Predictability of the rate of seismic energy in North America

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Прогноз таких природных катастроф, как извержения вулканов и разрушительные землетрясения, является фундаментальной научной проблемой, с древнейших времен привлекающей внимание исследователей. Однако несмотря на пристальное внимание, эта проблема по-прежнему далека от разрешения. Как отмечается в работе [Чебров и др., 2011, с. 269], «при всем обилии проведенных и проанализированных наблюдений в мире, место, время и магнитуда будущих разрушительных землетрясений даже в хорошо изученных регионах по-прежнему оказываются неожиданными». С современным состоянием проблемы можно ознакомиться в [Encyclopedia…, 2016].

Данная работа представляет собой развитие методов саморазвивающихся процессов и картирования сейсмической активности по плотности сейсмического потока [Тихонов, 2006; 2009]. Автор этих строк, являясь первоначальным разработчиком обоих вышеупомянутых методов, ни в коем случае не претендует на окончательное решение при их помощи проблемы прогноза природных катастроф, преследуя более скромные цели $–$оценить прогнозные возможности уравнения динамики саморазвивающихся природных процессов (уравнения ДСПП, см. ниже) и, в случае положительных перспектив, довести вышеупомянутые методы до стадии пригодности к практическому использованию. Подобная формулировка задачи предполагает постановку двух групп вопросов. Первая (оценочная) группа определяет правомерность самой постановки задачи прогноза при помощи указанных методов (насколько адекватно использование метода саморазвивающихся процессов при прогнозе потока сейсмической энергии? Как соотносятся с прогнозируемостью сейсмического потока входящие в его состав сильные землетрясения?). Вторая группа вопросов соответствует изучению перспектив практического использования прогнозируемости сейсмического потока (возможно ли заблаговременное выделение зон активизации, предшествующей сильным землетрясениям? Возможен ли количественный прогноз усиления сейсмической активности в этих зонах? и др.). Естественно, что постановка практических вопросов правомерна лишь после получения ответов на вопросы первой группы. Поэтому первоначально предлагается абстрагироваться от прогноза сильных землетрясений и сконцентрировать внимание на прогнозируемости потока энергии землетрясений E, затем рассмотреть взаимосвязь прогнозируемости этого параметра с сильными землетрясениями, и, при наличии взаимосвязи, обсудить перспективы ее использования в прогнозах сильных землетрясений и афтершокового затухания сейсмичности.

Для расчета потока сейсмической энергии используется стандартная информация, содержащаяся в каталогах землетрясений: время начала землетрясения, положение его гипоцентра и энергетическая характеристика (магнитуда или энергетический класс). Положение гипоцентра характеризуется центральной точкой, данные о которой в современных каталогах приводятся с точностью $\sim 100ì\text{.}$Однако ошибка определения гипоцентра индивидуальна для каждого землетрясения. Она зависит от силы землетрясения, его положения относительно регистрирующей сети, плотности самой сети и используемых годографов. Учесть ошибку определения каждого гипоцентра в расчетах потока энергии не представляется возможным, поэтому в используемой методике она рассматривается как неизвестный случайный фактор. Ситуация с ошибками определения энергетической характеристики землетрясения аналогична. Поэтому для объективной оценки как прогнозных возможностей, так и перспектив их практического использования подобный анализ предполагается выполнить по нескольким регионам на основе (по возможности) различных источников сейсмических данных в виде нескольких однотипных работ, имеющих разное региональное содержание. Также это позволит собрать большой объем статистических данных, необходимый для следующего этапа исследований.

К настоящему времени подобное исследование выполнено для сейсмичности Камчатки по данным регионального каталога [Малышев, 2019], для потока сейсмической энергии северо-западного обрамления Тихого океана [Малышев, Малышева, 2018], Южной Европы и Средиземноморья по данным каталога Геологической службы США, а также для сейсмичности Японии по данным каталога Японского метеорологического агентства.

Таким образом работа, во-первых, предполагает дать ответ на вопрос, есть ли вообще смысл в использовании уравнения ДСПП в целях прогноза, во-вторых, в ряду с несколькими аналогичными работами обеспечивает набор статистики прогнозируемости потока энергии в различных регионах и по данным различных информационных источников. На следующем этапе исследований анализ этой статистики позволит определить при каких параметрах уравнения и условиях формирования выборок отмечается наилучшая экстраполируемость потока сейсмической энергии. Третий этап исследований предусматривает использование полученных статистических данных для обеспечения устойчивой экстраполяции потока энергии в 3D-пространстве, включая выделение потенциально опасных областей с риском сильных землетрясений. И лишь после этого, на четвертом этапе исследований, можно будет приступить к прогнозу сейсмической активности как в реальном времени, так и в ретроспективе.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

В работе используется уравнение ДСПП [Малышев, 1991; 2000; 2005]

$x^{″}=k|{\left(x^{\prime }\right)}^{\lambda }-{\left({x^{\prime }}_0\right)}^{\lambda }{|}^{\alpha /\lambda },$ (1)

где: x $–$расчетная характеристика процесса, моделирующая имеющиеся фактические данные; $x^{\prime }$и $x^{″}$$–$ее первая и вторая производные по времени t; k $–$коэффициент пропорциональности, а показатели степени $\lambda$и $\alpha$определяют нелинейность процесса, соответственно, в окрестностях стационарного состояния $(x^{\prime }\approx {x^{\prime }}_0)$и на значительном от него удалении $(x^{\prime }>>{x^{\prime }}_0).$

Уравнение (1) было получено в результате обобщения эмпирически установленных закономерностей различных природных процессов [Малышев, 1991], а его логический смысл сводится к сделанному в терминах теории подобия предположению [Малышев, 2000] о том, что в случае саморазвивающихся процессов, «силы», возникающие при отклонении системы от стационарного состояния, формируются за счет развития самой системы и пропорциональны разности «энергии движения» системы в текущем и стационарном состояниях: $F_x=a|E_x-E_0{|}^{\gamma }$или $m_x{x}^{\prime }=a|m_x{\left(x^{\prime }\right)}^2/2-m_x{\left(x^{\prime }\right)}_0^2/2{|}^{\gamma }.$Здесь $m_x,$$F_x$и $E_x,$соответственно, «мера инертности», «сила» и «энергия движения» системы по параметру x. Несложные преобразования последнего выражения приводят к нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка (1) при $\lambda =\mathrm{2,}$$\alpha =2\gamma$и $K=a{m}_x{}^{\gamma -1}.$В связи с вышесказанным на основе уравнения (1) представляется возможным предложить универсальную методику прогноза количественных характеристик саморазвивающихся природных процессов.

Для прогноза потенциально катастрофических процессов наиболее интересен случай $x^{\prime }>>{x^{\prime }}_0.$Поэтому в качестве аппроксимационной модели имеет значение уравнение:

$x^{\prime }=k{\left(x^{\prime }\right)}^{\alpha }.$ (2)

Решения уравнения (2) представимы в явном виде. При $k=0$они соответствуют линейным зависимостям: $x=x_1+x^{\prime }(t-t_1),$$x^{\prime }=\text{const}.$При $k\ne \mathrm{0,}$$\alpha \ne 1$и $\alpha \ne 2:$параболам $(\alpha <1),$гиперболам $(1<\alpha <2)$и «супергиперболам» $x=X_a+{[k(\alpha \text{}-1)(T_a\text{}-t)]}^{(}{}^{a-2)/(\alpha -1)}\text{}/[k(2\text{}-\alpha )],$где $T_a\text{}=t_1\text{}+({x^{\prime }}_1{}^{1-\alpha })/[k(\alpha -\text{}1)],$$X_a\text{}=x_1\text{}+({x^{\prime }}_1{{}^{2-}}^{\alpha })/[k(\alpha \text{}-2)].$При $k\ne 0$и $\alpha =1$решения представлены экспонентами: $x=X_a+(x_1-X_a)\text{exp}[k(t-t_1)],$где $X_a\text{}=x_1\text{}-{x^{\prime }}_1/k.$При $k\ne 0$и $\alpha =2$$–$логарифмическими зависимостями: $x\text{}=x_1\text{}+\text{ln}|(T_a\text{}-t_1)/(T_a\text{}-t)|/k,$где $T_a=t_1+1/(k{x^{\prime }}_1).$В этих выражениях $x_1,$${x^{\prime }}_1$и $t_1$$–$начальные условия (значения параметра и скорости его изменения в определенные моменты времени), $T_a$и $X_a$$–$значения асимптот по времени и параметру. Следовательно, решения уравнения (2) представляют собой либо собственно линейную зависимость $(k=0),$либо сводятся к линейным зависимостям при логарифмировании разностей между значениями параметра и/или времени и соответствующими асимптотами. При $k\ne \mathrm{0,}$$\alpha \ne 1$и $\alpha \ne 2$решения имеют линейный вид в двойных логарифмических координатах: $\text{ln}|x-X_a|=A\text{ln}|t-T_a|+B,$где $A=(\alpha -2)/(\alpha -1)$и $B=\text{ln}|k(\alpha -1)|\times (\alpha -2)/(\alpha -1)-\text{ln}|k(\alpha -2)|.$При $k\ne 0$и $\alpha =1$$–$линейный вид при логарифмировании логарифмических разностей по параметру $\text{ln}|x-X_a|=At+B,$где $A=k$и $B=\text{ln}|x_1-X_a|-k\times t_1.$При $k\ne 0$и $\alpha =2$$–$линейный вид при логарифмировании асимптотических разностей по времени $x=A\times \text{ln}|T_a-t|+B,$где $A=-1/k$и $B=x_1+\text{ln}|T_a-t_1|/k.$

Линейность решений уравнения (2) в обычных или логарифмических координатах упрощает поиск наилучшего соответствия (оптимизацию) между частным решением уравнения (2) и аппроксимируемыми им фактическими данными. Прямая оптимизация решений уравнения (2) по пяти параметрам (показатель $\alpha ,$коэффициент k и начальные условия $x_1,{x^{\prime }}_1$и $t_1)$сложна и затратна по вычислительным ресурсам, но при использовании обычной или логарифмической линейности оптимизация сводится к рассмотрению и сопоставлению между собой нескольких вариантов линейной регрессии. При этом в некоторых вариантах требуется оптимизация по одному или двум дополнительным параметрам $–$асимптотам $T_a$и/или $X_a.$Оптимальные показатель $\alpha ,$коэффициент k и начальные условия $x_1,{x^{\prime }}_1$и $t_1$для каждого варианта легко определяются аналитически по вышеприведенным формулам для констант линейности (A и B) и асимптот. Все это существенно упрощает процедуру оптимизации и снижает требования к вычислительным ресурсам.

Тем не менее, при сравнении вариантов линейной регрессии возникает проблема выбора критерия оптимизации $–$количественной характеристики соответствия между фактическими данными и аппроксимирующим их частным решением уравнения (2). Использование в качестве подобного критерия среднеквадратичного отклонения относительно линейных регрессий невозможно, так как в вариантах с логарифмическими координатами среднеквадратичное отклонение зависит от значений оптимизируемых асимптот. В частности, при использовании абсолютных величин отклонений в логарифмических координатах оптимальные значения асимптот уходят в бесконечность, в результате чего расстояния между точками (а следовательно, и среднеквадратичное отклонение) становятся бесконечно малыми. Использование относительных величин отклонений (относительно диапазона изменений логарифмов) приводит к обратной ситуации $–$в ходе оптимизационного поиска асимптоты максимально приближаются к краевым точкам аппроксимируемых данных, делая диапазон изменения логарифмов бесконечно большим, а величину относительных отклонений, соответственно, бесконечно малой. Поэтому все варианты линейной регрессии требуют сопоставления в обычных координатах. Однако и в этом случае поиск оптимального соответствия между решениями уравнения (2) и фактическими данными оказывается непростой задачей.

Здесь следует отметить, что уравнение (2) формально соответствует уравнению, предложенному Б. Войтом [Voight, 1988] для описания динамики хрупких разрушений в преддверии кульминации вулканических извержений. Уравнение Б. Войта используется в методе прогноза разрушений FFM (Forecasting Failure Method), однако в ряде современных работ [Bell et al., 2011; 2013; 2016] утверждается, что данный метод необъективен и неточен даже для ретроспективного анализа. Исходя из опыта автора этих строк, именно проблема с выбором критерия оптимизации стала причиной неудачи: стандартный метод наименьших квадратов, примененный исследователями, не обеспечивает устойчивости аппроксимационного моделирования и поэтому неэффективен.

Действительно, в случае резко нелинейных регрессионных зависимостей на участках с низкими скоростями изменения параметра, разброс его фактических значений много меньше, а по времени $–$много больше, чем на участках с высокими скоростями. Если использовать в качестве критерия оптимизации минимальность отклонений по параметру x, то аппроксимационная кривая будет подбираться так, чтобы лучше соответствовать участку с высокой активностью, тогда как небольшие отклонения на участке с низкой активностью в ходе оптимизации будут игнорироваться, и результирующая аппроксимационная кривая на этом участке пойдет с искажениями. При использовании в качестве критерия оптимизации отклонений по времени t ситуация сменится на противоположную $–$аппроксимационная кривая будет лучше всего оптимизирована на участке с низкими скоростями изменения параметра, тогда как на участках с высокими скоростями возможны искажения. Эти искажения тем выше, чем больше аппроксимируемая последовательность отличается от линейной зависимости, т. е. чем выше нелинейность исследуемого процесса.

Также не решают проблему аппроксимационных искажений попытки использования в качестве критерия оптимизации отклонений от нелинейной регрессии по нормали. В этом случае аппроксимационная кривая оптимизируется для максимального соответствия значениям параметра на участках с низкими скоростями его изменения, а на участках с высокими скоростями оптимизируется для соответствия значениям времени. Но одновременно при оптимизации игнорируется повышенный разброс данных по второй координате $–$по времени на участках с низкой активностью и по параметру на участках с высокой активностью.

Подобные искажения делают аппроксимационное моделирование неустойчивым, что, собственно, и предопределило приведенный выше вывод исследователей эффективности метода FFM. В результате искажений оптимальные параметры решений уравнения (2) становятся недостоверными и изменчивыми, что полностью исключает возможность их использования в прогнозных экстраполяциях. Тем не менее устранить искажения и повысить устойчивость аппроксимационного моделирования возможно, используя нестандартные критерии оптимизации [Малышев, 2005; Малышев, Тихонов, 2007]. В описываемой методике в этих целях используется среднеквадратичное бикоординатное отклонение ${\Delta }_{xt}=\{\Sigma (\Delta x_i\times \Delta t_i)/[n\times (x_n-x_1)\times (t_n-t_1)]{\}}^{0.5}.$Здесь: n $–$число точек на аппроксимируемом участке фактических данных; $(x_n-x_1)$и $(t_n-t_1)$$–$диапазоны изменения фактических данных на этом участке по параметру x и времени t, соответственно, (выполняют функции нормирования обеих координат на диапазон изменений от 0 до 1); $\Delta x_i$и $\Delta t_i$$–$отклонения каждой точки фактических данных от расчетной кривой по оси абсцисс и по оси ординат, соответственно. В геометрическом смысле бикоординатное отклонение каждой фактической точки соответствует стороне квадрата, равного по площади прямоугольнику со сторонами $\Delta x_i$и $\Delta t_i,$т. е. оно является средним геометрическим этих отклонений. Для повышения чувствительности оптимизационный поиск осуществляется по максимуму обратной величины $–$коэффициента упорядоченности $K_{reg}=1/{\Delta }_{xt}.$В приведенных ниже таблицах для характеристики качества аппроксимации также используется уровень упорядоченности $L_{reg}=\text{lg}(K_{reg}).$

В ретроспективных исследованиях прогнозируемости каждое событие анализируемого каталога последовательно рассматривается как «текущее» событие. Момент времени этого события принимается за «настоящее». Время, предшествовавшее данному событию, считается «прошлым», а последующее время $–$«будущим». В окрестностях гипоцентра текущего события формируется выборка землетрясений с заданным радиусом захвата. Опорный участок для прогнозных экстраполяций выбирается при помощи пробных аппроксимаций. Первая пробная аппроксимация включает минимальное число событий $–$7, к каждой последующей добавляется ближайшее событие из «прошлого» вплоть до включения первого события в выборке. Все аппроксимации с $K_{reg}<10$игнорируются. Из числа пробных аппроксимаций для ретропрогнозных оценок выбираются пять вариантов: первый $–$по максимуму коэффициента упорядоченности $K_{reg},$остальные $–$по ближайшему и главному максимумам нелинейности как для активизации $(k>0),$так и для затухания $(k<0).$В качестве критерия нелинейности используется соотношение $K_{reg}/K_{lin},$где $K_{lin}$$–$упорядоченность рассматриваемого участка в случае линейной аппроксимации. Первый вариант определяется всегда, остальные $–$в зависимости от наличия и сочетания текущих тенденций нелинейности процесса. Варианты нелинейности позволяют отслеживать на фоне главных тенденций начинающиеся (и поэтому пока еще слабо выраженные) новые тенденции развития.

Под прогнозируемостью здесь и далее понимается нахождение фактических данных «будущего» в полосе допустимых ошибок относительно расчетной кривой в ее экстраполяционной части. Для оценки прогнозируемости используется среднее отклонение от фактических точек от расчетной кривой по нормали в координатах, нормированных на диапазон от 0 до 1. Затем аппроксимация экстраполируется в «будущее» до тех пор, пока нормальное расстояние каждой последующей (прогнозируемой) фактической точки до расчетной кривой находится в полосе допустимых ошибок $(\pm 3\sigma ).$

Количественная оценка дальности прогноза определяется через величину прогнозной дистанции $\Delta ={\{{[(t_p-t_n)/(t_n-t_1)]}^2+{[(x_p-x_n)/(x_n-x_1)]}^2\}}^{0.5},$где: $x_p$и $t_p$$–$значения параметра и времени предельного прогнозируемого события $x_n$и $t_n$$–$соответствующие значения для «текущего» события и $x_1$и $t_1$$–$для начального события в опорной (для аппроксимации и последующего прогноза) последовательности. Проекции прогнозной дистанции $\Delta$на оси координат характеризуют дальность прогноза (прогнозные дистанции) по времени ${\Delta }_t$и параметру ${\Delta }_x.$Для оценки качества прогноза используется относительная прогнозная дистанция ${\Delta }_{rel}=\Delta /\sigma$или ее десятичный логарифм $–$уровень прогнозируемости $L_p=\text{lg}({\Delta }_{rel}).$

Для дифференцированной оценки прогнозной статистики по активизации и затуханию, а также для определения важных для прогноза значений показателя степени нелинейности $\alpha$в уравнениях (1) и (2) используется коэффициент прогнозной нелинейности $K_{pn}={\Delta }_{rel}\times \text{lg}\left|{x^{\prime }}_p/{x^{\prime }}_n\right|,$где ${x^{\prime }}_p=x^{\prime }\left(\left(t_n+t_p\right)/2\right)$$–$прогнозируемая на середину прогнозного интервала скорость изменения параметра, а ${x^{\prime }}_n=x^{\prime }\left(t_n\right)$$–$ее текущее значение. Более подробно методика оценки прогнозируемости изложена в работе [Малышев, 2016].

При пространственном анализе сейсмических данных оценка прогнозируемости осуществляется по фиксированным сферическим гипоцентральным выборкам с радиусами 1.5, 3, 7.5, 15, 30, 60 и 150 км. Выборки распределены по широте, долготе и глубине с шагом смещения, в 1.5 раза меньшим радиуса выборки (т. е., соответственно, 1, 2, 5, 10, 20, 40 и 100 км), что обеспечивает пространственное перекрытие выборок и исключает пропуск данных для прогностических оценок.

Ради определенности под сильными землетрясениями понимаются такие землетрясения, которые в кумулятивном распределении по энергии превышают порог 99.9% от общего числа землетрясений. В связи с различиями в регистрируемости сейсмического потока в разных районах земного шара данное определение применяется по фиксированным сферическим гипоцентральным выборкам с радиусом 100 км, в которых зарегистрировано более 1000 землетрясений. В том случае, если в выборке зарегистрировано от 100 до 1000 землетрясений, под сильным землетрясением понимается самое сильное землетрясение выборки. В выборках со слабой (от 10 до 100) и очень слабой (менее 10 землетрясений) регистрируемости сейсмического потока землетрясений сильные землетрясения в составе выборок не выделяются.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

В качестве исходных данных в работе используется Всемирный каталог Геологической службы США по состоянию на 1 января 2017 г.[1] Прогнозируемость потока сейсмической энергии Северной Америки изучалась в пределах координат 30°$–$75° по широте, 170°$–$180° и $–$180°$–$($–$70°) по долготе при глубине от $–$4.9 до 300.0 км. В рассматриваемых пределах расположены гипоцентры 1 514 937 землетрясений с магнитудой $M=-1.0\dots +9.2$при ее среднем значении 1.5. В соответствии с приведенным выше определением в числе этих землетрясений выделяются 1422 сильных толчка с $M=2.9-9.2$(в среднем 5.1). В качестве параметра x рассматривается сумма энергии землетрясений E. При этом энергия одиночного землетрясения оценивается согласно имеющейся зависимости между его магнитудой M и энергетическим классом K [Kanamori, 1977]: $K=1.5\times M+\mathrm{4.8.}$

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Сводная статистика ретропрогнозных оценок приведена в табл. 1. В большинстве прогнозных определений (73.9%) прогнозная дистанция $\Delta$более чем в 3 раза превышает величину средней ошибки $\sigma ,$т. е. подобные прогнозные определения рассматриваются как значимые. Максимальные уровни прогнозируемости $L_p$соответствуют превышению прогнозной дистанции $\Delta$над средним отклонением $\sigma$на 6.0$–$8.6 порядка, причем максимальная прогнозируемость потока сейсмической энергии отмечается на малых гипоцентральных радиусах выборок (1.5$–$3 км). Средние уровни прогнозируемости соответствуют превышению прогнозной дистанции $\Delta$над средним отклонением $\sigma$на 1.4 порядка. Средневзвешенные значения прогнозных дистанций по времени ${\Delta }_t$составляют от нескольких дней до нескольких месяцев для активизации сейсмичности и несколько лет для ее затухания.

На рис. 1 отображены значения прогнозной нелинейности[2] для всех определений, у которых $\left|K_{pn}\right|>\mathrm{1,}$а также отображены экстремумы прогнозной нелинейности, связанные с сильными землетрясениями. Как можно видеть, экстремумы прогнозной нелинейности, свойственные сильным землетрясениям, как правило, соответствуют аналогичным экстремумам сейсмического потока в целом.

Статистические оценки прогнозно значимого показателя степени α демонстрируют (см. табл. 1 и рис. 2), что нелинейность как активизации сейсмического процесса, так и его затухания, определяется классом гиперболических функций $(1<\alpha <2).$Однако достаточно большой разброс значений показателя α не позволяет ограничиться равнобокой гиперболой $(\alpha =1.5)$в качестве математической модели для ретропрогнозных оценок.

Таблица 1. Статистика ретропрогнозов потока сейсмической энергии Северной Америки в 1900$–$2016 гг.

Примечание: * $–$ рассчитывается как средневзвешенное с использованием в качестве веса модуля коэффициента прогнозной нелинейности $\left|K_{pn}\right|;$ ** $–$ рассчитывается как средневзвешенное с использованием в качестве веса десятичного логарифма отношения прогнозной скорости ${x^{\prime }}_p$ к текущей ${x^{\prime }}_c.$

Рис. 1. Прогнозируемость потока сейсмической энергии и сильных землетрясений Северной Америки в 1962–2016 гг. Круги соответствуют экстремумам прогнозной нелинейности сильных землетрясений. Верхняя половина диаграммы характеризует прогнозы на активизацию сейсмического потока и форшоковую прогнозируемость сильных землетрясений, нижняя – прогнозы на снижение сейсмической активности и афтершоковую прогнозируемость. Нумерация сильных землетрясений в верхней части диаграммы соответствует табл. 4, табл. 6 и рис. 3; в нижней части диаграммы – табл. 5 и табл. 7.

 

Рис. 2. Прогнозная значимость показателя степени нелинейности α. См. примечание к рис. 1.

 

В табл. 2 приведена общая статистика ретропрогнозов сильных землетрясений Северной Америки по потоку сейсмической энергии. Форшоковая прогнозируемость (хотя бы однократное попадание «будущего» сильного землетрясения в полосу допустимых ошибок относительно расчетной кривой в ее экстраполяционной части) фиксируется для 1120 из 1422 сильных землетрясений региона. Она характеризуется почти $\sim 215$тысячами ретропрогнозных определений, для которых сильное землетрясение оказывается в полосе ошибок $(\pm 3\sigma )$экстраполяционной части прогнозной зависимости (рис. 3). Форшоковая прогнозируемость сильных землетрясений по потоку сейсмической энергии начинает проявляться в количестве прогнозируемых землетрясений на малых (1.5 и 3 км) радиусах гипоцентральных выборок, с последующим быстрым возрастанием на средних (от 7.5 до 30 км) радиусах, а затем более плавно продолжает увеличиваться на больших (60 и 150 км) радиусах. На малых гипоцентральных радиусах отмечаются в среднем более высокие уровни прогнозируемости и прогнозной нелинейности. Средняя прогнозная дистанция по времени в форшоковой прогнозируемости меняется от нескольких дней на малых радиусах до нескольких месяцев на средних радиусах и превышает полгода на больших радиусах.

Таблица 2. Статистика ретропрогнозов сильных землетрясений Северной Америки в 1900$–$2016 гг.

Примечание: * $–$ рассчитывается как средневзвешенное с использованием в качестве веса модуля коэффициента прогнозной нелинейности $\left|K_{pn}\right|.$

Таблица 3. Статистика ретропрогнозов затухания сейсмичности после сильных землетрясений Северной Америки в 1900$–$2016 гг.

Примечание: * $–$ рассчитывается как средневзвешенное с использованием в качестве веса модуля коэффициента прогнозной нелинейности $\left|K_{pn}\right|.$

Статистика ретропрогнозов затухания сейсмичности после сильных землетрясений приведена в табл. 3. Афтершоковая прогнозируемость по выделяющейся сейсмической энергии прослеживается для 1410 из 1422 сильных землетрясений и характеризуется 3 млн ретропрогнозных определений, что на порядок больше по сравнению с форшоковой прогнозируемостью. Афтершоковая прогнозируемость затухания сейсмичности после сильных толчков появляется и быстро нарастает на малых (1.5 и 3 км) радиусах гипоцентральных выборок, а затем более плавно увеличивается на средних (от 7.5 до 30 км) и больших (60 и 150 км) радиусах. Наиболее высокие уровни прогнозируемости и прогнозной нелинейности отмечаются для выборок с гипоцентральным радиусом 3 км, тогда как по мере увеличения радиусов прослеживается тенденция к уменьшению уровней прогнозируемости и прогнозной нелинейности. Средняя прогнозная дистанция по времени в афтершоковой прогнозируемости более чем на два порядка выше аналогичного параметра форшоковой прогнозируемости, на радиусах 1.5$–$15 км она превышает 10 лет, а при дальнейшем увеличении радиуса гипоцентральных выборок снижается до 1.5 лет.

Табл. 4 и табл. 5 содержат сведения по статистике, соответственно, форшоковой и афтершоковой прогнозируемости некоторых сильных землетрясений Северной Америки по потоку сейсмической энергии. Табл. 6 и табл. 7 содержат характеристики ретропрогнозных зависимостей с экстремальной прогнозной нелинейностью соответствующих землетрясений из табл. 4 и табл. 5. Рис. 4 иллюстрирует пространственное распределение сильных землетрясений Северной Америки и их форшоковую и афтершоковую прогнозируемость.

Рис. 3. Графики ретропрогнозных определений, соответствующих максимумам нелинейной прогнозируемости некоторых сильных землетрясений: 1 – кривая фактических данных, 2 – расчетная кривая, 3 – полоса ошибок (±3σ) 4 – момент ретропрогноза, 5 – сильное землетрясение. Порядковые номера графиков соответствуют нумерации в табл. 4 и табл. 6. Графики слева характеризуют аппроксимационные части прогнозных определений, справа – прогнозные зависимости в целом. Пересечение точечных вертикальных и горизонтальных линий на графиках соответствует «текущим» значениям времени и параметра, левее и ниже этого пересечения – «прошлое», правее и выше – «будущее». Пунктирными линиями показано положение асимптот Ta и Xa

Таблица 4. Прогнозируемость некоторых сильных землетрясений Северной Америки в 1900$–$2016 гг.

Примечание: * $–$ рассчитывается как средневзвешенное с использованием в качестве веса модуля коэффициента прогнозной нелинейности $\left|K_{pn}\right|,$ ** $–$ от момента ретропрогноза до момента сильного землетрясения.

Таблица 5. Прогнозируемость затухания потока энергии после некоторых сильных землетрясений Северной Америки в 1900$–$2016 гг.

Примечание: * $–$рассчитывается как средневзвешенное с использованием в качестве веса модуля коэффициента прогнозной нелинейности $\left|K_{pn}\right|.$

Таблица 6. Характеристики зависимостей, соответствующих экстремальным значениям прогнозной нелинейности Kpn для некоторых сильных землетрясений Северной Америки (см. табл. 4)