Приведение космического аппарата с управляемым вектором тяги в заданное место посадки с минимальным расходом топлива

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Доступ платный или только для подписчиков

Аннотация

Рассматривается задача о приведении космического аппарата в заданное положение над определенным местом посадки на поверхность планеты. С использованием принципа максимума Понтрягина задача оптимального управления сводится к краевой для системы нелинейных дифференциальных уравнений. Проводится качественный анализ оптимальных фазовых траекторий системы, устанавливаются их свойства, проиллюстрированные результатами численного моделирования. Аналитически описаны области в плоскости фазовых переменных, из которых возможно достижение терминального множества. Построен синтез оптимального управления.

Полный текст

Доступ закрыт

Об авторах

Н. А. Орёл

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Автор, ответственный за переписку.
Email: nikita.orel@math.msu.ru
Россия, Москва

О. Ю. Черкасов

Университет МГУ-ППИ; Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Email: oyuche@yandex.ru
Китай, Шэньчжэнь; Москва, Россия

Список литературы

  1. Goddard R.H. A Method or Reaching Extreme Altitudes// Smithsonian Institute Misc. Collections. 1919. V. 71. № 2. P. 2–80.
  2. Hamel G. Über Eine mit dem Problem der Rakete Zusammenhängende Aufgabe der Variationsrechnung // ZAMM. 1927. Bd 7. H. 6. S. 451–452.
  3. Охоцимский Д.Е. К теории движения ракет // ПММ. 1946. Т. 10. № 2. С. 251–272.
  4. Исаев В.К. Принцип максимума Л. С. Понтрягина и оптимальное программирование тяги ракет // АиТ. 1961. Т. 22. Вып. 8. С. 986–1001.
  5. Охоцимский Д.Е., Энеев Т.М. Некоторые вариационные задачи, связанные с запуском искусственного спутника Земли // УФН. 1957. № 1а. С. 5–32.
  6. Tsien H.S., Evans R.C. Optimum Thrust Programming for a Sounding Rocket // J. American Rocket Society. 1951. V. 21. № 5. P. 99–107.
  7. Tsiotras P., Kelley H.J. Drag-law Effects in the Goddard Problem // J. Automatica. 1991. V. 27. № 3. P. 481–490. https://doi.org/10.23919/ACC.1988.4789942
  8. Miele A. An Extension of the Theory of the Optimum Burning Program for the Level Flight of a Rocket-Powered Aircraft // J. Aeronautical Science. 1957. V. 24. № 12. P. 874–884.
  9. Дмитрук А.В., Самыловский И.А. Исследование оптимальных траекторий в некоторых модификациях простейшей задачи о движении материальной точки с нелинейным сопротивлением и ограниченным расходом топлива // XII Всероссийск. cовещ. по проблемам управления (ВСПУ-2014). М.: Тр. ИПУ РАН, 2014. С. 629–632.
  10. Obert H. Die Rakete zu den Planetenräumen // R. Oldenburg. 1923. S. 1–92.
  11. Indig N., Ben-Asher J.Z., Sigal E. Singular Control for Two-Dimensional Goddard Problems Under Various Trajectory Bending Laws // J. Guidance, Control and Dynamics. 2018. V. 42. № 3. P. 1–15. https://doi.org/10.2514/1.G003670
  12. Малых Е.В., Черкасов О.Ю. Максимизация дальности полета для упрощенной модели летательного аппарата // Изв. РАН. ТиСУ. 2024. № 6. С. 28–40.
  13. Cheng R.K., Conrad D.A. Optimal Translation and Brachistochrone // J. AIAA. 1963. V. 1. № 12. P. 2845–2847.
  14. Keller W.F. Study of Spacecraft Hover and Translation Modes Above the Lunar Surface // J. of Spacecraft and Rockets. 1965. V. 5. № 2. P. 426–430.
  15. Speyer J.L., Bryson A.J. Explicit Guidance Law for Minimum Fuel Horizontal Translation with Bounded Control // Journal AAIA. 1967. V. 5. № 2. P. 340–342.
  16. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.
  17. Cherkasov O.Yu., Smirnova N.V. On the Brachistochrone Problem with State Constraints on the Slope Angle // Intern. J. Non-Linear Mech. 2022. V. 139.
  18. Смирнова Н.В. Модифицированная задача о брахистохроне с фазовыми ограничениями и тягой // Вестн. МГУ. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2023. № 4. С. 54–60.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать
2. Рис. 1. К постановке задачи о выборе места посадки.

Скачать (18KB)
Метаданные
3. Рис. 2. Фазовые портреты системы (2.11): а – a = 0.5, б – a = 1.

Скачать (323KB)
Метаданные
4. Рис. 3. Взаимное расположение терминального множества и ограничений u = ±u в плоскости (u, v) при a = 1 в случае свободной v (T).

Скачать (180KB)
Метаданные
5. Рис. 4. К доказательству утверждений 1, 2.

Скачать (146KB)
Метаданные
6. Рис. 5. Результаты численного моделирования при x (0) = 0, v (0) = 0, T = 0.5; 1; 1.5: а – траектории в плоскости (u, v), б – траектории в плоскости (t, u), в – траектории в плоскости (t, v), г – траектории в плоскости (t, x).

Скачать (142KB)
Метаданные
7. Рис. 6. Результаты численного моделирования при x (0) = 0, v (0) = 1.5, T = 0.5; 1; 1.5: а – траектории в плоскости (u, v), б – траектории в плоскости (t, u), в – траектории в плоскости (t, v), г – траектории в плоскости (t, x).

Скачать (144KB)
Метаданные
8. Рис. 7. Результаты численного моделирования при x (0) = 0, v (0) = 0.3, T = 2, u = 0.5; 1: а – траектории в плоскости (u, v), б – траектории в плоскости (t, u), в – траектории в плоскости (t, v), г – траектории в плоскости (t, x).

Скачать (154KB)
Метаданные
9. Рис. 8. Результаты численного моделирования при x (0) = 0, v (0) = 1.5, T = 1.44, u = 0.5: а – траектории в плоскости (u, v), б – траектории в плоскости (t, u), в – траектории в плоскости (t, v), г – траектории в плоскости (t, x).

Скачать (139KB)
Метаданные
10. Рис. 9. Результаты численного моделирования при x (0) = 0, v (0) = v (T) = 0, T = 1; 1.5; 2; 3: а – траектории в плоскости (u, v), б – траектории в плоскости (t, u), в – траектории в плоскости (t, v), г – траектории в плоскости (t, x).

Скачать (158KB)
Метаданные
11. Рис. 10. Результаты численного моделирования при x (0) = 0, v (0) = 0.3, v (T) = 0, T = 1; 1.5; 2: а – траектории в плоскости (u, v), б – траектории в плоскости (t, u), в – траектории в плоскости (t, v), г – траектории в плоскости (t, x).

Скачать (160KB)
Метаданные
12. Рис. 11. Результаты численного моделирования при x (0) = 0, v (0) = 1.5, v (T) = 0.7, T = 1; 1.5: а – траектории в плоскости (u, v), б – траектории в плоскости (t, u), в – траектории в плоскости (t, v), г – траектории в плоскости (t, x).

Скачать (134KB)
Метаданные
13. Рис. 12. Взаимное расположение терминального множества и ограничений u = ±u в плоскости (u, v) при a = 1 в случае фиксированной v (T).

Скачать (149KB)
Метаданные
14. Рис. 13. Результаты численного моделирования при x (0) = 0, v (0) = v (T) = 0, T = 2: а – траектории в плоскости (u, v), б – траектории в плоскости (t, u), в – траектории в плоскости (t, v), г – траектории в плоскости (t, x).

Скачать (124KB)
Метаданные

© Российская академия наук, 2025