Application of Pattern Recognition Methods to Study Spatial Localization of Polymetallic Mineralization in the Altai–Sayan Region

Full Text

1. ВВЕДЕНИЕ

Целью исследования является выявление особенностей положения крупных и суперкрупных месторождений полиметаллических руд в линеаментно-блоковой структуре Алтайско-Саянского региона и определение гравимагнитных и геоморфологических особенностей мест локализации этих месторождений с помощью алгоритма распознавания образов Кора-3. Структурную основу исследования составляет схема морфоструктурного районирования (МСР) Алтайско-Саянского региона, опубликованная в работе [Gorshkov, Soloviev, 2021]. МСР региона было проведено по методике, разработанной в работе [Ранцман, 1979]. Связь месторождений металлов с узлами пересечения морфоструктурных линеаментов была отмечена ранее в работах [Гвишиани, Горшков, 1989; Гвишиани и др., 1988]. Впоследствии на основе схем МСР горных поясов Средиземноморья алгоритмы распознавания образов были использованы для идентификации рудоносных узлов, контролирующих расположение крупных и суперкрупных месторождений металлов [Горшков, Соловьев, 2004; 2006].

Морфоструктурный анализ давно является эффективным инструментом в прогнозных металлогенических исследованиях. С его помощью, в частности, выявлена важнейшая роль линеаментов в структурном контроле крупных и суперкрупных месторождений [Фаворская и др., 1974; Волчанская и др., 1975; 1990; Скублова, 1987; Сквозные…, 1989]. Во многих работах как на глобальном, так и на региональном уровнях отмечена устойчивая связь оруденения с участками пересечения линеаментов, дешифрируемых на космоснимках земной поверхности (см., например, работы [Лопатин, 2002; Перцев и др., 2002]).

В металлогеническом прогнозировании алгоритм распознавания Кора-3 применялся американскими исследователями для распознавания месторождений урана на западе США по комплексу геолого-геофизических параметров: около 85% месторождений урана, разрабатываемых в изучавшемся районе, были правильно распознаны как рудоносные [Briggs, Press, 1977]. Кроме того, алгоритм Кора-3 был применен для прогнозирования скоплений углеводородов в передовых прогибах Анд Южной Америки на основе схемы МСР этого региона [Губерман и др., 1986]. Прогноз оказался успешным, в течение последующих 30 лет в этом регионе были открыты шесть гигантских нефтегазовых месторождений, которые расположены в потенциальных узлах, распознанных в 1986 г. [Guberman, Pikovskiy, 2018]. Этот результат указывает на перспективность подхода, основанного на применении алгоритмов распознавания образов к морфоструктурным данным для решения задач прогнозирования полезных ископаемых.

Алтайско-Саянский сегмент является частью Центрально-Азиатского металлогенического пояса и характеризуется преобладанием полиметаллического оруденения, представленного рядом месторождений, имеющих экономическое значение [Геологическое…, 1988]. В работе рассматриваются месторождения полиметаллических руд крупного и суперкрупного размера. Информация о таких месторождениях в Алтайско-Саянском регионе была взята из глобальных электронных баз данных по месторождениям полезных ископаемых [Рундквист и др., 2004; Mineral…, 2000].

2. МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ И ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Методический подход, использованный в работе, основан на применении алгоритма распознавания образов Кора-3 к морфоструктурным узлам, определенным в результате МСР (рис. 1).

 

Рис. 1. Схема МСР Алтайско-Саянского региона и положение крупных и суперкрупных месторождений металлов. Линиями показаны морфоструктурные линеаменты: толстые, средние и тонкие линии – линеаменты первого, второго и третьего рангов соответственно; сплошные линии – продольные линеаменты, прерывистые – поперечные.

 

2.1. Морфоструктурное районирование Алтайско-Саянского региона

Тектонические структуры Алтая и Саян сформировались в результате герцинской и каледонской складчатости [Дергунов, 1989; Буслов и др., 2013]. В тектоническом строении региона важную роль играют палеозойские и мезозойские разломы, обновленные в кайнозойское время [Дергунов, 1989]. Образование современного рельефа происходило в позднем кайнозое в олигоцен-четвертичное время в результате дифференцированного перемещения отдельных блоков по многочисленным разломам. Эти разломы обуславливают блоковое строение фундамента, которое четко проявляется в современной морфоструктуре [Новиков, 2004].

Задача МСР состоит в определении иерархической линеаментно-блоковой структуры региона [Ранцман, 1979; Горшков, 2010]. В работе используется схема МСР Алтайско-Саянского региона (рис. 1), подробно описанная в работе [Gorshkov, Soloviev, 2021]. На схеме выделено три иерархических уровня морфологически однородных блоков и их границ, а также узлы пересечения линеаментов, ограничивающих блоки. Блоки характеризуются близкими значениями количественных показателей рельефа (уровень высот, ориентация линейных форм рельефа). Границы блоков проведены там, где резко и существенно меняется значение хотя бы одного показателя. Блокам и их границам присвоен третий, низший в иерархии, ранг. Блоки объединены в мегаблоки, в пределах которых значения количественных показателей от одного блока к другому изменяются согласно определенной последовательности; границы мегаблоков проведены в местах нарушения этой последовательности. Мегаблокам и их границам присвоен второй ранг. Самая крупная единица районирования – горная страна – территория единого облика рельефа, созданного единым процессом горообразования. Горной стране и ее границам присваивается первый ранг. Морфоструктурные линеаменты разделены на продольные и поперечные. Продольные линеаменты близпараллельны простиранию крупных элементов рельефа и включают зоны известных глубинных разломов. Поперечные линеаменты пересекают крупные элементы рельефа и проходят по местам резких и существенных изменений значений количественных показателей крупных элементов рельефа.

Для целей данного исследования важно, что морфоструктурные линеаменты, выделенные на основе анализа рельефа, соответствуют зонам глубинных разломов, которые являются основными рудовмещающими структурами в Алтайско-Саянском регионе [Геологическое строение.., 1988]. В частности, линеамент 1-11 (рис. 1) включает зону Чарышского разлома, линеамент 17-22 соответствует Телецкому и Курайскому разломам, линеамент первого ранга 20-75 совпадает с зонами Окинско-Жомболокского и Тункинского разломов, линеамент 71-74 трассирован по зоне Хубсугульского разлома, линеамент 55-78 соответствует Восточно-Саянскому глубинному разлому, линеамент 20-83 соответствует Болнийскому и Хангайскому разломам. Таким образом, схема МСР (рис. 1) является адекватной структурной основой для изучения особенностей пространственного размещения крупномасштабного полиметаллического оруденения.

В результате МСР установлено 97 морфоструктурных узлов (рис. 1), которые составили множество объектов распознавания в задаче идентификации рудоносных узлов. В анализ включены также узлы, определенные в районе Байкала (рис. 1).

2.2. Постановка задачи распознавания рудоносных узлов

Задача распознавания рудоносных узлов формулируется следующим образом. Известные месторождения рассматриваемых размеров ассоциируются с некоторыми узлами Алтайско-Саянского региона. Возникает вопрос: есть ли в регионе другие узлы, которые по своим геоморфологическим и геофизическим признакам сходны с теми, в которых уже известны месторождения металлов рассматриваемых размеров. Иными словами, необходимо решить задачу дихотомии, состоящую в разделении всех узлов региона на два класса:

– класс Р, рудоносные узлы, которые могут вмещать месторождения полиметаллов рассматриваемых размеров;

– класс НР, нерудоносные узлы, в которых наличие таких месторождений маловероятно.

Для решения задачи использован алгоритм распознавания Кора-3 логического типа с обучением [Бонгард, 1967; Гельфанд и др., 1976; Гвишиани и др., 1988]. Объектами распознавания являются 97 узлов, установленных в результате МСР (рис. 1). Для применения алгоритма составляются обучающие выборки каждого класса, которые не должны пересекаться. Для класса Р обучающая выборка Р₀ содержит узлы, где известны месторождения, которые рассматриваются в задаче. Для класса НР обучающая выборка НР₀ включает узлы, в которых неизвестны на сегодняшний день рассматриваемые месторождения. Алгоритм распознавания применяется к векторам, где компоненты каждого вектора – значения параметров, характеризующие объекты распознавания.

В ходе обучения в пространстве используемых параметров алгоритм отбирает характерные признаки узлов класса Р и узлов класса НР. Для каждого объекта распознавания Кора-3 определяет число признаков классов Р и НР, которыми обладает данный объект. Принадлежность каждого объекта к тому или другому классу определяется процедурой голосования, в ходе которой алгоритм подсчитывает для каждого объекта число характерных признаков, которыми данный объект обладает. Если объект имеет больше признаков класса Р, чем признаков класса НР, то он относится к классу Р, и наоборот.

2.3. Месторождения полиметаллов в Алтайско-Саянском регионе

Алтайско-Саянский металлогенический пояс относится к структурам сложного гетерогенного строения, длительного и полиэтапного формирования и развития структур, магматизма, метаморфизма и рудообразования. Он формировался на протяжении трех тектономагматических циклов: байкальского, каледонского и герцинского. Большинство месторождений сформировалось в среднепалеозойское время [Геологическое..., 1989].

Для изучения связи рассматриваемых месторождений с морфоструктурными узлами использована схема МСР изучаемого региона (рис. 1). Узел формально определен как окружность радиусом 25 км вокруг точек пересечения линеаментов. Данные о месторождениях, представленных в табл. 1, взяты из работ [Рундквист и др., 2003; Mineral…, 2000], а их местоположение показано на рис. 1.

Анализ расположения месторождений из табл. 1 относительно узлов пересечения линеаментов показывает, что большинство из них расположено вблизи морфоструктурных узлов. Не связано с узлами месторождение тантала, расположенное посередине между узлами 37 и 48 (рис. 1). В целом, расстояния до месторождений от точек пересечения линеаментов (центров узлов) не превышает 25 км, за исключением месторождений лития в районе узла 64. Отметим, что абсолютное большинство рассматриваемых месторождений приурочены к линеаментам первого и второго рангов, которые соответствуют региональным глубинным разломам [Gorshkov, Soloviev, 2021].

 

Таблица 1. Крупные и сверхкрупные месторождения металлов Алтайско-Саянского региона по работам [Рундквист и др., 2004; Mineral…, 2000]

Название месторождения	Главные компоненты	Размер*	Возраст
Тишинское	Pb, Zn, Ag	3	D2
Малеевское	Zn, Pb, Cu, Ag, Au	3	D–K1
Чайское	Ni	3	PR3
Ридер-Сокольное	Ag, Pb, Zn, Cu	3	S2–D2
Алахское	Li	3	T3 и D3
Улуг-Танзекское	Ta	4	C3
Арысканское	Zr	3	С2–C3
Аксугское	Cu, Mo	3	D2
Урикское	Li	3	PR3
Снежное	Be	3	С3
Зашихинское	Ta	4	Т1
Вишняковское	Ta	3	PR1
Тастыгское	Li	3	PR3
Белозименское	Nb	3	PR3, P–N
Холоднинское	Zn, Pb	4	PR
Мало-Ойногорское	W	3	C–О
Джидинское	W	3	C–О
Голтсовое	Li	3	PR2
Большетагнинское	Nb	3	PR3
Холзунское	Fe	3	D2
Среднезименское	Ta	3	–
Белореченское	Li	3	T
Асгатское	Ag	3	–
Зыряновское	Zn	3	C–D3
Волковское	Fe	3	–
Зун-Холбинское	Au	3	PR, C–D
Кизил-Акшинское	Zn	3	–
Акташское	Hg	3	C
Боксонское	Al	3	PR3

Примечание: * размер 3 – крупные месторождения; размер 4 – суперкрупные месторождения.

 

2.4. Параметры, использованные для распознавания рудоносных узлов в Алтайско-Саянском регионе

Алгоритм распознавания Кора-3 применяется к векторам, компонентами которых являются значения геоморфологических и гравимагнитных параметров (табл. 2), которые характеризуют:

– контрастность и интенсивность тектонических движений на основе данных о высотах рельефа, сочетаниях типов рельефа, площади четвертичных рыхлых отложений в в узлах;

– геометрию и иерархию блоковой структуры. К таким показателям относятся число и ранг линеаментов, формирующих узел, расстояние от узла до линеаментов высших рангов. Эти параметры определяются непосредственно по карте МСР (рис. 1).

– наличие глубинных неоднородностей в узлах по данным гравиметрических и геомагнитных аномалий. Эти параметры определены по данным глобальных электронных баз геоданных с помощью ГИС-технологий.

 

Таблица 2. Параметры узлов, использованные для распознавания рудоносных узлов

Параметры	Пороги дискретизации параметров
а) Морфометрические параметры
Максимальная высота рельефа, м (Hmax)	1740; 2372
Минимальная высота рельефа, м (Hmin)	509; 916
Размах высот, м (∆H) (Hmax–Hmin)	1099; 1496
Расстояние между Hmax и Hmin, км (L)	38
Градиент рельефа, (∆H/L)	28; 51
а) Геологические параметры
Площадь рыхлых четвертичных пород, % (Q)	10; 30
в) Параметры линеаментно-блокового строения
Высший ранг линеамента, (HR)	1
Число линеаментов в пересечении, (NL)	2
Расстояние до ближайшего линеамента 1-го ранга, км, (R1)	0
То же до линеамента 2-го ранга, км, (R2)	83
То же до ближайшего пересечения, км,(Rint)	64
Число линеаментов в круге радиусом 30 км.	3
г) Сочетания типов рельефа (Top) г/пр – сочетание гор с предгорьями	2 (г/пр)
д) Гравиметрические параметры
Максимальное значение аномалии Буге, (Bmax), мГал	–144
Минимальное значение аномалии Буге, (Bmin), мГал	–225; –182
Градиент аномалии Буге, (∆B = Bmax–Bmin) мГал	55
е) Параметры литосферных магнитных аномалий
Максимальное значение аномалии (Mmax), нТл	118
Максимальное значение аномалии (Mmin), нТл	–123
Градиент аномалии (∆M = Mmax–Mmin), нТл	200; 332

 

Перечень рассмотренных параметров приведен в табл. 2. Их значения измерялись в пределах кругов радиусом 25 км вокруг точек пересечения линеаментов. Подчеркнем, что использованные параметры характеризуют не само месторождение, а некоторые особенности среды в пределах всех узлов, в том числе и тех, где расположены рассматриваемые месторождения.

Поскольку алгоритм Кора-3 оперирует с бинарными векторами, перед его применением выполнены процедуры дискретизации параметров и кодировки их физических значений в форму бинарных векторов. Эти процедуры подробно описаны в работах [Гвишиани и др., 1988; Горшков, 2010]. Отметим, что за счет дискретизации повышается устойчивость результатов распознавания относительно возможных ошибок в определении значений параметров. Найденные пороги дискретизации приведены в табл. 2. Два порога дискретизации указывают на то, при дискретизации данного параметра весь ряд его значений был разделен на три интервала: “большие”, “средние” и “малые” значения. Один порог дискретизации указан для тех параметров, весь ряд значений которых был разбит на два интервала: “большие” и “малые”.

3. РАСПОЗНАВАНИЕ РУДОНОСНЫХ УЗЛОВ В АЛТАЙСКО-САЯНСКОМ РЕГИОНЕ

Основываясь на пространственной корреляции между морфоструктурными узлами и крупными и сверхкрупными месторождениями металлов (рис. 1), алгоритм Кора-3 был использован для поиска характерных геоморфологических и гравимагнитных признаков узлов, вмещающих рассматриваемые месторождения. Поиск характерных признаков велся в пространстве параметров, представленных в табл. 2. На основе таких признаков необходимо разделить все множество объектов распознавания, состоящее из 97-ми узлов, определенных в результате МСР на два класса: рудоносный (Р) и нерудоносный (НР).

3.1. Материал обучения

Обучающую выборку Р₀ класса Р составил 21 узел, в которых локализованы крупные (размер 3) и/или суперкрупные (размер 4) месторождения металлов из табл. 1. В нее вошли узлы 2, 9, 11, 13, 15, 18, 21, 44, 46, 51, 52, 54, 56, 58, 64, 75, 76, 85, 86, 96, 97 (см. рис. 1). Для класса НР в обучающую выборку НР₀ были включены 70 узлов, которые находятся на наибольшем удалении от рассматриваемых месторождений. Было сформировано также множество экзамена X. В него вошли узлы 1, 8, 22, 57, 60, 65, 74, в 50-км радиусе от которых есть рассматриваемые месторождения. Эти узлы не были включены в обучение, но учтены при распознавании.

3.2. Результат распознавания

В результате распознавания алгоритмом Кора-3 были определены 10 признаков, которые характерны для узлов класса Р. Признак называется характерным признаком класса Р, если число объектов из обучающей выборки Р₀, которыми он обладает не меньше чем порог k_Р, а число объектов из обучающей выборки Н₀, которыми он обладает не больше чем порог ǩ_Р. Соответственно, признак называется характерным признаком класса Н, если число объектов из обучающей выборки Н₀, которыми он обладает, не меньше чем порог k_НР, а число объектов из обучающей выборки В₀, которыми он обладает, не больше чем порог ǩ_НР. Пороги k_Р, ǩ_Р, k_НР и ǩ_НР являются свободными параметрами алгоритма, а их значения задаются в ходе его применения [Гвишиани и др., 1988; Горшков, 2010]. Основной вариант распознавания получен при следующих значениях этих порогов k_Р = 5, ǩ_Р = 18, k_НР = 5 и ǩ_НР = 0. Найденные признаки представлены в табл. 3, в которой каждая строка является отдельным признаком. На их основе с помощью процедуры голосования проведено разделение всех 97 узлов на классы Р и НР, которое представлено в табл. 4. Порог голосования (∆) был выбран равным 1. Число признаков, которыми обладает каждый узел показано в табл. 4.

 

Таблица 3. Характерные признаки рудоносных узлов

Параметры узлов (обозначения см. табл. 2)

№

Hmax, м

Hmin, м

ΔH, м

Мор

NL

NLC

Rint, км

R1, км

R2, км

Bmin, мГал

ÄB, мГал

Mmax, нТл

Mmin, нТл

Характерные признаки рудоносного класса Р

1

≤1099

≤118

≤–123

2

>2372

≤64

≤–123

3

>916

2

≤–123

4

>916

>56

≤118

5

>2372

0

>56

6

>1496

2

≤–225

7

≤3

0

≤83

8

>1496

≤3

≤64

9

>2372

>1496

≤3

10

≤1099

>2

≤64

 

Таблица 4. Классификация узлов алгоритмом Кора-3 на рудоносные и нерудоносные

Номер узла	Число признаков		Номер узла	Число признаков
	класса Р	класса НР		класса Р	класса НР
Узлы множества Р0
2+	2	0	54+	1	0
9+	2	0	56+	2	0
11+	2	0	58+	4	0
13+	1	0	64+	1	0
15+	3	0	75+	6	0
18+	5	0	76+	5	0
21+	5	0	85+	2	0
44	0	0	86+	3	0
46+	1	0	96+	1	0
51+	4	0	97+	5	0
52+	2	0
Узлы множества РН0
3	0	2	48	0	1
4	0	5	49	1	1
5	0	5	50	1	1
6	0	6	53	0	0
7	0	3	55+	2	0
10	0	2	59	0	0
12	1	6	61	1	2
14	0	2	62	0	2
16	0	1	63	0	5
17	1	1	66	0	2
19	1	1	67+	3	0
20	1	1	68	0	0
23	0	5	69	1	1
24	0	5	70+	1	0
25	0	1	71	0	0
26	1	1	72+	4	0
27	0	5	73	0	1
28	0	5	77	0	6
29	0	2	78	0	3
30	1	6	79	1	1
31	1	1	80+	3	0
32	2	2	81	0	4
33	0	3	82	0	3
34	1	1	83	1	2
35	0	5	84	0	2
36	0	1	87	0	3
37	0	1	88+	2	0
38+	1	0	89	0	2
39	0	2	90	0	0
40	0	4	91	0	0
41	0	3	92	0	4
42+	1	0	93	1	5
43	0	4	94	0	1
45	0	4	95	0	5
47	1	1
Узлы экзамена
1+	2	1	60	0	2
8+	2	0	65+	4	0
22	0	2	74+	6	0
57	0	2

 

Из 97-ми узлов к классу Р был отнесен 31 узел, что составляет 32% от общего числа узлов. К нерудоносным отнесено 66 узлов (68% от общего числа). На рис. 2 узлы Р отмечены кругами радиусом 25 км в масштабе карты.

 

Рис. 2. Рудоносные узлы, распознанные в Алтайско-Саянском регионе. Линии те же, что на рис. 1. Кругами показаны узлы, распознанные как рудоносные.

 

Из обучающей выборки Р₀ не распознается как Р узел 44, с которым связано месторождение тантала. Остальные узлы из этого множества распознаны как рудоносные. Четыре узла из материала экзамена (1, 8, 65, 74) распознаны как Р. Из обучения нерудоносного класса НР₀ перешли в класс Р узлы 19, 42, 49, 53, 55, 67 и 72.

4. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ И ВЫВОДЫ

Проведенное исследование показало, что схема МСР, составленная путем анализа современного рельефа, может служить адекватной основой для изучения особенностей пространственной локализации полиметаллического оруденения древнего происхождения, поскольку рудовмещающие разломы в Алтайско-Саянском регионе четко выражены в современной морфоструктуре региона и определяют современный рельеф этой территории [Новиков, 2004]. Рассмотренные крупноразмерные месторождения полиметаллов пространственно приурочены к морфоструктурным узлам, определенным в результате МСР. Единственное исключение связано с месторождением тантала, которое расположено на линеаменте 3-го ранга между узлами 37 и 47 (рис. 1). Остальные месторождения из табл. 1 расположены в узлах, образованных пересечением линеаментов высших рангов, первого и второго. Такие линеаменты соответствуют зонам крупных глубинных разломов древнего заложения. Таким образом, наше исследование показывает, что морфоструктурные узлы играют определяющую роль в контроле пространственного размещения крупномасштабных месторождений полиметаллов в Алтайско-Саянском регионе.

В результате распознавания все узлы, вмещающие месторождения из табл. 1, распознаны корректно, за исключением узла 44 (рис. 1). При этом число узлов, распознанных как потенциально рудоносные невелико, что представляется адекватным результатом с учетом хорошей изученности региона в металлогеническом отношении. В работе [Плющев и др., 2007] в пределах Алтайско-Саянской области выделены металлогенические зоны, благоприятные для формирования крупных и сверхкрупных месторождений. Сопоставление распознанных рудоносных узлов с этими металлогеническими зонами показывает, что все установленные нами рудоносные узлы расположены в их пределах.

Характерные признаки рудоносных узлов, представленные в табл. 1, позволяют судить о некоторых особенностях таких узлов. В рельефе Алтайско-Саянского региона рудоносные узлы занимают повышенное гипсометрическое положение, на что указывают “большие” значения максимальных высот (H_max > 2372 м) в сочетании с “большими” значениями минимальной высоты (H_min > 916 м). Одновременно в несколько признаков входят “большие” значения параметра размах высот (ÄH > 1496 м), что свидетельствует о сильной расчлененности рельефа в узлах. Это согласуется с выводами автора работы [Томсон, 1988], отмечавшего повышенную расчлененность современного рельефа в местах локализации рудных месторождений. Для рудоносных узлов оказались также характерны “большие” значения градиента аномалии Буге (ÄB > 56 мГл), которые маркируют ступени в гравитационном поле в пределах узлов. Для Алтайско-Саянского региона связь эндогенных месторождений с уступами гравитационного поля отмечалась в работе [Volchanskaya et al., 1983]. Важными для идентификации рудоносных узлов стали также “малые” значения максимального и минимального значений магнитного поля (M_max ≤ 118 нТл и M_min ≤ –123 нТл, соответственно). Отметим, что данные о гравитационных и магнитных аномалиях давно используются в прогнозных металлогенических исследованиях [Фарфель, 1988]. Таким образом, найденные в работе характерные признаки рудоносных узлов основаны на данных, которые широко используются в практике минерагенического прогнозирования.

Практическое применение предложенного подхода для идентификации рудоносных морфоструктурных узлов может позволить ограничить размеры изучаемых площадей при проведении прогнозных металлогенических исследований. Характерные признаки рудоносных узлов Алтайско-Саянского региона, представленные характерными интервалами численных значений морфометрических, гравиметрических, геомагнитных параметров, могут применяться для идентификации рудоносных узлов в других горно-складчатых поясах Российской Федерации.

About the authors

A. I. Gorshkov

Institute of Earthquake Prediction Theory and Mathematical Geophysics, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: gorshkov@mitp.ru
Russian Federation, Moscow, 117997

O. V. Novikova

Institute of Earthquake Prediction Theory and Mathematical Geophysics, Russian Academy of Sciences

Email: onovikov@mitp.ru
Russian Federation, Moscow, 117997

A. I. Livinskii

Institute of Earthquake Prediction Theory and Mathematical Geophysics, Russian Academy of Sciences

Email: artem@mitp.ru
Russian Federation, Moscow, 117997

References

Supplementary files