Rapid growth of shear strain in weakened zones of the lithosphere

Cover Page

Abstract


A weakened zone in the lithosphere plunging into the mantle can lead to an earthquake after the application of a shear stress only in the case if the effective viscosity of this zone is very low. At low viscosity, in the short time that elapses after the application of stress, significant displacements of the walls of the zone emerge causing high-amplitude seismic waves. The Andrade law describing the transient creep under constant stress applied at the initial time instant leads to very low effective viscosity a few first seconds after the initial time instant. The effective viscosity also decreases due to the temperature rise in the weakened zone caused by the dissipative release of heat. However, this process is not rapid enough to noticeably change the temperature and effective viscosity in a short time.


ВВЕДЕНИЕ

Андраде в 1910 г. предложил закон для описания экспериментально наблюдаемой им неустановившейся ползучести при постоянном напряжении, приложенном к образцу в начальный момент времени. Позже этот закон получил подтверждение в многочисленных лабораторных исследованиях ползучести горных пород, проводимых при высоких температурах и давлениях, характерных для земных недр [Goetze, 1971; Goetze, Brace, 1972; Murrell, Chakravarty, 1973; Murrell, 1976; Berckhemer, Auer, Drisler, 1979]. Известное в механике представление о том, что при малых деформациях ползучесть является неустановившейся, было впервые введено в геофизику в работе [Weertman, 1978], где была высказана идея о том, что течения в мантии, связанные с малыми деформациями, и, в частности, послеледниковые течения происходят в режиме неустановившейся ползучести. Неустановившаяся ползучесть при переменных напряжениях описывается линейным интегральным уравнением Больцмана. Интегральное ядро этого уравнения связано простым соотношением с функцией ползучести, которая находится в экспериментах, проводимых при постоянном напряжении. В работе [Birger, 1998] реология, которая описывается интегральным уравнением, сводящимся к закону Андраде в случае постоянного напряжения, названа реологией Андраде. Реология Андраде применялась автором в предыдущих исследованиях [Birger, 1998; 2000; 2007; 2012; 2013; 2016], где рассматривались такие геофизические процессы как затухание сейсмических волн, послеледниковые течения в мантии, малоамплитудные конвективные колебания в литосфере, происходящие при малых деформациях и переменных напряжениях. При исследовании этих процессов удобным математическим аппаратом является преобразование Лапласа по времени. В настоящей работе рассматривается неустановившаяся ползучесть при постоянном напряжении, которая описывается законом Андраде, а не интегральным реологическим уравнением Андраде. Поэтому нет необходимости использовать преобразование Лапласа.

Будет рассмотрен процесс локализации сдвиговой деформации в ослабленной зоне, которая находится в литосферной плите, погружающейся в мантию. Пониженная прочность этой зоны может быть вызвана, например, ее минералогическим составом, который отличается от окружающей литосферы. Согласно концепции тектоники плит, литосферная плита, которая представляет собой холодный пограничный слой мантийной конвекции, движется как единое целое, не испытывая деформаций. Однако такое движение плиты прерывается в некоторые моменты времени за счет сцепления с соседней плитой. В такие моменты в плите возникают значительные напряжения, которые приводят к землетрясениям. В хрупкой верхней коре Земли землетрясения возникают, когда напряжение превышает предел, определяемый силой трения на разломе. Тогда борта разлома проскальзывают, а их смещение достигает 30 м при сильных землетрясениях [Теркот, Шуберт, 1985]. Образование очагов землетрясений, находящихся на больших глубинах, нельзя объяснить таким способом, поскольку сила трения, которая растет с ростом давления, уже слишком велика в земных слоях, лежащих ниже верхней коры. Следовательно, глубокофокусные землетрясения не связаны с хрупкостью геоматериала, но могут быть объяснены его ползучестью. Сдвиговые течения, возникающие в ослабленной зоне под действием приложенного напряжения, создают деформации ползучести, которые вызывают смещение бортов зоны. Это смещение тем больше, чем ниже эффективная вязкость. Возникшее течение вызывает диссипативное тепловыделение и нагрев ослабленной зоны, который понижает эффективную вязкость, увеличивая при этом скорость деформации и смещение бортов зоны. Если значительное смещение бортов происходит за время порядка нескольких секунд, то этот процесс, связанный с ползучестью и выделением тепла, может вызвать землетрясение [Karato, 2008]. Данный процесс с учетом неустановившейся ползучести, принципиально меняющей его характер, и будет рассмотрен в настоящем исследовании.

НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ

Лабораторные эксперименты с образцами горных пород, проводимые при постоянном напряжении, приложенном в момент времени t = 0, и достаточно высокой температуре, показывают, что неустановившаяся ползучесть описывается реологическим законом Андраде:

 

2 ε ij = σ ij t 1/3 A , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaaIYaGaeqyTdu2damaaBaaaleaa peGaamyAaiaadQgaa8aabeaak8qacqGH9aqpdaWcaaWdaeaapeGaeq 4Wdm3damaaBaaaleaapeGaamyAaiaadQgaa8aabeaak8qacaWG0bWd amaaCaaaleqabaWdbiaaigdacaGGVaGaaG4maaaaaOWdaeaapeGaam yqaaaacaGGSaaaaa@4CEE@

(1)

 

A= A exp H a 3RT H a = E a +p V a , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGbbGaeyypa0Jaamyqa8aadaWg aaWcbaWdbiabg6HiLcWdaeqaaOWdbiGacwgacaGG4bGaaiiCamaabm aapaqaa8qadaWcaaWdaeaapeGaamisa8aadaWgaaWcbaWdbiaadgga a8aabeaaaOqaa8qacaaIZaGaamOuaiaadsfaaaaacaGLOaGaayzkaa GaaGzbVlaadIeapaWaaSbaaSqaa8qacaWGHbaapaqabaGcpeGaeyyp a0Jaamyra8aadaWgaaWcbaWdbiaadggaa8aabeaak8qacqGHRaWkca WGWbGaamOva8aadaWgaaWcbaWdbiaadggaa8aabeaakiaacYcaaaa@572A@

(2)

где: ε ij MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaH1oqzpaWaaSbaaSqaa8qacaWG PbGaamOAaaWdaeqaaaaa@41C0@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  девиаторный тензор деформации; σ ij MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaHdpWCpaWaaSbaaSqaa8qacaWG PbGaamOAaaWdaeqaaaaa@41DC@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  девиаторный тензор напряжения; A MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  реологический параметр Андраде; T MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  температура; p MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  давление; A 3· 10 6   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGbbWdamaaBaaaleaapeGaeyOh IukapaqabaGcpeGaeyisISRaaG4maiaaysW7caGG3cGaaGjbVlaaig dacaaIWaWdamaaCaaaleqabaWdbiaaiAdaaaGcpaGaaGzaV=qacaqG Gcaaaa@4CA7@  Па MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWexLMBbXgBd9 gzLbvyNv2CaeHbnnfih9gDOL2yaGqbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWF Nacaaa@40B2@  с1/3 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  значение параметра Андраде при T; MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGubGaeyOKH4QaeyOhIuQaai4o aaaa@42D8@   H a MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGibWdamaaBaaaleaapeGaamyy aaWdaeqaaaaa@3FEF@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  энтальпия активации; E a 4.5· 10 5 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGfbWdamaaBaaaleaapeGaamyy aaWdaeqaaOWdbiabgIKi7kaaisdacaGGUaGaaGynaiaaysW7caGG3c GaaGjbVlaaigdacaaIWaWdamaaCaaaleqabaWdbiaaiwdaaaaaaa@4ABA@  Дж/моль MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  энергия активации; V a 10 5 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGwbWdamaaBaaaleaapeGaamyy aaWdaeqaaOWdbiabgIKi7kaaigdacaaIWaWdamaaCaaaleqabaWdbi abgkHiTiaaiwdaaaaaaa@4535@  м3/моль MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  объем активации; R8  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaacbiqcL9vaqaaaaaaaaaWdbiaa=jfakiabgIKi7kaa iIdacaGGGcaaaa@432E@  Дж MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWexLMBbXgBd9 gzLbvyNv2CaeHbnnfih9gDOL2yaGqbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWF Nacaaa@40B2@  К MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzOdaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@3A2A@ 1/моль MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  универсальная газовая постоянная. Оценки энергии и объема активации характеризуют установившуюся дислокационную ползучесть. При неустановившейся ползучести Андраде энтальпия активации уменьшается в 3 раза, что и отражено в выражении (2) для параметра Андраде [Биргер, 2016]. Подставив в (2) выражение для литостатического давления p=ρgh, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGWbGaeyypa0JaeqyWdiNaam4z aiaadIgacaGGSaaaaa@4426@  где ρ3· 10 3 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaHbpGCcqGHijYUcaaIZaGaaGjb VlaacElacaaMe8UaaGymaiaaicdapaWaaWbaaSqabeaapeGaaG4maa aaaaa@48E3@  кг MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWexLMBbXgBd9 gzLbvyNv2CaeHbnnfih9gDOL2yaGqbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWF Nacaaa@40B2@  м MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzOdaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@3A2A@ 3 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  плотность, g10  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGNbGaeyisISRaaGymaiaaicda caGGGcaaaa@4318@  м MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWexLMBbXgBd9 gzLbvyNv2CaeHbnnfih9gDOL2yaGqbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWF Nacaaa@40B2@  с MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzOdaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@3A2A@ 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  ускорение силы тяжести, нетрудно убедиться, что можно пренебрегать членом p V a MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGWbGaamOva8aadaWgaaWcbaWd biaadggaa8aabeaaaaa@40F2@  и считать, что H a = E a MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGibWdamaaBaaaleaapeGaamyy aaWdaeqaaOWdbiabg2da9iaadweapaWaaSbaaSqaa8qacaWGHbaapa qabaaaaa@4319@  на глубинах h, не превышающих 500 км.

Будем рассматривать такое напряженное состояние, при котором отлична от нуля только xy компонента девиаторного тензора напряжения, и обозначим: σ σ xy MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaHdpWCcqGHHjIUcqaHdpWCpaWa aSbaaSqaa8qacaWG4bGaamyEaaWdaeqaaaaa@4586@  и ε ε xy . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaH1oqzcqGHHjIUcqaH1oqzpaWa aSbaaSqaa8qacaWG4bGaamyEaaWdaeqaaOGaaiOlaaaa@460A@  Как следует из закона Андраде:

 

2 dε dt = σ t 2/3 3A . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaaIYaWaaSaaa8aabaWdbiaadsga cqaH1oqza8aabaWdbiaadsgacaWG0baaaiabg2da9maalaaapaqaa8 qacqaHdpWCcaWG0bWdamaaCaaaleqabaWdbiabgkHiTiaaikdacaGG VaGaaG4maaaaaOWdaeaapeGaaG4maiaadgeaaaGaaiOlaaaa@4D12@

(3)

Поэтому эффективная вязкость, соответствующая закону Андраде, записывается в виде

 

η=3A t 2/3 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaH3oaAcqGH9aqpcaaIZaGaamyq aiaadshapaWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaiaac+cacaaIZaaaaOWdai aac6caaaa@4653@

(4)

Эффективная вязкость η растет со временем, т. е. происходит упрочнение материала. Когда деформация ползучести достигает значения порядка 0.01, ползучесть Андраде сменяется установившейся ползучестью, при которой скорость деформации dε dt MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qadaWcaaWdaeaapeGaamizaiabew7a LbWdaeaapeGaamizaiaadshaaaaaaa@42A2@  постоянна во времени и пропорциональна σ 3 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaHdpWCpaWaaWbaaSqabeaapeGa aG4maaaak8aacaGGUaaaaa@4179@  

В лабораторных экспериментах, проводимых при достаточно низких и, в частности, при комнатных температурах, наблюдается неустановившаяся ползучесть, описываемая законом Ломнитца [Lomnitz, 1957]:

 

2ε=σqln 1+ t τ L . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaaIYaGaeqyTduMaeyypa0Jaeq4W dmNaamyCaiaabYgacaqGUbWaaeWaa8aabaWdbiaaigdacqGHRaWkda WcaaWdaeaapeGaamiDaaWdaeaapeGaeqiXdq3damaaBaaaleaapeGa amitaaWdaeqaaaaaaOWdbiaawIcacaGLPaaacaGGUaaaaa@4E2C@

(5)

Реологические параметры Ломнитца оцениваются как

              q2· 10 14 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGXbGaeyisISRaaGOmaiaaysW7 caGG3cGaaGjbVlaaigdacaaIWaWdamaaCaaaleqabaWdbiabgkHiTi aaigdacaaI0aaaaaaa@49C0@  Па MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzOdaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@3A2A@ 1   τL0.1 с     (6)

и почти не зависят от температуры, при которой проводится эксперимент [Биргер, 2007]. Можно считать [Murrell, 1976], что сдвиговая (девиаторная) деформация, возникающая в момент приложения постоянного сдвигового напряжения σ, складывается из упругой деформации, деформации Ломнитца и деформации Андраде и, следовательно, представима в виде:

 

ε= σ 2 1 µ +qln 1+ t τ L + t 1/3 A , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaH1oqzcqGH9aqpdaWcaaWdaeaa peGaeq4Wdmhapaqaa8qacaaIYaaaamaadmaapaqaa8qadaWcaaWdae aapeGaaGymaaWdaeaapeGaamyTaaaacqGHRaWkcaWGXbGaciiBaiaa c6gadaqadaWdaeaapeGaaGymaiabgUcaRmaalaaapaqaa8qacaWG0b aapaqaa8qacqaHepaDpaWaaSbaaSqaa8qacaWGmbaapaqabaaaaaGc peGaayjkaiaawMcaaiabgUcaRmaalaaapaqaa8qacaWG0bWdamaaCa aaleqabaWdbiaaigdacaGGVaGaaG4maaaaaOWdaeaapeGaamyqaaaa aiaawUfacaGLDbaacaGGSaaaaa@5922@

(7)

где µ1 0 11 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaqcL9vaqaaaaaaaaaWdbiaabwlacqGHijYUieaacaWF XaGaa8hmaOWaaWbaaSqabeaacaaIXaGaaGymaaaaaaa@44B2@  Па MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  упругий модуль сдвига. Поскольку реологический параметр q не зависит от температуры, а значение параметра A снижается с ростом температуры, из равенства (7) следует, что при низких температурах деформация Андраде мала по сравнению с деформацией Ломнитца и ею можно пренебречь, а при высоких температурах пренебрежимо мала деформация Ломнитца. Как следует из (7), на малых временах, прошедших с момента приложения постоянной нагрузки, ползучесть описывается законом Ломнитца, а на больших временах законом Андраде, что и подтверждается данными экспериментов. Чтобы наблюдать переход от закона Ломнитца к закону Андраде при низких температурах, когда параметр A велик, эксперимент на ползучесть следует проводить слишком долго. Именно поэтому и считается, что закон Ломнитца описывает низкотемпературную ползучесть. При высоких температурах, напротив, закон Ломнитца действует только очень короткое время после начала эксперимента и быстро сменяется неустановившейся ползучестью Андраде.

Как следует из (3), закон Андраде дает бесконечную скорость деформации и нулевую эффективную вязкость при малых временах t, что, конечно, не соответствует экспериментальным данным. От этого недостатка свободен модифицированный Джеффрисом закон Ломнитца [Jeffreys, 1958], который дает функцию ползучести:

 

2 ε ij = σ ij q m m 1+ t τ m m 1 ,0m1. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaaIYaGaeqyTdu2damaaBaaaleaa peGaamyAaiaadQgaa8aabeaak8qacqGH9aqpcqaHdpWCpaWaaSbaaS qaa8qacaWGPbGaamOAaaWdaeqaaOWdbmaalaaapaqaa8qacaWGXbWd amaaBaaaleaapeGaamyBaaWdaeqaaaGcbaWdbiaad2gaaaWaamWaa8 aabaWdbmaabmaapaqaa8qacaaIXaGaey4kaSYaaSaaa8aabaWdbiaa dshaa8aabaWdbiabes8a09aadaWgaaWcbaWdbiaad2gaa8aabeaaaa aak8qacaGLOaGaayzkaaWdamaaCaaaleqabaWdbiaad2gaaaGccqGH sislcaaIXaaacaGLBbGaayzxaaGaaiilaiaaywW7caaIWaGaeyizIm QaamyBaiabgsMiJkaaigdacaGGUaaaaa@60A6@

(8)

Закон Джеффриса (8) обобщает законы ползучести Ломнитца и Андраде: в пределе m0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGTbGaeyOKH4QaaGimaaaa@417B@  из (8) получается закон Ломнитца (2), а, когда m=1/3 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGTbGaeyypa0JaaGymaiaac+ca caaIZaaaaa@4205@  и t τ m , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWG0bGaeS4AI8JaeqiXdq3damaa BaaaleaapeGaamyBaaWdaeqaaOGaaiilaaaa@4403@  из (8) следует закон Андраде (1), причем параметр Андраде связан с q q 1/3 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGXbGaeyyyIORaamyCa8aadaWg aaWcbaWdbiaaigdacaGGVaGaaG4maaWdaeqaaaaa@441C@  и τ τ 1/3 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaHepaDcqGHHjIUcqaHepaDpaWa aSbaaSqaa8qacaaIXaGaai4laiaaiodaa8aabeaaaaa@45BA@  соотношением

 

A= τ 1/3 /3q. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGbbGaeyypa0JaeqiXdq3damaa CaaaleqabaWdbiaaigdacaGGVaGaaG4maaaak8aacaaMb8+dbiaac+ cacaaIZaGaamyCaiaac6caaaa@48B5@

(9)

Когда τ мало, уже на малых временах t закон Джеффриса вырождается в закон Андраде. В случае реологии Ломнитца эффективная вязкость принимает вид

 

η L = t+ τ L /q. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaH3oaApaWaaSbaaSqaa8qacaWG mbaapaqabaGcpeGaeyypa0ZaaeWaa8aabaWdbiaadshacqGHRaWkcq aHepaDpaWaaSbaaSqaa8qacaWGmbaapaqabaaak8qacaGLOaGaayzk aaGaai4laiaadghacaGGUaaaaa@4AC1@

(10)

Параметр Ломнитца τ L MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaHepaDpaWaaSbaaSqaa8qacaWG mbaapaqabaaaaa@40D2@  обеспечивает конечную скорость деформации и ненулевую эффективную вязкость на начальной стадии деформации, когда t очень мало. Закон Джеффриса вводит аналогичный параметр τ и для ползучести Андраде. Экспериментальные реологические соотношения (1) и (7) справедливы на временах, превосходящих малые доли секунды. Используя терминологию Джеффриса, можно сказать, что параметр τ очень мал (τ0.01c) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaaiikaabaaaaaaaaapeGaeqiXdqNaeSOAI0JaaGim aiaac6cacaaIWaGaaGymaiaaysW7caqGJbWdaiaacMcaaaa@47BC@  и, когда tτ, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWG0bGaeS4AI8JaeqiXdqNaaiil aaaa@42AD@  можно применять закон Андраде.

Последовательным соединением реологических элементов называется такое их соединение, при котором приложенное напряжение действует в каждом из элементов, а деформация равна сумме деформаций, создаваемых каждым элементом. При последовательном соединении элементов доминирует тот из них, который приводит к наибольшей деформации. Уравнение (7) соответствует последовательному соединению упругого элемента, элемента Ломнитца и элемента Андраде. Как следует из (7), вклад реологии Ломнитца в деформацию материала пренебрежимо мал, если:

 

t 3Aq 3 , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWG0bGaeS4AI8ZaaeWaa8aabaWd biaaiodacaWGbbGaamyCaaGaayjkaiaawMcaa8aadaahaaWcbeqaa8 qacaaIZaaaaOWdaiaacYcaaaa@462B@

(11)

а упругой деформацией можно пренебречь, если:

 

t A/μ 3 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWG0bGaeS4AI8ZaaeWaa8aabaWd biaadgeacaGGVaGaeqiVd0gacaGLOaGaayzkaaWdamaaCaaaleqaba WdbiaaiodaaaGcpaGaaiOlaaaa@46E3@

(12)

Как следует из (11), реологический закон Андраде применим на очень малых временах, прошедших после приложения напряжения, только в том случае, когда 3Aq 3 1c. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qadaqadaWdaeaapeGaaG4maiaadgea caWGXbaacaGLOaGaayzkaaWdamaaCaaaleqabaWdbiaaiodaaaGccq WIQjspcaaIXaGaaGjbVlaabogacaqGUaaaaa@484F@  Следовательно, A 10 13 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGbbGaeSOAI0JaaGymaiaaicda paWaaWbaaSqabeaapeGaaGymaiaaiodaaaaaaa@433B@  Па MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWexLMBbXgBd9 gzLbvyNv2CaeHbnnfih9gDOL2yaGqbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWF Nacaaa@40B2@  с1/3 Это условие выполняется только в таком слое Земли, где H a 3RT MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qadaWcaaWdaeaapeGaamisa8aadaWg aaWcbaWdbiaadggaa8aabeaaaOqaa8qacaaIZaGaamOuaiaadsfaaa aaaa@42A5@  имеет минимальное значение (в этом слое температура наиболее близка к температуре плавления). В остальных слоях Земли на малых временах справедлив закон Ломнитца. Именно поэтому затухание сейсмических волн почти во всех слоях Земли описывается с помощью реологии Ломнитца [Биргер, 2007]. В ослабленных зонах величина параметра Андраде значительно ниже, чем 1013 Па MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWexLMBbXgBd9 gzLbvyNv2CaeHbnnfih9gDOL2yaGqbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWF Nacaaa@40B2@  с1/3, и, следовательно, закон Андраде применим даже на первых секундах после возникновения сдвигового напряжения. Параметр Андраде в ослабленных зонах оценивается как A 10 10 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGbbGaeyisISRaaGymaiaaicda paWaaWbaaSqabeaapeGaaGymaiaaicdaaaaaaa@438E@  Па MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWexLMBbXgBd9 gzLbvyNv2CaeHbnnfih9gDOL2yaGqbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWF Nacaaa@40B2@  с1/3. При таком значении параметра A неравенство (12) принимает вид t0.001c, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWG0bGaeS4AI8JaaGimaiaac6ca caaIWaGaaGimaiaaigdacaaMe8Uaae4yaiaacYcaaaa@46F6@  и, следовательно, можно пренебречь упругостью в ослабленной зоне (но не вне этой зоны).

ЛОКАЛИЗАЦИЯ ДЕФОРМАЦИИ СДВИГА

Уравнение теплового баланса записывается в виде:

 

c p ρ T t =λ 2 T x 2 +σ ε t , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGJbWdamaaBaaaleaapeGaamiC aaWdaeqaaOWdbiabeg8aYnaalaaapaqaa8qacqGHciITcaWGubaapa qaa8qacqGHciITcaWG0baaaiabg2da9iabeU7aSnaalaaapaqaa8qa cqGHciITpaWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaakiaadsfaa8aabaWdbi abgkGi2kaadIhapaWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaaaaGccqGHRaWk cqaHdpWCdaWcaaWdaeaapeGaeyOaIyRaeqyTdugapaqaa8qacqGHci ITcaWG0baaaiaacYcaaaa@59BC@

(13)

где: c p MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGJbWdamaaBaaaleaapeGaamiC aaWdaeqaaaaa@4019@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  теплоемкость на единицу массы при постоянном давлении, ρ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  плотность, ? MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  коэффициент теплопроводности. Для мантии Земли температуропроводность (коэффициент тепловой диффузии) и теплоемкость на единицу объема оцениваются [Теркот, Шуберт, 1985] как:

κ=λ/ c p ρ 10 6 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaH6oWAcqGH9aqpcqaH7oaBcaGG VaGaam4ya8aadaWgaaWcbaWdbiaadchaa8aabeaak8qacqaHbpGCcq GHijYUcaaIXaGaaGima8aadaahaaWcbeqaa8qacqGHsislcaaI2aaa aaaa@4C30@  м2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWexLMBbXgBd9 gzLbvyNv2CaeHbnnfih9gDOL2yaGqbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWF Nacaaa@40B2@  с MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzOdaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@3A2A@ 1

cpρ 4 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWexLMBbXgBd9 gzLbvyNv2CaeHbnnfih9gDOL2yaGqbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWF Nacaaa@40B2@  106 Дж MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWexLMBbXgBd9 gzLbvyNv2CaeHbnnfih9gDOL2yaGqbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWF Nacaaa@40B2@  м MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzOdaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@3A2A@ 3 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWexLMBbXgBd9 gzLbvyNv2CaeHbnnfih9gDOL2yaGqbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWF Nacaaa@40B2@  К MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzOdaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@3A2A@ 1,           (14)

причем единица измерения Дж MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWexLMBbXgBd9 gzLbvyNv2CaeHbnnfih9gDOL2yaGqbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWF Nacaaa@40B2@  м MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzOdaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@3A2A@ 3 Па. Когда

 

t d 2 /κ, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWG0bGaeSOAI0Jaamiza8aadaah aaWcbeqaa8qacaaIYaaaaOWdaiaaygW7peGaai4laiabeQ7aRjaacY caaaa@46EE@

(15)

можно пренебречь выносом тепла посредством теплопроводности и рассматривать адиабатический процесс. В правую часть неравенства (15) входит ширина d ослабленной зоны, в которой развивается сдвиговая деформация. Если ширина ослабленной зоны составляет 10 км, то условие (15) принимает вид t 10 14 c3· 10 6 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWG0bGaeSOAI0JaaGymaiaaicda paWaaWbaaSqabeaapeGaaGymaiaaisdaaaGccaqGJbGaeyisISRaaG 4maiaaysW7caGG3cGaaGjbVlaaigdacaaIWaWdamaaCaaaleqabaWd biaaiAdaaaaaaa@4DA3@  лет.

Когда условие (15) выполнено, уравнение теплового баланса с учетом соотношения:

 

σ=2η dε dt , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaHdpWCcqGH9aqpcaaIYaGaeq4T dG2aaSaaa8aabaWdbiaadsgacqaH1oqza8aabaWdbiaadsgacaWG0b aaaiaacYcaaaa@4883@

(16)

которое определяет эффективную вязкость, принимает вид:

 

dT dt = σ 2 2η c p ρ . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qadaWcaaWdaeaapeGaamizaiaadsfa a8aabaWdbiaadsgacaWG0baaaiabg2da9maalaaapaqaa8qacqaHdp WCpaWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaaaOWdaeaapeGaaGOmaiabeE7a OjaadogapaWaaSbaaSqaa8qacaWGWbaapaqabaGcpeGaeqyWdihaai aac6caaaa@4D28@

(17)

Уравнение (17) описывает рост температуры в рассматриваемой зоне, вызванный вязкой диссипацией энергии. При установившейся ползучести эффективная вязкость сильно зависит от температуры, что приводит к быстрому росту температуры в зоне. Этот быстрый адиабатический процесс, при котором тепло не успевает выноситься из зоны посредством теплопроводности, называют адиабатической неустойчивостью. Адиабатическая неустойчивость приводит к сильному снижению эффективной вязкости в зоне и рассматривается как возможный механизм глубокофокусных землетрясений [Hobbs, Ord, 1988; Karato, 2008]. В случае неустановившейся ползучести эффективная вязкость зависит от температуры значительно слабее (энтальпия активации в 3 раза ниже), и, как будет показано ниже, нет адиабатической неустойчивости, приводящей к быстрому росту температуры.

Подставляя в (17) соотношения (2) и (4), описывающие реологию Андраде, приходим к уравнению:

 

T + T 0 exp a T + T 0 T 0 exp a T 0 aEi a T + T 0 +aEi a T 0 = 3 σ 2 2 A c p ρ t 1/3 , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGceaGabeaaqaaaaaaaaaWdbmaabmaapaqaa8qaceWGubWd ayaafaWdbiabgUcaRiaadsfapaWaaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqaba aak8qacaGLOaGaayzkaaGaciyzaiaacIhacaGGWbWaaeWaa8aabaWd bmaalaaapaqaa8qacaWGHbaapaqaa8qaceWGubWdayaafaWdbiabgU caRiaadsfapaWaaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqabaaaaaGcpeGaayjk aiaawMcaaiabgkHiTiaadsfapaWaaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqaba GcpeGaciyzaiaacIhacaGGWbWaaeWaa8aabaWdbmaalaaapaqaa8qa caWGHbaapaqaa8qacaWGubWdamaaBaaaleaapeGaaGimaaWdaeqaaa aaaOWdbiaawIcacaGLPaaacqGHsislaeaacqGHsislcaaMe8Uaamyy aiaabweacaqGPbWaaeWaa8aabaWdbmaalaaapaqaa8qacaWGHbaapa qaa8qaceWGubWdayaafaWdbiabgUcaRiaadsfapaWaaSbaaSqaa8qa caaIWaaapaqabaaaaaGcpeGaayjkaiaawMcaaiabgUcaRiaadggaca qGfbGaaeyAamaabmaapaqaa8qadaWcaaWdaeaapeGaamyyaaWdaeaa peGaamiva8aadaWgaaWcbaWdbiaaicdaa8aabeaaaaaak8qacaGLOa GaayzkaaGaeyypa0ZaaSaaa8aabaWdbiaaiodacqaHdpWCpaWaaWba aSqabeaapeGaaGOmaaaaaOWdaeaapeGaaGOmaiaadgeapaWaaSbaaS qaa8qacqGHEisPa8aabeaak8qacaWGJbWdamaaBaaaleaapeGaamiC aaWdaeqaaOWdbiabeg8aYbaacaWG0bWdamaaCaaaleqabaWdbiaaig dacaGGVaGaaG4maaaak8aacaGGSaaaaaa@7D95@

(18)

где

 

T =T T 0 ,a= H a /3R1.5· 10 4 K. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaceWGubWdayaafaWdbiabg2da9iaa dsfacqGHsislcaWGubWdamaaBaaaleaapeGaaGimaaWdaeqaaOGaai ilaiaaywW7caaMf8+dbiaadggacqGH9aqpcaWGibWdamaaBaaaleaa peGaamyyaaWdaeqaaOGaaGzaV=qacaGGVaGaaG4maiaadkfacqGHij YUcaaIXaGaaiOlaiaaiwdacaaMe8Uaai4TaiaaysW7caaIXaGaaGim a8aadaahaaWcbeqaa8qacaaI0aaaaOGaam4saiaac6caaaa@5BA6@

(19)

Ei(x) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  интегральная показательная функция, для которой

dEi x dx = e x /x. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qadaWcaaWdaeaapeGaamizaiaabwea caqGPbWaaeWaa8aabaWdbiaadIhaaiaawIcacaGLPaaaa8aabaWdbi aadsgacaWG4baaaiabg2da9iaadwgapaWaaWbaaSqabeaapeGaamiE aaaak8aacaaMb8+dbiaac+cacaaMb8UaaGPaVlaadIhacaGGUaaaaa@4FBA@

Когда T T 0 , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaceWGubWdayaafaWdbiablQMi9iaa dsfapaWaaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqabaGccaGGSaaaaa@42E7@  левая часть уравнения (18) принимает вид:

 

T + T 0 exp a T+ T 0 T 0 exp a T 0 aEi a T + T 0 +aEi a T 0 T exp a T 0 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGceaGabeaaqaaaaaaaaaWdbmaabmaapaqaa8qaceWGubWd ayaafaWdbiabgUcaRiaadsfapaWaaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqaba aak8qacaGLOaGaayzkaaGaciyzaiaacIhacaGGWbWaaeWaa8aabaWd bmaalaaapaqaa8qacaWGHbaapaqaa8qacaWGubGaey4kaSIaamiva8 aadaWgaaWcbaWdbiaaicdaa8aabeaaaaaak8qacaGLOaGaayzkaaGa eyOeI0Iaamiva8aadaWgaaWcbaWdbiaaicdaa8aabeaak8qaciGGLb GaaiiEaiaacchadaqadaWdaeaapeWaaSaaa8aabaWdbiaadggaa8aa baWdbiaadsfapaWaaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqabaaaaaGcpeGaay jkaiaawMcaaiabgkHiTaqaaiabgkHiTiaaysW7caWGHbGaaeyraiaa bMgadaqadaWdaeaapeWaaSaaa8aabaWdbiaadggaa8aabaWdbiqads fapaGbauaapeGaey4kaSIaamiva8aadaWgaaWcbaWdbiaaicdaa8aa beaaaaaak8qacaGLOaGaayzkaaGaey4kaSIaamyyaiaabweacaqGPb WaaeWaa8aabaWdbmaalaaapaqaa8qacaWGHbaapaqaa8qacaWGubWd amaaBaaaleaapeGaaGimaaWdaeqaaaaaaOWdbiaawIcacaGLPaaacq GHijYUceWGubWdayaafaWdbiGacwgacaGG4bGaaiiCamaabmaapaqa a8qadaWcaaWdaeaapeGaamyyaaWdaeaapeGaamiva8aadaWgaaWcba Wdbiaaicdaa8aabeaaaaaak8qacaGLOaGaayzkaaGaaiOlaaaaaa@77F8@

(20)

Положим:

 

T 0 1500 K,σ 10 6 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGubWdamaaBaaaleaapeGaaGim aaWdaeqaaOWdbiabgIKi7kaaigdacaaI1aGaaGimaiaaicdacaGGGc GaaGjbVlaabUeacaqGSaGaaGzbVlaaywW7cqaHdpWCcqGHijYUcaaI XaGaaGima8aadaahaaWcbeqaa8qacaaI2aaaaaaa@51C7@  Па.

(21)

При таких значениях начальной температуры и возникающего в начальный момент напряжения приходим к оценкам:

 

3 σ 2 2 A c p ρ 0.13 K· c 1/3 , exp a T 0 exp 10 2.2· 10 4 , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGceaGabeaaqaaaaaaaaaWdbmaalaaapaqaa8qacaaIZaGa eq4Wdm3damaaCaaaleqabaWdbiaaikdaaaaak8aabaWdbiaaikdaca WGbbWdamaaBaaaleaapeGaeyOhIukapaqabaGcpeGaam4ya8aadaWg aaWcbaWdbiaadchaa8aabeaak8qacqaHbpGCaaGaeyisISRaaGimai aac6cacaaIXaGaaG4maiaacckacaaMe8Uaae4saiaaysW7caGG3cGa aGjbVlaabogapaWaaWbaaSqabeaapeGaeyOeI0IaaGymaiaac+caca aIZaaaaOWdaiaacYcaaeaapeGaaeyzaiaabIhacaqGWbWaaeWaa8aa baWdbmaalaaapaqaa8qacaWGHbaapaqaa8qacaWGubWdamaaBaaale aapeGaaGimaaWdaeqaaaaaaOWdbiaawIcacaGLPaaacqGHijYUcaqG LbGaaeiEaiaabchadaqadaWdaeaapeGaaGymaiaaicdaaiaawIcaca GLPaaacqGHijYUcaaIYaGaaiOlaiaaikdacaaMe8Uaai4TaiaaysW7 caaIXaGaaGima8aadaahaaWcbeqaa8qacaaI0aaaaOWdaiaacYcaaa aa@75A3@

(22)

для которых из уравнений (20) и (22) следует

 

T =c t 1/3 ,c6· 10 6 K· c 1/3 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaceWGubWdayaafaWdbiabg2da9iaa dogacaWG0bWdamaaCaaaleqabaWdbiaaigdacaGGVaGaaG4maaaak8 aacaGGSaGaaGzbVlaaywW7peGaam4yaiabgIKi7kaaiAdacaaMe8Ua ai4TaiaaysW7caaIXaGaaGima8aadaahaaWcbeqaa8qacqGHsislca aI2aaaaOGaae4saiaaysW7caGG3cGaaGjbVlaabogapaWaaWbaaSqa beaapeGaeyOeI0IaaGymaiaac+cacaaIZaaaaOWdaiaac6caaaa@5D96@

(23)

На рис. 1 представлена зависимость температуры, которую дает левая часть уравнения (18), от температуры T , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaceWGubWdayaafaWdbiaacYcaaaa@3F96@  а на рис. 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  зависимость температуры, которую дает правая часть уравнения (18), от времени t. На этих рисунках температура представлена в градусах Кельвина, а время MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  в секундах. Сравнение функций, представленных на этих рисунках, показывает, что уравнение (18) имеет решение только при условии T T 0 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaceWGubWdayaafaWdbiablQMi9iaa dsfapaWaaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqabaGccaGGUaaaaa@42E9@  Формула (23) дает единственное решение уравнения (18), когда значения коэффициентов в этом уравнении определены формулами (22).

Поскольку T T 0 , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaceWGubWdayaafaWdbiablQMi9iaa dsfapaWaaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqabaGccaGGSaaaaa@42E7@  значение реологического параметра A очень слабо зависит от возмущения температуры T , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaceWGubWdayaafaWdbiaacYcaaaa@3F96@  и деформация, возникающая после приложения напряжения σ, описывается законом Андраде:

ε= σ t 1/3 2 A 0 , A 0 = A exp a T 0 7· 10 10 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaH1oqzcqGH9aqpdaWcaaWdaeaa peGaeq4WdmNaamiDa8aadaahaaWcbeqaa8qacaaIXaGaai4laiaaio daaaaak8aabaWdbiaaikdacaWGbbWdamaaBaaaleaapeGaaGimaaWd aeqaaaaak8qacaGGSaGaaGzbVlaadgeapaWaaSbaaSqaa8qacaaIWa aapaqabaGcpeGaeyypa0Jaamyqa8aadaWgaaWcbaWdbiabg6HiLcWd aeqaaOWdbiGacwgacaGG4bGaaiiCamaabmaapaqaa8qadaWcaaWdae aapeGaamyyaaWdaeaapeGaamiva8aadaWgaaWcbaWdbiaaicdaa8aa beaaaaaak8qacaGLOaGaayzkaaGaeyisISRaaG4naiaaysW7caGG3c GaaGjbVlaaigdacaaIWaWdamaaCaaaleqabaWdbiaaigdacaaIWaaa aaaa@6268@  Па MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWexLMBbXgBd9 gzLbvyNv2CaeHbnnfih9gDOL2yaGqbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWF Nacaaa@40B2@  с1/3.      (24)

Направим ось y вдоль максимального касательного (сдвигового) напряжения, которое возникает, например, при продольном сжатии погружающейся в мантию литосферы. Для простоты предположим, что ослабленная зона, в которой локализована сдвиговая деформация, сильно вытянута вдоль оси y и, следовательно, смещение uy не зависит от y. Ось x направлена в перпендикулярном направлении, а d MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  ширина ослабленной зоны. Таким образом, после приложения сдвигового напряжения между бортами зоны возникает смещение:

 

Δ u y =εd. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaccaaeaaaaaaaaa8qacqWFuoarcaWG1bWdamaaBaaa leaapeGaamyEaaWdaeqaaOWdbiabg2da9iabew7aLjaadsgacaGGUa aaaa@4600@

(25)

Следует заметить, что деформация ε в соотношениях (24) и (25) не превышает 0.01, поскольку при больших деформациях имеет место установившаяся ползучесть, и закон Андраде уже не применим. Как следует из (24) и (25), возникающее смещение зависит от времени как

 

Δ u y = σd 2 A 0 t 1/3 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaccaaeaaaaaaaaa8qacqWFuoarcaWG1bWdamaaBaaa leaapeGaamyEaaWdaeqaaOWdbiabg2da9maalaaapaqaa8qacqaHdp WCcaWGKbaapaqaa8qacaaIYaGaamyqa8aadaWgaaWcbaWdbiaaicda a8aabeaaaaGcpeGaamiDa8aadaahaaWcbeqaa8qacaaIXaGaai4lai aaiodaaaGcpaGaaiOlaaaa@4CA3@

(26)

При уже введенных оценках температуры, напряжения и параметров A MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGbbWdamaaBaaaleaapeGaeyOh Iukapaqabaaaaa@4073@  и a соотношение (26) принимает вид:

 

Δ u y =b t 1/3 d,b=7· 10 6 c 1/3 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaccaaeaaaaaaaaa8qacqWFuoarcaWG1bWdamaaBaaa leaapeGaamyEaaWdaeqaaOWdbiabg2da9iaadkgacaWG0bWdamaaCa aaleqabaWdbiaaigdacaGGVaGaaG4maaaakiaadsgacaGGSaGaaGzb VlaaywW7caWGIbGaeyypa0JaaG4naiaaysW7caGG3cGaaGjbVlaaig dacaaIWaWdamaaCaaaleqabaWdbiabgkHiTiaaiAdaaaGccaqGJbWd amaaCaaaleqabaWdbiabgkHiTiaaigdacaGGVaGaaG4maaaak8aaca GGUaaaaa@5B64@

(27)

Соотношение (27), полученное для значений σ 10 6 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaHdpWCcqGHijYUcaaIXaGaaGim a8aadaahaaWcbeqaa8qacaaI2aaaaaaa@43D7@  Па и A 0 =7· 10 10 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGbbWdamaaBaaaleaapeGaaGim aaWdaeqaaOWdbiabg2da9iaaiEdacaaMe8Uaai4TaiaaysW7caaIXa GaaGima8aadaahaaWcbeqaa8qacaaIXaGaaGimaaaaaaa@4928@  Па MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWexLMBbXgBd9 gzLbvyNv2CaeHbnnfih9gDOL2yaGqbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWF Nacaaa@40B2@  с1/3 (такая оценка не учитывает снижение значения параметра A 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGbbWdamaaBaaaleaapeGaiGjG icdaa8aabeaaaaa@40DC@  в ослабленной зоне), приводит к малому смещению на малых временах. Для t1c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWG0bGaeyisISRaaGymaiaaysW7 caqGJbaaaa@43BA@  и d10 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGKbGaeyisISRaaGymaiaaicda aaa@41F1@  км из (27) получаем Δ u y 0.07 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaccaaeaaaaaaaaa8qacqWFuoarcaWG1bWdamaaBaaa leaapeGaamyEaaWdaeqaaOWdbiabgIKi7kaaicdacaGGUaGaaGimai aaiEdaaaa@4650@  м. Однако, если считать, что значение A 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGbbWdamaaBaaaleaapeGaaGim aaWdaeqaaaaa@3FBC@  на порядок понижено в ослабленной зоне, а сдвиговое напряжение высокое (σ 10 7 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaGGOaGaeq4WdmNaeyisISRaaGym aiaaicdapaWaaWbaaSqabeaapeGaaG4naaaaaaa@4484@  Па), то за 1 секунду смещение достигает 10 м, что уже может привести к землетрясению. При таких оценках A 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGbbWdamaaBaaaleaapeGaaGim aaWdaeqaaaaa@3FBC@  и σ правая часть равенства (23) увеличивается на 3 порядка, но и в этом случае за 1 секунду температура возрастает очень слабо.

 

Рис. 1

 

Рис. 2

 

Определяющими уравнениями в рассматриваемой задаче о локализации деформации являются уравнения неустановившейся ползучести (2) и (4), описывающие зависимость деформации от времени при постоянном напряжении, приложенном в начальный момент, и уравнение (17) теплового баланса для адиабатического процесса. На малых временах, прошедших после приложения напряжения, диссипативное тепловыделение очень слабо увеличивает температуру и почти не влияет на смещение Δ u y . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaccaaeaaaaaaaaa8qacqWFuoarcaWG1bWdamaaBaaa leaapeGaamyEaaWdaeqaaOGaaiOlaaaa@425A@  Поскольку на малых временах эффективная вязкость при неустановившейся ползучести мала, приложенное напряжение σ вызывает большую деформация ползучести, которая значительно превышает возникающую упругую деформацию. Эта деформация ползучести приводит к быстрому смещению u y MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWG1bWdamaaBaaaleaapeGaamyE aaWdaeqaaaaa@4034@  бортов ослабленной зоны, т. е. зоны, прочность которой понижена из-за низкого значения параметра Андраде. Если ширина d этой зоны и приложенное напряжение σ велики, а параметр A заметно понижен, данная зона является очагом землетрясения. Таким образом, локализация деформации в зоне пониженной прочности определяется не адиабатической неустойчивостью, описываемой уравнением (17), а неустановившейся ползучестью материала.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Ослабленная зона в погружающейся в мантию литосфере может привести к землетрясению после приложения сдвигового напряжения только в том случае, если эффективная вязкость этой зоны очень мала. При малой вязкости за короткое время (несколько секунд), прошедшее после приложения напряжения, возникают значительные смещения бортов зоны, что вызывает сейсмические волны большой амплитуды. Смещение бортов зоны, в которой локализуются сдвиговые деформации, вызывает и мелкофокусные землетрясения. Однако в этом случае смещение бортов зоны обусловлено небольшой силой трения в коре. На больших глубинах, где сила трения очень велика из-за высокого литостатического давления, такой механизм не работает, а быстрое смещение бортов зоны вызывается ползучестью. Закон Андраде, описывающий неустановившуюся ползучесть при постоянном напряжении, приложенном в начальный момент времени, приводит к очень малой эффективной вязкости на первых секундах после начального момента. Скорость деформации при неустановившейся ползучести уменьшается со временем, а эффективная вязкость возрастает. Когда деформация ползучести достигает значения порядка 0.01, ползучесть Андраде сменяется установившейся ползучестью, при которой скорость деформации постоянна. Эффективная вязкость при установившейся ползучести значительно выше той, которая характеризует неустановившуюся ползучесть. Эффективная вязкость снижается за счет повышения температуры в ослабленной зоне, вызванного диссипативным тепловыделением. Этот процесс (адиабатическая неустойчивость) происходит недостаточно быстро для того, чтобы за короткое время заметно изменить температуру и эффективную вязкость, и, следовательно, не оказывает заметного влияния на этапе неустановившейся ползучести. Однако, если в короткий период времени после приложения напряжения, неустановившаяся ползучесть не приводит к землетрясению (смещение бортов слишком мало из-за недостаточно высокого напряжения σ, недостаточно большой ширины ослабленной зоны d или недостаточно малого значения параметра Андраде A0), неустановившаяся ползучесть сменяется установившейся ползучестью, при которой температура медленно возрастает, а эффективная вязкость медленно убывает. При тех оценках (σ ≈ 106 Па, A0 = 7 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWexLMBbXgBd9 gzLbvyNv2CaeHbnnfih9gDOL2yaGqbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWF Nacaaa@40B2@  1010 Па MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWexLMBbXgBd9 gzLbvyNv2CaeHbnnfih9gDOL2yaGqbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWF Nacaaa@40B2@  с1/3), которые были использованы в настоящей работе, переход к установившейся ползучести происходит приблизительно через 100 с после приложения напряжения. Когда через продолжительное время, которое в силу условия реализации адиабатического процесса (15) может достигать миллиона лет, температура и скорость деформации становятся очень высокими, а эффективная вязкость MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  низкой, сдвиговая деформация в зоне начинает сильно и быстро возрастать (адиабатическая неустойчивость), и происходит землетрясение.

B. I. Birger

Schmidt Institute of Physics of the Earth, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: birgerbor@mail.ru

Russian Federation, Moscow

  1. Биргер Б.И. Затухание сейсмических волн и универсальная реологическая модель мантии Земли // Физика Земли. 2007. № 8. С. 17–23.
  2. Биргер Б.И. Динамика литосферы Земли. М.: Ленанд. 2016. 256 с.
  3. Теркот Д., Шуберт Дж. Геодинамика. Геологические приложения физики сплошных сред. М.: Мир. 1985. 730 с.
  4. Berckhemer H., Auer F., Drisler J. High-temperature anela¬sticity and elasticity of mantle peridotite // Phys. Earth planet. Inter. 1979. V. 20. P. 48–59.
  5. Birger B.I. Rheology of the Earth and thermoconvective mechanism for sedimentary basins formation // Geophys. J. Inter. 1998. V. 134. P. 1–12.
  6. Birger B.I. Excitation of thermoconvective waves in the continental lithosphere // Geophys. J. Inter. 2000. V. 140. P. 24–36.
  7. Birger B.I. Transient creep and convective instability of the lithosphere // Geophys. J. Inter. 2012. V. 191. P. 909–922.
  8. Birger B.I. Temperature-dependent transient creep and dynamics of cratonic lithosphere // Geophys. J. Inter. 2013. V. 195. P. 695–705.
  9. Goetze C. High temperature rheology of Westerly granite // J. Geophys. Res. 1971. V. 76. P. 1223–1230.
  10. Goetze C., Brace W.F. Laboratory observations of high-temperature rheology of rocks // Tectonophysics. 1972. V. 13. P. 583–600.
  11. Hobbs B.E., Ord A. Plastic instabilities: implications for the origin of intermediate and deep focus earthquakes // J. Geophys. Res. 1988. V. 89. P. 10521–10540.
  12. Jeffreys H. A modification of Lomnitz’s law of creep in rocks // Geophys. J. Roy. Astron. Soc. 1958. V. 1. P. 92–95.
  13. Karato S. Deformation of Earth Materials. An Introduction to the Rheology of Solid Earth. Cambridge university press. 2008. 463 p.
  14. Lomnitz C. Linear dissipation in solids // J. Appl. Phys. 1957. V. 28. P. 201–205.
  15. Murrell S.A.F. Rheology of the lithosphere – experimental indications // Tectonophysics. 1976. V. 36. P. 5–24.
  16. Murrell S.A.F., Chakravarty S. Some new rheological experiments on igneous rock at temperatures up to 1120 C // Geophys. J. Roy. Astron. Soc. 1973. V. 34. P. 211–250.
  17. Weertman J. Creep laws for the mantle of the Earth // Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1978. V. A288. P. 9–26.

Supplementary files

There are no supplementary files to display.

Views

Abstract - 87

PDF (Russian) - 99

PlumX

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2019 Russian academy of sciences