Dynamics of convective upwelling of large-scale weakly heated atmospheric aggregates

Cover Page

Abstract


Equations for the center-of-mass speed of the parcel of heated air, the mass of the entrained cool air, and the resulting buoyancy of the entire air aggregate have been used to obtain exact and approximate relations for describing height and temporal dependences of the characteristic radius, the excess relative temperature, and a weakly heated large-scale (hundreds of meters and greater) air aggregate convective upwelling. It is shown that the excess temperature relaxation in the air aggregate occurs quickly, the aggregate radius increases slowly and insignificantly. The variations in the center-of-mass speed of the aggregate are not monotonous. First, the speed increases from zero to a maximum value, and then it decreases to zero. Numerical simulations have been performed for the case of interest to practical applications.


Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Количественное описание динамики конвективного подъема нагретых образований в атмосфере, именуемых также термиками, конвективными ячейками, облаками, представляет значительный теоретический [1, 2] и практический интерес [3–15].

В работе автора [16] рассмотрена динамика конвективного подъема нагретых образований в атмосфере в случае умеренного и сильного нагревов. В обеих случаях не учитывалась вертикальная стратификация атмосферы — формально считалось, что частота Вяйсяля–Брента [17] N стремилась к нулю, что приводит к сохранению полного интеграла плавучести. В уравнении для радиуса R образования это означало, что Rkg/N2, где k0.110 при ϑ0.110 соответственно. Здесь g — ускорение свободного падения, ϑ — избыток относительной температуры в образовании. Указанное неравенство выполняется для R110 км. В уравнении для ϑ членом с N2 можно пренебречь, если R3αϑϑ+1g/N2, где α0.1 — коэффициент захвата холодного воздуха. Последнее неравенство при слабом и умеренном нагреве, т.е. при ϑ104102, выполняется лишь при R0.330 м. Тем самым исключается из рассмотрения случай подъема слабо нагретых крупномасштабных (сотни–тысячи метров) образований. Примерами таких образований могут быть тепловые шапки над готовящимися [14] или свершившимися землетрясениями, горящими торфяниками, горящим травяным покровом или низкорастущим кустарником и т. д.

Заметим, что в случае сильного (ϑ1) нагрева полученные в работе соотношения без учета членов с N2 справедливы при R30 км.

Цель настоящей работы — получение аналитических точных и приближенных соотношений, описывающих динамику конвективного подъема слабо нагретых крупномасштабных образований в атмосфере, а также оценка основных параметров этих образований для типичных ситуаций.

ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

При перечисленных в работе [16] упрощающих предположениях исходная система уравнений имеет вид:

dvdt=ϑgβ1+ϑv2R,  v0=0. (1)

dRdt=v1+2ϑα1+ϑ2N2R3g, R0=R0, (2)

dϑdt=3αϑ1+ϑ21+2ϑvRN2g1+ϑ1+2ϑv, ϑ0=ϑ0. (3)

Обозначения в системе уравнений (1)–(3) такие же, как и в работе [16]. В отличие от работы [16], в уравнении (3) будем считать, что 3αϑ1+ϑ/RN2/g. При ϑ104102 неравенство выполняется при R30300 м. В уравнении (2), по-прежнему, будем считать, что α1+ϑ2N2R/3g. При тех же ϑ имеем R3αg/N2 или R3 км. Таким образом, далее нас будут интересовать нагретые образования, имеющие радиус R303000 м. В настоящей работе условно они называются крупномасштабными.

При выполнении указанных неравенств и  ϑ1 система уравнений (1)–(3) принимает вид:

dvdt=ϑgβv2R, β12,    v0=0, (4)

dRdt=αv,  R0=R0, (5)

dϑdt=N2gv,   ϑ0=ϑ0.(6)

ВЫСОТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ

Учитывая, что оператор d/dt=dz/dtd/dz=vd/dz из системы уравнений (4)–(6) получим следующие соотношения:

vdvdz=ϑgβv2R,  v0=0, (7)

dRdz=α,  R0=R0, (8)

dϑdz=N2g,  ϑ0=ϑ0. (9)

Решения уравнений (8) и (9) имеют вид:

R=R01+αR0z=R01+zzR,  zR=R0αR0,(10)

ϑ=ϑ01zzϑ, zϑ=ϑ0gN2=ϑ0L, L=gN2. (11)

Подставляя (10) и (11) в уравнение (7) и производя его интегрирование, получим

v=2ϑ0gzRFa+11+z/zRa, (12)

где

Fx  =  1+xa+1   1bx  +  b1+xa+1a+2  1+ba+1a+2, a=2β/α10, x=z/zR, b=zR/zϑ.

Можно показать, что v достигает максимума при xx0, где x0 — корень уравнения

 1+x0F'x0=aFx0, (13)

(штрих означает производную по x). Решение громоздкого уравнения (13) возможно лишь численными методами.

Решения (10)–(12) являются точными для уравнений (7)–(9).

Для скорости получим приближенное решение. Для этого предположим, что zϑzR. При ϑ104102 это неравенство выполняется при R010103 м. Это означает, что в уравнении (7) можно считать RzR0. Тогда (7) примет вид:

vdvdzϑ0g1zzϑβv2R0, v0=0. (14)

Решение уравнения (14) имеет вид:

v=ϑ0gR0βΦz=vchΦ1/2z, vch=ϑ0gR0β (15)

где Φx=1x+r1+rex/r, x=z/zϑ, r=R0/2βzϑ.

Функция Φ(z), а вместе с ней и v(z) принимают максимальное значение при

z0=R02βln1+2βzϑR0=rzϑln1+1r, r1. (16)

Тогда vm=vz0=vchΦ1/2z0. При этом

Φz0=1r0ln1+1r0, r0=z0/zϑ. (17)

Если r01, то Φr01+r0lnr0 и vmvch.

Результаты расчета zϑ, z0, vm и vch по соотношениям (11), (16) и (17) приведены в табл. 1.

 

Таблица 1. Основные параметры нагретого образования

R0, м

ϑ0

10–4

3∙10–4

10–3

3∙10–3

5∙10–3

8∙10–3

10–2

zϑ, м

10

30

102

3∙102

5∙102

8∙102

103

30

z0, м

8.6

20.8

vch, м/с

0.24

0.42

vm, м/с

0.11

0.34

300

z0, м

9.8

28.6

86.3

208

294

390

vch, м/с

0.78

1.34

2.45

4.2

5.47

6.93

vm, м/с

0.42

0.76

1.41

2.62

3.54

4.67

3000

z0, м

10

29.9

98.6

286

463

709

863

vch, м/с

2.45

4.2

7.8

13.4

17.3

21.9

24.5

vm, м/с

1.36

2.35

4.33

7.38

9.78

12.6

14.1

 

ВРЕМЕННЫЕ ЗАВИСИМОСТИ

Первое приближение (начальная стадия)

Из уравнений (4)–(6) следуют такие оценки времен становления v, R и ϑ:  

tv=R0βvch, tR=R0αvch, tϑ=ϑ0gN2vch=ϑ0Lvch.

Параметр tv описывает время становления скорости термика за счет его торможения. Результаты оценок времени становления параметров нагретого образования приведены в табл. 2, 3 и 4. Из таблиц следует, что всегда tR больше tv примерно в 5 раз. В то же время отношение tϑ / tv может быть намного меньше единицы и, напротив, намного больше единицы. Это зависит от степени нагрева образования, т.е. ϑ0, и его радиуса. Для крупномасштабных (R ≈ 1000–3000 м) образований при всех ϑ0 имеем tϑ < tv.

Вначале будем пренебрегать торможением нагретого образования. Тогда вместо уравнения (4) имеем такое уравнение:

dvdt=ϑg, v0=0. (18)

К нему следует прибавить уравнение (6) в таком виде:

dϑdt=vL. (19)

Исключая из (18) и (19) v и ϑ получим следующие соотношения:

d2ϑdt2=gLϑ=N2ϑ, ϑ0=ϑ0, (20)

d2vdt2=gLv=N2v, v0=0. (21)

После интегрирования (20) и (21) получим, что

ϑ=ϑ0cosNt. v=v0sinNt, v0=gϑ0N=LNϑ0.(22)

Из соотношений (5) и (6) имеем уравнение и его первый интеграл

dRdϑ=αL, L=gN2, Rϑ0=R0.R=R0+RmR01ϑϑ0, Rm=αϑ0L. (23)

Здесь Rm — значение радиуса при ϑ = 0.

Подставляя (22) в (23), получим, что

R=R0+RmR01cosNt. (24)

Из уравнения (22) видно, что ϑ = 0 при t0=π2N1157ñ. При этом v = v0, а R = Rm.

 

Таблица 2. Времена становления основных параметров нагретого образования (R ≈ 30 м)

ϑ0

10–4

3∙10–4

10–3

3∙10–3

5∙10–3

8∙10–3

10–2

tv, с

245

141.6

77.5

44.7

34.6

27.4

24.5

tR, с

1225

708

387.5

223.5

173

137

122.5

tϑ, с

41.7

71.4

128.2

224

289

365

417

 

Таблица 3. Времена становления основных параметров нагретого образования (R ≈ 300 м)

ϑ0

10–4

3∙10–4

10–3

3∙10–3

5∙10–3

8∙10–3

10–2

tv, с

774

447

245

141

109

86.6

77.4

tR, с

3871

2237

1225

706

547

433

387

tϑ, с

13.2

22.6

40.5

70.9

91.5

115.5

132

 

Таблица 4. Времена становления основных параметров нагретого образования (R ≈ 3000 м)

ϑ0

10–4

3∙10–4

10–3

3∙10–3

5∙10–3

8∙10–3

10–2

tv, с

2450

1416

775

447

346

274

245

tR, с

12250

7080

3875

2235

1730

1370

1225

tϑ, с

4.2

7.1

12.8

22.4

28.9

36.5

41.7

 

Второе приближение (учет торможения)

При заметном увеличении v необходимо учитывать торможение нагретого образования. Для этого в уравнение (4) подставим v и ϑ, даваемые соотношением (22) и (23). По-прежнему, в силу неравенства tvtR будем считать, что R(t) ≈ R0. После этого вместо (4) имеем следующее выражение

dvdt=ϑ0gcosNta0sin2Nt,  a0=βv02R0. (25)

Здесь a0 — торможение движущегося образования. Решение (25) принимает вид

v=v0sinNtγ2Ntsin2Nt, γ=βv04NR0. (26)

После решения уравнения (6) с учетом (26) получим, что

 ϑ=ϑ0cosNt+γN2t2sin2Nt. (27)

Из (27) при ϑ = 0 находится время tϑ полного охлаждения термика. При γ0.14 имеем

Ntϑπ2+γπ241.

Из (25) или (26) следует, что скорость v(t) принимает максимальное значение vm в момент времени t0, который находится из следующего уравнения:

cosNt02γ1cos2Nt0=0. (28)

Решение (28) имеет вид:

 Nt0=arccos1+64γ21/218γ. (29)

При этом

vm=v0sinNt0γ2Nt0sin2Nt0. (30)

Если 64γ21, то Nt0π/24γ, vm=v01πγ+8γ2.

При 64γ21 имеем Nt02γ1, а vmv0/3γ.

Результаты расчета t0 и vm/v0 по соотношениям (29) и (30) приведены в табл. 5. Из нее видно, что при увеличении γ значение t0 убывает от 157 до 28 с, отношение vm/v0 — от 1 до 0.19. При γ = 3∙10–4–0.1 значения t0 и vm/v0 практически не изменяются. Наибольшие вариации этих параметров имеют место при γ ≈ 0.1–3.

 

Таблица 5. Время t0 достижения максимальной скорости vm, соответствующая ему нормированная высота z0 / zϑ и нормированная скорость vm/v0, а также время tm достижения максимальной высоты zm и соответствующая ему нормированная высота zm / zϑ

γ

3∙10–4

10–3

10–2

0.1

0.5

1

2

3

t0, с

157

156.7

153

121

72

49

35

28

z0 / zϑ

0.999

0.992

0.946

0.587

0.21

0.10

0.06

0.04

vm / v0

1

0.997

0.98

0.89

0.44

0.32

0.23

0.19

tm, с

314

313.5

308

250

125

87.5

62

50

zm / zϑ

2

1.99

1.66

1.21

0.35

0.18

0.09

0.06

 

Нагретый объем газа достигает максимальной высоты в момент времени tm, когда v(tm) = 0. Исходя из соотношения (26), для tm получим следующее уравнение:

sinNtmγ2Ntmsin2Ntm=0. (31)

В общем случае (31) решается численно (табл. 5). При γ1 аргумент Ntm в (31) мал, т. е. Ntm1. Раскладывая синусы в ряды и ограничиваясь членами ~Ntm3, получим, что

Ntm34γ. (32)

Интересно, что формула (32) хорошо описывает зависимость даже при γ0.1, погрешность расчета Ntm при этом не превышает 10%. При γ1 имеем Ntmπ12γ. В частности, при γ0.1, имеем Ntm ≈ 2.51, а по формуле (32) — Ntm ≈ 2.74. Важно, что при γ=1 отношение tm/t02, а при γ1 отношение tmmin/t031.73.

Во избежание недоразумений заметим следующее. Как видно из соотношений (25) и (27), скорость термика и избыток температуры в нем описываются гармоническими функциями, а также членами типа 2γNt и γN2t2. Поскольку при любых допустимых значениях γ величины Ntm и Ntϑ — ограничены, соотношения (25) и (27) описывают не колебания (и не нарастающие во времени процессы), а релаксирующие процессы.

Оценим далее максимальную высоту подъема нагретого образования

zm=0tmvtdt. (33)

Подставляя (26) в (33) и интегрируя, получим, что

zm=zϑ2sin2Ntm2γN2tm2sin2Ntm, (34)

где zϑ=ϑ0L, Ntm=3/4γ1/2  при γ0.1 или же Ntmπ12γ при γ<0.1. Результаты расчета zm / zϑ также приведены в табл. 5, из которой видно, что при увеличении γ отношение zm / zϑ уменьшается примерно на полтора порядка. Резкое уменьшение этого отношения имеет место при γ0.1.

Заменяя в выражении (34) время tm на время t0, получим соотношение для расчета высоты z0, где скорость достигает максимального значения vm. Результаты расчета z0 / zϑ также приведены в табл. 5. Из табл. 5 следует, что при малых γ значение z0zϑ, а при γ > 10–2 значение z0 меньше и даже намного меньше zϑ.

Малые колебания

Нагретое образование, кроме всплывания, способно осуществлять колебания. При этом по периодическому закону изменяются v, R и ϑ.

Ограничимся колебаниями с малой амплитудой, т. е. в уравнении (4) будем пренебрегать квадратичным по v членом. Тогда исходная система уравнений сводится к уравнениям (5), (6) и (18), но с другими начальными условиями. Ее решение при vt=0=v0, Rt=0=R0 и ϑt=0=ϑ0 имеет вид:

v=v0sinNt,R=R0+αv0N1cosNt,ϑ=ϑ0Nv0g1cosNt.

Из линеаризованной системы уравнений (5), (6) и (18) значение амплитуды v(0) определить не представляется возможным. Зададим v(0) ≈ 0.1 м/с. Тогда амплитуды колебаний радиуса и параметра ϑ

aR=αv0N1  ì,aϑ=Nv0g104.

Заметим, что без учета нелинейного члена в уравнении (4) и потерь в системе колебания возникают на частоте N, период колебаний при этом составляет около 10 мин. Значение периода превышает время подъема нагретого образования, поэтому роль колебаний в процессе подъема образования малосущественна.

ОБСУЖДЕНИЕ

Полученные выше точные и приближенные решения справедливы для крупномасштабных (R ≈ 30–3000 м), слабо (ϑ ≈ 10–4–10–2) нагретых образований. Примерами таких образований являются тепловые шапки над готовящимися или уже происходящими сильными землетрясениями, горящими залежами торфа, травы и т. п.

Например, при подготовке землетрясения ϑ0 ≈ 10–3–3∙10–3 [14], а размер очага составляет многие десятки и сотни километров. В этом случае максимальный размер конвективных ячеек определяется не размерами очага, а эффективным радиусом конвективных ячеек. Их диаметр не превышает внешний масштаб турбулентности. Последний в атмосфере составляет величину не более ~ 1 км. Далее примем, что R ≈ 300 м, ϑ0 ≈ 10–3–3∙10–3. При таком радиусе нагретого объема его центр масс способен подняться на высоту 130–300 м соответственно за время около 240–230 с. При этом радиус образования увеличивается до 310–340 м. Максимальная скорость подъема составляет 1–2.6 м/с. Такая скорость имеет место на высоте 86–208 м соответственно через 130–110 с после начала подъема.

Примерно такие же параметры динамических процессов при конвективном подъеме слабо нагретых крупномасштабных атмосферных объемов будут иметь место и в случае других источников нагрева.

ВЫВОДЫ

  1. Получены точные и приближенные аналитические соотношения, описывающие динамику конвективного подъема крупномасштабных (R ≈ 30–3000 м) слабо (ϑ ≈ 10–4–10–2) нагретых атмосферных образований.
  2. В процессе подъема нагретого образования избыточная температура за время ~ 4–400 с в зависимости от ϑ0 и R0 постепенно уменьшается до 0. Характерный высотный масштаб уменьшения ϑ составляет 10–103 км.
  3. Подъем нагретого образования в результате присоединения холодного воздуха сопровождается увеличением его радиуса и массы. Высотный масштаб изменения радиуса составляет 300–30000 м при радиусе 30–3000 м. Заметно радиус увеличивается лишь при его величине порядка десятков метров.
  4. В процессе подъема нагретого образования его скорость постепенно увеличивается и достигает максимального значения, равного 0.1–14.1 м/с на высотах 8.6–863 м соответственно через 157–28 с после начала подъема в зависимости от ϑ0 и R0. Далее скорость за время 90–20 с уменьшается до нуля.
  5. Время подъема нагретого образования составляет 50–314 с в зависимости от величины радиуса и значения степени нагрева нагретого образования.
  6. Максимальная высота подъема существенно зависит от радиуса образования: при увеличении R на два порядка она увеличивается в 1.3 раза при ϑ0 = 10–4 и примерно в 2.8 раза при ϑ0 = 10–2.
  7. Нагретые конвективные ячейки над готовящимся землетрясением, имеющие радиус 300 м и степень нагрева 0.1–0.3 K, поднимаются на высоту 130–300 м за время около 4 мин. Максимальная скорость подъема составляет 1–3 м/с, для ее достижения требуется около 2 мин времени.

About the authors

L. F. Chernogor

Karazin Kharkiv National University

Author for correspondence.
Email: Leonid.F.Chernogor@gmail.com

Ukraine, Svobody, 4, Kharkiv, 61022

References

  1. Morton B.R., Taylor G., Turner J.S. Turbulent gravitational convection from maintained and instantaneous sources // Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, physical and engineering sciences. The Royal Society, 1956. V. 234. № 1196. P. 1–23.
  2. Гостинцев Ю.А., Шацких Ю.В. О механизме генерации длинноволновых акустических возмущений в атмосфере всплывающим облаком продуктов взрыва. Физика горения и взрыва. 1987. № 2. С. 91–97.
  3. Glasstone S., Dolan P.J. Effects of nuclear weapons. Department of Defense, Washington, DC (USA); Department of Energy, Washington, DC (USA). 1977. 653 p.
  4. The 1980 eruptions of Mount St. Helens. Washington. Washington: D. C. 1981. 843 p.
  5. Гостинцев Ю.А., Иванов Е.А., Куличков С.Н. и др. О механизме генерации инфразвуковых волн в атмосфере большими пожарами // ДАН СССР. 1985. Т. 283. № 3. С. 573–576.
  6. Черногор Л.Ф. Физические процессы в околоземной среде, сопровождавшие военные действия в Ираке (март — апрель 2003 г.) // Космічна наука і технологія. 2003. Т. 9. № 2/3. С. 13–33.
  7. Черногор Л.Ф. Геофизические эффекты и геоэкологические последствия массовых химических взрывов на военных складах в г. А ртемовск // Геофизический журнал. 2004. Т. 26. № 4. С. 31–44.
  8. Черногор Л.Ф. Геофизические эффекты и экологические последствия пожара и взрывов на военной базе вблизи г. М елитополь // Геофизический журнал. 2004. Т. 26. № 6. С. 61–73.
  9. Черногор Л.Ф. Экологические последствия массовых химических взрывов при техногенной катастрофе // Геоэкология. Инженерная геология. Гидрогеология. Геокриология. 2006. № 6. С. 522–535.
  10. Черногор Л.Ф. Земля — атмосфера — ионосфера — магнитосфера как открытая динамическая нелинейная физическая система. 1 // Нелинейный мир. 2006. Т. 4. № 12. С. 655–697.
  11. Черногор Л.Ф. Земля — атмосфера — ионосфера — магнитосфера как открытая динамическая нелинейная физическая система. 2 // Нелинейный мир. 2007. Т. 5. № 4. С. 198–231.
  12. Черногор Л.Ф. Физика и экология катастроф: Монография. — Харьков: ХНУ имени В. Н. Каразина. 2012. 556 с. 13.
  13. Горькавый Н.Н., Тайдакова Т.А., Проворникова Е.А., Горькавый И.Н., Ахметвалеев М.M. Аэрозольный шлейф Челябинского болида Астрономический вестник. 2013. Т. 47. № 4. С. 299–303.
  14. Пулинец С.А., Узунов Д.П., Карелин А.В., Давиденко Д.В. Физические основы генерации краткосрочных предвестников землетрясений. Комплексная модель геофизических процессов в системелитосфера — атмосфера — ионосфера — магнитосфера, инициируемых ионизацией // Геомагнетизм и аэрономия. 2015. Т. 55. № 4. С. 540–558.
  15. Черногор Л.Ф. Атмосферные эффекты газо-пылевого следа Челябинского метеороида 2013 года // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2017. Т. 53. № 3. С. 296–306.
  16. Черногор Л.Ф. Динамика конвективного подъема нагретых образований в атмосфере // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2018. Т. 54. № 6. С. 626–634.
  17. Госсард Э.Э., Хук У.Х. Волны в атмосфере. М.:Мир. 1978. 532 с.

Statistics

Views

Abstract - 147

PDF (Russian) - 110

Cited-By


PlumX

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2019 Russian academy of sciences

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies