Dynamics of convective upwelling of large-scale weakly heated atmospheric aggregates

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Количественное описание динамики конвективного подъема нагретых образований в атмосфере, именуемых также термиками, конвективными ячейками, облаками, представляет значительный теоретический [1, 2] и практический интерес [3–15].

В работе автора [16] рассмотрена динамика конвективного подъема нагретых образований в атмосфере в случае умеренного и сильного нагревов. В обеих случаях не учитывалась вертикальная стратификация атмосферы — формально считалось, что частота Вяйсяля–Брента [17] N стремилась к нулю, что приводит к сохранению полного интеграла плавучести. В уравнении для радиуса R образования это означало, что $R\ll kg/N^2,$ где $k\approx 0.1-10$ при $\vartheta \approx 0.1-10$ соответственно. Здесь g — ускорение свободного падения, ϑ — избыток относительной температуры в образовании. Указанное неравенство выполняется для $R\le 1-10$ км. В уравнении для ϑ членом с N² можно пренебречь, если $R\ll 3\alpha \vartheta \left(\vartheta +1\right)g/N^2,$ где $\alpha \approx 0.1$ — коэффициент захвата холодного воздуха. Последнее неравенство при слабом и умеренном нагреве, т.е. при $\vartheta \approx {10}^{-4}-{10}^{-2}$, выполняется лишь при $R\le 0.3-30$ м. Тем самым исключается из рассмотрения случай подъема слабо нагретых крупномасштабных (сотни–тысячи метров) образований. Примерами таких образований могут быть тепловые шапки над готовящимися [14] или свершившимися землетрясениями, горящими торфяниками, горящим травяным покровом или низкорастущим кустарником и т. д.

Заметим, что в случае сильного $(\vartheta \gg 1)$ нагрева полученные в работе соотношения без учета членов с N² справедливы при $R\le 30$ км.

Цель настоящей работы — получение аналитических точных и приближенных соотношений, описывающих динамику конвективного подъема слабо нагретых крупномасштабных образований в атмосфере, а также оценка основных параметров этих образований для типичных ситуаций.

ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

При перечисленных в работе [16] упрощающих предположениях исходная система уравнений имеет вид:

$\frac{dv}{dt}=\vartheta g-\beta \left(1+\vartheta \right)\frac{v^2}{R},v\left(0\right)=0.$ (1)

$\frac{dR}{dt}=\frac{v}{1+2\vartheta }\left[\alpha {\left(1+\vartheta \right)}^2-\frac{N^{2}R}{3g}\right], R\left(0\right)=R_0,$ (2)

$\frac{d\vartheta }{dt}=-3\alpha \frac{\vartheta {\left(1+\vartheta \right)}^2}{1+2\vartheta }\frac{v}{R}-\frac{N^2}{g}\frac{1+\vartheta }{1+2\vartheta }v, \vartheta \left(0\right)={\vartheta }_0.$ (3)

Обозначения в системе уравнений (1)–(3) такие же, как и в работе [16]. В отличие от работы [16], в уравнении (3) будем считать, что $3\alpha \vartheta \left(1+\vartheta \right)/R\ll N^2/g.$ При $\vartheta \approx {10}^{-4}-{10}^{-2}$ неравенство выполняется при $R\ge 30-300$ м. В уравнении (2), по-прежнему, будем считать, что $\alpha {\left(1+\vartheta \right)}^2\gg N^{2}R/3g.$ При тех же ϑ имеем $R\ll 3\alpha g/N^2$ или $R\le 3$ км. Таким образом, далее нас будут интересовать нагретые образования, имеющие радиус $R\approx 30-3000$ м. В настоящей работе условно они называются крупномасштабными.

При выполнении указанных неравенств и $\vartheta \ll 1$ система уравнений (1)–(3) принимает вид:

$\frac{dv}{dt}=\vartheta g-\beta \frac{v^2}{R}, \beta \approx \frac{1}{2},v\left(0\right)=0,$ (4)

$\frac{dR}{dt}=\alpha v,R\left(0\right)=R_0,$ (5)

$\frac{d\vartheta }{dt}=-\frac{N^2}{g}v,\vartheta \left(0\right)={\vartheta }_0.$(6)

ВЫСОТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ

Учитывая, что оператор $d/dt=\left(dz/dt\right)\left(d/dz\right)=v\left(d/dz\right)$ из системы уравнений (4)–(6) получим следующие соотношения:

$v\frac{dv}{dz}=\vartheta g-\beta \frac{v^2}{R},v\left(0\right)=\mathrm{0,}$ (7)

$\frac{dR}{dz}=\alpha ,R\left(0\right)=R_0,$ (8)

$\frac{d\vartheta }{dz}=-\frac{N^2}{g},\vartheta \left(0\right)={\vartheta }_0.$ (9)

Решения уравнений (8) и (9) имеют вид:

$R=R_0\left(1+\frac{\alpha }{R_0}z\right)=R_0\left(1+\frac{z}{z_R}\right), z_R=\frac{R_0}{\alpha }\gg R_0,$(10)

$\vartheta ={\vartheta }_0\left(1-\frac{z}{z_{\vartheta }}\right), z_{\vartheta }=\frac{{\vartheta }_{0}g}{N^2}={\vartheta }_{0}L, L=\frac{g}{N^2}.$ (11)

Подставляя (10) и (11) в уравнение (7) и производя его интегрирование, получим

$v=\sqrt{\frac{2{\vartheta }_{0}g{z}_{R}F}{\left(a+1\right){\left(1+z/z_R\right)}^a}},$ (12)

где

$F\left(x\right)={\left(1+x\right)}^{a+1}\left[\left(1-bx\right)+b\frac{1+x}{\left(a+1\right)\left(a+2\right)}\right]-\left[1+\frac{b}{\left(a+1\right)\left(a+2\right)}\right],$ $a=2\beta /\alpha \approx \mathrm{10,} x=z/z_R, b=z_R/z_{\vartheta }.$

Можно показать, что v достигает максимума при $x\approx x_0,$ где x₀ — корень уравнения

 $\left(1+x_0\right)F^{\text{'}}\left(x_0\right)=aF\left(x_0\right),$ (13)

(штрих означает производную по x). Решение громоздкого уравнения (13) возможно лишь численными методами.

Решения (10)–(12) являются точными для уравнений (7)–(9).

Для скорости получим приближенное решение. Для этого предположим, что $z_{\vartheta }\ll z_R.$ При $\vartheta \approx {10}^{-4}-{10}^{-2}$ это неравенство выполняется при $R_0\ge 10-{10}^3$ м. Это означает, что в уравнении (7) можно считать $R\left(z\right)\approx R_0$. Тогда (7) примет вид:

$v\frac{dv}{dz}\approx {\vartheta }_{0}g\left(1-\frac{z}{z_{\vartheta }}\right)-\frac{\beta v^2}{R_0}, v\left(0\right)=0.$ (14)

Решение уравнения (14) имеет вид:

$v=\sqrt{\frac{{\vartheta }_{0}g{R}_0}{\beta }\Phi \left(z\right)}=v_{ch}{\Phi }^{1/2}\left(z\right),$ $v_{ch}=\sqrt{\frac{{\vartheta }_{0}g{R}_0}{\beta }}$ (15)

где $\Phi \left(x\right)=1-x+r-\left(1+r\right){\text{e}}^{-x/r}, x=z/z_{\vartheta }, r=R_0/2\beta z_{\vartheta }.$

Функция Φ(z), а вместе с ней и v(z) принимают максимальное значение при

$z_0=\frac{R_0}{2\beta }\ln \left(1+\frac{2\beta z_{\vartheta }}{R_0}\right)=r{z}_{\vartheta }\ln \left(1+\frac{1}{r}\right), r\le 1.$ (16)

Тогда $v_m=v\left(z_0\right)=v_{ch}{\Phi }^{1/2}\left(z_0\right).$ При этом

$\Phi \left(z_0\right)=1-r_0\ln \left(1+\frac{1}{r_0}\right), r_0=z_0/z_{\vartheta }.$ (17)

Если $r_0\ll \mathrm{1,}$ то $\Phi \left(r_0\right)\approx 1+r_0\ln r_0$ и $v_m\approx v_{ch}.$

Результаты расчета z_ϑ, z₀, v_m и v_ch по соотношениям (11), (16) и (17) приведены в табл. 1.

Таблица 1. Основные параметры нагретого образования

ВРЕМЕННЫЕ ЗАВИСИМОСТИ

Первое приближение (начальная стадия)

Из уравнений (4)–(6) следуют такие оценки времен становления v, R и ϑ:  

$t_v=\frac{R_0}{\beta v_{ch}}, t_R=\frac{{\displaystyle R_0}}{{\displaystyle \alpha v_{ch}}}, t_{\vartheta }=\frac{{\vartheta }_{0}g}{N^2{v}_{ch}}=\frac{{\vartheta }_{0}L}{v_{ch}}.$

Параметр t_v описывает время становления скорости термика за счет его торможения. Результаты оценок времени становления параметров нагретого образования приведены в табл. 2, 3 и 4. Из таблиц следует, что всегда t_R больше t_v примерно в 5 раз. В то же время отношение t_ϑ / t_v может быть намного меньше единицы и, напротив, намного больше единицы. Это зависит от степени нагрева образования, т.е. ϑ₀, и его радиуса. Для крупномасштабных (R ≈ 1000–3000 м) образований при всех ϑ₀ имеем t_ϑ < t_v.

Вначале будем пренебрегать торможением нагретого образования. Тогда вместо уравнения (4) имеем такое уравнение:

$\frac{dv}{dt}=\vartheta g, v\left(0\right)=0.$ (18)

К нему следует прибавить уравнение (6) в таком виде:

$\frac{d\vartheta }{dt}=-\frac{v}{L}.$(19)

Исключая из (18) и (19) v и ϑ получим следующие соотношения:

$\frac{d^2\vartheta }{d{t}^2}=-\frac{g}{L}\vartheta =-N^2\vartheta , \vartheta \left(0\right)={\vartheta }_0,$ (20)

$\frac{d^{2}v}{d{t}^2}=-\frac{g}{L}v=-N^{2}v, v\left(0\right)=0.$ (21)

После интегрирования (20) и (21) получим, что

$$\begin{gathered} \vartheta ={\vartheta }_0\cos Nt. \\ v=v_0\sin Nt, v_0=\frac{{\displaystyle g{\vartheta }_0}}{{\displaystyle N}}=LN{\vartheta }_0. \end{gathered}$$(22)

Из соотношений (5) и (6) имеем уравнение и его первый интеграл

$$\begin{gathered} \frac{dR}{d\vartheta }=-\alpha L, L=\frac{g}{N^2}, R\left({\vartheta }_0\right)=R_0. \\ R=R_0+\left(R_m-R_0\right)\left(1-\frac{\vartheta }{{\vartheta }_0}\right), R_m=\alpha {\vartheta }_{0}L. \end{gathered}$$ (23)

Здесь R_m — значение радиуса при ϑ = 0.

Подставляя (22) в (23), получим, что

$R=R_0+\left(R_m-R_0\right)\left(1-\cos Nt\right).$ (24)

Из уравнения (22) видно, что ϑ = 0 при $t_0=\frac{\pi }{2}{N}^{-1}\approx 157ñ.$ При этом v = v₀, а R = R_m.

Таблица 2. Времена становления основных параметров нагретого образования (R ≈ 30 м)

Таблица 3. Времена становления основных параметров нагретого образования (R ≈ 300 м)

Таблица 4. Времена становления основных параметров нагретого образования (R ≈ 3000 м)

Второе приближение (учет торможения)

При заметном увеличении v необходимо учитывать торможение нагретого образования. Для этого в уравнение (4) подставим v и ϑ, даваемые соотношением (22) и (23). По-прежнему, в силу неравенства $t_v\ll t_R$будем считать, что R(t) ≈ R₀. После этого вместо (4) имеем следующее выражение

$\frac{dv}{dt}={\vartheta }_{0}g\cos Nt-a_0{\sin }^{2}Nt, a_0=\frac{{\displaystyle \beta v_0^2}}{{\displaystyle R_0}}.$ (25)

Здесь a₀ — торможение движущегося образования. Решение (25) принимает вид

$v=v_0\left[\sin Nt-\gamma \left(2Nt-\sin 2Nt\right)\right], \gamma =\frac{\beta v_0}{4N{R}_0}.$ (26)

После решения уравнения (6) с учетом (26) получим, что

 $\vartheta ={\vartheta }_0\left[\cos Nt+\gamma \left(N^2{t}^2-{\sin }^{2}Nt\right)\right].$ (27)

Из (27) при ϑ = 0 находится время t_ϑ полного охлаждения термика. При $\gamma \le 0.14$ имеем

$N{t}_{\vartheta }\approx \frac{\pi }{2}+\gamma \left(\frac{{\pi }^2}{4}-1\right).$

Из (25) или (26) следует, что скорость v(t) принимает максимальное значение v_m в момент времени t₀, который находится из следующего уравнения:

$\cos N{t}_0-2\gamma \left(1-\cos 2N{t}_0\right)=0.$ (28)

Решение (28) имеет вид:

 $N{t}_0=\arccos \frac{{\left(1+64{\gamma }^2\right)}^{1/2}-1}{8\gamma }.$ (29)

При этом

$v_m=v_0\left[\sin N{t}_0-\gamma \left(2N{t}_0-\sin 2N{t}_0\right)\right].$(30)

Если $64{\gamma }^2\ll \mathrm{1,}$ то $N{t}_0\approx \pi /2-4\gamma ,$ $v_m=v_0\left(1-\pi \gamma +8{\gamma }^2\right).$

При $64{\gamma }^2\gg 1$ имеем $N{t}_0\approx {\left(2\sqrt{\gamma }\right)}^{-1},$ а $v_m\approx v_0/3\sqrt{\gamma }.$

Результаты расчета t₀ и v_m/v₀ по соотношениям (29) и (30) приведены в табл. 5. Из нее видно, что при увеличении γ значение t₀ убывает от 157 до 28 с, отношение v_m/v₀ — от 1 до 0.19. При γ = 3∙10^–4–0.1 значения t₀ и v_m/v₀ практически не изменяются. Наибольшие вариации этих параметров имеют место при γ ≈ 0.1–3.

Таблица 5. Время t₀ достижения максимальной скорости v_m, соответствующая ему нормированная высота z₀ / z_ϑ и нормированная скорость v_m/v₀, а также время t_m достижения максимальной высоты z_m и соответствующая ему нормированная высота z_m / z_ϑ

Нагретый объем газа достигает максимальной высоты в момент времени t_m, когда v(t_m) = 0. Исходя из соотношения (26), для t_m получим следующее уравнение:

$\sin N{t}_m-\gamma \left(2N{t}_m-\sin 2N{t}_m\right)=0.$ (31)

В общем случае (31) решается численно (табл. 5). При $\gamma \gg 1$ аргумент Nt_m в (31) мал, т. е. $N{t}_m\ll 1.$ Раскладывая синусы в ряды и ограничиваясь членами $~{\left(N{t}_m\right)}^3,$ получим, что

$N{t}_m\approx \sqrt{\frac{3}{4\gamma }}.$ (32)

Интересно, что формула (32) хорошо описывает зависимость даже при $\gamma \approx \mathrm{0.1,}$ погрешность расчета Nt_m при этом не превышает 10%. При $\gamma \ll 1$ имеем $N{t}_m\approx \pi \left(1-2\gamma \right).$ В частности, при $\gamma \approx \mathrm{0.1,}$ имеем Nt_m ≈ 2.51, а по формуле (32) — Nt_m ≈ 2.74. Важно, что при $\gamma =1$ отношение $t_m/t_0\approx \mathrm{2,}$ а при $\gamma \gg 1$ отношение $t_{m\min }/t_0\approx \sqrt{3}\approx \mathrm{1.73.}$

Во избежание недоразумений заметим следующее. Как видно из соотношений (25) и (27), скорость термика и избыток температуры в нем описываются гармоническими функциями, а также членами типа 2γNt и γN²t². Поскольку при любых допустимых значениях γ величины Nt_m и Nt_ϑ — ограничены, соотношения (25) и (27) описывают не колебания (и не нарастающие во времени процессы), а релаксирующие процессы.

Оценим далее максимальную высоту подъема нагретого образования

$z_m=\underset{0}{\overset{t_m}{\int }}v\left(t\right)dt.$ (33)

Подставляя (26) в (33) и интегрируя, получим, что

$z_m=z_{\vartheta }\left[2{\sin }^2\frac{N{t}_m}{2}-\gamma \left(N^2{t}_m^2-{\sin }^{2}N{t}_m\right)\right],$ (34)

где $z_{\vartheta }={\vartheta }_{0}L, N{t}_m={\left(3/4\gamma \right)}^{1/2}$  при $\gamma \ge 0.1$ или же $N{t}_m\approx \pi \left(1-2\gamma \right)$ при $\gamma <\mathrm{0.1.}$ Результаты расчета z_m / z_ϑ также приведены в табл. 5, из которой видно, что при увеличении γ отношение z_m / z_ϑ уменьшается примерно на полтора порядка. Резкое уменьшение этого отношения имеет место при $\gamma \ge \mathrm{0.1.}$

Заменяя в выражении (34) время t_m на время t₀, получим соотношение для расчета высоты z₀, где скорость достигает максимального значения v_m. Результаты расчета z₀ / z_ϑ также приведены в табл. 5. Из табл. 5 следует, что при малых γ значение z₀ ≈ z_ϑ, а при γ > 10^–2 значение z₀ меньше и даже намного меньше z_ϑ.

Малые колебания

Нагретое образование, кроме всплывания, способно осуществлять колебания. При этом по периодическому закону изменяются v, R и ϑ.

Ограничимся колебаниями с малой амплитудой, т. е. в уравнении (4) будем пренебрегать квадратичным по v членом. Тогда исходная система уравнений сводится к уравнениям (5), (6) и (18), но с другими начальными условиями. Ее решение при $v\left(t=0\right)=v\left(0\right),$ $R\left(t=0\right)=R\left(0\right)$ и $\vartheta \left(t=0\right)=\vartheta \left(0\right)$ имеет вид:

$$\begin{gathered} v=v\left(0\right)\sin Nt, \\ R=R\left(0\right)+\frac{\alpha v\left(0\right)}{N}\left(1-\cos Nt\right), \\ \vartheta =\vartheta \left(0\right)-\frac{Nv\left(0\right)}{g}\left(1-\cos Nt\right). \end{gathered}$$

Из линеаризованной системы уравнений (5), (6) и (18) значение амплитуды v(0) определить не представляется возможным. Зададим v(0) ≈ 0.1 м/с. Тогда амплитуды колебаний радиуса и параметра ϑ

$$\begin{gathered} a_R=\frac{\alpha v\left(0\right)}{N}\approx 1ì, \\ {a}_{\vartheta }=\frac{Nv\left(0\right)}{g}\approx {10}^{-4}. \end{gathered}$$

Заметим, что без учета нелинейного члена в уравнении (4) и потерь в системе колебания возникают на частоте N, период колебаний при этом составляет около 10 мин. Значение периода превышает время подъема нагретого образования, поэтому роль колебаний в процессе подъема образования малосущественна.

ОБСУЖДЕНИЕ

Полученные выше точные и приближенные решения справедливы для крупномасштабных (R ≈ 30–3000 м), слабо (ϑ ≈ 10^–4–10^–2) нагретых образований. Примерами таких образований являются тепловые шапки над готовящимися или уже происходящими сильными землетрясениями, горящими залежами торфа, травы и т. п.

Например, при подготовке землетрясения ϑ₀ ≈ 10^–3–3∙10^–3 [14], а размер очага составляет многие десятки и сотни километров. В этом случае максимальный размер конвективных ячеек определяется не размерами очага, а эффективным радиусом конвективных ячеек. Их диаметр не превышает внешний масштаб турбулентности. Последний в атмосфере составляет величину не более ~ 1 км. Далее примем, что R ≈ 300 м, ϑ₀ ≈ 10^–3–3∙10^–3. При таком радиусе нагретого объема его центр масс способен подняться на высоту 130–300 м соответственно за время около 240–230 с. При этом радиус образования увеличивается до 310–340 м. Максимальная скорость подъема составляет 1–2.6 м/с. Такая скорость имеет место на высоте 86–208 м соответственно через 130–110 с после начала подъема.

Примерно такие же параметры динамических процессов при конвективном подъеме слабо нагретых крупномасштабных атмосферных объемов будут иметь место и в случае других источников нагрева.

ВЫВОДЫ

1. Получены точные и приближенные аналитические соотношения, описывающие динамику конвективного подъема крупномасштабных (R ≈ 30–3000 м) слабо (ϑ ≈ 10^–4–10^–2) нагретых атмосферных образований.
2. В процессе подъема нагретого образования избыточная температура за время ~ 4–400 с в зависимости от ϑ₀ и R₀ постепенно уменьшается до 0. Характерный высотный масштаб уменьшения ϑ составляет 10–10³ км.
3. Подъем нагретого образования в результате присоединения холодного воздуха сопровождается увеличением его радиуса и массы. Высотный масштаб изменения радиуса составляет 300–30000 м при радиусе 30–3000 м. Заметно радиус увеличивается лишь при его величине порядка десятков метров.
4. В процессе подъема нагретого образования его скорость постепенно увеличивается и достигает максимального значения, равного 0.1–14.1 м/с на высотах 8.6–863 м соответственно через 157–28 с после начала подъема в зависимости от ϑ₀ и R₀. Далее скорость за время 90–20 с уменьшается до нуля.
5. Время подъема нагретого образования составляет 50–314 с в зависимости от величины радиуса и значения степени нагрева нагретого образования.
6. Максимальная высота подъема существенно зависит от радиуса образования: при увеличении R на два порядка она увеличивается в 1.3 раза при ϑ₀ = 10^–4 и примерно в 2.8 раза при ϑ₀ = 10^–2.
7. Нагретые конвективные ячейки над готовящимся землетрясением, имеющие радиус 300 м и степень нагрева 0.1–0.3 K, поднимаются на высоту 130–300 м за время около 4 мин. Максимальная скорость подъема составляет 1–3 м/с, для ее достижения требуется около 2 мин времени.

About the authors

L. F. Chernogor

Author for correspondence.
Email: Leonid.F.Chernogor@gmail.com
Ukraine, Svobody, 4, Kharkiv, 61022

References

Supplementary files