удается выявить тонкие эффекты в широком диапазоне периодов.

Аппаратура, входящая в состав уровнемерного комплекса для параллельного измерения вариаций уровня воды в скважине и атмосферного давления, характеризующаяся высоким разрешением и большим динамическим диапазоном, достаточной долговременной стабильностью, надежностью и автономностью, позволила решить проблему организации и проведения многолетних непрерывных наблюдений.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Непрерывные измерения вариаций уровня подземных вод проводились с 02.02.1993 по 04.04.2015 гг. в скважинах, расположенных на северо-западе Москвы на территории Центрального института травматологии и ортопедии (ЦИТО), координаты (55.8202° с.ш., 37.5292° в.д.). Пробуренная на глубину 404 м скважина вскрывает верхнефаменский водоносный горизонт [Гидрогеология..., 1966], сложенный трещиноватыми доломитами и известняками. Общая мощность обводненных пород  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ свыше 200 м.

Скважина была пробурена в 1969 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ 1970 гг. и предназначались для бальнеологического лечения в ЦИТО, однако с начала 1980-х годов она по своему назначению не использовалась и была законсервирована. Был проведен химический анализ и определена минерализация воды, которая составляет 5 г/л. Специальный пункт наблюдений был оборудован в отдельном помещении площадью около 10 м2, расположенном рядом с устьем скважины.

Одновременно с измерениями вариаций уровня подземных вод проводились измерения вариаций атмосферного давления. Датчики уровня и атмосферного давления построены по манометрическому типу с емкостным частотным преобразователем перемещения чувствительного элемента  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ мембраны в выходной сигнал. Чувствительность датчиков: для уровня  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ 0.1 мм водяного столба, для давления  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ 10 мкбар. Датчики уровня и атмосферного давления установлены в скважине на тросах. Высота столба воды над датчиком уровня составляет 2.5 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ 3.0 м. Датчик атмосферного давления опущен на глубину около 10 м. Регистрация данных производится с дискретностью отсчетов 10 мин в цифровой форме с помощью специального интерфейсного устройства на блоки твердотельной памяти. На рис. 1 представлены графики временных рядов исходных данных. Полная длина записей равна 1165862 10-минутных отсчетов. В записях имеются перерывы, связанные со сбоями системы регистрации.

 

Рис. 1. Графики исходных данных: вариаций атмосферного давления и уровня подземных вод, 02.02.1993–04.04.2015 гг., шаг по времени 10 минут.

 

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ И СПЕКТРЫ МОЩНОСТИ

Как показывают оценки спектров когерентности, основным внешним метеорологическим фактором, влияющим на вариации уровня подземных вод, является изменение атмосферного давления. Наличие длительных рядов наблюдений (22 года) позволяет статистически значимо оценить амплитудные частотные передаточные функции от атмосферного давления к вариациям уровней для очень широкого диапазона периодов  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ от 20 мин (частоты Найквиста для данных временных рядов) до 1 года. Сама возможность получения такой оценки уникальна и обеспечивается сочетанием благоприятствующих факторов, перечисленных во Введении.

Оценки передаточных функций строились классическим непараметрическим методом, основанным на преобразовании Фурье «входных» (атмосферное давление) и «выходных» (вариации уровня) сигналов, вычислении их взаимной спектральной функции и спектра мощности «входа» (с помощью усреднения периодограмм и кросс-периодограммы) и отношения кросс-спектра к спектру мощности [Brillinger, 1975]. Большой диапазон периодов создавал технические трудности для получения оценки сразу по всей выборке. Поэтому оценки строились сшиванием трех различных оценок. Для периодов от 20 мин до 10 ч оценка строилась путем усреднения для каждого значения частоты кросс-периодограмм исходных 10-минутных временных рядов, полученных в скользящих временных окнах длиной 2048 отсчетов (с предварительным удалением локальных линейных трендов в каждом окне и последующим переходом к приращениям) и завершающим усреднением по частоте скользящим частотным окном радиуса 20 значений частоты (9.7x10 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLHoaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3ABC@ 4 мин MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLHoaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3ABC@ 1). Для периодов от 10 до 100 ч оценка строилась аналогично, но для временных рядов после перехода к 1-часовым отсчетам (путем усреднения и прореживания в 6 раз исходных рядов), при этом радиус окна частотного усреднения стал равен 9.7x10 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLHoaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3ABC@ 3 ч MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLHoaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3ABC@ 1. Наконец, для оценки для периодов от 100 до 10000 часов осуществлялся предварительный переход (после усреднения и прореживание исходных данных в 144 раза) к 1-суточным отсчетам, оценка строилась аналогично, но при этом длина скользящего временного окна бралась 1024 отсчета, а радиус частотного усреднения  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ 10 значений частоты (9.7x10 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLHoaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3ABC@ 3 сут MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLHoaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3ABC@ 1). Во всех случаях смещение временных окон бралось равным 1/8 от длины окна.

Учет пропущенных значений производился следующим образом. Сначала все пропуски восполнялись искусственными данными, которые строились по поведению настоящих данных слева и справа от интервала пропусков на временных фрагментах той же длины, что и длина пропуска. Далее, поскольку оценки производились путем усреднения периодограмм от скользящих временных окон, то в обработку принимались лишь те окна, в которых доля искусственных (восполненных) значений не превышала 2% от длины временного окна.

На рис. 2 представлены графики оценок квадрата модуля спектра когерентности (частотно-зависимого квадрата коэффициента корреляции) и амплитудной частотной передаточной функции.

 

Рис. 2. Графики оценок квадратичного спектра когерентности (а) и амплитудной частотной передаточной функции (б).

 

Следует иметь в виду, что дисперсия непараметрической оценки передаточной функции (асимптотическое выражение для достаточно большого числа отсчетов) имеет вид [Brillinger, 1975] c(1 γ xy 2 (ω))( S yy (ω)/ S xx (ω)). MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaam4yaiabgwSixlaacIcacaaIXaGaeyOeI0Iaeq4S dC2aa0baaSqaaiaadIhacaWG5baabaGaaGjbVlaaikdaaaGccaGGOa GaeqyYdCNaaiykaiaacMcacqGHflY1caGGOaGaam4uamaaBaaaleaa caWG5bGaamyEaaqabaGccaGGOaGaeqyYdCNaaiykaiaac+cacaWGtb WaaSbaaSqaaiaadIhacaWG4baabeaakiaacIcacqaHjpWDcaGGPaGa aiykaiaac6caaaa@5EA2@ Здесь: ω MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeaaaaaaaaa8 qacqaHjpWDaaa@37E0@ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ частота; S yy ( ω ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4uamaaBa aaleaacaWG5bGaamyEaaqabaGccaGGOaaeaaaaaaaaa8qacqaHjpWD daahaaWcbeqaaaaakiaacMcaaaa@3C7B@ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ спектр мощности выходного сигнала (уровня); S xx (ω) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4uamaaBa aaleaacaWG4bGaamiEaaqabaGccaGGOaaeaaaaaaaaa8qacqaHjpWD caGGPaaaaa@3C42@ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ спектр мощности входного сигнала (атмосферное давление); γ xy 2 (ω) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4SdC2aa0 baaSqaaiaadIhacaWG5baabaGaaGOmaaaakiaacIcaqaaaaaaaaaWd biabeM8a3jaacMcaaaa@3DCF@ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ их квадрат модуля спектра когерентности; c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4yaaaa@36DC@ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ постоянная, зависящая от способа усреднения периодограмм, в частности, c (k(2m+1)) 1 , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaam4yaiablYJi6iaacIcacaWGRbGaaiikaiaaikda caWGTbGaey4kaSIaaGymaiaacMcacaGGPaWaaWbaaSqabeaacqGHsi slcaaIXaaaaOGaaiilaaaa@494F@ где m MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyBaaaa@36E6@ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ радиус частотного усреднения периодограмм в числе значений частоты (20 либо 10 в нашем случае), а k  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ число независимых временных интервалов, по которым проводилось усреднение. Что касается дисперсии оценки квадрата модуля спектра когерентности, то она равна 2c (1 γ xy 2 (ω)) 2 γ xy 2 (ω). MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaaGOmaiaadogacqGHflY1caGGOaGaaGymaiabgkHi Tiabeo7aNnaaDaaaleaacaWG4bGaamyEaaqaaiaaysW7caaIYaaaaO GaaiikaiabeM8a3jaacMcacaGGPaWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGa eyyXICTaeq4SdC2aa0baaSqaaiaadIhacaWG5baabaGaaGjbVlaaik daaaGccaGGOaGaeqyYdCNaaiykaiaac6caaaa@5B30@ Поэтому для тех периодов, где оценка γ xy 2 (ω) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeq4SdC2aa0baaSqaaiaadIhacaWG5baabaGaaGjb VlaaikdaaaGccaGGOaGaeqyYdCNaaiykaaaa@470A@ мала, следует ожидать широкого доверительного интервала для оценки передаточной функции. Однако использование очень глубокого усреднения периодограмм как по временным интервалам, так и по частоте (большие значения k и m), делает полученную оценку достаточно устойчивой к шуму.

Атмосферное давление может быть использовано как зондирующий сигнал. По изменению частотной функции барометрического отклика уровня подземных вод можно выделять временные интервалы и частотные полосы аномального поведения [Любушин, Малугин, 1993; Любушин, Лежнев, 1995; Копылова и др., 2000]. Ниже оценки изменчивости частотной функции отклика были проведены после перехода к 1-часовым отсчетам путем вычисления средних значений по 6 смежным 10-минутным значениям. Было взято скользящее временное окно длиной 672 ч (28 суток, или лунный месяц,  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ это естественный масштаб времени в анализе геофизических низкочастотных фоновых процессов в земной коре). Для каждого положения окна были проведены оценки частотной передаточной функции от вариаций атмосферного давления с использованием параметрической регрессионной модели:

 

 

x(t)= j=0 p b j u(tj)+d+e(t) . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiEaiaacIcacaWG0bGaaiykaiabg2da9maaqaha baGaamOyamaaBaaaleaacaWGQbaabeaakiabgwSixlaadwhacaGGOa GaamiDaiabgkHiTiaadQgacaGGPaGaey4kaSIaamizaiabgUcaRiaa dwgacaGGOaGaamiDaiaacMcaaSqaaiaadQgacqGH9aqpcaaIWaaaba GaamiCaaqdcqGHris5aOGaaiOlaaaa@5820@

(1)

Здесь: x(t) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiEaiaacIcacaWG0bGaaiykaaaa@4111@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ приращения временного ряда уровня подземных вод; u(t) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyDaiaacIcacaWG0bGaaiykaaaa@410E@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ приращения атмосферного давления; p  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ порядок регрессии; ( b j ,j=0,...,p,d) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaaiikaiaadkgadaWgaaWcbaGaamOAaaqabaGccaGG SaGaamOAaiabg2da9iaaicdacaGGSaGaaiOlaiaac6cacaGGUaGaai ilaiaadchacaGGSaGaamizaiaacMcaaaa@4A8A@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ параметры модели, которые определялись в каждом временном окне из условия минимума суммы квадратов остатков идентификации e 2 (t) min MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaWaaabqaeaacaWGLbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGa aiikaiaadshacaGGPaGaeyOKH4kaleqabeqdcqGHris5aOGaciyBai aacMgacaGGUbaaaa@48CE@ . Взаимное смещение окон бралось равным 14 суток. Кроме того, перед идентификацией параметров модели (1), для увеличения устойчивости оценки к наличию выбросов, проводилась так называемая «винзоризация» выборок [Huber, 1981], означающая итеративную срезку выбросов за уровень ±3 выборочных стандартных отклонений с последующим пересчетом среднего значения и стандартного отклонения. После определения параметров модели (1) частотная функция отклика уровня подземных вод на вариации атмосферного давления в зависимости от частоты ω определялась по формуле:

 

 

H(ω)= j=0 p b j exp(iωj) . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamisaiaacIcacqaHjpWDcaGGPaGaeyypa0ZaaabC aeaacaWGIbWaaSbaaSqaaiaadQgaaeqaaOGaeyyXICTaciyzaiaacI hacaGGWbGaaiikaiabgkHiTiaadMgacqaHjpWDcaWGQbGaaiykaaWc baGaamOAaiabg2da9iaaicdaaeaacaWGWbaaniabggHiLdGccaGGUa aaaa@567E@

(2)

В наших расчетах порядок регрессии в модели (1) был выбран p=5 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiCaiabg2da9iaaiwdaaaa@407C@ как минимальное значение, после дальнейшего увеличения которого результат оценки функций отклика менялся несущественно.

На рис. 3 представлены результаты оценки амплитудной передаточной функции отклика A(ω)=|H(ω)|. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyqaiaacIcacqaHjpWDcaGGPaGaeyypa0JaaGPa VlaacYhacaWGibGaaiikaiabeM8a3jaacMcacaGG8bGaiGgGc6caaa a@4BD4@ Рис. 3а представляет график максимального значения max ω A(ω) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaWaaCbeaeaaciGGTbGaaiyyaiaacIhaaSqaaiabeM8a 3bqabaGccaWGbbGaaiikaiabeM8a3jaacMcaaaa@4692@ для каждого временного окна, а рис. 3б  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ частотно-временную диаграмму амплитудной частотной передаточной функции. Заштрихованные прямоугольники соответствуют временным интервалам, в которых доля искусственных (восполненных) значений временных рядов превышает 2% от длины окна.

Из рис. 3 видно, что в целом функция отклика стационарна, но содержит короткие аномальные временные интервалы, в течение которых максимум частотной амплитудной функции отклика претерпевает резкие изменения как в сторону увеличения, так и уменьшения. Таким образом, даже в стабильной платформенной области, тем не менее, происходит скрытая «тектоническая жизнь». Существование таких короткоживущих аномалий было отмечено в работе [Любушин и др., 1999], где они были названы «медленными событиями» в асейсмическом регионе.

 

Рис. 3. (а) – График максимального значения для каждого временного окна; (б) – частотно-временная диаграмма амплитудной частотной передаточной функции. Заштрихованные прямоугольники соответствуют временным интервалам, в которых доля искусственных (восполненных) значений временных рядов превышает 2% от длины окна. Минимальная частота на диаграмме (б) соответствует максимальному периоду, равному длине окна, то есть 28 суткам.

 

Для дальнейшего анализа нам необходимо получить временной ряд вариаций уровня подземных вод, «очищенный» от влияния атмосферного давления. Для этой операции был применен компенсирующий адаптивный частотный фильтр [Любушин, 2007]. В скользящих временных окнах длиной 28 суток или 4032 отсчетов с шагом 10 минут, взятых с минимальным смещением 1 отсчет, вычислялись спектр мощности S uu (ω) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaam4uamaaBaaaleaacaWG1bGaamyDaaqabaGccaGG OaGaeqyYdCNaaiykaaaa@43EA@ давления и комплексный кросс-спектр S xu (ω) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaam4uamaaBaaaleaacaWG4bGaamyDaaqabaGccaGG OaGaeqyYdCNaaiykaaaa@43ED@ между уровнем подземных вод и давлением. Эти оценки получаются путем сглаживания периодограмм и кросс-периодограмм частотным окном длиной 1/32 от длины окна. Далее в каждом окне вычислялась частотная передаточная функция H xu = S xu (ω)/ S uu (ω) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamisamaaBaaaleaacaWG4bGaamyDaaqabaGccqGH 9aqpcaWGtbWaaSbaaSqaaiaadIhacaWG1baabeaakiaacIcacqaHjp WDcaGGPaGaai4laiaadofadaWgaaWcbaGaamyDaiaadwhaaeqaaOGa aiikaiabeM8a3jaacMcaaaa@4EC8@ . При этом перед сглаживанием периодограмм подавлялись приливные частотные полосы [1/11,1/13] и [1/23,1/27] ч MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLHoaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3ABC@ 1, а оценки внутри этих частотных полос получались интерполяцией оценок от соседних значений частот. Результат компенсации E ˜ x (ω) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGabmyrayaaiaWaaSbaaSqaaiaadIhaaeqaaOGaaiik aiabeM8a3jaacMcaaaa@42F4@ в частотной области внутри каждого временного окна вычислялся по формуле E ˜ x (ω)= X ˜ (ω) H xu (ω) U ˜ (ω), MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGabmyrayaaiaWaaSbaaSqaaiaadIhaaeqaaOGaaiik aiabeM8a3jaacMcacqGH9aqpceWGybGbaGaacaGGOaGaeqyYdCNaai ykaiabgkHiTiaadIeadaWgaaWcbaGaamiEaiaadwhaaeqaaOGaaiik aiabeM8a3jaacMcacqGHflY1ceWGvbGbaGaacaGGOaGaeqyYdCNaai ykaiaacYcaaaa@5622@ где ( X ˜ (ω), U ˜ (ω)) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaaiikaiqadIfagaacaiaacIcacqaHjpWDcaGGPaGa aiilaiaaykW7caaMc8UabmyvayaaiaGaaiikaiabeM8a3jaacMcaca GGPaaaaa@4B01@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ дискретные преобразования Фурье от уровня подземных вод и атмосферного давления внутри текущего окна. Результат компенсации e x (t) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyzamaaBaaaleaacaWG4baabeaakiaacIcacaWG 0bGaaiykaaaa@4231@ во временной области внутри каждого временного окна определяется в результате обратного дискретного преобразования Фурье от  E ˜ x (ω). MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGabmyrayaaiaWaaSbaaSqaaiaadIhaaeqaaOGaaiik aiabeM8a3jaacMcacaGGUaaaaa@43A6@

Заключительной операцией получения компенсированного сигнала является сшивка внутриоконных результатов компенсации в один сигнал. Для первого окна вкладом в такой единый сигнал является содержимое части временного окна, соответствующее первой половине окна, а для последнего окна  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ соответствующей второй половине. Что же касается прочих, «промежуточных» временных окон, то из них в единый компенсированный сигнал берется лишь один отсчет, соответствующий центру окна.

На рис. 4 представлены графики исходного и компенсированного уровня подземных вод для 2-месячного временного фрагмента для начала 1999 г. Видно, насколько более четко выделяются приливные вариации уровня в компенсированном сигнале по сравнению с исходными данными, где они «тонут» в вариациях, обусловленных влиянием атмосферного давления.

 

Рис. 4. Сравнение исходных данных уровня подземных вод (серая линия) и результата адаптивной компенсации влияния атмосферного давления в скользящем окне длиной 28 суток (4032 отсчетов с шагом по времени 10 мин – черная линия) для временного фрагмента 2 х первых месяцев 1999 г.

 

На рис. 5 приведены оценки спектра мощности вариаций уровней для исходных временных рядов и после компенсации влияния атмосферного давления. На рис. 5б видно, что очень надежно выделяются 12-и 24-часовые группы приливных гармоник, причем спектральные пики на периодах, соответствующих высшим обертонам суточного колебания  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ 6, 4 и т.д. часов, присутствующие на спектре мощности исходного сигнала, после компенсации исчезли. Это свидетельствует о том, что они обусловлены влиянием негармонической формы суточного колебания атмосферного давления. Кроме того, следует подчеркнуть выпрямление графика спектра мощности (в двойном логарифмическом масштабе) после компенсации влияния давления  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ полностью исчез «горб» на спектре мощности для периодов от 10 до 3000 ч.

 

Рис. 5. Сравнение спектров мощности исходных данных уровня подземных вод (а) и после адаптивной компенсации влияния атмосферного давления в скользящем окне длиной 28 суток (б).

 

СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВРЕМЕННОГО РЯДА КОМПЕНСИРОВАННОГО УРОВНЯ ПОДЗЕМНЫХ ВОД

План дальнейшего анализа состоит в том, чтобы оценить набор статистических свойств, описывающих поведение временного ряда уровня подземных вод после компенсации влияния атмосферного давления в последовательных временных фрагментах и использовать их значения для задачи выделения различных состояний множества длительных наблюдений за динамикой водовмещающего горизонта. Длина временного фрагмента была выбрана N=1440 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOtaiabg2da9iaaigdacaaI0aGaaGinaiaaicda aaa@428C@ отсчетов, что составляет 10 суток при шаге по времени 10 минут. Далее в этом разделе статьи дается краткое описание используемых статистик, их общее число равно 10. Все оценки производились для временного ряда x(t) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiEaiaacIcacaWG0bGaaiykaaaa@4111@ приращений уровня подземных вод после компенсации влияния атмосферного давления.

Минимальная нормализованная энтропия вейвлет-коэффициентов En

Пусть x(t) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiEaiaacIcacaWG0bGaaiykaaaa@4111@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ конечная выборка некоторого случайного сигнала, t=1,...,N MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbiqaaasgcaWG0bGaeyypa0JaaGymaiaacYcacaGGUaGa aiOlaiaac6cacaGGSaGaamOtaaaa@4501@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ индекс, нумерующий последовательные отсчеты (дискретное время). Определим нормализованную энтропию конечной выборки формулой:

 

 

En= k=1 N p k log( p k ) /log(N), p k = c k 2 / j=1 N c j 2 ,0En1. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGceaGabeaacaWGfbGaamOBaiabg2da9iabgkHiTmaaqaha baGaamiCamaaBaaaleaacaWGRbaabeaakiabgwSixlGacYgacaGGVb Gaai4zaiaacIcacaWGWbWaaSbaaSqaaiaadUgaaeqaaOGaaiykaaWc baGaam4Aaiabg2da9iaaigdaaeaacaWGobaaniabggHiLdGccaGGVa GaciiBaiaac+gacaGGNbGaaiikaiaad6eacaGGPaGaaiilaaqaaiaa dchadaWgaaWcbaGaam4AaaqabaGccqGH9aqpcaWGJbWaa0baaSqaai aadUgaaeaacaaIYaaaaOGaai4lamaaqahabaGaam4yamaaDaaaleaa caWGQbaabaGaaGOmaaaaaeaacaWGQbGaeyypa0JaaGymaaqaaiaad6 eaa0GaeyyeIuoakiaacYcacaaMf8UaaGimaiabgsMiJkaadweacaWG UbGaeyizImQaaGymaiaac6caaaaa@7101@

(3)

Здесь c k ,k=1,N MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaam4yamaaBaaaleaacaWGRbaabeaakiaacYcacaaM e8Uaam4Aaiabg2da9iaaigdacaGGSaGaamOtaaaa@4641@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ коэффициенты ортогонального вейвлет-разложения с некоторым базисом. Ниже использовались 17 ортогональных вейвлетов Добеши: 10 обычных базисов с минимальным носителем с числом обнуляемых от 1 до 10 и 7 так называемых симлетов Добеши [Малла, 2005], с числом обнуляемых моментов от 4 до 10. Для каждого из базисов вычислялась нормализованная энтропия распределения квадратов коэффициентов (3) и находился базис, обеспечивающий минимум величине (3). Заметим, что в силу ортогональности вейвлет-преобразования сумма квадратов коэффициентов равна дисперсии (энергии) сигнала x(t). Таким образом, величина (3) вычисляет энтропию распределения энергии колебаний на различных частотных и временных масштабах. Статистика En использовалась в работах [Lyubushin, 2012; 2014; 2018] при исследовании прогностических свойств сейсмического шума на Японских островах.

Индекс Донохо-Джонстона γ

После того, как вейвлет-базис определен для данного сигнала из условия минимума энтропии, мы можем определить набор вейвлет-коэффициентов, которые являются наименьшим по модулю. В вейвлет-фильтрации эти вейвлет-коэффициенты могут быть обнулены перед обратным вейвлет-преобразованием с целью «уменьшения шума» [Donoho, Johnstone, 1995; Mallat, 1999]. Мы предполагаем, что шум концентрируется в основном в вариациях на первом уровне детальности. Из-за ортогональности вейвлет-преобразования, дисперсия вейвлет-коэффициентов равна дисперсии исходного сигнала. Таким образом, мы оцениваем стандартное отклонение шума как стандартное отклонение вейвлет-коэффициентов на первом уровне детализации. Эта оценка должна быть устойчивой, т. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqcLbwaqaaaaa aaaaWdbiabl2==Ubaa@39DE@ е. нечувствительна к выбросам в значениях вейвлет-коэффициентов на первом уровне. Для этого мы можем использовать робастную медианную оценку стандартного отклонения для нормальной случайной величины:

 

 

σ=med{| c k (1) |,k=1,...,N/2}/0.6745, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeq4WdmNaeyypa0JaamyBaiaadwgacaWGKbGaai4E aiaaysW7caGG8bGaam4yamaaDaaaleaacaWGRbaabaGaaiikaiaaig dacaGGPaaaaOGaaiiFaiaaysW7caGGSaGaaGjbVlaadUgacqGH9aqp caaIXaGaaiilaiaac6cacaGGUaGaaiOlaiaacYcacaWGobGaai4lai aaikdacaGG9bGaai4laiaaicdacaGGUaGaaGOnaiaaiEdacaaI0aGa aGynaiaacYcaaaa@5EFF@

(4)

где: c k (1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaam4yamaaDaaaleaacaWGRbaabaGaaiikaiaaigda caGGPaaaaaaa@41DA@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ вейвлет-коэффициенты на первом уровне детальности, N/2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOtaiaayIW7caGGVaGaaGjcVlaaikdaaaa@4325@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ число таких коэффициентов. Оценка стандартного отклонения σ из формулы (2) определяет величину σ 2lnN MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeq4Wdm3aaOaaaeaacaaIYaGaeyyXICTaciiBaiaa c6gacaWGobaaleqaaaaa@455C@ как «естественный» порог для выделения шумовых вейвлет-коэффициентов. Величина σ 2lnN MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeq4Wdm3aaOaaaeaacaaIYaGaeyyXICTaciiBaiaa c6gacaWGobaaleqaaaaa@455C@ известна в вейвлет-анализе как порог Донохо-Джонстона, а само выражение для этой величины основано на формуле для асимптотической вероятности максимальных уклонений гауссовского белого шума [Mallat, 1999]. В результате можно определить безразмерную характеристику сигнала γ,0<γ<1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeq4SdCMaaiilaiaaysW7caaIWaGaeyipaWJaeq4S dCMaeyipaWJaaGymaaaa@46C9@ как отношение числа наиболее информативных вейвлет-коэффициентов, для которых выполнено неравенство | c k |>σ 2lnN , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaaiiFaiaadogadaWgaaWcbaGaam4AaaqabaGccaGG 8bGaaGjbVlabg6da+iaaysW7cqaHdpWCdaGcaaqaaiaaikdacqGHfl Y1ciGGSbGaaiOBaiaad6eaaSqabaGccaGGSaaaaa@4E46@ к общему числу N всех вейвлет-коэффициентов. Формально чем больше индекс γ, тем более информативным (менее «шумовым») является сигнал.

Модель авторегрессии

Далее широко будет использоваться модель авторегрессии [Box, Jenkins, 1970; Kashyap, Rao, 1976] для временного ряда x(t). Запишем ее в общей форме:

 

 

x(t)+ k=1 p a k (p) x(tk)= e (p) (t) + d (p) . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiEaiaacIcacaWG0bGaaiykaiabgUcaRmaaqaha baGaamyyamaaDaaaleaacaaMe8Uaam4AaaqaaiaayIW7caGGOaGaam iCaiaacMcaaaGccaWG4bGaaiikaiaadshacqGHsislcaWGRbGaaiyk aiabg2da9iaadwgadaahaaWcbeqaaiaayIW7caGGOaGaamiCaiaacM caaaGccaGGOaGaamiDaiaacMcaaSqaaiaadUgacqGH9aqpcaaIXaaa baGaamiCaaqdcqGHris5aOGaey4kaSIaamizamaaCaaaleqabaGaaG jcVlaacIcacaWGWbGaaiykaaaakiaac6caaaa@6375@

(5)

Здесь целое число p1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbiqaaWhfcaWGWbGaeyyzImRaaGymaaaa@41CB@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ порядок авторегрессии, вектор c= ( a 1 (p) ,..., a p (p) , d (p) ) T MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaam4yaiabg2da9iaacIcacaWGHbWaa0baaSqaaiaa ysW7caaIXaaabaGaaGjcVlaacIcacaWGWbGaaiykaaaakiaacYcaca GGUaGaaiOlaiaac6cacaGGSaGaaGPaVlaadggadaqhaaWcbaGaaGjb VlaadchaaeaacaaMi8UaaiikaiaadchacaGGPaaaaOGaaiilaiaayk W7caWGKbWaaWbaaSqabeaacaaMi8UaaiikaiaadchacaGGPaaaaOGa aiykamaaCaaaleqabaGaamivaaaaaaa@5D0C@ является вектором неизвестных параметров. Верхний индекс (p) в формуле (5) подчеркивает, что используется модель авторегрессии p-го порядка. Здесь a k (p) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyyamaaDaaaleaacaaMe8Uaam4AaaqaaiaayIW7 caGGOaGaamiCaiaacMcaaaaaaa@4531@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ коэффициенты авторегрессии, d (p) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamizamaaCaaaleqabaGaaGjcVlaacIcacaWGWbGa aiykaaaaaaa@42B7@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ параметр статического смещения, e (p) (t) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyzamaaCaaaleqabaGaaGjcVlaacIcacaWGWbGa aiykaaaakiaacIcacaWG0bGaaiykaaaa@4514@ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ остаточный сигнал с нулевым средним и дисперсией σ p 2 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeq4Wdm3aa0baaSqaaiaadchaaeaacaaIYaaaaOGa aiOlaaaa@421F@ Модель (5) можно записать в компактной форме:

 

 

x(t)=cTY(t)+e(p)(t),Y(t)=(-x(t-1),...,-x(t-p),1)T.

(6)

Пусть имеется конечная выборка {x(t),t=1,...,N} MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaai4EaiaadIhacaGGOaGaamiDaiaacMcacaGGSaGa aGjbVlaadshacqGH9aqpcaaIXaGaaiilaiaac6cacaGGUaGaaiOlai aacYcacaWGobGaaGjbVlaac2haaaa@4DDE@ . Тогда оценка вектора параметров c из условия минимума суммы квадратов остатков t=p+1 N e (p) (t) 2 min c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaWaaabmaeaadaqadaqaaiaadwgadaahaaWcbeqaaiaa yIW7caGGOaGaamiCaiaacMcaaaGccaGGOaGaamiDaiaacMcaaiaawI cacaGLPaaadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaabaGaamiDaiabg2da9iaa dchacqGHRaWkcaaIXaaabaGaaGjbVlaad6eaa0GaeyyeIuoakiabgk ziUoaaxababaGaciyBaiaacMgacaGGUbaaleaacaWGJbaabeaaaaa@5657@ сводится к решению системы нормальных уравнений с симметричной положительно определенной матрицей A:

Ac=R,A= t=p+1 N Y(t) Y T (t),R= t=p+1 N x(t)Y(t) . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyqaiaadogacqGH9aqpcaWGsbGaaiilaiaaysW7 caaMe8Uaamyqaiabg2da9maaqahabaGaamywaiaacIcacaWG0bGaai ykaiaadMfadaahaaWcbeqaaiaadsfaaaGccaGGOaGaamiDaiaacMca caGGSaGaaGjbVlaaysW7caWGsbGaeyypa0daleaacaWG0bGaeyypa0 JaamiCaiabgUcaRiaaigdaaeaacaWGobaaniabggHiLdGcdaaeWbqa aiaadIhacaGGOaGaamiDaiaacMcacaWGzbGaaiikaiaadshacaGGPa aaleaacaWG0bGaeyypa0JaamiCaiabgUcaRiaaigdaaeaacaWGobaa niabggHiLdGccaGGUaaaaa@6A8B@ (7)

Полный вектор параметров модели (5) есть θ (p) = ( c T , σ p ) T MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqiUde3aaWbaaSqabeaacaaMi8Uaaiikaiaadcha caGGPaaaaOGaeyypa0JaaiikaiaadogadaahaaWcbeqaaiaadsfaaa GccaGGSaGaeq4Wdm3aaSbaaSqaaiaadchaaeqaaOGaaiykamaaCaaa leqabaGaamivaaaaaaa@4C89@ .

Далее в качестве характеристик фрагментов временного ряда, наряду с прочими параметрами, будут использованы значения коэффициента a 1 (1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyyamaaDaaaleaacaaMe8UaaGymaaqaaiaayIW7 caGGOaGaaGymaiaacMcaaaaaaa@44C2@ модели авторегрессии первого порядка и логарифм дисперсии остатка в этой модели:  lg σ 1 2 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaciiBaiaacEgacqaHdpWCdaqhaaWcbaGaaGymaaqa aiaaikdaaaGccaGGUaaaaa@43C2@

Индекс линейной предсказуемости cPred

Индекс линейной предсказуемости был введен в работе [Любушин, 2010; Lyubushin, 2012]. Рассмотрим величину: c Pred = V 0 / V AR 1. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaam4yamaaBaaaleaacaqGqbGaaeOCaiaabwgacaqG Kbaabeaakiabg2da9iaadAfadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGccaGGVa GaamOvamaaBaaaleaacaWGbbGaamOuaaqabaGccqGHsislcaaIXaGa aiOlaaaa@4B03@ Здесь V 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOvamaaBaaaleaacaaIWaaabeaaaaa@3F83@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ дисперсия ошибки ε 0 (t+1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqyTdu2aaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaaiikaiaa dshacqGHRaWkcaaIXaGaaiykaaaa@4448@ тривиального прогноза x ^ 0 (t+1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaWaaCbiaeaacaWG4baaleqabaacbaGaiaiGaaa2a8Nx aaaakmaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiaacIcacaWG0bGaey4kaSIaaG ymaiaacMcaaaa@46B8@ на 1 шаг вперед для сигнала x(t), MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbiqaaGegcaWG4bGaaiikaiaadshacaGGPaGaaiilaaaa @4224@ который равен среднему по предыдущему «малому» временному окну длиной n отсчетов: x ^ 0 (t+1)= s=tn+1 t x(t)/n . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaWaaCbiaeaacaWG4baaleqabaacbaGaiaiGaaa2a8Nx aaaakmaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiaacIcacaWG0bGaey4kaSIaaG ymaiaacMcacqGH9aqpdaaeWbqaaiaadIhacaGGOaGaamiDaiaacMca caGGVaGaamOBaaWcbaGaam4Caiabg2da9iaadshacqGHsislcaWGUb Gaey4kaSIaaGymaaqaaiaadshaa0GaeyyeIuoakiaac6caaaa@571F@ Таким образом, ε 0 (t+1)=x(t+1) x ^ 0 (t+1), MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqyTdu2aaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaaiikaiaa dshacqGHRaWkcaaIXaGaaiykaiabg2da9iaadIhacaGGOaGaamiDai abgUcaRiaaigdacaGGPaGaeyOeI0YaaCbiaeaacaWG4baaleqabaac baGaiaiGaaa2a8NxaaaakmaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiaacIcaca WG0bGaey4kaSIaaGymaiaacMcacaGGSaaaaa@54CE@ а  V 0 = t=n+1 N ε 0 2 (t)/(Nn) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOvamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiabg2da9maa qahabaGaeqyTdu2aa0baaSqaaiaaicdaaeaacaaIYaaaaaqaaiaads hacqGH9aqpcaWGUbGaey4kaSIaaGymaaqaaiaad6eaa0GaeyyeIuoa kiaacIcacaWG0bGaaiykaiaac+cacaGGOaGaamOtaiabgkHiTiaad6 gacaGGPaaaaa@5291@ , где N>n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOtaiabg6da+iaad6gaaaa@4090@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ число отсчетов в последовательных «больших» временных фрагментах. Величина V AR MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOvamaaBaaaleaacaWGbbGaamOuaaqabaaaaa@4066@ вычисляется по аналогичной формуле V AR = t=n+1 N ε AR 2 (t)/(Nn), MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOvamaaBaaaleaacaWGbbGaamOuaaqabaGccqGH 9aqpdaaeWbqaaiabew7aLnaaDaaaleaacaWGbbGaamOuaaqaaiaayk W7caaIYaaaaaqaaiaadshacqGH9aqpcaWGUbGaey4kaSIaaGymaaqa aiaad6eaa0GaeyyeIuoakiaacIcacaWG0bGaaiykaiaac+cacaGGOa GaamOtaiabgkHiTiaad6gacaGGPaGaaiilaaaa@5692@ в которой ε AR (t+1)=x(t+1) x ^ AR (t+1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqyTdu2aaSbaaSqaaiaadgeacaWGsbaabeaakiaa cIcacaWG0bGaey4kaSIaaGymaiaacMcacqGH9aqpcaWG4bGaaiikai aadshacqGHRaWkcaaIXaGaaiykaiabgkHiTmaaxacabaGaamiEaaWc beqaaGqaaiacaciaaGna=5faaaGcdaWgaaWcbaGaamyqaiaadkfaae qaaOGaaiikaiaadshacqGHRaWkcaaIXaGaaiykaaaa@55E4@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ ошибка линейного прогноза x ^ AR (t+1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaWaaCbiaeaacaWG4baaleqabaacbaGaiaiGaaa2a8Nx aaaakmaaBaaaleaacaWGbbGaamOuaaqabaGccaGGOaGaamiDaiabgU caRiaaigdacaGGPaaaaa@479C@ на 1 шаг вперед с помощью модели авторегрессии 2-го порядка, коэффициенты которой оцениваются также по предыдущему «малому» временному окну длиной n отсчетов.

Выбор 2-го порядка авторегрессии обусловлен тем, что этот порядок  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ минимальный для AR-модели, при котором описывается колебательное движение и допускается положение максимума спектральной плотности модели авторегрессми в значениях частот между частотой Найквиста и нулевой. AR-прогноз использует свойство коррелированности соседних значений, и если коррелированность имеет место, то  V AR < V 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOvamaaBaaaleaacaWGbbGaamOuaaqabaGccqGH 8aapcaWGwbWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaaaa@4335@ и  c Pred >0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaam4yamaaBaaaleaacaqGqbGaaeOCaiaabwgacaqG Kbaabeaakiabg6da+iaaicdaaaa@4439@ . При длине «большого» временного окна N=1440 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOtaiabg2da9iaaigdacaaI0aGaaGinaiaaicda aaa@428C@ длина малого окна бралась равной n=144 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOBaiabg2da9iaaigdacaaI0aGaaGinaaaa@41F2@ .

Авторегрессионная мера нестационарности сигнала R2

Пусть x(t MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ изучаемый сигнал, n  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ половина длины скользящего временного окна, которое далее будем называть «коротким». Пусть τ  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ центр двойного скользящего временного окна, в которое, тем самым, входят временные отсчеты t, удовлетворяющие условию τntτ+n. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqiXdqNaeyOeI0IaamOBaiabgsMiJkaadshacqGH KjYOcqaHepaDcqGHRaWkcaWGUbGaaiOlaaaa@4A16@ Для левой и правой половин короткого окна построим скалярную авторегрессионную модель (5) порядка p=2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiCaiabg2da9iaaikdaaaa@4079@ сигнала x(t). Оценивая модель независимо по выборкам, попавшим в левую и правую половины двойного скользящего временного окна, получим два вектора параметров θ 1 (p) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqiUde3aa0baaSqaaiaaysW7caaIXaaabaGaaGjc VlaacIcacaWGWbGaaiykaaaaaaa@45CC@ и  θ 2 (p) , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqiUde3aa0baaSqaaiaaysW7caaIYaaabaGaaGjc VlaacIcacaWGWbGaaiykaaaakiaacYcaaaa@4687@ соответственно. Обозначим Δθ= θ 2 (p) θ 1 (p) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeuiLdqKaeqiUdeNaeyypa0JaeqiUde3aa0baaSqa aiaaysW7caaIYaaabaGaaGjcVlaacIcacaWGWbGaaiykaaaakiabgk HiTiabeI7aXnaaDaaaleaacaaMe8UaaGymaaqaaiaayIW7caGGOaGa amiCaiaacMcaaaaaaa@52F0@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ разницу между векторами оценок на правой и левой половинах скользящего временного окна.

Если поведение изучаемого сигнала на левой и правой половинах сильно различаются, то будет увеличиваться разница Δθ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeuiLdqKaeqiUdehaaa@40DE@ . Для «взвешивания» вектора Δθ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbiqaaqOecqqHuoarcqaH4oqCaaa@4177@ в качестве метрической матрицы логично использовать матрицу Фишера, поскольку она определяет скорость изменения логарифмической функции правдоподобия в окрестности точки максимума по параметрам:

B= 2 ln(Φ) θθ , ln(Φ)=(np)ln( σ p ) 1 2 σ p 2 t (x(t) c T Y(t)) 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGceaGabeaacaWGcbGaeyypa0JaeyOeI0YaaSaaaeaacqGH ciITdaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGcciGGSbGaaiOBaiaacIcacqqHMo GrcaGGPaaabaGaeyOaIyRaeqiUdeNaaGjbVlabgkGi2kabeI7aXbaa caGGSaaabaGaciiBaiaac6gacaGGOaGaeuOPdyKaaiykaiabg2da9i abgkHiTiaacIcacaWGUbGaeyOeI0IaamiCaiaacMcaciGGSbGaaiOB aiaacIcacqaHdpWCdaWgaaWcbaGaamiCaaqabaGccaGGPaGaeyOeI0 YaaSaaaeaacaaIXaaabaGaaGOmaiabeo8aZnaaDaaaleaacaWGWbaa baGaaGOmaaaaaaGcdaaeWbqaaiaacIcacaWG4bGaaiikaiaadshaca GGPaGaeyOeI0Iaam4yamaaCaaaleqabaGaamivaaaakiaadMfacaGG OaGaamiDaiaacMcacaGGPaWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaqaaiaads haaeaaa0GaeyyeIuoaaaaa@7611@  (8)

MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@  матрицы вторых производных по параметрам от условной логарифмической функции правдоподобия авторегрессионной модели. Обозначим через B (1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOqamaaCaaaleqabaGaaiikaiaaigdacaGGPaaa aaaa@40CA@ и  B (2) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOqamaaCaaaleqabaGaaiikaiaaikdacaGGPaaa aaaa@40CB@ матрицы, вычисленные по левой и правой половинам скользящего окна, соответственно. Тогда мерой нестационарности поведения процесса x(t) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiEaiaacIcacaWG0bGaaiykaaaa@4111@ в симметричной окрестности точки τ будет величина:

 

r 2 (τ)=(Δ θ T B (1) Δθ+Δ θ T B (2) Δθ)/(2(np)). MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOCamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaacIcacqaH epaDcaGGPaGaeyypa0Jaaiikaiabgs5aejabeI7aXnaaCaaaleqaba GaamivaaaakiaadkeadaahaaWcbeqaaiaacIcacaaIXaGaaiykaaaa kiabgs5aejabeI7aXjabgUcaRiabgs5aejabeI7aXnaaCaaaleqaba GaamivaaaakiaadkeadaahaaWcbeqaaiaacIcacaaIYaGaaiykaaaa kiabgs5aejabeI7aXjaacMcacaGGVaGaaiikaiaaikdacaGGOaGaam OBaiabgkHiTiaadchacaGGPaGaaiykaiaac6caaaa@626C@ (9)

В формуле (9) полусумма длин вектора разности параметров Δθ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeuiLdqKaeqiUdehaaa@40DE@ , измеряемых с помощью метрических матриц B (1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOqamaaCaaaleqabaGaaiikaiaaigdacaGGPaaa aaaa@40CA@ и  B (2) , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOqamaaCaaaleqabaGaaiikaiaaikdacaGGPaaa aOGaaiilaaaa@4185@ делится на  (np) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaaiikaiaad6gacqGHsislcaWGWbGaaiykaaaa@41F0@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ число отсчетов в левой и правой частях скользящего окна за вычетом числа авторегрессионных параметров. Такая метрика обеспечивает естественную безразмерную меру нестационарности поведения исследуемого сигнала. Проведя несложные выкладки, нетрудно получить следующее выражение:

 

Δ θ T BΔθ= 2 (Δ σ p ) 2 σ p 2 + Δ c T t Y(t) Y T (t) Δc σ p 2 (np) + + 4Δ c T Δ σ p t e (p) (t)Y(t) σ p 3 (np) , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGceaGabeaacqqHuoarcqaH4oqCdaahaaWcbeqaaiaadsfa aaGccaWGcbGaeuiLdqKaeqiUdeNaaGjcVlabg2da9iaayIW7daWcaa qaaiaaikdacaGGOaGaeuiLdqKaaGjcVlabeo8aZnaaBaaaleaacaWG WbaabeaakiaacMcadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaakeaacqaHdpWCda qhaaWcbaGaamiCaaqaaiaaikdaaaaaaOGaey4kaSYaaSaaaeaacqqH uoarcaaMi8Uaam4yamaaCaaaleqabaGaamivaaaakmaabmaabaWaaa buaeaacaWGzbGaaiikaiaadshacaGGPaGaamywamaaCaaaleqabaGa amivaaaakiaacIcacaWG0bGaaiykaaWcbaGaamiDaaqab0GaeyyeIu oaaOGaayjkaiaawMcaaiabfs5aejaayIW7caWGJbaabaGaeq4Wdm3a a0baaSqaaiaadchaaeaacaaIYaaaaOGaaiikaiaad6gacqGHsislca WGWbGaaiykaaaacqGHRaWkaeaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaaisdacaaM i8UaeuiLdqKaaGjcVlaadogadaahaaWcbeqaaiaadsfaaaGccqqHuo arcaaMi8Uaeq4Wdm3aaSbaaSqaaiaadchaaeqaaOWaaabuaeaacaWG LbWaaWbaaSqabeaacaaMi8UaaiikaiaadchacaGGPaaaaOGaaGjcVl aacIcacaWG0bGaaiykaiaadMfacaGGOaGaamiDaiaacMcaaSqaaiaa dshaaeqaniabggHiLdaakeaacqaHdpWCdaqhaaWcbaGaamiCaaqaai aaiodaaaGccaGGOaGaamOBaiabgkHiTiaadchacaGGPaaaaiaacYca aaaa@9B1B@ (10)

полезное при вычислении значения меры нестационарности (9). Мера нестационарного поведения (9), (10) была введена в работе [Любушин и др., 1999; Любушин, 2007].

Используя формулы (9), (10) можно определить другую, более устойчивую меру нестационарного поведения исследуемого сигнала внутри «длинного» временного интервала, состоящего из N последовательных отсчетов. Для этого возьмем «короткое» окно радиуса n отсчетов, 2n+1<N, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaaGOmaiaad6gacqGHRaWkcaaIXaGaeyipaWJaamOt aiaacYcaaaa@4395@ и вычислим меру нестационарного поведения r 2 (τ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOCamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaacIcacqaH epaDcaGGPaaaaa@42CA@ для всех возможных положений центральной точки τ внутри «длинного» окна, при которых «короткое» окно целиком лежит внутри «длинного». Нетрудно посчитать, что число таких допустимых положений центральной точки τ равно N2n. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOtaiabgkHiTiaaikdacaWGUbGaaiOlaaaa@41E3@ Определим интегральную меру нестационарности R 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOuamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaaa@3F82@ для «длинного» окна как медиану значений r 2 (τ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOCamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaacIcacqaH epaDcaGGPaaaaa@42CA@ для всех допустимых положений центральной точки τ «короткого» окна внутри «длинного». В вычислениях мы использовали длины окон N=1440 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOtaiabg2da9iaaigdacaaI0aGaaGinaiaaicda aaa@428C@ и  n=144 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOBaiabg2da9iaaigdacaaI0aGaaGinaaaa@41F2@ . В дальнейшем мы будем рассматривать логарифм меры нестационарости lg( R 2 ). MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaciiBaiaacEgacaGGOaGaamOuamaaCaaaleqabaGa aGOmaaaakiaacMcacaGGUaaaaa@4374@

Мультифрактальные параметры Δα, α* и αmin

Рассмотрим некоторое случайное колебание x(t) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiEaiaacIcacaWG0bGaaiykaaaa@4111@ на интервале времени [tδ/2,t+δ/2] MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaai4waiaadshacqGHsislcqaH0oazcaGGVaGaaGOm aiaacYcacaWG0bGaey4kaSIaeqiTdqMaai4laiaaikdacaGGDbaaaa@4A1B@ длиной δ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqiTdqgaaa@3F67@ с центром во временной точке t. Рассмотрим размах μ(t,δ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqiVd0MaaiikaiaadshacaGGSaGaeqiTdqMaaiyk aaaa@441F@ случайного колебания на этом интервале, то есть разницу между максимальным и минимальным значениям:

 

 

μ(t,δ)= max tδ/2st+δ/2 x(s) min tδ/2st+δ/2 x(s). MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqiVd0MaaiikaiaadshacaGGSaGaeqiTdqMaaiyk aiabg2da9maaxababaGaciyBaiaacggacaGG4baaleaacaWG0bGaey OeI0IaeqiTdqMaai4laiaaikdacqGHKjYOcaaMe8Uaam4CaiaaysW7 cqGHKjYOcaWG0bGaey4kaSIaeqiTdqMaai4laiaaikdaaeqaaOGaam iEaiaacIcacaWGZbGaaiykaiabgkHiTmaaxababaGaciyBaiaacMga caGGUbaaleaacaWG0bGaeyOeI0IaeqiTdqMaai4laiaaikdacqGHKj YOcaaMe8Uaam4CaiabgsMiJkaaysW7caWG0bGaey4kaSIaeqiTdqMa ai4laiaaikdaaeqaaOGaamiEaiaacIcacaWGZbGaaiykaiaac6caaa a@7656@

(11)

Если устремить δ0, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqiTdqMaeyOKH4QaaGimaiaacYcaaaa@42BE@ то  μ(t,δ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqiVd0MaaiikaiaadshacaGGSaGaeqiTdqMaaiyk aaaa@441F@ будет также стремиться к нулю, но здесь важна скорость этого убывания. Если скорость определяется законом δ h(t) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqiTdq2aaWbaaSqabeaacaaMe8UaamiAaiaacIca caWG0bGaaiykaaaaaaa@4460@ : μ(t,δ) δ h(t) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqiVd0MaaiikaiaadshacaGGSaGaeqiTdqMaaiyk aGWaaiab=XJi+jabes7aKnaaCaaaleqabaGaamiAaiaacIcacaWG0b Gaaiykaaaaaaa@4A9C@ или если существует предел h(t)= lim δ0 log(μ(t,δ)) log(δ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiAaiaacIcacaWG0bGaaiykaiabg2da9maaxaba baGaciiBaiaacMgacaGGTbaaleaacqaH0oazcqGHsgIRcaaIWaaabe aakmaalaaabaGaciiBaiaac+gacaGGNbGaaiikaiabeY7aTjaacIca caWG0bGaaiilaiabes7aKjaacMcacaGGPaaabaGaciiBaiaac+gaca GGNbGaaiikaiabes7aKjaacMcaaaaaaa@59CA@ , то величина h(t) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiAaiaacIcacaWG0bGaaiykaaaa@4101@ называется экспонентой Гельдера-Липшица. Если величина h(t) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiAaiaacIcacaWG0bGaaiykaaaa@4101@ не зависит от момента времени t: h(t)=const=H, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiAaiaacIcacaWG0bGaaiykaiabg2da9iaaboga caqGVbGaaeOBaiaabohacaqG0bGaeyypa0JaamisaiaacYcaaaa@493F@ то случайное колебание x(t) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiEaiaacIcacaWG0bGaaiykaaaa@4111@ называется монофрактальным, а величина H  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ экспонентой Херста. Если же экспоненты Гельдера-Липшица h(t) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiAaiaacIcacaWG0bGaaiykaaaa@4101@ различаются для разных моментов времени t, то случайное колебание называется мультифракталом и для него можно определить понятие спектра сингулярности F(α) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOraiaacIcacqaHXoqycaGGPaaaaa@4185@ [Feder, 1991]. Для этого выделим множество C(α) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaam4qaiaacIcacqaHXoqycaGGPaaaaa@4182@ таких моментов времени t, которые имеют одно и то же значение α MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqySdegaaa@3F61@ экспоненты Гельдера-Липшица: h(t)=α. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiAaiaacIcacaWG0bGaaiykaiabg2da9iabeg7a Hjaac6caaaa@4458@ Множества C(α) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaam4qaiaacIcacqaHXoqycaGGPaaaaa@4182@ не являются пустыми не для всех значений α, то есть существуют некоторые минимальное α min MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqySde2aaSbaaSqaaiGac2gacaGGPbGaaiOBaaqa baaaaa@425F@ и максимальное α max MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqySde2aaSbaaSqaaiGac2gacaGGHbGaaiiEaaqa baaaaa@4261@ , такие что лишь для α min <α< α max MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqySde2aaSbaaSqaaiGac2gacaGGPbGaaiOBaaqa baGccqGH8aapcqaHXoqycqGH8aapcqaHXoqydaWgaaWcbaGaciyBai aacggacaGG4baabeaaaaa@4AAF@ множества C(α) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaam4qaiaacIcacqaHXoqycaGGPaaaaa@4182@ содержат некоторые элементы. Мультифрактальный спектр сингулярности F(α) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOraiaacIcacqaHXoqycaGGPaaaaa@4185@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ это фрактальная размерность множества точек C(α) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaam4qaiaacIcacqaHXoqycaGGPaaaaa@4182@ . Параметр Δα= α max α min MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeuiLdqKaeqySdeMaeyypa0JaeqySde2aaSbaaSqa aiGac2gacaGGHbGaaiiEaaqabaGccqGHsislcqaHXoqydaWgaaWcba GaciyBaiaacMgacaGGUbaabeaaaaa@4C00@ , называемый шириной носителя спектра сингулярности, представляется важной мультифрактальной характеристикой. Кроме того, значительный интерес представляет аргумент α * , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqySde2aiGgGCaaaleqcObyaiGgGcGaAakOkaaaa kiacebOGSaaaaa@4582@ доставляющий максимум спектру сингулярности: F( α * )= max α max α α min F(α), MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOraiaacIcacqaHXoqydaahaaWcbeqaaiaacQca aaGccaGGPaGaeyypa0ZaaCbeaeaaciGGTbGaaiyyaiaacIhaaSqaai abeg7aHnaaBaaameaaciGGTbGaaiyyaiaacIhaaeqaaSGaeyizImQa eqySdeMaeyizImQaeqySde2aaSbaaWqaaiGac2gacaGGPbGaaiOBaa qabaaaleqaaOGaamOraiaacIcacqaHXoqycaGGPaGaaiilaaaa@5957@ называемый обобщенным показателем Херста. Максимум спектра сингулярности не может превосходить 1  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ размерности вмещающего множества или оси времени, 0<F( α * )1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaaGimaiabgYda8iaadAeacaGGOaGaeqySde2aaWba aSqabeaacaGGQaaaaOGaaiykaiabgsMiJkaaigdaaaa@4698@ , обычно F( α * )=1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOraiaacIcacqaHXoqydaahaaWcbeqaaiaacQca aaGccaGGPaGaeyypa0JaaGymaaaa@442B@ . Заметим, что для монофрактального сигнала Δα=0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeuiLdqKaeqySdeMaeyypa0JaaGimaaaa@4287@ , α * =H MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqySde2aaWbaaSqabeaacaGGQaaaaOGaeyypa0Ja amisaaaa@4219@ .

Ниже для оценки мультифрактальных характеристик сигналов использовался метод, основанный на анализе флуктуаций после устранения масштабнозависимых трендов [Kantelhardt et al., 2002]. В работах [Lyubushin, 2010; 2012; 2013; 2014; 2018] мультифрактальные параметры Δα MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeuiLdqKaeqySdegaaa@40C7@ и  α * MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqySde2aaWbaaSqabeaacaGGQaaaaaaa@403C@ были использованы при оценке сейсмической опасности по свойствам сейсмического шума в Японии (см. также [Любушин, 2009; 2012; 2014]).

Коэффициент эксцесса κ определяется формулой κ=M( x 4 )/ (M( x 2 )) 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqOUdSMaaGjbVlaab2dacaWGnbGaaiikaiaadIha daahaaWcbeqaaiaaisdaaaGccaGGPaGaai4laiaacIcacaWGnbGaai ikaiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaGGPaGaaiykamaaCaaa leqabaGaaGOmaaaaaaa@4CEE@ [Cramer, 1999]. Коэффициент эксцесса характеризует «остроту» графика плотности вероятности распределения случайной величины x с нулевым средним и дает меру отклонения плотности вероятности от нормального закона, для которого κ=3 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqOUdSMaeyypa0JaaG4maaaa@4137@ . Здесь операция M(...) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamytaiaacIcacaGGUaGaaiOlaiaac6cacaGGPaaa aa@4203@ означает вычисление математического ожидания, в данном случае просто выборочного среднего случайной величины. Обычно под коэффициентом эксцесса понимается введенная выше величина κ, из которой вычитается 3, чтобы для нормального закона эксцесс был равен нулю. Однако далее мы будем рассматривать логарифм эксцесса lg(κ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaciiBaiaacEgacaGGOaGaeqOUdSMaaiykaaaa@42AA@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ поэтому значение 3 не вычитается, чтобы гарантировать положительные значения κ.

Итак для каждого временного окна имеется 10 параметров, характеризующих статистические свойства временного ряда внутри этого окна: минимальная нормированная энтропия вейвлет-коэффициентов En MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbiqaaGahcaWGfbGaamOBaaaa@3FA6@ , индекс Донохо-Джонстона γ, коэффициент a 1 (1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyyamaaDaaaleaacaaMe8UaaGymaaqaaiaayIW7 caGGOaGaaGymaiaacMcaaaaaaa@44C2@ и логарифм дисперсии lg σ 1 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaciiBaiaacEgacqaHdpWCdaqhaaWcbaGaaGymaaqa aiaaikdaaaaaaa@4306@ в модели авторегрессии 1-го порядка, индекс линейной предсказуемости c Pred MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaam4yamaaBaaaleaacaqGqbGaaeOCaiaabwgacaqG Kbaabeaaaaa@426D@ и логарифм меры нестационарности lg( R 2 ), MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaciiBaiaacEgacaGGOaGaamOuamaaCaaaleqabaGa aGOmaaaakiaacMcacaGGSaaaaa@4372@ основанные на использовании модели авторегрессии 2-го порядка, мультифрактальные параметры Δα, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeuiLdqKaeqySdeMaaiilaaaa@4177@ α * MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqySde2aaWbaaSqabeaacaGGQaaaaaaa@403C@ , α min MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqySde2aaSbaaSqaaiGac2gacaGGPbGaaiOBaaqa baaaaa@425F@ и логарифм коэффициента эксцесса lg(κ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaciiBaiaacEgacaGGOaGaeqOUdSMaaiykaaaa@42AA@ .

Десятимерный вектор параметров, характеризующих статистические свойства временного ряда внутри последовательных временных фрагментов диной 10 суток (1440 отсчетов с шагом по времени 10 мин) обозначим:

 

ζ=(En,γ, a 1 (1) ,lg σ 1 2 , c Pred ,lg( R 2 ),Δα, α * , α min ,lg(κ)). MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqOTdONaeyypa0JaaiikaiaadweacaWGUbGaaiil aiabeo7aNjaacYcacaWGHbWaa0baaSqaaiaaysW7caaIXaaabaGaaG jcVlaacIcacaaIXaGaaiykaaaakiaacYcaciGGSbGaai4zaiabeo8a ZnaaDaaaleaacaaIXaaabaGaaGOmaaaakiaacYcacaWGJbWaaSbaaS qaaiaabcfacaqGYbGaaeyzaiaabsgaaeqaaOGaaiilaiGacYgacaGG NbGaaiikaiaadkfadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaGGPaGaaiilai abfs5aejabeg7aHjaacYcacqaHXoqydaahaaWcbeqaaiaacQcaaaGc caGGSaGaeqySde2aaSbaaSqaaiGac2gacaGGPbGaaiOBaaqabaGcca GGSaGaciiBaiaacEgacaGGOaGaeqOUdSMaaiykaiaacMcacaGGUaaa aa@7149@  (12)

На рис. 6 представлены графики изменения компонент 10-мерного вектора ζ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqOTdOhaaa@3F7F@ свойств временного ряда в зависимости от положения правого конца последовательных временных окон длиной 10 суток.

ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ ВЕКТОРА СВОЙСТВ ВРЕМЕННОГО РЯДА

Сделаем попытку выделить различные состояния в 22-летней истории временного ряда наблюдений за уровнем подземных вод, используя кластерный анализ 10-мерного вектора признаков (12). Следует отметить, что отдельные компоненты вектора ζ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqOTdOhaaa@3F7F@ очевидно демонстрируют, что всю историю наблюдений можно разбить на несколько интервалов с различным поведением, например, a 1 (1) ,lg σ 1 2 , c Pred , α * ,En MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyyamaaDaaaleaacaaMe8UaaGymaaqaaiaayIW7 caGGOaGaaGymaiaacMcaaaGccaGGSaGaciiBaiaacEgacqaHdpWCda qhaaWcbaGaaGymaaqaaiaaikdaaaGccaGGSaGaam4yamaaBaaaleaa caqGqbGaaeOCaiaabwgacaqGKbaabeaakiaacYcacqaHXoqydaahaa WcbeqaaiaacQcaaaGccaGGSaGaamyraiaad6gaaaa@55D0@ . Для формального разбиения полученного облака векторов ζ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqOTdOhaaa@3F7F@ на кластеры выполним предварительную операцию понижения размерности с помощью факторного анализа. Модель факторного анализа [Harman, 1967] в рассматриваемом случае описывается формулой:

 

 

z=Λf+e, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOEaiabg2da9iabfU5amjabgwSixlaadAgacqGH RaWkcaWGLbGaaiilaaaa@46ED@

(13)

где 10-мерный вектор z получается из вектора ζ операцией нормировки, которая заключается в удалении выборочного среднего и делении на выборочную оценку стандартного отклонения для каждой компоненты вектора ζ. После выполнения операции нормировки вычисляется корреляционная матрица R zz MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOuamaaBaaaleaacaWG6bGaamOEaaqabaaaaa@40C3@ .

В формуле (13) f  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ вектор размерности q<p=10, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyCaiabgYda8iaadchacqGH9aqpcaaIXaGaaGim aiaacYcaaaa@43DC@ состоящий из скрытых факторов  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ некоторых случайных векторов, которые «управляют» значениями скалярных компонент многомерного вектора z посредством умножения на матрицу факторных нагрузок Λ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeu4MdWeaaa@3F37@ размером p строк на q столбцов. Элементы матрицы Λ=( λ jα ),j=1,...,p;α=1,...,q MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeu4MdWKaeyypa0JaaiikaiabeU7aSnaaBaaaleaa caaMe8UaamOAaiabeg7aHbqabaGccaGGPaGaaiilaiaaysW7caWGQb Gaeyypa0JaaGymaiaacYcacaGGUaGaaiOlaiaac6cacaGGSaGaamiC aiaacUdacaaMe8UaeqySdeMaeyypa0JaaGymaiaacYcacaGGUaGaai Olaiaac6cacaGGSaGaamyCaaaa@5B0B@ являются неизвестными параметрами модели, которые необходимо определить, имея выборочную оценку R zz MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOuamaaBaaaleaacaWG6bGaamOEaaqabaaaaa@40C3@ корреляционной матрицы исходных данных. Пока будем считать, что число скрытых параметров q известно. Относительно свойств случайного вектора f предполагается, что его среднее равно нулю, M{f}=0, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamytaiaacUhacaWGMbGaaiyFaiabg2da9iaaicda caGGSaaaaa@43EF@ а его ковариационная матрица единична M{f f T }= I q , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamytaiaacUhacaWGMbGaeyyXICTaamOzamaaCaaa leqabaGaamivaaaakiaac2hacqGH9aqpcaWGjbWaaSbaaSqaaiaadg haaeqaaOGaaiilaaaa@4974@ где I q MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamysamaaBaaaleaacaWGXbaabeaaaaa@3FB2@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ q-мерная единичная матрица.

 

Рис. 6. Графики 10 свойств временного ряда уровня подземных вод после компенсации влияния атмосферного давления в последовательных окнах длиной 10 суток.

 

Это условие означает ортогональность факторов (в гауссовском случае  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ их независимость). Условие равенства единице дисперсий ортогональных факторов является своего рода нормировкой, так как в противном случае этого можно добиться масштабированием элементов матрицы  Λ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeu4MdWeaaa@3F37@ . Вектор e в формуле (13) имеет ту же размерность, что и исходный вектор z и состоит из случайных величин, описывающих шум по каждой из компонент вектора z, то есть, не несущих полезной информации. Так как шумы по различным компонентам должны быть независимы, то относительно вектора e предполагается, что он центрирован и его ковариационная матрица имеет диагональный вид: M{e e T }= Ψ 2 =diag( ψ 1 2 ,...., ψ p 2 }, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamytaiaacUhacaWGLbGaeyyXICTaamyzamaaCaaa leqabaGaamivaaaakiaac2hacqGH9aqpcqqHOoqwdaahaaWcbeqaai aaikdaaaGccqGH9aqpcaqGKbGaaeyAaiaabggacaqGNbGaaiikaiab eI8a5naaDaaaleaacaaMc8UaaGymaaqaaiaaikdaaaGccaGGSaGaai Olaiaac6cacaGGUaGaaiOlaiaacYcacqaHipqEdaqhaaWcbaGaaGPa VlaadchaaeaacaaIYaaaaOGaaiyFaiaacYcaaaa@5EBE@ где ψ j 2 ,j=1,...,p MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqiYdK3aa0baaSqaaiaadQgaaeaacaaIYaaaaOGa aiilaiaaysW7caWGQbGaeyypa0JaaGymaiaacYcacaGGUaGaaiOlai aac6cacaGGSaGaamiCaaaa@4ACA@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ т.н. остаточные дисперсии или дисперсии шумов. Элементы диагональной матрицы Ψ 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeuiQdK1aaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaa@403A@ также являются параметрами модели (13).

Существуют несколько способов идентификации параметров модели (13), но среди них наиболее надежным и простым является метод минимальных остатков [Harman, 1967]. Из условий диагональности ковариационных матриц векторов f и e нетрудно получить, что в силу модели (13) ковариационная матрица вектора z равна:

 

Σ=M{z z T }=Λ Λ T + Ψ 2 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeu4OdmLaeyypa0JaamytaiaacUhacaWG6bGaaGjc VlaadQhadaahaaWcbeqaaiaadsfaaaGccaGG9bGaeyypa0Jaeu4MdW KaaGjcVlabfU5amnaaCaaaleqabaGaamivaaaakiabgUcaRiabfI6a znaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaac6caaaa@5264@

(14)

Метод минимальных остатков заключается в определении элементов матрицы Λ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeu4MdWeaaa@3F37@ из условия минимума суммы квадратов разностей между выборочными оценками и теоретическими значениями попарных коэффициентов корреляции. Тем самым, критерием близости модели к данным является близость всех теоретических коэффициентов корреляции их выборочным оценкам. Обозначим через r ij MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOCamaaBaaaleaacaaMe8UaamyAaiaadQgaaeqa aaaa@424F@ элементы матрицы R zz . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOuamaaBaaaleaacaWG6bGaamOEaaqabaGccaGG Uaaaaa@417F@ Тогда необходимо минимизировать следующую функцию от элементов матрицы факторных нагрузок:

 

Φ(Λ)= j=1 p1 i=j+1 p ( r ij α=1 q λ jα λ iα ) 2 min Λ . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeuOPdyKaaiikaiabfU5amjaacMcacqGH9aqpdaae WbqaamaaqahabaGaaiikaiaadkhadaWgaaWcbaGaaGjbVlaadMgaca WGQbaabeaakiabgkHiTmaaqahabaGaeq4UdW2aaSbaaSqaaiaadQga cqaHXoqyaeqaaaqaaiabeg7aHjabg2da9iaaigdaaeaacaWGXbaani abggHiLdaaleaacaWGPbGaeyypa0JaamOAaiabgUcaRiaaigdaaeaa caWGWbaaniabggHiLdaaleaacaWGQbGaeyypa0JaaGymaaqaaiaadc hacqGHsislcaaIXaaaniabggHiLdGccqaH7oaBdaWgaaWcbaGaamyA aiabeg7aHbqabaGccaGGPaWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaeyOKH4 6aaCbeaeaaciGGTbGaaiyAaiaac6gaaSqaaiabfU5ambqabaGccaGG Uaaaaa@70CB@

(15)

При этом на элементы матрицы Λ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeu4MdWeaaa@3F37@ должны быть наложены ограничения:

 

α=1 q λ jα 2 1,j=1,...,p, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaWaaabCaeaacqaH7oaBdaqhaaWcbaGaamOAaiabeg7a HbqaaiaaikdaaaaabaGaeqySdeMaeyypa0JaaGymaaqaaiaadghaa0 GaeyyeIuoakiabgsMiJkaaigdacaGGSaGaaGjbVlaadQgacqGH9aqp caaIXaGaaiilaiaac6cacaGGUaGaaiOlaiaacYcacaWGWbGaaiilaa aa@55FC@

(16)

вытекающие из условия равенства единице диагональных элементов теоретической матрицы корреляций (14). Стоит отметить, что задача определения матрицы Λ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeu4MdWeaaa@3F37@ независима от определения диагональной матрицы остаточных дисперсий Ψ 2 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeuiQdK1aaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaaiOlaaaa @40F6@ После того, как задача на минимум (15) при ограничениях (16) решена, остаточные дисперсии находятся автоматически:

 

ψ j 2 =1 α=1 q λ jα 2 ,j=1,...,p. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqiYdK3aa0baaSqaaiaadQgaaeaacaaIYaaaaOGa eyypa0JaaGymaiabgkHiTmaaqahabaGaeq4UdW2aa0baaSqaaiaadQ gacqaHXoqyaeaacaaIYaaaaaqaaiabeg7aHjabg2da9iaaigdaaeaa caWGXbaaniabggHiLdGccaGGSaGaaGzbVlaadQgacqGH9aqpcaaIXa Gaaiilaiaac6cacaGGUaGaaiOlaiaacYcacaWGWbGaaiOlaaaa@59ED@

(17)

После определения матрицы факторных нагрузок финальным шагом анализа является вычисление собственно реализаций ортогональных факторов  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ облака q-мерных векторов f. Наиболее простая оценка следует из условия, что вектор шумов e распределен согласно p-мерному нормальному распределению с ковариационной матрицей Ψ 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeuiQdK1aaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaa@403A@ . В этом случае оценкой максимального правдоподобия будет оценка взвешенного метода наименьших квадратов:

 

e T Ψ 2 e min f ,f= ( Λ T Ψ 2 Λ) 1 Λ T Ψ 2 z. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyzamaaCaaaleqabaGaamivaaaakiabfI6aznaa CaaaleqabaGaeyOeI0IaaGOmaaaakiaadwgacqGHsgIRdaWfqaqaai Gac2gacaGGPbGaaiOBaaWcbaGaamOzaaqabaGccaGGSaGaaGzbVlaa dAgacqGH9aqpcaGGOaGaeu4MdW0aaWbaaSqabeaacaWGubaaaOGaeu iQdK1aaWbaaSqabeaacqGHsislcaaIYaaaaOGaeu4MdWKaaiykamaa CaaaleqabaGaeyOeI0IaaGymaaaakiabfU5amnaaCaaaleqabaGaam ivaaaakiabfI6aznaaCaaaleqabaGaeyOeI0IaaGOmaaaakiaadQha caGGUaaaaa@6077@ (18)

Однако оценка (18) дает вектор общих факторов с недиагональной ковариационной матрицей. Для того, чтобы компоненты вектора факторов были ортогональны, следует применять модификацию оценки (18), предложенную в работе [Anderson, Rubin, 1956]:

 

f= ( Λ T Ψ 2 Σ Ψ 2 Λ) 1/2 Λ T Ψ 2 z,Σ=Λ Λ T + Ψ 2 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOzaiabg2da9iaacIcacqqHBoatdaahaaWcbeqa aiaadsfaaaGccqqHOoqwdaahaaWcbeqaaiabgkHiTiaaikdaaaGccq qHJoWucqqHOoqwdaahaaWcbeqaaiabgkHiTiaaikdaaaGccqqHBoat caGGPaWaaWbaaSqabeaacqGHsisldaWcgaqaaiaaigdaaeaacaaIYa aaaaaakiabfU5amnaaCaaaleqabaGaamivaaaakiabfI6aznaaCaaa leqabaGaeyOeI0IaaGOmaaaakiaadQhacaGGSaGaaGzbVlabfo6atj abg2da9iabfU5amjabfU5amnaaCaaaleqabaGaamivaaaakiabgUca RiabfI6aznaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaac6caaaa@63E3@   (19)

Целью получения реализаций вектора общих факторов f является снижение размерности задачи [Айвазян и др., 1989]. Вопрос о выборе числа q общих факторов  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ размерности вектора f является самым трудным в факторном анализе. Для его решения был предложен критерий Риппе [Lawley, Maxwell, 1971], который опирается на предположение о нормальности распределения векторов z. Однако этот критерий показал очень сильную чувствительность к малым отклонениям от нормальности, что делает его практически неприменимым. Если отсутствует априорная информация о числе q, то можно получить оценку максимально допустимого числа общих факторов, начав решать задачу с минимального q=1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyCaiabg2da9iaaigdaaaa@4079@ и постепенно увеличивать q на единицу до тех пор, пока модель факторного анализа не выродится (общее число параметров станет избыточным). После этого можно взять в качестве q последнее максимальное значение перед вырождением задачи. Вырождение задачи факторного анализа называется «случаем Хейвуда» [Harman, 1967] и заключается в обнулении остаточной дисперсии ψ j 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqiYdK3aa0baaSqaaiaadQgaaeaacaaIYaaaaaaa @4168@ для одного или нескольких компонент вектора z. Практически вместо обнуления наблюдается резкое уменьшение остаточной дисперсии для той или иной компоненты по сравнению с прочими (на несколько порядков).

Именно этот метод выбора q использовался в нашем случае, и он определил максимальное допустимое значение числа общих ортогональных факторов q=4 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyCaiabg2da9iaaisdaaaa@407C@ . На рис. 7 представлены графики 4-х общих ортогональных факторов для множества 10-мерных векторов свойств временного ряда уровня подземных вод после компенсации влияния атмосферного давления.

 

Рис. 7. Графики 4 ортогональных общих факторов набора 10 свойств временного ряда уровня подземных вод после компенсации влияния атмосферного давления в последовательных окнах длиной 10 суток.

 

КЛАСТЕРНЫЙ АНАЛИЗ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ОБЩИХ ФАКТОРОВ

После понижения размерности множества векторов статических свойств последовательности временных интервалов временного ряда путем перехода к рассмотрению 4 ортогональных общих факторов f, выделим кластеры в пространстве общих факторов, применив популярный метод k-средних (от же ISODATA) [Айвазян и др., 1989; Duda, Hart, 1973]. В нашем случае объекты классификации представляют собой точки в 4-мерном евклидовом пространстве, причем каждая компонента этих векторов имеет нулевое среднее и единичное стандартное отклонение. Поэтому логично ввести между векторами обычное евклидово расстояние. Рассмотрим облако 4-мерных векторов f общих ортогональных факторов. Внутри минимального параллелепипеда, содержащего классифицируемые точки f, случайным образом располагаются центры пробных кластеров, причем число q2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyCaiaaykW7cqGHLjYScaaMc8UaaGOmaaaa@4450@ таких кластеров фиксировано. Обозначим символом Γ начальное случайное положение пробных кластеров. Для заданного расположения центров кластеров производится пробное разбиение множества точек по принципу минимума расстояния до того или иного центра. Пусть c k ,k=1,...,q MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaam4yamaaBaaaleaacaWGRbaabeaakiaacYcacaaM e8Uaam4Aaiabg2da9iaaigdacaGGSaGaaiOlaiaac6cacaGGUaGaai ilaiaadghaaaa@492A@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ вектора центров кластеров, n k MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOBamaaBaaaleaacaWGRbaabeaaaaa@3FD1@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ число точек в k-ом кластере, k=1 q n k = M MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaWaaabCaeaacaWGUbWaaSbaaSqaaiaadUgaaeqaaOGa aGjcVlabg2da9aWcbaGaam4Aaiabg2da9iaaigdaaeaacaWGXbaani abggHiLdGccaaMc8Uaamytaaaa@4AC2@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ общее число точек в разбиваемом множестве. В нашем случае M=746 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamytaiabg2da9iaaiEdacaaI0aGaaGOnaaaa@41D9@ , что соответствует числу последовательных временных интервалов длиной 10 суток, которые содержат не более 2% восполненных данных на местах пропусков. Пусть B k MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOqamaaBaaaleaacaWGRbaabeaaaaa@3FA5@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ множество векторов, принадлежащих k-му кластеру. Вычислим вектора центров тяжестей получившихся кластеров: r k = f B k ξ / n k MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOCamaaBaaaleaacaWGRbaabeaakiaaykW7cqGH 9aqpcaaMc8+aaabuaeaacqaH+oaEaSqaaiaadAgacqGHiiIZcaWGcb WaaSbaaWqaaiaadUgaaeqaaaWcbeqdcqGHris5aOGaai4laiaad6ga daWgaaWcbaGaam4Aaaqabaaaaa@4F0B@ . Если для всех c k = r k MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaam4yamaaBaaaleaacaWGRbaabeaakiaaykW7cqGH 9aqpcaaMc8UaamOCamaaBaaaleaacaWGRbaabeaaaaa@45FF@ , то разбиение завершается. В противном случае вектора центров кластеров c k MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaam4yamaaBaaaleaacaWGRbaabeaaaaa@3FC6@ перемещаются в центры тяжести r k , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaaGPaVlaadkhadaWgaaWcbaGaam4AaaqabaGccaGG Saaaaa@421A@ производится новое разбиение на кластеры, вычисляются новые центры тяжестей, проверяется условие завершения разбиения и т.д. Процедура быстро сходится. Однако то разбиение на кластеры, которое получилось по завершению итераций, зависит от случайных положений центров пробных кластеров Γ в самом начале итераций. Качество финального разбиения оценивается критерием компактности кластеров:

 

 

J(q|Γ)= k=1 q f B k |f c k | 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOsaiaacIcacaWGXbGaaiiFaiaaykW7cqqHtoWr caGGPaGaaGPaVlabg2da9iaaykW7daaeWbqaamaaqafabaGaaiiFai aadAgacqGHsislcaWGJbWaaSbaaSqaaiaadUgaaeqaaOGaaiiFamaa CaaaleqabaGaaGOmaaaaaeaacaWGMbGaeyicI4SaamOqamaaBaaame aacaWGRbaabeaaaSqab0GaeyyeIuoaaSqaaiaadUgacqGH9aqpcaaI XaaabaGaamyCaaqdcqGHris5aaaa@5C1D@ .

(20)

Для заданного числа кластеров q естественно искать такое случайное начальное расположение Γ, для которого величина (20) минимальна. Это достигается методом Монте-Карло: случайные эксперименты по вбрасыванию центров пробных кластеров внутрь облака точек повторяются большое число раз (ниже, при анализе конкретных данных, мы использовали 104 попыток), после чего выбирается то разбиение, для которого реализовался минимум по Γ.

Далее возникает задача определения оптимального числа кластеров, на которое следует разбить множество признаков. Пусть J 0 (q)= min Γ J(q|Γ). MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOsamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiaacIcacaWG XbGaaiykaiaaykW7cqGH9aqpcaaMc8+aaCbeaeaaciGGTbGaaiyAai aac6gaaSqaaiabfo5ahbqabaGccaWGkbGaaiikaiaadghacaGG8bGa aGPaVlabfo5ahjaacMcacaaMc8UaaiOlaaaa@53B7@ Если последовательно уменьшать число пробных кластеров q от некоторого достаточно большого значения до минимального q=2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyCaiabg2da9iaaikdaaaa@407A@ , то величина J 0 (q) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOsamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiaacIcacaWG XbGaaiykaaaa@41D0@ будет монотонно увеличиваться, однако при оптимальном значении кластеров (если такое существует) она будет претерпевать излом. Более эффективный метод выявления оптимального числа кластеров состоит в использовании псевдо-F-статистики [Vogel, Wong, 1979], заимствованного из дисперсионного анализа:

 

PFS(q)=(Mq) k=1 q n k | c k r 0 | 2 /((q1) J 0 (q)) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiuaiaadAeacaWGtbGaaiikaiaadghacaGGPaGa eyypa0Jaaiikaiaad2eacqGHsislcaWGXbGaaiykaiabgwSixpaaqa habaGaamOBamaaBaaaleaacaWGRbaabeaakiabgwSixlaacYhacaWG JbWaaSbaaSqaaiaadUgaaeqaaOGaeyOeI0IaamOCamaaBaaaleaaca aIWaaabeaakiaacYhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaabaGaam4Aaiab g2da9iaaigdaaeaacaWGXbaaniabggHiLdGccaGGVaGaaiikaiaacI cacaWGXbGaeyOeI0IaaGymaiaacMcacqGHflY1caWGkbWaaSbaaSqa aiaaicdaaeqaaOGaaiikaiaadghacaGGPaGaaiykaaaa@6858@ (21)

где r 0 = f /M MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOCamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiaaykW7cqGH 9aqpcaaMc8+aaSGbaeaadaaeabqaaiaadAgaaSqabeqaniabggHiLd aakeaacaWGnbaaaaaa@47B6@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ общий центр тяжести всего классифицируемого множества точек. Оптимальному значению числа кластеров соответствует точка максимума функции (21).

На рис. 8 представлена зависимость псевдо-F-статистики от числа пробных кластеров, из которой видно, что оптимальное число кластеров в пространстве ортогональных общих факторов равно 5.

 

Рис. 8. График псевдо-F-статистики для кластеризации 4 ортогональных общих факторов.

 

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПЕРЕХОДОВ МЕЖДУ КЛАСТЕРАМИ

На рис. 9а, 9б показаны последовательность переходов между выделенными 5 состояниями и последовательность 279 событий смены номера кластера. Исследуем вопрос о наличии периодических составляющих интенсивности этих переходов. Ниже используется метод выделения периодических компонент точечного процесса, основанный на вычислении разности между максимальными значениями логарифмических функций правдоподобия для двух моделей: пуассоновского процесса с постоянной интенсивностью и процессом, имеющем периодическую составляющую, предложенный в работе [Любушин и др., 1998].

 

Рис. 9. (а) – Последовательность 5 кластеров в пространстве 4-х общих факторов статистических свойств временных фрагментов длиной 10 суток временного ряда уровня подземных вод после компенсации влияния атмосферного давления (рис. 7); (б) – последовательность 279 переходов между кластерами.

 

Пусть t i ,i=1,...,N MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiDamaaBaaaleaacaWGPbaabeaakiaacYcacaaM e8UaamyAaiabg2da9iaaigdacaGGSaGaaiOlaiaac6cacaGGUaGaai ilaiaad6eaaaa@4914@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ времена последовательности событий, наблюдаемых на интервале (0,T]. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaaiikaiaaicdacaGGSaGaaGjbVlaaysW7caWGubGa aiyxaiaac6caaaa@455E@ Рассмотрим следующую модель интенсивности, содержащую периодическую компоненту:

 

 

λ(t)=μ(1+acos(ωt+φ)), MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeq4UdWMaaiikaiaadshacaGGPaGaeyypa0JaeqiV d0MaaiikaiaaigdacqGHRaWkcaWGHbGaci4yaiaac+gacaGGZbGaai ikaiabeM8a3jaadshacqGHRaWkcqaHgpGAcaGGPaGaaiykaiaacYca aaa@52A1@

(22)

где: частота ω, амплитуда a,0a1, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyyaiaacYcacaaMe8UaaGimaiabgsMiJkaaykW7 caWGHbGaaGPaVlabgsMiJkaaykW7caaIXaGaaiilaaaa@4BFB@ фазовый угол φ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaccaqcLbwaqa aaaaaaaaWdbiab=z8aQbaa@38A5@ , φ[0,2π] MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqOXdOMaeyicI4Saai4waiaaicdacaGGSaGaaGOm aiabec8aWjaac2faaaa@46A6@ и множитель μ>0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqiVd0MaeyOpa4JaaGimaaaa@413A@ (описывающий пуассоновскую часть интенсивности) являются параметрами модели. Таким образом, пуассоновская часть интенсивности модулируется гармоническим колебанием.

Зафиксируем какое-то значение частоты ω. Логарифмическая функция правдоподобия модели (22) в этом случае для серии наблюденных событий равна:

 

 

lnL(μ,a,φ|ω)= t i ln(λ( t i )) 0 T λ(u)du = =Nln(μ)+ t i ln(1+acos(ω t i +φ)) μT μa ω [sin(ωT+φ)sin(φ)]. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGceaGabeaaciGGSbGaaiOBaiaadYeacaGGOaGaeqiVd0Ma aiilaiaadggacaGGSaGaeqOXdOMaaiiFaiabeM8a3jaacMcacqGH9a qpdaaeqbqaaiGacYgacaGGUbGaaiikaiabeU7aSjaacIcacaWG0bWa aSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaaiykaiaacMcaaSqaaiaadshadaWgaa adbaGaamyAaaqabaaaleqaniabggHiLdGccqGHsisldaWdXbqaaiab eU7aSjaacIcacaWG1bGaaiykaiaadsgacaWG1baaleaacaaIWaaaba GaamivaaqdcqGHRiI8aOGaeyypa0dabaGaeyypa0JaamOtaiGacYga caGGUbGaaiikaiabeY7aTjaacMcacqGHRaWkdaaeqbqaaiGacYgaca GGUbGaaiikaiaaigdacqGHRaWkcaWGHbGaci4yaiaac+gacaGGZbGa aiikaiabeM8a3jaadshadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGccqGHRaWkcq aHgpGAcaGGPaGaaiykaaWcbaGaamiDamaaBaaameaacaWGPbaabeaa aSqab0GaeyyeIuoakiabgkHiTaqaaiabgkHiTiaaysW7cqaH8oqBca WGubGaeyOeI0YaaSaaaeaacqaH8oqBcaWGHbaabaGaeqyYdChaaiaa cUfaciGGZbGaaiyAaiaac6gacaGGOaGaeqyYdCNaamivaiabgUcaRi abeA8aQjaacMcacqGHsislciGGZbGaaiyAaiaac6gacaGGOaGaeqOX dOMaaiykaiaac2facaGGUaaaaaa@9E89@

(23)

 

Взяв максимум выражения (23) по отношению к параметру μ нетрудно найти что:

 

μ= μ ^ (a,φ|ω)= N T+a(sin(ωT+φ)sin(φ))/ω MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqiVd0Maeyypa0ZaaCbiaeaacqaH8oqBaSqabeaa ieaacGaGacaaadWFEbaaaOGaaiikaiaadggacaGGSaGaeqOXdOMaai iFaiabeM8a3jaacMcacqGH9aqpdaWcaaqaaiaad6eaaeaacaWGubGa ey4kaSIaamyyaiaacIcaciGGZbGaaiyAaiaac6gacaGGOaGaeqyYdC NaamivaiabgUcaRiabeA8aQjaacMcacqGHsislciGGZbGaaiyAaiaa c6gacaGGOaGaeqOXdOMaaiykaiaacMcacaGGVaGaeqyYdChaaaaa@6564@ . (24)

Подставляя (24) в формулу (23) получаем:

 

ln(L( μ ^ ,a,φ|ω))= t i ln(1+acos(ω t i +φ))+ +Nln( μ ^ (a,φ|ω))N. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGceaGabeaaciGGSbGaaiOBaiaacIcacaWGmbGaaiikamaa xacabaGaeqiVd0galeqabaacbaGaiaiGaaaWa8NxaaaakiaacYcaca WGHbGaaiilaiabeA8aQjaacYhacqaHjpWDcaGGPaGaaiykaiabg2da 9maaqafabaGaciiBaiaac6gacaGGOaGaaGymaiabgUcaRiaadggaci GGJbGaai4BaiaacohacaGGOaGaeqyYdCNaamiDamaaBaaaleaacaWG PbaabeaaaeaacaWG0bWaaSbaaWqaaiaadMgaaeqaaaWcbeqdcqGHri s5aOGaey4kaSIaeqOXdOMaaiykaiaacMcacqGHRaWkaeaacWaGacaa 08VHRaWkcGaGacaa08=GobGakaiGaaan=liBaiacaciaaqZ=c6gacG aGacaa08VGOaWaiaiGaaan=FbiaeacaciaaqZ=cWaGacaa08pH8oqB aSqajaiGaaan=hacaciaaqZ=cGaG09NxaaaakiacaciaaqZ=cIcacG aGacaa08=GHbGaiaiGaaan=lilaiadaciaaqZ=eA8aQjacaciaaqZ= cYhacWaGacaa08pHjpWDcGaGacaa08VGPaGaiaiGaaan=lykaiadac iaaqZ=gkHiTiacaciaaqZ=d6eacGaGacaaa9VGUaaaaaa@A6F1@ (25)

 

Приращение логарифмической функции правдоподобия вследствие рассмотрения более богатой, чем для чисто случайного потока событий, модели интенсивности с гармонической компонентой с заданной частотой ω равно:

 

 

ΔlnL(a,φ|ω)= t i ln(1+acos(ω t i +φ))+ +Nln( μ ^ (a,φ|ω)/ μ ^ 0 ). MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGceaGabeaacqqHuoarciGGSbGaaiOBaiaadYeacaGGOaGa amyyaiaacYcacqaHgpGAcaGG8bGaeqyYdCNaaiykaiabg2da9maaqa fabaGaciiBaiaac6gacaGGOaGaaGymaiabgUcaRiaadggaciGGJbGa ai4BaiaacohacaGGOaGaeqyYdCNaamiDamaaBaaaleaacaWGPbaabe aaaeaacaWG0bWaaSbaaWqaaiaadMgaaeqaaaWcbeqdcqGHris5aOGa ey4kaSIaeqOXdOMaaiykaiaacMcacqGHRaWkaeaacWaGacaa47VHRa WkcGaGacaa47=GobGakaiGaaa++liBaiacaciaaGV=c6gacGaGacaa 47VGOaWaiaiGaaa++FbiaeacaciaaGV=cWaGacaa47pH8oqBaSqaja iGaaa++hacaciaaGV=ieaacGaG48NxaaaakiacaciaaGV=cIcacGaG acaa47=GHbGaiaiGaaa++lilaiadaciaaGV=eA8aQjacaciaaGV=cY hacWaGacaa47pHjpWDcGaGacaa47VGPaGaiaiGaaa++l4lamacacia aGV=xacabGaGacaa47VamaiGaaa++tiVd0galeqcaciaaGV=bGaGac aa47Vaiaio=5faaaGcdGaGacaa47=gaaWcbGaGacaa47VaiaiGaaa+ +JimaaqajaiGaaa++dGccGaGacaa47VGPaGaiaiGaaae=lOlaaaaaa@CBEA@

(26)

Пусть

 

R(ω)= max a,φ ΔlnL(a,φ|ω),0a1,φ[0,2π] MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOuaiaacIcacqaHjpWDcaGGPaGaeyypa0ZaaCbe aeaaciGGTbGaaiyyaiaacIhaaSqaaiaadggacaGGSaGaeqOXdOgabe aakiabfs5aejGacYgacaGGUbGaamitaiaacIcacaWGHbGaaiilaiab eA8aQjaacYhacqaHjpWDcaGGPaGaaiilaiaaysW7caaMe8UaaGimai abgsMiJkaaykW7caWGHbGaaGPaVlabgsMiJkaaykW7caaIXaGaaiil aiaaysW7cqaHgpGAcqGHiiIZcaGGBbGaaGimaiaacYcacaaIYaGaeq iWdaNaaiyxaaaa@6E14@ . (27)

Функция (27) может рассматриваться как обобщение спектра для последовательности событий. График этой функции показывает насколько «более выгодна» периодическая модель интенсивности по сравнению с чисто случайной моделью. Максимальные значения функции (27) выделяют частоты, присутствующие в потоке событий. Как показано в работе [Любушин и др., 1998]:

 

 

P{R(ω)<x}=1 e x ,N. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaciiuaiaacUhacaWGsbGaaiikaiabeM8a3jaacMca cqGH8aapcaWG4bGaaiyFaiabg2da9iaaigdacqGHsislcaWGLbWaaW baaSqabeaacqGHsislcaWG4baaaOGaaiilaiaaywW7caWGobGaeyOK H4QaeyOhIuQaaiOlaaaa@5370@

(28)

Асимптотическое распределение (28) можно использовать для оценки статистической значимости максимумов функции (27). Из формулы (28) следует, что вероятность превышения величиной (27) порога 4 равна 0.02, то есть асимптотически значимость частот ω, для которых R(ω)>4, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOuaiaacIcacqaHjpWDcaGGPaGaeyOpa4JaaGin aiaacYcaaaa@4435@ равна 98%.

Непосредственное применение изложенного метода спектрального анализа последовательности событий, представленной на рис. 9б затрудняется наличием достаточно длинных пропусков данных в 1995 г и в конце 2010 г. Такие пропуски данных могут привести к появлению ложных низкочастотных компонент. Поэтому рассмотрим последовательность 217 переходов между кластерами лишь для интервала времени от 22.06.1995 до 10.09.2010 гг., когда не было длинных пропусков регистрации. На рис. 10 представлен график функции (27), вычисленной для 2000 пробных значений периодов в равномерной логарифмической шкале от 20 до 1000 суток. Из этого графика следует, что у переходов между кластерами есть 2 значимых периода (с вероятностью принятия гипотезы о существовании таких периодичностей не менее 98%) с периодами 46 и 275 суток.

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ СВЯЗИ С СИЛЬНЕЙШИМИ ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЯМИ

Частотные оценки вероятностей нахождения в каждом из выделенных состояний, представленных на рис. 9а, равны 0.217, 0.120, 0.341, 0.055, 0.267, соответственно, для состояний 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ 5. Таким образом, 4-е состояние можно назвать аномальным, поскольку вероятность нахождение в этом кластере равна 5.5%. Проверим гипотезу о том, что пребывание свойств временного ряда в этом аномальном кластере может быть как-то связано с последовательностью 27 сильнейших землетрясений с магнитудой не менее 8, происшедших в течение 22 лет наблюдений, 1993 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ 2015 гг. На рис. 11а, 11б вертикальными штрихами представлены 2 последовательности событий: 34 момента времени, соответствующие правому концу 10-суточного временного окна, после которого свойства ряда наблюдений переходят в 4-й кластер, рис. 11а и 27 сильнейших землетрясений с магнитудой не менее 8, происшедших в течение 22 лет наблюдений, 1993 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ 2015 гг. (рис. 11б).

Для проверки гипотезы применим метод матриц влияния, основанный на линейной модели взаимодействия между потоками событий. Этот метод был предложен в работе [Любушин, Писаренко, 1993; Любушин, 2007]), где рассматривалась модель взаимодействия последовательностей сейсмических событий из нескольких регионов и использования функции влияния события, затухающей по степенному закону, используемому в модели ETAS (epidemic-type aftershock sequence) [Ogata, Katsura, 1993], причем показатель степенного закона затухания входит в список определяемых параметров модели. Ниже метод упрощен и изложен для частного случая 2-х последовательностей событий и использования экспоненциального закона затухания функции влияния события.

Пусть t j (α) ,j=1,..., N α ;α=1,2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiDamaaDaaaleaacaaMc8UaamOAaaqaaiaacIca cqaHXoqycaGGPaaaaOGaaiilaiaaysW7caWGQbGaeyypa0JaaGymai aacYcacaGGUaGaaiOlaiaac6cacaGGSaGaamOtamaaBaaaleaacqaH XoqyaeqaaOGaai4oaiaaysW7cqaHXoqycqGH9aqpcaaIXaGaaiilai aaikdaaaa@5686@ представляют собой моменты времен 2-х потоков событий. Представим интенсивность какого-нибудь процесса в виде:

 

 

λ (α) (t)= b 0 (α) + β=1 2 b β (α) g (β) (t) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaaGjbVlabeU7aSnaaCaaaleqabaGaaiikaiabeg7a HjaacMcaaaGccaGGOaGaamiDaiaacMcacqGH9aqpcaWGIbWaa0baaS qaaiaaykW7caaIWaaabaGaaiikaiabeg7aHjaacMcaaaGccaaMc8Ua ey4kaSIaaGPaVpaaqahabaGaamOyamaaDaaaleaacqaHYoGyaeaaca GGOaGaeqySdeMaaiykaaaakiaadEgadaahaaWcbeqaaiaacIcacqaH YoGycaGGPaaaaOGaaiikaiaadshacaGGPaaaleaacqaHYoGycqGH9a qpcaaIXaaabaGaaGOmaaqdcqGHris5aaaa@6462@ ,

(29)

где: b 0 (α) 0, b β (α) 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOyamaaDaaaleaacaaMc8UaaGimaaqaaiaacIca cqaHXoqycaGGPaaaaOGaeyyzImRaaGimaiaacYcacaaMe8UaaGjbVl aadkgadaqhaaWcbaGaaGPaVlabek7aIbqaaiaacIcacqaHXoqycaGG PaaaaOGaeyyzImRaaGimaaaa@5428@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ параметры; g (β) (t) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaam4zamaaCaaaleqabaGaaiikaiabek7aIjaacMca aaGccaGGOaGaamiDaiaacMcacaaMc8oaaa@45BB@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ функция влияния событий потока с номером β. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqOSdiMaaiOlaaaa@4014@ Представим функцию влияния события в виде:

 

 

g (β) (t)= t j (β) <t exp((t t j (β) )/τ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaam4zamaaCaaaleqabaGaaiikaiabek7aIjaacMca aaGccaGGOaGaamiDaiaacMcacqGH9aqpcaaMe8+aaabuaeaaciGGLb GaaiiEaiaacchacaGGOaGaeyOeI0IaaiikaiaadshacqGHsislcaWG 0bWaa0baaSqaaiaadQgaaeaacaGGOaGaeqOSdiMaaiykaaaakiaacM cacaGGVaGaeqiXdqNaaGPaVlaacMcaaSqaaiaadshadaqhaaadbaGa amOAaaqaaiaacIcacqaHYoGycaGGPaaaaSGaeyipaWJaamiDaaqab0 GaeyyeIuoaaaa@617A@ ,

(30)

где τ>0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqiXdqNaeyOpa4JaaGimaaaa@4148@ является характерным временным масштабом рассмотрения взаимодействия между потоками событий. Таким образом, в соответствии с формулой (30), вес события с номером j становится ненулевым для времен t> t j (β) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiDaiaaykW7cqGH+aGpcaWG0bWaa0baaSqaaiaa dQgaaeaacaGGOaGaeqOSdiMaaiykaaaaaaa@465C@ и экспоненциально затухает с характерным временем τ по мере возрастания текущего времени t. Сумма всех таких затухающих экспонент образует функцию влияния g (β) (t) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaam4zamaaCaaaleqabaGaaiikaiabek7aIjaacMca aaGccaGGOaGaamiDaiaacMcaaaa@4430@ потока с номером β. Параметр b β (α) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOyamaaDaaaleaacqaHYoGyaeaacaGGOaGaeqyS deMaaiykaaaaaaa@436E@ является масштабирующим множителем и именно он определяет степень влияния потока β на поток α: βα MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqOSdiMaeyOKH4QaeqySdegaaa@42EE@ . Параметр b α (α) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOyamaaDaaaleaacqaHXoqyaeaacaGGOaGaeqyS deMaaiykaaaaaaa@436C@ определяет степень влияния потока α на самого себя (самовозбуждение), а параметр b 0 (α) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOyamaaDaaaleaacaaMc8UaaGimaaqaaiaacIca cqaHXoqycaGGPaaaaaaa@4412@ отражает чисто случайную компоненту интенсивности, для которой функция влияния постоянна и тождественно равна 1.

Зафиксируем параметр τ и рассмотрим задачу определения параметров b 0 (α) , b β (α) . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOyamaaDaaaleaacaaMc8UaaGimaaqaaiaacIca cqaHXoqycaGGPaaaaOGaiWfGcYcacaaMe8UaamOyamaaDaaaleaaca aMc8UaeqOSdigabaGaaiikaiabeg7aHjaacMcaaaGccaGGUaaaaa@4F31@ Логарифмическая функция правдоподобия для нестационарного пуассоновского процесса равна [Cox, Lewis, 1966]:

ln( L α )= j=1 N α ln( λ (α) ( t j (α) )) 0 T λ (α) (s)ds ,α=1,2, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbiqaaq0eciGGSbGaaiOBaiaacIcacaWGmbWaaSbaaSqa aiabeg7aHbqabaGccaGGPaGaeyypa0ZaaabCaeaaciGGSbGaaiOBai aacIcacqaH7oaBdaahaaWcbeqaaiaacIcacqaHXoqycaGGPaaaaOGa aiikaiaadshadaqhaaWcbaGaamOAaaqaaiaacIcacqaHXoqycaGGPa aaaOGaaiykaiaacMcacqGHsisldaWdXbqaaiabeU7aSnaaCaaaleqa baGaaiikaiabeg7aHjaacMcaaaGccaGGOaGaam4CaiaacMcacaWGKb Gaam4CaaWcbaGaaGimaaqaaiaadsfaa0Gaey4kIipaaSqaaiaadQga cqGH9aqpcaaIXaaabaGaamOtamaaBaaameaacqaHXoqyaeqaaaqdcq GHris5aOGaaiilaiaaywW7cqaHXoqycqGH9aqpcaaIXaGaaiilaiaa ikdacaGGSaaaaa@70E7@   (31)

где [0,T] MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaai4waiaaicdacaGGSaGaamivaiaac2faaaa@41C4@ есть интервал наблюдения. Таким образом, необходимо найти максимум функции (31) по отношению к параметрам b 0 (α) , b β (α) . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOyamaaDaaaleaacaaMc8UaaGimaaqaaiaacIca cqaHXoqycaGGPaaaaOGaiWfGcYcacaaMe8UaamOyamaaDaaaleaaca aMc8UaeqOSdigabaGaaiikaiabeg7aHjaacMcaaaGccaGGUaaaaa@4F31@ Принимая во внимание формулу (29) и используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно получить следующее выражение:

 

b 0 (α) ln( L α ) b 0 (α) + β=1 2 b β (α) ln( L α ) b β (α) = N α 0 T λ (α) (s)ds MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOyamaaDaaaleaacaaMc8UaaGimaaqaaiaacIca cqaHXoqycaGGPaaaaOWaaSaaaeaacqaHciITciGGSbGaaiOBaiaacI cacaWGmbWaaSbaaSqaaiabeg7aHbqabaGccaGGPaaabaGaeqOaIyRa aGjcaiaayIaacaWGIbWaa0baaSqaaiaaykW7caaIWaaabaGaaiikai abeg7aHjaacMcaaaaaaOGaey4kaSYaaabCaeaacaWGIbWaa0baaSqa aiabek7aIbqaaiaacIcacqaHXoqycaGGPaaaaOWaaSaaaeaacqaHci ITciGGSbGaaiOBaiaacIcacaWGmbWaaSbaaSqaaiabeg7aHbqabaGc caGGPaaabaGaeqOaIyRaaGjcaiaayIaacaWGIbWaa0baaSqaaiabek 7aIbqaaiaacIcacqaHXoqycaGGPaaaaaaaaeaacqaHYoGycqGH9aqp caaIXaaabaGaaGOmaaqdcqGHris5aOGaeyypa0JaamOtamaaBaaale aacqaHXoqyaeqaaOGaeyOeI0Yaa8qCaeaacqaH7oaBdaahaaWcbeqa aiaacIcacqaHXoqycaGGPaaaaOGaaiikaiaadohacaGGPaGaamizai aadohaaSqaaiaaicdaaeaacaWGubaaniabgUIiYdaaaa@82C6@ (32)

Поскольку параметры b 0 (α) , b β (α) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOyamaaDaaaleaacaaMc8UaaGimaaqaaiaacIca cqaHXoqycaGGPaaaaOGaiWfGcYcacaaMe8UaamOyamaaDaaaleaaca aMc8UaeqOSdigabaGaaiikaiabeg7aHjaacMcaaaaaaa@4E75@ должны быть неотрицательными, то каждый член в левой части формулы (32) равен нулю в точке максимума функции (31)  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ либо в силу необходимых условий экстремума (если параметры положительны), либо, если максимума достигается на границе, то сами параметры равны нулю. Следовательно, в точке максимума логарифмической функции правдоподобия (31) выполняется равенство:

 

 

0 T λ (α) (s)ds= N α MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaWaa8qCaeaacqaH7oaBdaahaaWcbeqaaiaacIcacqaH XoqycaGGPaaaaOGaaiikaiaadohacaGGPaGaamizaiaadohacqGH9a qpcaWGobWaaSbaaSqaaiabeg7aHbqabaaabaGaaGimaaqaaiaadsfa a0Gaey4kIipaaaa@4E6B@ .

(33)

Подставим выражение (29) в (33) и разделим на длину интервала наблюдения. Тогда получим другой вид формулы (33):

 

 

b 0 (α) + β=1 m b β (α) g ¯ (β) = λ 0 (α) N α T MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOyamaaDaaaleaacaaMc8UaaGimaaqaaiaacIca cqaHXoqycaGGPaaaaOGaey4kaSYaaabCaeaacaWGIbWaa0baaSqaai abek7aIbqaaiaacIcacqaHXoqycaGGPaaaaOGaeyyXICTabm4zayaa raWaaWbaaSqabeaacaGGOaGaeqOSdiMaaiykaaaakiabg2da9iabeU 7aSnaaDaaaleaacaaMc8UaaGimaaqaaiaacIcacqaHXoqycaGGPaaa aOGaeyyyIO7aaSaaaeaacaWGobWaaSbaaSqaaiabeg7aHbqabaaake aacaWGubaaaaWcbaGaeqOSdiMaeyypa0JaaGymaaqaaiaad2gaa0Ga eyyeIuoaaaa@6552@ ,

(34)

где g ¯ (β) = 1 T 0 T g (β) (s)ds MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGabm4zayaaraWaaWbaaSqabeaacaGGOaGaeqOSdiMa aiykaaaakiabg2da9maalaaabaGaaGymaaqaaiaadsfaaaWaa8qCae aacaWGNbWaaWbaaSqabeaacaGGOaGaeqOSdiMaaiykaaaakiaacIca caWGZbGaaiykaiaadsgacaWGZbaaleaacaaIWaaabaGaamivaaqdcq GHRiI8aaaa@50EB@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ среднее значение функции влияния. Подставляя b 0 (α) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOyamaaDaaaleaacaaMc8UaaGimaaqaaiaacIca cqaHXoqycaGGPaaaaaaa@4412@ из (34) в (31), получим следующую задачу на максимум, эквивалентную задаче максимизации (31):

Φ (α) ( b 1 (α) , b 2 (α) )= j=1 N α ln( λ 0 (α) + β=1 2 b β (α) Δ g (β) ( t j (α) ))max , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeuOPdy0aaWbaaSqabeaacaGGOaGaeqySdeMaaiyk aaaakiaaygW7caGGOaGaamOyamaaDaaaleaacaaIXaaabaGaaiikai abeg7aHjaacMcaaaGccaaMb8UaaiilaiaadkgadaqhaaWcbaGaaGOm aaqaaiaacIcacqaHXoqycaGGPaaaaOGaaiykaiabg2da9macCbieWb qaiWfGcOaxakiBaiacCbOGUbGaiWfGcIcacWaxas4UdW2aiWfGDaaa leacCbOaiWfGykW7cGaxaIimaaqaiWfGcGaxakikaiadCbiHXoqycG axakykaaaakiacCbiMb8UamWfGgUcaRiacCbiMb8+aiWfGqahabGax akacCb4GIbWaiWfGDaaaleacCbOamWfGek7aIbqaiWfGcGaxakikai adCbiHXoqycGaxakykaaaakiacCbiMb8UamWfGfs5aejacCb4GNbWa iWfGCaaaleqcCbyaiWfGcGaxakikaiadCbiHYoGycGaxakykaaaaki acCb4La8UaiWfGcIcacGaxaoiDamacCbyhaaWcbGaxakacCb4GQbaa bGaxakacCbOGOaGamWfGeg7aHjacCbOGPaaaaOGaiWfGcMcacGaxak ykaiad4aOHsgIRcGaxaIzaVlacCb4La8UakWfGc2gacGaxakyyaiac CbOG4baaleacCbOamWfGek7aIjadCbOH9aqpcGaxaIymaaqaiWfGcG axaIOmaaqdcWaxaAyeIuoaaSqaiWfGcGaxaoOAaiadCbOH9aqpcGax aIymaaqaiWfGcGaxaoOtamacCb4gaaadbGaxakadCbiHXoqyaeqcCb iaa0GamWfGggHiLdGccGaxakilaaaa@CCA5@  (35)

где Δ g (β) (t)= g (β) (t) g ¯ (β) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeuiLdqKaam4zamaaCaaaleqabaGaaiikaiabek7a IjaacMcaaaGccaGGOaGaamiDaiaacMcacqGH9aqpcaWGNbWaaWbaaS qabeaacaGGOaGaeqOSdiMaaiykaaaakiaacIcacaWG0bGaaiykaiab gkHiTiqadEgagaqeamaaCaaaleqabaGaaiikaiabek7aIjaacMcaaa aaaa@5223@ , при ограничениях:

 

 

b 1 (α) 0, b 2 (α) 0, β=1 2 b β (α) g ¯ (β) λ 0 (α) . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOyamaaDaaaleaacaaIXaaabaGaaiikaiabeg7a HjaacMcaaaGccqGHLjYScaaIWaGaaiilaiaaysW7caaMe8UaamOyam aaDaaaleaacaaIYaaabaGaaiikaiabeg7aHjaacMcaaaGccqGHLjYS caaIWaGaaiilaiaaysW7caaMe8+aaabCaeaacaWGIbWaa0baaSqaai abek7aIbqaaiaacIcacqaHXoqycaGGPaaaaOGabm4zayaaraWaaWba aSqabeaacaGGOaGaeqOSdiMaaiykaaaaaeaacqaHYoGycqGH9aqpca aIXaaabaGaaGOmaaqdcqGHris5aOGaeyizImQaeq4UdW2aa0baaSqa aiaaykW7caaIWaaabaGaaiikaiabeg7aHjaacMcaaaGccaGGUaaaaa@6DC8@

(36)

Функция (35) является выпуклой с отрицательно определенным гессианом [Любушин, Писаренко, 1993] и, следовательно, задача (35), (36) имеет единственное решение. Эта задача решается численно методом проекции градиента [Моисеев и др., 1978].

Решив задачу (35), (36) для заданного τ, можно ввести доли интенсивности μ β (α) ,α=1,2;β=0,1,2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqiVd02aa0baaSqaaiabek7aIbqaaiaacIcacqaH XoqycaGGPaaaaOGaaiilaiaaysW7cqaHXoqycqGH9aqpcaaIXaGaai ilaiaaikdacaGG7aGaaGjbVlaaysW7cqaHYoGycqGH9aqpcaaIWaGa aiilaiaaigdacaGGSaGaaGOmaaaa@5561@ согласно формулам:

 

 

κ 0 (α) = b 0 (α) λ 0 (α) 0, κ β (α) = b β (α) g ¯ (β) λ 0 (α) 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqOUdS2aa0baaSqaaiaaicdaaeaacaGGOaGaeqyS deMaaiykaaaakiabg2da9maalaaabaGaamOyamaaDaaaleaacaaMc8 UaaGimaaqaaiaacIcacqaHXoqycaGGPaaaaaGcbaGaeq4UdW2aa0ba aSqaaiaaykW7caaIWaaabaGaaiikaiabeg7aHjaacMcaaaaaaOGaey yzImRaaGimaiaacYcacaaMf8UaeqOUdS2aa0baaSqaaiabek7aIbqa aiaacIcacqaHXoqycaGGPaaaaOGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWGIbWaa0 baaSqaaiabek7aIbqaaiaacIcacqaHXoqycaGGPaaaaOGaeyyXICTa bm4zayaaraWaaWbaaSqabeaacaGGOaGaeqOSdiMaaiykaaaaaOqaai abeU7aSnaaDaaaleaacaaMc8UaaGimaaqaaiaacIcacqaHXoqycaGG PaaaaaaakiabgwMiZkaaicdaaaa@7429@ ,

(37)

которые можно назвать элементами матрицы влияния.

Интерпретация этих величин вполне естественна: κ 0 (α) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqOUdS2aa0baaSqaaiaaicdaaeaacaGGOaGaeqyS deMaaiykaaaaaaa@4352@ является частью средней интенсивности процесса с номером α, являющейся чисто стохастической, часть κ α (α) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqOUdS2aa0baaSqaaiabeg7aHbqaaiaacIcacqaH XoqycaGGPaaaaaaa@4437@ вызвана влиянием самовозбуждения αα MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqySdeMaeyOKH4QaeqySdegaaa@42EC@ и  κ β (α) ,βα MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqOUdS2aa0baaSqaaiabek7aIbqaaiaacIcacqaH XoqycaGGPaaaaOGaaiilaiaaysW7cqaHYoGycqGHGjsUcqaHXoqyaa a@4B87@ обусловлена внешним влиянием βα MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqOSdiMaeyOKH4QaeqySdegaaa@42EE@ . Из формулы (33) вытекает условие нормировки:

 

 

κ 0 (α) + β=1 2 κ β (α) =1 ,α=1,2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqOUdS2aa0baaSqaaiaaicdaaeaacaGGOaGaeqyS deMaaiykaaaakiabgUcaRmaaqahabaGaeqOUdS2aa0baaSqaaiabek 7aIbqaaiaacIcacqaHXoqycaGGPaaaaOGaeyypa0JaaGymaaWcbaGa eqOSdiMaeyypa0JaaGymaaqaaiaaikdaa0GaeyyeIuoakiaacYcaca aMf8UaeqySdeMaeyypa0JaaGymaiaacYcacaaIYaaaaa@59F5@ .

(38)

В таблице представлены результаты расчета элементов матриц влияния для двух значений времен затухания, 10 и 100 суток. Видно, что рассматриваемые последовательности событий являются пуассоновскими для времени затухания 10 суток, но для 100 суток в последовательности моментов времени перехода в 4-й кластер появляется небольшая самовозбуждающаяся компонента. Однако для всех рассматриваемых времен затухания связь между потоками событий отсутствует.

ВЫВОДЫ

Конечным результатом предложенного многофакторного анализа свойств временного ряда наблюдений за уровнем подземных вод является диаграмма переходов между статистически значимыми кластерами, представленная на рис. 9а. Спектральный анализ точечного процесса времен перехода между различными кластерами (рис. 9б) позволил выделить значимые периодические компоненты интенсивности таких переходов с периодами 46 и 275 суток (рис. 10). Наличие таких периодов, возможно, отражает как региональные, так и глобальные причины, воздействующие на обширный подземный горизонт. Проверка связи переходов в аномальный кластер и сильнейших землетрясений мира (рис. 11) дала отрицательный результат  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A35@ такая связь для наблюдений в асейсмическом регионе отсутствует (таблица).

 

Матрицы влияния для анализа связи между сильнейшими землетрясениями и временами перехода в аномальный кластер для двух времен затухания экспоненциальной функции влияния событий, 10 и 100 суток

Время затухания τ, сутки

 

Последовательность событий

 

Пуассоновская часть

 

Самовозбуждение

 

Влияние другой последовательности

 

10

 

Землетрясения

 

0.954

 

0.046

 

0.000

 

Переход в 4-й кластер

 

1.000

 

0.000

 

0.000

 

100

 

Землетрясения

 

1.000

 

0.000

 

0.000

 

Переход в 4-й кластер

 

0.784

 

0.216

 

0.000

 

 

Дальнейшая интерпретация полученных результатов нуждается в привлечении информации о других геофизических полях в рассмотренном регионе. Тем не менее, кое-какие общие соображения о наличии нескольких состояний временного ряда длительных наблюдений могут быть приведены.

 

Рис. 10. График максимума разности логарифмических функций правдоподобия в зависимости от периода для последовательности времен переходов между 5 кластерами (рис. 9б) в интервале времени 22.06.1995–10.09.2010 гг. (217 событий) для пробных периодов от 20 до 1000 суток. Отмечены 2 периода со значимостью 98% со значениями 46 и 275 суток.

 

Рис. 11. (а) – Последовательность временных интервалов длиной 10 суток, когда происходит переход в 4-й «аномальный» кластер; (б) – последовательность сильнейших землетрясений магнитудой не менее 8.

 

В асейсмических регионах, к которым относится территория Москвы, разрядка потока энергии из земных недр носит плавный характер и имеет вид не резкого возбуждения сейсмических волн, а увеличения «медленных» движений земной коры, происходящих вдоль сравнительно узких зон локализации деформаций линеаментов. Интенсификация подобного рода движений земной коры может приводить к усилению миграции подземных вод, обладающих способностью разупрочнять блоки земной коры, усиливать карстово-суффозионные процессы. В свою очередь, последнее приводит к увеличению вероятности оползней, растрескивания фундаментов больших зданий, прорыва подземных тоннелей, коррозии путей метрополитена. Таким образом, выделенная последовательность временных фрагментов с отличающимися статистическими характеристиками может быть использована для корреляции временных интервалов из различных кластеров с интенсивностью техногенных происшествий на территории мегаполиса.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 18-05-00133.

A. A. Lyubushin

Institute of the Earth Physics of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: lyubushin@yandex.ru

Russian Federation, Bolshaya Gruzinskaya str., 10-1, Moscow 123242, Russia

O. S. Kazantseva

Institute of the Earth Physics of the Russian Academy of Sciences

Email: o.kazantseva@yandex.ru

Russian Federation, Bolshaya Gruzinskaya str., 10-1, Moscow 123242, Russia

A. B. Manukin

Institute of the Earth Physics of the Russian Academy of Sciences

Email: amanukin@yandex.ru

Russian Federation, Bolshaya Gruzinskaya str., 10-1, Moscow 123242, Russia

  1. Айвазян С.А., Бухштабер В.М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Классификация и снижение раз-мерности.М.: Финансы и статистика. 1989.
  2. Багмет А.Л., Багмет М.И., Барабанов и др. Исследование земноприливных колебаний уровня подземных вод на скважине «Обнинск» // Изв. АН СССР Сер. Физика Земли. 1989. № 11. С. 84–95.
  3. Беседина А.Н., Виноградов Е.А., Горбунова Э.М., Кабыченко Н.В., Свинцов И.С., Пигулевский П.И., Свистун В.К., Щербина С.В. Отклик флюидонасыщенных коллекторов на лунно-солнечные приливы. Часть 1. Фоновые параметры приливных компонент в смещении грунта и уровне подземных вод // Физика Земли. 2015. № 1. С. 73–82
  4. Болдина С.В., Копылова Г.Н. Эффекты Жупановского землетрясения 30 января 2016 г., Mw  7.2, в изменениях уровня воды в скважинах ЮЗ-5 и Е-1, Камчатка // Геодинамика и тектонофизика. 2017. Т. 8. № 4. С. 863–880.
  5. Виноградов Е.А., Горбунова Э.М., Кабыченко Н.В., Кочарян Г. Г, Павлов Д.В., Свинцов И.С. Мониторинг уровня подземных вод по данным прецизионных измерений // Геоэкология. Инженерная геология. Гидрогеология. Геокриология. 2011. № 5. С. 439–449.
  6. Гидрогеология СССР. М.: Недра. 1966. Т. 1. С. 423
  7. Киссин И.Г., Гумен А.М. Гидрогеологические индикаторы современных движений земной коры в асейсмическом регионе // Докл. РАН. 1994. Т. 334. № 6. С. 768–772.
  8. Копылова Г.Н. Изменения уровня воды в скважине Елизовская-1, Камчатка, вызванные сильными землетрясениями (по данным наблюдений в 1987–1998 гг.) // Вулканология и сейсмология. 2001. № 2. С. 39–52.
  9. Копылова Г.Н. Изменения уровня воды в скважине ЮЗ-5, Камчатка, вызванные землетрясениями // Вулканология и сейсмология. 2006. № 6. С. 52–64.
  10. Копылова Г.Н., Любушин А.А., Малугин В.А., Смирнов А.А., Таранова Л.Н. Гидродинамические наблюдения на Петропавловском полигоне, Камчатка // Вулканология и сейсмология. 2000. № 4. С. 69–79.
  11. Копылова Г. Н, Горбунова Э.М., Болдина С.В., Павлов Д.В. Оценка деформационных свойств системы «пласт-скважина» на основе анализа барометрического и приливного откликов уровня воды в скважине // Физика Земли. 2009. № 10. С. 69–78.
  12. Любушин А.А. Анализ данных систем геофизического и экологического мониторинга. М.: Наука. 2007. 228 с.
  13. Любушин А.А. Тренды и ритмы синхронизации мультифрактальных параметров поля низкочастотных микросейсм // Физика Земли. 2009. № 5. С. 15–28.
  14. Любушин А.А. Статистики временных фрагментов низкочастотных микросейсм: их тренды и синхронизация // Физика Земли. 2010. № 6. С. 86–96.
  15. Любушин А.А. Прогноз Великого Японского землетрясения // Природа. 2012. № 8. С. 23–33.
  16. Любушин А.А. Прогностические свойства случайных флуктуаций геофизических характеристик // Биосфера. 2014. № 4. С. 319–338.
  17. Любушин А.А., Писаренко В.Ф. Исследование сейсмического режима с помощью линейной модели интенсивности взаимодействующих точечных процессов // Физика Земли. 1993. № 12. С. 81–87.
  18. Любушин А.А., Малугин В.А. Статистический анализ отклика уровня подземных вод на вариации атмосферного давле-ния // Физика Земли. 1993. № 12. С. 74–80.
  19. Любушин А.А., Лежнев М.Ю. Анализ изменчивости функ¬ции отклика уровня подземных вод на баровариации на Южных Курилах (о. Шикотан) // Физика Земли. 1995. № 8. С. 79–84.
  20. Любушин А.А., Малугин В.А., Казанцева О.С. Мониторинг приливных вариаций уровня подземных вод в группе водо-носных горизонтов // Физика Земли. 1997. № 4. С. 52–64.
  21. Любушин А.А., Писаренко В.Ф., Ружич В.В., Буддо В.Ю. Выделение периодичностей в сейсмическом режиме // Вулканология и сейсмология. 1998. № 1. С. 62–76.
  22. Любушин А.А., Малугин В.А., Казанцева О.С. Выделение «медленных событий» в асейсмическом регионе // Физика Земли. 1999. № 3. С. 35–44.
  23. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука. 1978. 352 с.
  24. Anderson T.W., Rubin H. Statistical inference in factor analysis, Proc. 3rd Berkley Symp. on Math. Statistics and Probability. 1956. V. 5. P. 111–150.
  25. Box G.E.P., Jenkins G.M. Time series analysis. Forecasting and control. Holden-Day. San Francisco, Cambridge, London, Amsterdam. 1970. 406 с. (Русский перевод: Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. 1970. М.: Мир. (В 2 х выпусках). 1974. 197 с.).
  26. Bredehoft J.D. Response of a Well-Aquifer System to Earth Tides // J. Geophys. Res. 1967. V. 12. P. 3075–3087.
  27. Brillinger D.R. Time series. Data analysis and theory. Holt, Rinehart Winston, Inc., N.Y., Chicago, San Francisco. 1975. (Русский перевод: Бриллинджер Д. (1980) Временные ряды. Обработка данных и теория. М.: Мир. 536 с.)
  28. Cox D.R., Lewis P.A.W. The statistical analysis of series of events. London, Methuen. 1966. (Русский перевод: Кокс Д., П. Льюис Статистический анализ последовательностей событий. М.: Мир. 1969. 312 с.)
  29. Cramer H. Mathematical Methods of Statistics. 1999. Princeton University Press.
  30. Donoho D.L. and Johnstone I.M. Adapting to Unknown Smoothness via Wavelet Shrinkage // Journal of the American Statistical Association. 1995. V. 90. Iss. 432. P. 1200–1224.
  31. Duda R.O., P.E. Hart Pattern classification and scene analysis, John Wiley & Sons. N.Y., London, Sydney, Toronto (1973) (Русский перевод: Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. М.: Мир. 1976. 511 с.)
  32. Feder J. Fractals. 1988. Plenum Press, New York, London (Русский перевод: Федер Е. Фракталы. М.: Мир. 1991. 254 с.)
  33. Harman, H.H. Modern factor analysis. Chicago: University of Chicago Press. 1967. (Русский перевод: Хар-ман Г. Современный факторный анализ. М.: Финансы и статистика. 1972. 420 с.).
  34. Huber P.J. Robust statistics. John Wiley and Sons. New York; Chichester; Brisbane; Toronto. 1981 (Рус. пер.: Хью-бер П. Робастность в статистике. М.: Мир. 1984. 303 с.).
  35. Igarashi G., Wakita H. Tidal response and earthquake-related changes in the water level of deep wells // J. Geophys. Res. 1991. V. 96. P. 4269–4278.
  36. Kantelhardt J.W., Zschiegner S.A., Konscienly-Bunde E., Havlin S., Bunde A., and Stanley H.E. Multifractal detrended fluctuation analysis of nonstationary time series // Physica A. 2002. V. 316. P. 87–114.
  37. Kashyap R.L., Rao A.R. Dynamic stochastic models from empirical data. 1976. New York; San Francisco; London: Acad. Press (Русский перевод: Кашьяп Р.Л., Рао А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. М.: Наука. 1983. 384 с.)
  38. Lawley D.N., Maxwell A.E. Factor analysis as a statistical method. New York: American Elsevier. 1971. (Русский перевод 1 го издания: Лоули Д., Максвелл А. Факторный анализ как статистический метод. М.: Мир. 1967).
  39. Lyubushin A. Multifractal Parameters of Low-Frequency Microseisms/V. de Rubeis et al. (eds.), Synchronization and Triggering: from Fracture to Earthquake Processes, GeoPlanet: Earth and Planetary Sciences 1, Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 2010. Chapter 15. P. 253–272.
  40. Lyubushin A. Prognostic properties of low-frequency seismic noise // Natural Science. 2012. V. 4. Iss. 8 A. P. 659–666.
  41. Lyubushin, A. How soon would the next mega-earthquake occur in Japan? // Natural Science. 2013. V. 5. Iss. (8 A1). P. 1–7.
  42. Lyubushin A.A. Dynamic estimate of seismic danger based on multifractal properties of low-frequency seismic noise // Natural Hazards. 2014. V. 70. Iss. 1. P. 471–483.
  43. Lyubushin A. Synchronization of Geophysical Fields Fluctuations / Tamaz Chelidze, Luciano Telesca, Filippos Vallianatos (eds.), Complexity of Seismic Time Series: Measurement and Applications, Elsevier 2018, Amsterdam, Oxford, Cambridge. Chapter 6. P. 161–197. DOI: https: // doi.org/10.1016/B978-0-12-813138-1.00006-7
  44. Mallat S. A Wavelet Tour of Signal Processing. Second edition. Academic Press. San Diego, London, Boston, New York, Sydney, Tokyo, Toronto. 1999. (Русский перевод: Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. М.: Мир. 2005).
  45. Ogata Y., Katsura K. Analysis of temporal and spatial heterogeneity of magnitude frequency distribution inferred from earth-quake catalogues // Geophys. J. Int., 1993. V. 113. P. 727–738.
  46. Rojstaczer S., Agnew D.C. The influence of formation material properties on the response of water levels in wells to Earth tides and atmospheric loading // J. Geophys. Res. 1989. V. 94. P. 12403–12411.
  47. Roeloffs E. Hydrologic precursors to earthquakes: A re¬view // PAGEOPH. 1988. V. 126. № 2/4. P. 177–209.
  48. Roeloffs E., Burford S., Riley F. Records A. Hydrologic effects on water level changes associated with episodic fault creep near Parkfield, California // J. Geophys. Res. 1989. V. 94. № B9. P. 12387–12402.
  49. Vogel M.A. and Wong, A.K.C. (1979) PFS Cluste¬ring method // IEEE Transactions on Pattern Ana¬lysis and Machine Intelligence. № 1. P. 237–245. doi: 10.1109/TPAMI.1979.4766919

Supplementary files

Supplementary Files Action
1. Fig. 1. Graphs of initial data: variations in atmospheric pressure and groundwater level, 02.02.1993–04.04.2015, time step 10 minutes. View (39KB) Indexing metadata
2. Fig. 2. Graphs of estimates of the quadratic coherence spectrum (a) and amplitude frequency transfer function (b). View (40KB) Indexing metadata
3. Fig. 3. (a) - Maximum value graph for each time window; (b) - time-frequency diagram of the amplitude frequency transfer function. The shaded rectangles correspond to time intervals in which the proportion of artificial (replenished) values of the time series exceeds 2% of the window length. The minimum frequency in the diagram (b) corresponds to the maximum period equal to the window length, that is, 28 days. View (222KB) Indexing metadata
4. Fig. 4. Comparison of the initial data of the groundwater level (gray line) and the result of adaptive compensation of the effect of atmospheric pressure in a sliding window 28 days long (4032 counts with a time step of 10 min - black line) for a time fragment 2 of the first months of 1999 View (47KB) Indexing metadata
5. Fig. 5. Comparison of the power spectra of the initial groundwater level data (a) and after adaptive compensation of the effect of atmospheric pressure in a sliding window 28 days long (b). View (43KB) Indexing metadata
6. Fig. 6. Plots 10 of the properties of the time series of groundwater level after compensation of the effect of atmospheric pressure in successive windows 10 days long. View (142KB) Indexing metadata
7. Fig. 7. Charts 4 orthogonal common factors of a set of 10 properties of a time series of groundwater levels after compensating for the effect of atmospheric pressure in successive windows with a length of 10 days. View (103KB) Indexing metadata
8. Fig. 8. Graph of pseudo-F-statistics for clustering 4 orthogonal common factors. View (24KB) Indexing metadata
9. Fig. 9. (a) - A sequence of 5 clusters in the space of 4 common factors of the statistical properties of time fragments 10 days long in a time series of groundwater levels after compensation of the effect of atmospheric pressure (Fig. 7); (b) - a sequence of 279 transitions between clusters. View (96KB) Indexing metadata
10. Fig. 10. Graph of the maximum difference between logarithmic likelihood functions versus period for a sequence of transition times between 5 clusters (Fig. 9b) in the time interval of June 22, 1995 to September 10, 2010. (217 events) for trial periods from 20 to 1000 days. There are 2 periods with a significance of 98% with values of 46 and 275 days. View (96KB) Indexing metadata
11. Fig. 11. (a) - A sequence of time intervals of 10 days in length, when a transition to the 4th “anomalous” cluster occurs; (b) - a sequence of strong earthquakes with a magnitude of at least 8. View (30KB) Indexing metadata

Views

Abstract - 134

PDF (Russian) - 83

Cited-By


PlumX

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2019 Russian Academy of Sciences

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies