Estimation of free core resonance parameters based on long-term strain observations in the diurnal frequency band

Full Text

ВЕДЕНИЕ

Свободная нутация ядра (Free Core Nutation, FCN) [Wilhelm et al., 1997] представляет собой вращательные собственные колебания Земли, возникающие из-за динамического взаимодействия вращающегося внешнего жидкого ядра и вращающейся, упругой эллиптической мантии. Колебания жидкого ядра относительно мантии проявляются в виде добавочного члена к хорошо известным Чандлеровским колебаниям, так как оси вращения мантии и ядра слегка смещены относительно друг друга. В небесной системе координат значения периода свободной нутации TFCN, согласно экспериментальным данным, лежат в диапазоне от 410 до 432 сидерических дней. Оценка добротности определяется значительно хуже, ее величина имеет разброс в несколько порядков. В земной системе отсчета этот эффект проявляется в виде резонанса жидкого ядра Земли (Free Core Resonance, FCR), частота которого может быть выражена как f_FCR = 1 + 1/T_FCN и находится в суточном приливном диапазоне. В результате этого эффекта искажаются как амплитуды, так и фазы суточных приливных волн, частоты которых близки к f_FCR (главным образом, P1, K1, Ψ1 и Φ1). Большинство экспериментальных исследований эффекта резонанса жидкого ядра базируются на данных сверхпроводящих гравиметров [Neuberg et al., 1987; Sato et al., 2004; Ducarme et al., 2009] и данных РСДБ [Defraigne et al., 1994; Lambert, Dehant, 2007; Koot et al., 2010]. Определения, основанные на совместном анализе данных сверхпроводящих гравиметров и РСДБ [Rosat, Lambert, 2009] дают, соответственно, следующие оценки: T_FCN = (426.9 ± 1.2) сидерических дней, Q = 16 630 ± 3562; и T_FCN = (429.6 ± 0.6) сидерических дней, Q = 16 683 ± 884.

Однако лишь немногие исследования основаны на приливных деформационных данных. В частности, в работе [Mukai et al., 2004] анализ основывался на семилетних данных 15-метрового лазерного интерферометра на подземной станции Rokko-Takao в Японии. Были получены значения периода FCN, равное 427.5 (±11.1) сидерических суток, и добротности, равное 5000 (±2000). В работе [Amoruso et al., 2012] анализ был выполнен по восьмилетним данным двух 90-метровых лазерных интерферометрах-деформографах, работающих в подземной обсерватории Gran Sasso, Италия. Получена оценка T_FCN = (429 ± 10) сидерических дней.

Цель данной работы $–$ оценка параметров близсуточного резонанса жидкого ядра Земли (и, соответственно, свободной нутации ядра) по совместному анализу деформационных данных, полученных на деформационных станциях Баксан (Россия) и Гран Сассо (Италия). Специальная предварительная подготовка данных регистрации приливной деформации для трех интерферометров была проведена и подробно изложена в работе [Милюков и др., 2018]. Учет влияния океанической нагрузки и надежная оценка локальных и метеорологических искажений как для Гран-Сассо так и для Баксанской станции позволяют выделить влияния свободного резонанса ядра в суточном приливном диапазоне и выполнить оценку его параметров.

ВЛИЯНИЕ ЭФФЕКТА FCR НА ПРИЛИВНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ

Суточные гармоники приливных деформаций в азимутальном направлении η могут быть представлены выражением [Mukai et al., 2004; Amoruso et al., 2012]

$\begin{array}{c}\epsilon \left(\eta \right)=F\left(\theta \right)\left\{{}_{}^{{}_{}^{{}_{}}}\left[h-2l\left(1+{\cos }^2\eta \right)\right]\cos \left(2\pi ft+\varphi -\phi \right)\text{}-\right.\\ \left.-l\frac{\sin 2\eta }{\cos \theta }\sin \left(2\pi ft+\varphi -\phi \right)\right\},\end{array}$ (1)

где: f $–$ частота приливной гармоники; F $(\theta )$ $–$ функция, зависящая от местоположения станции и пропорциональная амплитуде приливного потенциала данной гармоники; $\theta$ и $\phi$ $–$ широта и долгота деформационной станции; $\varphi$ $–$ фаза, зависящая от гармоники и начала отсчета времени; h и l $–$ числа Лява и Шида, соответственно.

Поскольку резонанс жидкого ядра Земли возмущает приливы в твердой Земле, числа h и l зависят от частоты f [Wahr, Sasao, 1981]:

$$h=h_0+h_1\frac{f-f_0}{f_{FCR}-f},l=l_0+l_1\frac{f-f_0}{f_{FCR}-f},$$

(2)

где: f₀ $–$ частота волны О1 и f_FCR $–$ частота FCR. Параметры h₁ и l₁ определяют величину эффекта. Наибольшую роль играют «номинальные» значения чисел Лява h₀ = 0.6078 и Шида l₀ = 0.0847, соответствующие модели PREM [Dziewonski, Anderson, 1981]. Параметры h₁ и l₁ имеют порядок 10$–$4 и относятся к небольшим дополнительным смещениям, вызванным эллиптичностью Земли и силами Кориолиса [McCarthy, Petit, 2004]. Если считать, что диссипация приливной энергии происходит за счет неупругих свойств Земли, то числа h₀, h₁, l₀, и l₁ являются комплексными. Частота f_FCR будет также комплексной величиной и, следовательно, в (2) должна быть заменена выражением

$$f_{\text{FCR}}\Rightarrow f_1\left(1+j\frac{1}{2Q}\right),$$

(3)

где: $f_1=\mathrm{Re}(f_{\text{FCR}});$ Q $–$ добротность моды резонанса жидкого ядра; j $–$ мнимая единица.

Мы можем переписать уравнение (1) в виде:

$$\begin{array}{c}\epsilon \left(\eta \right)=\left\{C(f)\cos \left(2\pi ft+\varphi -\phi \right)+\right.\\ \left.+D(f)\sin \left(2\pi ft+\varphi -\phi \right)F(\theta )\right\},\end{array}$$

(4)

где:

$$C(f)=a_0+f_2\left\{a_1(f_1-f)+b_1\frac{f_1}{2Q}\right\};$$

(5)

$$D(f)=b_0+f_2\left\{b_1(f_1-f)-a_1\frac{f_1}{2Q}\right\};$$

(6)

$$f_2=\left(f-f_{0 }\right)/\left\{{\left(f_1-f\right)}^2+{\left(f_1/2Q\right)}^2\right\}.$$

(7)

Коэффициенты a₀, a₁, b₀, b₁ могут быть представлены в виде:

$a_0\equiv \mathrm{Re}\left\{h_0-2l_0\left(1+{\cos }^2\eta \right)\right\}+\mathrm{Im}\left\{l_0\sin 2\eta /\cos \theta \right\};$  (8)

$a_1\equiv \mathrm{Re}\left\{h_1-2l_1\left(1+{\cos }^2\eta \right)\right\}+\mathrm{Im}\left\{l_1\sin 2\eta /\cos \theta \right\};$  (9)

$b_0\equiv \mathrm{Im}\left\{h_0-2l_0\left(1+{\cos }^2\eta \right)\right\}-\mathrm{Re}\left\{l_0\sin 2\eta /\cos \theta \right\};$  (10)

$b_1\equiv \mathrm{Im}\left\{h_1-2l_1\left(1+{\cos }^2\eta \right)\right\}-\mathrm{Re}\left\{l_1\sin 2\eta /\cos \theta \right\}.$  (11)

 

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РЕЗОНАНСА ЖИДКОГО ЯДРА ЗЕМЛИ

Для оценки параметров FCR были использованы 8 суточных приливных волн (Q1, O1, P1, K1, Ψ1, Φ1, J1, OO1). Совместный анализ данных, полученных на Баксанском лазерном интерферометре-деформографе и двух интерферометрах-деформографах Гран Сассо (BA и BC), выполнялся методом сравнения измеренных значений приливных параметров с их теоретическими значениями.

Следует отметить, что ошибки экспериментального определения приливных параметров существенно разнятся для разных приливных волн (могут отличаться на 1$–$2 порядка). Предварительная подготовка данных (в первую очередь, учет влияния температуры) также по разному учитывается в разных приливных волнах. Все это приводит к нелинейному распределению ошибок. В работе [Amoruso et al., 2012], был детально исследован вопрос разрешающей способности приливных параметров, полученных по деформационным и гравитационным данным, для оценки эффекта FCR. Было показано, что распределение ошибок приливных параметров соответствуют двустороннему экспоненциальному распределению (распределению Лапласа), и решение задачи по методу наименьших модулей (£1) дает существенно лучший результат, чем по методу наименьших квадратов (£2).

Поэтому в данной работе оценка параметров FCR проводилась по минимизации функции £1.

$${\pounds }^1={\displaystyle \sum }_{m=1}^3{\displaystyle \sum }_{n=1}^{16}\left|\frac{x_n^{\left(m\right)}-z_n^{\left(m\right)}\left(a\right)}{{\sigma }_n^{\left(m\right)}}\right|,$$

(12)

где: индекс m = 1, 2, 3 соответствует трем интерферометрам, по данным которых ищется совместное решение; $x_n^{\left(m\right)}{(n=1\dots .16)}_{ }$ $–$ амплитуды синусоидальных и косинусоидальных членов в каждом наборе восьми основных суточных приливных волн; $z_n^{\left(m\right)}\left(a\right)$ $–$ модельные (теоретические) значения $x_n^{\left(m\right)},$ заданные набором модельных параметров а, часть которых подлежит определению в результате минимизации £1; ${\sigma }_n^{\left(m\right)}$ $–$ ошибки определения $x_n^{\left(m\right)}.$

В качестве измеренных значений $x_n^{\left(m\right)}$ были использованы амплитуды синусоидальных и косинусоидальных членов наблюденных приливных волн, полученные как выходные параметры приливной программы VAV03 [Venedikov et al., 2003]. Программа VAV03, как и приливная программа ETERNA [Wenzel, 1996], используется для анализа любого рода приливных данных. Основной алгоритм программы заключается в преобразовании данных из временной области в частотно-временную. После преобразования параметры приливов оцениваются методом наименьших квадратов. В результате для каждой приливной волны определяются амплитудный фактор ${\delta }_{\omega }=\frac{H_{\omega }}{h_{\omega }}$ и фазовая задержка α_ω = Φ_ω $–$ $\phi$_ω, где H_ω и Φ_ω $–$ известные теоретические значения амплитуд и фаз, а h_ω и $\phi$_ω наблюденные амплитуды и фазы. Теоретический прилив представляет композицию бесконечного числа гармонических колебаний. В программах VAV03 и ETERNA используется разложение приливного потенциала, содержащее 1200 приливных гармоник [Tamura, 1987].

С помощью VAV03 были обработаны предварительно обеленные деформационные данные каждого интерферометра. Океаническая нагрузка, вычисленная по океанической модели TPXO7-atlas2011, была удалена из полученных значений амплитуд и фаз приливных волн Q1, O1, P1 и K1, вычисленных с использованием модели Земли CONTAP [Милюков и др., 2018]. Однако поправки для волн Ψ1, Φ1, J1 и ОО1 не включены в океанические модели, поэтому поправки для этих волн были вычислены следующим образом. Так как частоты Ψ1 и Φ1, близки к частоте волны K1 и близки к частоте FCR, для их оценки была применена линейная экстраполяция между волнами P1 и K1. Волны J1 и OO1 далеки от частоты резонанса, поэтому мы использовали поворот фаз этих приливных волн, аналогично тем, которые были получены для Q1, O1, P1 и K1. В целом повороты фаз для этих волн близки друг к другу (1° против часовой стрелки, 4° против часовой стрелки, и 2° по часовой стрелке, для Баксана, BA и BC, соответственно).

В цитируемой работе были получены оценки возмущений деформаций, обусловленных локальными эффектами (локальная топография, эффекты полости и т. д.). Локальные эффекты деформации могут быть описаны для каждого интерферометра с помощью трех коэффициентов кросс-каплинга α, β, γ, и деформация может быть представлена в виде (уравнение (3) в работе [Милюков и др., 2018]):

$\epsilon =\alpha \epsilon \left(\eta \right)+\beta \epsilon \left(\eta \right)-\frac{1}{2}\gamma \left[\epsilon \left(\eta -45°\right)-\epsilon \left(\eta -135°\right)\right],$ (13)

где: η $–$ азимут интерферометра, равный $–$29.38°, $–$24° и 66° для Баксана, BA и BC, соответственно. В цитируемой работе также получены значения коэффициентов кросс-каплинга для каждого интерферометра.

Подставляя уравнения (1)$–$(11) в (13), в конечном итоге для каждого интерферометра получим следующие значения коэффициентов

$\begin{array}{c}{a}_0\text{}=\mathrm{Re}\text{}\left\{(\alpha \text{}+\beta )(h_0\text{}-3l_0)\text{}-l_0[\text{}(\alpha \text{}-\beta )\cos (2\eta )+\text{}\gamma \text{}\sin (2\eta )]\right\}+\\ +\mathrm{Im}\left\{l_0[(\alpha -\beta )\sin (2\eta )-\gamma \cos (2\eta )]/\cos \theta \right\};\end{array}$  (14)

$\begin{array}{c}{a}_1\text{}=\text{}\mathrm{Re}\left\{(\alpha \text{}+\beta )(h_1\text{}-\text{}3l_1)\text{}-l_1[(\alpha \text{}-\beta )\cos (2\eta )\text{}+\gamma \text{}\sin (2\eta )]\right\}\text{}+\\ +\mathrm{Im}\left\{l_1[(\alpha -\beta )\sin (2\eta )-\gamma \cos (2\eta )]/\cos \theta \right\};\end{array}$  (15)

$\begin{array}{c}{b}_0\text{}=\text{}\mathrm{Im}\left\{(\text{}\alpha \text{}+\beta )(h_0\text{}-\text{}3l_0\text{})\text{}-l_0\text{}[(\text{}\alpha \text{}-\beta )\cos (2\eta )+\text{}\gamma \text{}\sin (2\eta )\text{}]\right\}\text{}-\\ -\mathrm{Re}\left\{l_0[(\alpha -\beta )\sin (2\eta )-\gamma \cos (2\eta )]/\cos \theta \right\};\end{array}$  (16)

$\begin{array}{c}{b}_1\text{}=\mathrm{Im}\left\{(\alpha \text{}+\beta )(h_1\text{}-3l_1)-\text{}{l}_1[(\alpha \text{}-\beta )\cos (2\eta )+\text{}\gamma \sin (2\eta )\text{}]\right\}\text{}-\\ -\mathrm{Re}\left\{l_1[(\alpha -\beta )\sin (2\eta )-\gamma \cos (2\eta )]/\cos \theta \right\}.\end{array}$  (17)

Теоретические (модельные) значения приливных параметров были вычислены по формулам (4)$–$(7) и (14)$–$(17).

Мы рассматриваем 1/T_FCN и logQ в качестве неизвестных параметров, которые должны быть определены методом наименьших модулей (12). Что касается комплексных чисел Лява и Шида, то Re(h₀$–$3l₀), Re(h₁$–$3l₁), Re(l₀) также определяются из минимизации £1. Но Re(l₁), Im(h₁$–$3l₁), Im(h₀$–$3l₀), Im(l₀) и Im(l₁) могут считаться как неизвестными, так и принимать фиксированные значения согласно IERS Conventions 2003 [McCarthy, Petit, 2004].

Минимизации функция £1 осуществлялась с использованием программы Adaptive Simulated Annealing (ASA) [Ingber, 1993]. Мы также оценили предельную вероятность полученных решений с помощью алгоритмов NA и NAB. Алгоритм NA (Neighbourhood Algorithm) [Sambridge, 1999 a] генерирует ансамбли моделей, которые наилучшим образом соответствуют областям искомых параметров; алгоритм NAB (NA-Bayes) [Sambridge, 1999 b] использует весь спектр моделей, построенных алгоритмом NA, и получает из них информацию, в форме байесовских оценок решения, ковариации и функции плотности вероятности (ФПВ).

Таблица 1. Оценки амплитуд (нанострейн) и фаз (градусы) и их среднеквадратические ошибки наблюденных приливных деформаций для станций Баксан и Гран Сассо (ВА и ВС), полученные по предварительно обеленным деформационным записям с помощью программы VAV03. Баксанские данные скорректированы на влияние температуры штольни

 

Приливные гармоники	БАКСАН		BA		BC
	амплитуда	фаза	амплитуда	фаза	амплитуда	фаза
Q1	1.075 ± 0.055	$–$26.346 ± 2.933	0.872 ± 0.017	$–$18.658 ± 1.125	0.863 ± 0.017	10.257 ± 1.110
O1	5.807 ± 0.053	$–$23.260 ± 0.530	4.692 ± 0.016	$–$18.833 ± 0.198	4.588 ± 0.016	11.747 ± 0.198
P1	2.416 ± 0.067	$–$46.823 ± 1.598	1.977 ± 0.017	$–$18.400 ± 0.484	1.954 ± 0.016	10.987 ± 0.476
S1	0.951 ± 0.190	90.349 ± 11.394	0.534 ± 0.024	$–$3.902 ± 3.620	0.324 ± 0.024	$–$58.430 ± 4.783
K1	5.795 ± 0.057	$–$31.245 ± 0.567	4.918 ± 0.016	$–$22.298 ± 0.183	5.252 ± 0.015	14.558 ± 0.166
Ψ1	0.153 ± 0.055	103.542 ± 20.577	0.136 ± 0.016	0.155 ± 6.811	0.144 ± 0.016	18.301 ± 6.248
Φ1	0.172 ± 0.058	$–$49.873 ± 19.329	0.129 ± 0.017	$–$41.156 ± 7.346	0.112 ± 0.016	$–$2.205 ± 8.328
J1	0.405 ± 0.048	$–$35.291 ± 6.716	0.340 ± 0.015	$–$18.322 ± 2.426	0.372 ± 0.014	10.124 ± 2.164
OO1	0.250 ± 0.033	$–$23.552 ± 7.510	0.222 ± 0.011	$–$15.555 ± 2.974	0.210 ± 0.011	5.842 ± 3.041

 

РЕЗУЛЬТАТЫ

Оценка приливных параметров по предварительно обеленным деформационным записям лазерного интерферометра на станции Баксан и двух лазерных интерферометров на станции Гран Сассо была сделана с помощью программы VAV03. Баксанские данные были скорректированы на влияние температуры штольни, где установлен прибор. В полученные значения приливных параметров бы введены поправки за океаническую нагрузку. Результаты представлены в табл. 1.

 

Рис.1. Амплитуды приливных волн, нормированные на соответствующие значения приливов модели Земли SNRE для Баксана, ВА и ВС, полученные из анализа предварительно обеленных записей деформаций программой VAV03 (квадраты), и расчетные модельные значения амплитуд (сплошные кривые). Измеренные амплитуды приведены относительно модельных значений синфазно (“cosine”, верхняя панель) и сдвинутые на 90° (“sine”, нижняя панель). Вертикальные линии удвоенные СКО амплитуд по VAV03.

 

На рис. 1 приведено сравнение измеренных приливных параметров для трех интерферометров в суточном диапазоне, исправленных на океаническую нагрузку, с расчетными кривыми. Значения амплитуд нормированы на соответствующие значения приливов модели Земли SNRE. Приливные параметры представлены в виде косинусоидальной (верхняя панель) и синусоидальной (нижняя панель) гармоник. В последнем случае расхождения между значениями Φ1 и расчетной кривой превышает ошибку определения амплитуды Φ1 по VAV03 для всех трех интерферометров. Для Баксана это расхождение превышает ошибку также для волны J1.

Приливные параметры волны Р1 для Баксана сильно искажены влиянием температуры, а значения параметров волны Ψ1 находятся ниже уровня шума, поэтому в оценке параметров FCR они не использовались.

Оценка параметров резонанса жидкого ядра проводилась минимизацией функции £1, в которой в качестве измеренных величин $x_n^{\left(m\right)}$ были использованы амплитуды синусоидальных и косинусоидальных членов приливных волн, вычисленные по значениям амплитуд и фаз этих волн, определенных VAV03 (табл. 1). Оценки параметров FCR были получены в двух вариантах. В первом случае параметры 1/T_FCN и logQ, а также все параметры с комплексными числами Лява и Шида, считались неизвестными. Во втором случае неизвестными считались только пять параметров: 1/T_FCN, logQ, Re(h₀$–$3l₀), Re(h₁$–$3l₁) и Re(l₀), остальные пять параметров комплексных чисел Лява и Шида были фиксированы согласно IERS Conventions 2003. Для каждого варианта с помощью программы ASA определялись наиболее вероятные параметры FCR. На рис. 2 (верхняя панель) представлено распределение функции плотности вероятности для периода свободной нутации ядра T_FCN. В первом варианте решения (все параметры считаются неизвестными) распределение ФПВ имеет максимум для значения 428.5 сидерических дней; во втором варианте (5 параметров неизвестны) распределение ФПВ достигает максимума в области 426.5 сидерических дней. В первом случае наш результат хорошо согласуется с оценками, полученными из анализа данных РСДБ, во втором с оценками по гравиметрическим данным [Rosat, Lambert, 2009].

 

Рис.2. Распределение функции плотности вероятности (верхняя панель) и кумулятивная вероятность (нижняя панель) для T_FCN. Сплошные линии все параметры в решении считались неизвестными; пунктирные линии пять параметров в решении были фиксированы. Функции плотности вероятности имеют максимумы соответственно для 428 и 426 сидерических дней. Горизонтальные отрезки результаты, полученные по гравиметрическим и РСДБ данным [Rosat, Lambert, 2009].

 

Рис.3. Распределение функции плотности вероятности добротности Q, полученной для двух вариантов решения с использованием NAB: все параметры неизвестны (сплошная линия); пять параметров фиксированы (пунктирная линия).

 

Рис.4. Распределение функции плотности вероятности параметра Re(h₁3l₁), определяющего величину эффекта FCR, пол

 

Кумулятивные распределения (рис. 2, нижняя панель) показывают, что на уровне достоверности 90 % значение T_FCN не превосходит 436.8 сидерических дней в случае, когда все параметры считались неизвестными, и не превосходит 440.2 сидерических дней при фиксированных параметрах Re(l₁), Im(h₁$–$3l₁), Im(h₀$–$3l₀), Im(l₀) и Im(l₀).

Оценка добротности Q определяется хуже. Значения Q, полученные в результате решения с помощью программы ASA, как правило, большие (> 106). Функция плотности вероятности Q, построенная с использованием NAB, имеет максимум около 18000 для решения, в котором пять параметров фиксированы: Re(l₁), Im(h₁$–$3l₁), Im(h₁$–$3l₁), Im(l₀) и Im(l₀), (рис. 3, пунктирная кривая). Из рис. 3 видно, что Q, вероятно, лежит между 10⁴ и 2 · 10⁵.

Согласно выражениям (2), параметры h₁ и l₁ определяют величину эффекта FCR. Поэтому величина резонанса определяется главным образом параметром Re(h₁$–$3l₁), который считается неизвестным во всех решениях (этот параметр входит в выражение для коэффициента a1 (14) и, соответственно, в выражение для коэффициента С (5)). На рис. 4 показаны распределения функции плотности вероятности для параметра Re(h₁$–$3l₁), полученных в результате решения уравнения (12) с использованием реальных данных. Эти оценки ФПВ совместимы друг с другом и согласуются со значением из работы [McCarthy, Petit, 2004] (вертикальная линия).

ВЫВОДЫ

Исследован эффект влияния резонанса жидкого ядра Земли на приливные деформации на основе долговременных деформационных данных, полученных на лазерных интерферометрах на станциях Баксан (Россия) и Гран Сассо (Италия), и сделана оценка периода TFCN и добротности Q свободной нутации ядра, а также параметра Re(h₁$–$3l₁), определяющего величину эффекта FCR. Небольшой вклад океанической нагрузки и надежная оценка локальных искажений как на станции Баксан, так и на станции Гран Сассо делают возможным выявить и оценить указанные эффекты. Для совместного анализа данных были использованы шестилетняя запись деформаций на Баксанском лазерном интерферометре-деформографе и восьмилетняя запись деформаций на двух лазерных интерферометрах-деформографах в Гран Сассо. Приливный анализ был выполнен программным пакетом VAV03. Наблюденные амплитуды приливных деформаций хорошо согласуются с теоретическими (расчетными) амплитудами для большинства гармоник в суточном и полусуточном диапазонах без учета эффекта FCR. Однако расхождения между измеренными и расчетными значениями амплитуд становятся значительными в частотной области f  1/сидерический день, особенно, для амплитуд волн K1 и Ψ1. Это расхождение, в основном, обусловлено влиянием эффекта FCR.

Оценка параметров свободной нутации ядра получена минимизацией совместной для всех интерферометров функции £1 модулей разности измеренных (скорректированных с учетом океанической нагрузки) и расчетных (скорректированных с учетом локальных искажений деформаций) значений параметров восьми суточных приливных волн Q1, O1, P1, K1, Ψ1, Φ1, J1 и OO1. Минимизация функции £1 проводилась в двух вариантах. В первом варианте неизвестными считались десять параметров: T_FCN и Q$–$1, а также восемь параметров, определяемых различной комбинацией комплексных чисел Лява и Шида. Во втором варианте неизвестными считались только пять параметров, пять параметров комплексных чисел Лява и Шида были фиксированы согласно IERS Conventions 2003.

В первом варианте получена оценка периода свободной нутации T_FCN = (428.5 ± 8.3) сидерических дней на уровне достоверности 90 %, во втором варианте T_FCN = (426.5 ± 13.7) сидерических дней на том же уровне достоверности. В первом случае наш результат хорошо согласуется с оценками, полученными из анализа данных РСДБ: T_FCN = (429.6 ± 0.6) сидерических дней; во втором с оценками по гравиметрическим данным: T_FCN = (426.9 ± 1.2) сидерических дней [Rosat, Lambert, 2009]. Наш результат также подтверждает два предыдущих результата, полученных по деформационным данным (табл. 2).

Таблица 2. Оценки периода свободной нутации ядра Земли по деформационным данным

 

	TFCN (сидерические сутки)	Публикация
1	427.5 ± 11.1	[Mukai et al., 2004]
2	429 ± 10	[Amoruso et al., 2012]
3	428.5 ± 8.3	Настоящая работа

Добротность Q определяется значительно хуже в силу большой ошибки в оценке фазы волны Ψ1. Тем не менее, оценка добротности в решении, в котором определялись только пять параметров, дает значение Q ≈ 18 000, что также согласуется с результатами работы [Rosat, Lambert, 2009] Q ≈ 16 700.

Получена также независимая оценка параметра Re(h₁$–$3l₁), который является доминирующим в выражении, определяющим величину резонанса. Наш результат находится в согласии с результатами работы [McCarthy, Petit, 2004].

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ $№$ 16-05-00122, $№$ 19-05-00341.a

About the authors

V. K. Milyukov

Sternberg Astronomical Institute, Moscow State University

Author for correspondence.
Email: vmilyukov@yandex.ru
Russian Federation, Moscow

A. Amoruso

University of Salerno

Email: vmilyukov@yandex.ru
Italy, Fisciano

L. Crescentini

University of Salerno

Email: vmilyukov@yandex.ru
Italy, Fisciano

A. P. Mironov

Sternberg Astronomical Institute, Moscow State University

Email: vmilyukov@yandex.ru
Russian Federation, Moscow

A. V. Myasnikov

Sternberg Astronomical Institute, Moscow State University

Email: vmilyukov@yandex.ru
Russian Federation, Moscow

A. V. Lagutkina

Sternberg Astronomical Institute, Moscow State University

Email: vmilyukov@yandex.ru
Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files