Вариант теории локального подобия и аппроксимация вертикальных профилей турбулентных моментов конвективного пограничного слоя атмосферы

Полный текст

Статья подготовлена на основе устного доклада, представленного на IV Всероссийской конференции с международным участием “Турбулентность, динамика атмосферы и климата”, посвященной памяти академика А.М. Обухова (Москва, 22–24 ноября 2022 г.).

1. ВВЕДЕНИЕ

Пусть h – высота конвективного пограничного слоя; z – высота уровня над подстилающей поверхностью. В условиях свободной конвекции и вынужденной конвекции со слабым ветром теория локального подобия расширяет область приложения теории Монина–Обухова с узкого поверхностного слоя $0\le z/h\le 0.1$ на большую часть конвективного слоя $0\le z/h\le 0.75$.

Варианты теории локального подобия предполагают априорное задание двух базовых размерных параметров, отнесенных к произвольному уровню z и характеризующих турбулентное перемешивание на этом уровне. Аппроксимации турбулентных моментов строятся на основе теории размерности в форме обобщенных одночленов, зависящих от базовых параметров. В рамках теории локального подобия возможны различные способы априорного задания базовых параметров. Выбор базовых параметров формирует тот или иной вариант теории локального подобия.

Для конвективного пограничного слоя атмосферы без сдвига ветра теория локального подобия была впервые предложена в работе [Zeman, Lumley, 1976]. В качестве базовых параметров в этой теории использовалась высота z и локальный поток плавучести $g{s}_{\theta }$, величина которого пропорциональна турбулентному конвективному потоку тепла на этом уровне. Последовательное развитие варианта теории [Zeman, Lumley, 1976] выполнено в работе [Вульфсон и др., 2004], см. также [Sorbjan, 1986]. Другой вариант теории локального подобия для конвективного пограничного слоя атмосферы подробно обсуждался в серии работ [Sorbjan, 1986; 1987; 1988; 1990; 1991]. В качестве базовых параметров в этой теории использовались параметр скорости $w_S=z^{1/3}{\left(g{s}_{\theta }\right)}^{1/3}$ и параметр плавучести $g{\theta }_S=z^{-1/3}{\left(g{s}_{\theta }\right)}^{2/3}$, где $g{s}_{\theta }$ – локальный поток “буссинесковой” плавучести на произвольном уровне z, пропорциональный конвективному потоку тепла.

Существенно, что предложенные варианты теории локального подобия соответствуют экспериментальным данным только в нижней половине конвективного пограничного слоя $0\le z/h\le 0.5$.

В настоящей работе рассматривается еще один вариант теории локального подобия в свободно-конвективном пограничном слое атмосферы, использующий идеи полуэмпирических теорий турбулентности [Prandtl, 1925; 1932]. В данном варианте в качестве базовых размерных параметров использован второй момент вертикальной скорости $\overline{w^2}$ и параметр длины $l_{PS}$, соответствующий “спектральному” пути перемешивания Прандтля. Такой выбор базовых параметров позволяет рассматривать алгебраические формулы полуэмпирической теории турбулентности Прандтля как соотношения теории локального подобия. Выбранные базовые параметры $\overline{w^2}$ и $l_{PS}$ значительно улучшают соответствие аппроксимаций с экспериментальными данными и согласуются с наблюдениями в области перемешивания $0\le z/h\le 0.75$. Следует заметить, что уровень $z/h=0.75$ соответствует верхней границе существования ансамбля конвективных термиков, подробнее см. [Вульфсон, Бородин, 2016; Vulfson, Borodin, 2018; Vulfson, Nikolaev, 2022].

Аналитические аппроксимации теории локального подобия для моментов конвективного пограничного слоя представляют вполне определенный теоретический интерес в связи с проблемами конструктивного замыкания моментов высокого порядка в вихре разрешающих численных моделях турбулентности и “mass-flux” параметризациях.

2. ВЕРТИКАЛЬНАЯ СТРУКТУРА КОНВЕКТИВНОГО СЛОЯ АТМОСФЕРЫ И УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ КОНВЕКЦИИ

Пусть t – время; x, y, z – координаты декартовой системы координат, в которой ось z направлена противоположно ускорению силы тяжести g, а оси x, y расположены на плоской однородной подстилающей поверхности. Предположим, что $\overline{\Theta }\left(z\right)$ – фоновое значение потенциальной температуры статической стратифицированной атмосферы; $d\overline{\Theta }/dz$ – температурная стратификация атмосферы;

Согласно [Kaimal et al., 1976] конвективный пограничный слой атмосферы высотой h состоит трех горизонтальных ярусов, cм. рис. 1.

 

Рис. 1. Вертикальная структура конвективного пограничного слоя атмосферы и зависимость средней потенциальной температуры (z) от высоты согласно измерениям в эксперименте Minnesota-1973, см. [Kaimal et al., 1976]. I – приземный слой атмосферы; II – слой перемешивания; III – инверсионный слой.

 

Ярус $h_{ib}<z<h$ называют инверсионным слоем. Нижняя граница инверсионного подслоя расположена на уровне $h_{ib}\approx 0.85h$. Стратификация атмосферы в инверсионном слое перемешивания устойчива $d\overline{\Theta }/dz>0$. Ярус $h_s<z<h_{ib}$, для которого $h_s\approx 0.1h$, называют слоем перемешивания. Нижняя граница слоя перемешивания расположена на уровне $h_s\approx 0.1h$. Стратификация атмосферы в слое перемешивания нейтральна, а средняя потенциальная температура слоя практически постоянна $d\overline{\Theta }/dz=0$, $\overline{\Theta }\left(z\right)={\Theta }_0=const$.

Ярус $0<z<h_s$, прилегающий к подстилающей поверхности $z=0$, называют поверхностным слоем. В поверхностном конвективном слое стратификация атмосферы неустойчива, $d\overline{\Theta }/dz\le 0$, подробнее см. [Kaimal et al., 1976].

Так как ярус перемешивания обладает самой большой вертикальной протяженностью, величину ${\Theta }_0=const$ можно интерпретировать как среднюю потенциальную температуру всего конвективного слоя.

Равенство $\overline{\Theta }\left(h_s\right)={\Theta }_0$ следует рассматривать как уравнение для определения высоты конвективного поверхностного слоя $h_s$, см. рис. 1.

Описание свободно конвективного режима турбулентности реализуем в рамках уравнений теории конвекции Буссинеска. Математическое обоснование системы уравнений Буссинеска для случая использования в стратифицированной жидкости выполнено [Spiegel, Veronis, 1960]. Обоснование системы уравнений Буссинеска для случая использования в стратифицированной атмосфере выполнено в [Вульфсон, 1981], см. также [Mahrt, 1986].

Допустим, что $\overrightarrow{u}$, w – компоненты вектора скорости вдоль плоскости xy и оси z соответственно. Будем считать, что $\rho \left(x,y,z,t\right)$, $p\left(x,y,z,t\right)$ и $\Theta \left(x,y,z,t\right)$ – локальные значения плотности, давления и потенциальной температуры соответственно; $\overline{\rho }\left(z\right)$, $\overline{p}\left(z\right)$, $\overline{\Theta }\left(z\right)$ – фоновые значения плотности, давления и потенциальной температуры, связанные уравнениями состояния идеального газа и статики. Предположим, что ${\overline{\rho }}_a\left(z\right)$ – фоновое значение плотности статической адиабатической атмосферы; ${\overline{\rho }}_0={\overline{\rho }}_a\left(0\right)$ – постоянное значение средней плотности на подстилающей поверхности.

Пусть $p\text{'}=p-\overline{p}$ – отклонение локального давления p от его статического фонового значения $\overline{p}\left(z\right)$; ${\Phi }_b=p\text{'}/{\overline{\rho }}_a\approx p\text{'}/{\overline{\rho }}_0$ – модифицированное возмущение давления в стратифицированной атмосфере; ${{\Theta }^{\text{'}}}_b(x,y,z,t)=\Theta (x,y,z,t)-\overline{\Theta }\left(z\right)$ – локальная флуктуация потенциальной температуры в стратифицированной атмосфере.

Уравнения Буссинеска будут рассмотрены в области $\Omega =\left\{-\infty <x,y<\infty ,0<z<h\right\}$.

Следуя [Turner, 1973], введем локальную “буссинескову” плавучесть.

$\begin{array}{c}g{\theta }_b(x,y,z,t)=g{{\Theta }^{\text{'}}}_b(x,y,z,t)/{\Theta }_0=\\ =g\left\{\Theta (x,y,z,t)-\overline{\Theta }\left(z\right)\right\}/{\Theta }_0.\end{array}$ (1)

Использование в качестве новой переменной системы уравнений Буссинеска приводит к уравнениям

$\left\{\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\overrightarrow{u}=-{\overrightarrow{\nabla }}_h{\Phi }_b,\frac{d}{dt}w=-\frac{\partial }{\partial z}{\Phi }_b+\left(g{\theta }_b\right)\\ \frac{d}{dt}\left(g{\theta }_b\right)+g\Gamma w=\mathrm{0,}{\overrightarrow{\nabla }}_h\cdot \overrightarrow{u}+\frac{\partial }{\partial z}w=0.\end{array}\right.$ (2)

Здесь ${\overrightarrow{\nabla }}_h=\overrightarrow{i}\partial /\partial x+\overrightarrow{j}\partial /\partial y$ – горизонтальный оператор Гамильтона; $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ – направляющие векторы осей x и y соответственно; $g\Gamma =g{\Theta }_0^{-1}d\overline{\Theta }\left(z\right)/dz$ – параметр стратификации.

Уравнения позволяют рассматривать плавучесть $g{\theta }_b$ как самостоятельную переменную, эквивалентную пульсации потенциальной температуры ${{\Theta }^{\text{'}}}_b$. Модифицированная форма уравнений конвекции была впервые предложена [Вульфсон и др., 2004] и использована также в работах [Fodor, Mellado, 2020; Vulfson, Nikolaev, 2022].

Пусть $g{s}_{\theta }\left(z\right)=\overline{g{\theta }_{b}w}$ – локальный поток “буссинесковой” плавучести на произвольном уровне z, размерность которого $\left[g{s}_{\theta }\right]={ì}^2/{ñ}^3$. Соответственно, $g{S}_{\theta }=g{s}_{\theta }\left(0\right)=gH/\left(c_P{\rho }_0{\Theta }_0\right)$ – поток плавучести на подстилающей поверхности. С учетом краевые условия на нижней горизонтальной границе $z=0$ примут вид

${\left\{\overline{{(w{\overrightarrow{u}}^{\text{'}}\cdot w{\overrightarrow{u}}^{\text{'}})}_0}\right\}}^{1/2}=U_{\ast }^2,\overline{{\left(g{\theta }_{b}w\right)}_0}=g{S}_{\theta }.$ (3)

Здесь ${\overrightarrow{u}}^{\text{'}}$ – отклонение скорости от среднего горизонтального ветра; $U_{\ast }$ – динамическая скорость.

Уравнения теории конвекции и их краевые условия будут рассматриваться далее как базовые соотношения, формирующие турбулентность конвективного пограничного слоя.

Использование вместо переменной ${{\Theta }^{\text{'}}}_b$ переменной плавучести $g{\theta }_b$, размерность которой $\left[g\theta \right]=m/s^2$, приводит к появлению новых турбулентных моментов вида $\overline{{\left(g{\theta }_b\right)}^n{w}^m}$, пропорциональных обычным турбулентным моментам $\overline{{\left({{\Theta }^{\text{'}}}_b\right)}^n{w}^m}$. Однако это обстоятельство совершенно несущественно, так как безразмерные формы моментов $\overline{{\left(g{\theta }_b\right)}^n{w}^m}$ и $\overline{{\left({{\Theta }^{\text{'}}}_b\right)}^n{w}^m}$ полностью совпадают.

3. ТЕОРИЯ МОНИНА–ОБУХОВА И ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНОГО ПОДОБИЯ В ПОВЕРХНОСТНОМ КОНВЕКТИВНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ

Для описания турбулентности в конвективном поверхностном слое атмосферы $0<z/h<0.1$ используют теорию Монина–Обухова, см. [Monin, Yaglom, 1975]. Для описания турбулентности в конвективном слое атмосферы $0<z/h<1$ используют локальные теории подобия, см., например, [Zeman, Lumley, 1976; Sorbjan, 1986]. Покажем, что в режиме свободной конвекции в конвективном поверхностном слое атмосферы $0<z/h<0.1$ известные варианты локальной теории подобия формируют профили турбулентных моментов, форма которых геометрически подобна профилям классической теории подобия Монина–Обухова.

В качестве иллюстрации рассмотрим моменты второго порядка, которые дополним смешанным моментом третьего порядка. Из соотношений, следуют, общие соотношения для следующих моментов

$\begin{array}{c}\overline{w^2}=g_{ww}\left(z,g{S}_{\theta },U_{\ast },g\Gamma \right),\\ \overline{{\left(g{\theta }_b\right)}^2}=g_{\theta \theta }\left(z,g{S}_{\theta },U_{\ast },g\Gamma \right),\\ \overline{{\left(g{\theta }_b\right)}^{2}w}=g_{\theta \theta w}\left(z,g{S}_{\theta },U_{\ast },g\Gamma \right),\end{array}$ (4)

где $g_{ww}$, $g_{\theta \theta }$, $g_{\theta \theta w}$ – положительные функции.

В условиях слабого ветра $U_{\ast }\approx 0$ и положительного потока тепла на подстилающей поверхности $g{S}_{\theta }>0$ в конвективном поверхностном слое $0<z/h<0.1$ параметр стратификации $g\Gamma =g\Gamma (z,g{S}_{\theta })$. Поэтому, согласно [Kader, Yaglom, 1990], в уравнениях существует только два базовых параметра $g{S}_{\theta }$ и z, т.е.

$\begin{array}{l}\overline{w^2}=g_{ww}\left(z,g{S}_{\theta }\right),\overline{{\left(g{\theta }_b\right)}^2}=g_{\theta \theta }\left(z,g{S}_{\theta }\right),\\ \overline{{\left(g{\theta }_b\right)}^{2}w}=g_{\theta \theta w}\left(z,g{S}_{\theta }\right).\end{array}$ (5)

В этих условиях использование $\pi$-теоремы и теории размерности, см. [Buckingham, 1914; Barenblatt, 1996], приводит к равенствам

$\left\{\begin{array}{l}\overline{w^2}={\lambda }_{ww}^o{\left(g{S}_{\theta }\right)}^{2/3}{z}^{2/3}\\ \overline{{\left(g{\theta }_b\right)}^2}={\lambda }_{\theta \theta }^o{\left(g{S}_{\theta }\right)}^{4/3}{z}^{-2/3}\\ \overline{{\left(g{\theta }_b\right)}^2}={\lambda }_{\theta \theta w}^o{\left(g{S}_{\theta }\right)}^{5/3}{z}^{-1/3}.\end{array}\right.$ (6)

где ${\lambda }_{ww}^o>0$, ${\lambda }_{\theta \theta }^o>0$ и ${\lambda }_{\theta \theta w}^o>0$ – положительные безразмерные постоянные теории Монина–Обухова.

Масштабирование в конвективном поверхностном слое можно выполнить с помощью параметров Дирдорффа

$\begin{array}{l}{w}_D={\left(hg{S}_{\theta }\right)}^{1/3},\\ g{\theta }_D=h^{-1/3}{\left(g{S}_{\theta }\right)}^{2/3}=g{S}_{\theta }/w_D,\end{array}$ (7)

подробнее см. [Deardorff, 1970].

Тогда с учетом уравнения примут вид

$\begin{array}{l}\frac{\overline{w^2}}{w_D^2}={\lambda }_{ww}^o{\left(\frac{z}{h}\right)}^{2/3},\\ \frac{\overline{{\left(g{\theta }_b\right)}^2}}{\left(g{\theta }_D^2\right)}={\lambda }_{\theta \theta }^o{\left(\frac{z}{h}\right)}^{-2/3},\\ \frac{\overline{{\left(g{\theta }_b\right)}^{2}w}}{\left(g{\theta }_D^2\right)}={\lambda }_{\theta \theta w}^o{\left(\frac{z}{h}\right)}^{-1/3}.\end{array}$ (8)

Моменты соответствуют классической теории подобия Монина–Обухова в режиме свободной конвекции в приземном слое $0<z\text{/}h<0.1$.

Коэффициенты ${\lambda }_{ww}^o$, ${\lambda }_{\theta \theta }^o$ и ${\lambda }_{\theta \theta w}^o=1.1$ были установлены по измерениям в приземном слое в эксперименте Kansas-1968, см. [Wyngaard et al., 1971; Kaimal et al., 1976].

Рассмотрим аппроксимацию турбулентных моментов в рамках варианта теории локального подобия [Zeman, Lumley, 1976], см. также [Вульфсон и др., 2004], развитой для нижней половины конвективного слоя $0<z\text{/}h<0.5$. Базовыми параметрами этой теории на произвольном уровне являются параметры z и $g{s}_{\theta }$. Использование теории размерности и двух определяющих параметров и приводит к равенствам

$\left\{\begin{array}{l}\overline{w^2}={\lambda }_{ww}{\left(g{s}_{\theta }\right)}^{2/3}{z}^{2/3}={\lambda }_{ww}{\left(g{S}_{\theta }\right)}^{2/3}{\left(\frac{g{s}_{\theta }}{g{S}_{\theta }}\right)}^{2/3}{z}^{2/3}\\ \overline{{\left(g{\theta }_b\right)}^2}={\lambda }_{\theta \theta }{\left(g{s}_{\theta }\right)}^{4/3}{z}^{-2/3}={\lambda }_{\theta \theta }{\left(g{S}_{\theta }\right)}^{4/3}{\left(\frac{g{s}_{\theta }}{g{S}_{\theta }}\right)}^{4/3}{z}^{-2/3}\\ \overline{{\left(g{\theta }_b\right)}^{2}w}={\lambda }_{\theta \theta w}{\left(g{s}_{\theta }\right)}^{5/3}{z}^{-1/3}={\lambda }_{\theta \theta w}{\left(g{S}_{\theta }\right)}^{5/3}{\left(\frac{g{s}_{\theta }}{g{S}_{\theta }}\right)}^{5/3}{z}^{-1/3}.\end{array}\right.$ (9)

где ${\lambda }_{ww}>0$, ${\lambda }_{\theta \theta }>0$ и ${\lambda }_{\theta \theta w}>0$ – положительные безразмерные постоянные теории локального подобия.

Масштабирование с учетом параметров Дирдорффа позволяет построить соотношения

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\overline{w^2}}{w_D^2}={\lambda }_{ww}{\left(\frac{z}{h}\right)}^{2/3}{\left(\frac{g{s}_{\theta }}{g{S}_{\theta }}\right)}^{2/3}\\ \frac{\overline{{\left(g{\theta }_b\right)}^2}}{\left(g{\theta }_D^2\right)}={\lambda }_{\theta \theta }{\left(\frac{z}{h}\right)}^{-2/3}{\left(\frac{g{s}_{\theta }}{g{S}_{\theta }}\right)}^{4/3}\\ \frac{\overline{{\left(g{\theta }_b\right)}^{2}w}}{\left(g{\theta }_D^2\right)w}={\lambda }_{\theta \theta w}{\left(\frac{z}{h}\right)}^{-1/3}{\left(\frac{g{s}_{\theta }}{g{S}_{\theta }}\right)}^{5/3}\end{array}\right..$ (10)

В рамках теории [Zeman, Lumley, 1976] предполагается, что в поверхностном слое $z\text{/}h<<1$ выполняется предельное равенство $\underset{z/h\to 0}{\lim }g{s}_{\theta }=g{S}_{\theta }$. В этом приближении соотношения теории локального подобия [Zeman, Lumley, 1976] переходят в соотношения, подобные формулам теории подобия Монина–Обухова.

Рассмотрим аппроксимацию турбулентных моментов в рамках варианта теории локального подобия [Sorbjan, 1986; 1987; 1988; 1990; 1991]. Базовыми параметрами теории на произвольном уровне z являются скорость $w_S$ и плавучесть $g{\theta }_S$, размерности которых имеют вид $\left[w_S\right]=m/s$, $\left[g{\theta }_S\right]=m/s^2$. Поэтому, согласно этому варианту теории локального подобия,

$\begin{array}{c}\frac{\overline{w^2}}{w_S^2}={\lambda }_{ww},\frac{\overline{{\left(g{\theta }_b\right)}^2}}{{\left(g{\theta }_S\right)}^2}={\lambda }_{\theta \theta },\\ \frac{\overline{{\left(g{\theta }_b\right)}^{2}w}}{{\left(g{\theta }_S\right)}^2{w}_S}={\lambda }_{\theta \theta w}.\end{array}$ (11)

В теории локального подобия [Sorbjan, 1986; 1987; 1988; 1990; 1991] базовые параметры $w_S$ и $g{\theta }_S$ были заданы соотношениями

$\begin{array}{c}{w}_S=z^{1/3}{\left(g{s}_{\theta }\right)}^{1/3}\mathrm{,}\\ g{\theta }_S=z^{-1/3}{\left(g{s}_{\theta }\right)}^{2/3}.\end{array}$ (12)

Подстановка в приводит к равенствам . В условиях, когда $\underset{z/h\to 0}{\lim }g{s}_{\theta }=g{S}_{\theta }$, соотношения теории локального подобия [Sorbjan, 1986; 1987; 1988; 1990; 1991] переходят в соотношения, подобные формулам теории подобия Монина–Обухова.

Полученные результаты показывают, что на малых высотах $0<z/h<<1$ все известные варианты теорий локального подобия имеют общую асимптотику, соответствующую аппроксимации теории подобия Монина–Обухова в режиме свободной конвекции.

Следует подчеркнуть, что известные теории локального подобия для аппроксимации данных в слое $0<z/h<0.5$ выбирают собственные коэффициенты ${\lambda }_{ww}>0$, ${\lambda }_{\theta \theta }>0$ и ${\lambda }_{\theta \theta w}>0$, которые отличаются от стандартных коэффициентов теории Монина–Обухова ${\lambda }_{ww}^o$, ${\lambda }_{\theta \theta }^o$ и ${\lambda }_{\theta ww}^o$. Поэтому в поверхностном слое $0<z/h<0.1$ вертикальные профили турбулентных моментов теорий локального подобия и теории Монина–Обухова геометрически подобны, но не идентичны.

4. БАЗОВЫЕ ПАРАМЕТРЫ НОВОЙ ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНОГО ПОДОБИЯ И ПОЛУЭМПИРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПРАНДТЛЯ

В настоящей работе рассмотрен новый вариант теории локального подобия, включающий базовые параметры полуэмпирической теории турбулентности Прандтля. В предложенном варианте локального подобия в качестве определяющих размерных параметров использованы второй момент вертикальной скорости $\overline{w^2}=\overline{w^2}\left(z\right)$ и путь перемешивания Прандтля $l_P=l_P\left(z\right)$. При этом мы дополнительно предполагаем, что путь перемешивания Прандтля $l_P$ задан его спектральной формой $l_{PS}\left(z\right)$, подробнее см. [Hanna, 1968].

В рамках полуэмпирической теории Прандтля коэффициент турбулентного теплообмена $K_H$ и диссипация энергии выражаются через параметры $\overline{w^2}$ и $l_P$ соотношениями

$\begin{array}{c}{K}_H=l_P{\left(\overline{w^2}\right)}^{1/2},\\ \epsilon ={\lambda }_{\epsilon }{l}_P^{-1}{\left(\overline{w^2}\right)}^{3/2},\end{array}$ (13)

подробнее см. см. [Prandtl, 1925; 1932; Hinze, 1975].

Соотношения допускают интерпретацию в рамках теории размерности. Справедливость теории Прандтля показывает, что выбор пути перемешивания $l_P$ и дисперсии вертикальной скорости $\overline{w^2}$ в качестве базовых параметров теории подобия для параметров $K_H$ и $\epsilon$ физически оправдан. Поэтому можно предположить эффективность аппроксимаций, выраженных через параметры $\overline{w^2}$ и $l_P$, и для других турбулентных моментов. Сопоставление с экспериментальными данными подтверждает эту гипотезу. Таким образом, вариант локальной теории подобия с базовыми параметрами $\overline{w^2}$ и $l_P$ следует интерпретировать как теоретическое дополнение к полуэмпирической теории Прандтля.

Эффективность новой теории подтверждается ее сопоставлением с известными теориями локального подобия. Аппроксимация локальной теории подобия [Sorbjan, 1986; 1987] соответствует эмпирическим данным не во всем конвективном слое $0\le z\text{/}h\le 1$, а только в его нижней половине $0\le z\text{/}h\le 0.5$. Предлагаемый вариант теории локального подобия опирается на более удачный выбор базовых параметров. Это обстоятельство обеспечивает аппроксимацию турбулентных моментов в более мощном слое $0\le z\text{/}h\le 0.75$, расположенном ниже уровня температурной инверсии, и является практическим обоснованием использования базовых параметров $l_P$ и $\overline{w^2}$.

5. “СПЕКТРАЛЬНЫЙ” ПУТЬ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ ПРАНДТЛЯ

В рамках теории Прандтля путь перемешивания рассматривается как некоторый “доминирующий” параметр длины, характеризующий турбулентное течение. В турбулентном слое с плоскими горизонтальными границами $l_P=l_P\left(z\right)$.

Далее для определения пути перемешивания Прандтля будет принят спектральный метод теории турбулентности.

Пусть k – волновое число спектрального разложения квадрата вертикальной скорости $w^2$ на некотором уровне $z\text{/}h$; $P_w\left(k\right)$ – спектральная плотность разложения квадрата вертикальной скорости $w^2$; $k{P}_w\left(k\right)\text{/}{w}_D^2$ – нормированная спектральная плотность вертикальной скорости на некотором уровне $z\text{/}h$, зависящая от $kh$.

Зависимость $k{P}_w\left(k\right)\text{/}{w}_D^2$ от безразмерной высоты $kh$ согласно вычислениям [Schmidt, Schumann, 1989] представлена на рис. 2. В области коротких волн $k>>1$ располагается инерционная часть спектра.

 

Рис. 2. Нормализованный спектр вертикальной скорости на высотах z/h = 0.21, z/h = 0.61 и z/h = 0.98. Штрихованная область представляет диапазон результатов численного моделирования [Schmidt, Schumann, 1989]. Геометрические символы представляют измерения [Deardorff, Willis, 1985] на различных высотах. Тонкие пунктирные линии соответствуют инерционной части спектра для фильтрованных измерений и пропорциональны k–5/3. Данные умножены на 0.1, 1.0 и 100 для кривых z/h = 0.21, z/h = 0.61 и z/h = 0.98 соответственно.

 

Измерения, выполненные на фиксированных уровнях $z\text{/}h$ конвективного пограничного слоя, указывают на существование длин волн ${\Lambda }_{mw}$, реализующих максимум в профилях спектров вертикальной скорости w. Следует заметить, что величина ${\Lambda }_{mw}$ примерно соответствует интегральному масштабу турбулентности.

Данные экспериментальных наблюдений ${\Lambda }_{mw}\text{/}h$, полученные [Caughey, Palmer, 1979] в экспериментах Minnesota-1973 и Ashchurch-1974, представлены на рис. 3.

 

Рис. 3. Изменение с высотой безразмерной длины волны Ʌmw/h. Сплошная линия соответствует аппроксимации при значении коэффициента βP = 1.2. Штрихпунктирная линия соответствует аппроксимации, предложенной [Caughey, Palmer, 1979]. Геометрические символы представляют натурные измерения [Caughey, Palmer, 1979]. Светлые кружки соответствуют данным эксперимента в Minnesota-1973. Черные кружки, треугольники и квадраты соответствуют данным эксперимента в Ashchurch-1974.

 

В настоящей работе в качестве аппроксимации измеренных величин ${\Lambda }_{mw}\text{/}h$ использован многочлен третьей степени вида

$\frac{{\Lambda }_{mw}}{h}=2\pi {\beta }_P\frac{z}{h}{\left\{1-0.8\left(\frac{z}{h}\right)\right\}}^2,$ (14)

где ${\beta }_P=1.2$ – постоянный коэффициент $(2\pi {\beta }_P=7.54)$.

Профиль кубической аппроксимации, изображенный на рис. 3, качественно воспроизводит форму измеренного вертикального профиля ${\Lambda }_{mw}$. При этом, согласно (14), доминирующий турбулентный масштаб ${\Lambda }_{mw}$ сравнительно мал возле горизонтальных границ конвективного слоя и достигает максимума ${\Lambda }_{mw}\approx 1.4$ примерно на уровне $z/h=0.4$.

Следуя идеям [Hanna, 1968] будем предполагать, что “спектральный” путь перемешивания Прандтля $l_{PS}$ пропорционален длине волны ${\Lambda }_{mw}$, т.е.

$l_{PS}={\gamma }_P{\Lambda }_{mw},{\Lambda }_{mw}={\gamma }_P^{-1}{l}_{PS},$ (15)

где ${\gamma }_P>0$ – постоянный положительный коэффициент.

Существенно, что “спектральное” определение справедливо при любой форме профиля ${\Lambda }_{mw}$, аппроксимирующего экспериментальные данные с приемлемой точностью и линейно изменяющегося с высотой вблизи подстилающей поверхности.

В исследовании [Hanna, 1968] предполагалось, что в уравнении коэффициент ${\gamma }_P=1$. Подход [Hanna, 1968] широко используется в задачах распространения примеси, см., например, [Degrazia et al., 2015].

В настоящем исследовании коэффициент ${\gamma }_P$ выбран так, чтобы в конвективном поверхностном слое $0<z\text{/}h<0.1$ аналитические формы коэффициента турбулентного теплообмена $K_H$ в рамках теории Прандтля и теории Монина–Обухова были бы идентичны. Такое условие приводит к равенству ${\gamma }_P=k_0{\left(\pi {\beta }_P\right)}^{-1}$, где $k_0=0.4$ – постоянная Кармана.

При $\pi {\beta }_P=3.77$ и $k_0=0.4$ коэффициент ${\gamma }_P=k_0{\left(\pi {\beta }_P\right)}^{-1}=0.11$. Следовательно, согласно, “спектральный” путь перемешивания Прандтля $l_{PS}$ примерно в девять раз меньше длины волны ${\Lambda }_{mw}$. Существенно, что полученная оценка не зависит от формы профиля ${\Lambda }_{mw}$. Из соотношения ${\gamma }_P=k_0{\left(\pi {\beta }_P\right)}^{-1}$ немедленно следует, что

$\frac{l_{PS}}{h}=2k_0\frac{z}{h}{\left[1-0.8\left(\frac{z}{h}\right)\right]}^2.$ (16)

Учитывая, что температурная инверсия воздействует на турбулентный поток несколько иначе, чем твердая стенка, соответствующая аппроксимация $l_{PS}$ должна быть ассиметричной, что и реализовано в аппроксимации.

В приземном слое вблизи от подстилающей поверхности $z\text{/}h<<1$, поэтому соотношение имеет асимптотику $l_{PS}=2k_{0}z$. Обоснование этого равенства приведено в приложении работы [Vulfson, Nikolaev, 2022]. Из аппроксимации следует, что $\underset{0\le z/h\le 1}{\max }{l}_{PS}/h\approx 0.15$ при $z\text{/}h\approx 0.4$. Эта величина совпадает со средним размером малых термиков (теплых вихрей), реализующих турбулентный теплообмен. На это обстоятельство специально указывал Прандтль при построении своей теории пути перемешивания.

Кубический профиль $9.1\cdot \left(l_{PS}\text{/}h\right)$, равный ${\Lambda }_{mw}\text{/}h$ и пропорциональный (16), изображен на рис. 3 сплошной линией.

6. ВТОРОЙ МОМЕНТ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СКОРОСТИ

Далее для аппроксимации второго момента вертикальной скорости $\overline{w^2}$ будет использовано соотношение

$\begin{array}{c}\frac{\overline{w^2}}{w_D^2}{\lambda }_{ww}^o{\left(\frac{z}{h}\right)}^{}{\left\{1-0.8\left(\frac{z}{h}\right)\right\}}^2,\\ {\lambda }_{ww}^o=\mathrm{1.8.}\end{array}$ (17)

Аппроксимация (17) получена при обработке данных экспериментов AMTEX 1975 и AMMA-2006 и предложена в работах [Lenschow et al., 1980; Lenschow et al., 2012].

Различные аппроксимации второго момента вертикальной скорости $\overline{w^2}\text{/}{w}_D^2$ в атмосфере и их сравнение подробно обсуждались в работе [Wood et al., 2010]. В этой работе было показано, что аппроксимация (17) является статистически наиболее точной из существующих аппроксимаций.

При $0\le z\text{/}h<0.1$ уравнение (17) примет форму (8) с коэффициентом ${\lambda }_{\theta \theta }^o=1.8$, установленным по измерениям в эксперименте Kansas-1968, см. работы [Priestley, 1959; Wyngaard et al., 1971]. Таким образом, базовый параметр (17) согласован теорией Монина–Обухова.

На рис. 4. представлены данные натурного эксперимента AVEC-2006 о втором моменте вертикальной скорости $\overline{w^2}$, полученные в работе [Ansmann et al., 2010]. Геометрические символы представляют данные измерений, сплошная линия соответствует аппроксимации (17). На рис. рис. 4. изображены также аппроксимации $\overline{w^2}$ принятые в других известных теориях локального подобия. Штриховая линия соответствует аппроксимации [Zeman, Lumley, 1976] с коэффициентом ${\lambda }_{ww}^{zl}=1.25$. Штрихпунктирная и пунктирная линии соответствуют аппроксимациям [Sorbjan, 1986] и [Sorbjan, 1990] с коэффициентами ${\lambda }_{ww}^{zs}=1.1$ и ${\lambda }_{ww}^{zs}=1.6$ соответственно.

 

Рис. 4. Значения безразмерного второго момента вертикальной скорости, по данным [Ansmann et al., 2010]. Сплошная линия соответствует аппроксимации . Штриховая линия соответствует аппроксимации [Zeman, Lumley, 1976] с коэффициентом . Штрихпунктирная и пунктирная линии соответствуют [Sorbjan, 1986] и [Sorbjan, 1990] с коэффициентами и соответственно.

 

Результаты, представленные на рис. 4, являются экспериментальным обоснованием выбора $\overline{w^2}$ в форме (17) в качестве базового параметра.

7. КОЭФФИЦИЕНТ ТУРБУЛЕНТНОГО ОБМЕНА

Согласно классической теории подобия Монина–Обухова и с учетом параметров Дирдорффа коэффициент турбулентного теплообмена поверхностного слоя $K_H$ в условиях свободной конвекции примет вид

$\begin{array}{c}{K}_H\text{Invalid <msup> element}={\lambda }_K{z}^{4/3},\\ \frac{K_H}{h\cdot w_D}={\lambda }_K{\left(\frac{z}{h}\right)}^{4/3},\\ 0\le z/h\le \mathrm{0.1.}\end{array}$ (18)

где ${\lambda }_K~1$ постоянный коэффициент. Соотношение (18) было впервые получено в [Обухов, 1946].

Универсальную полиномиальную аппроксимацию $K_H$ для неподвижного конвективного слоя, согласованную с классической теорией подобия Монина-Обухова, можно представить в виде

$\begin{array}{c}\frac{K_H}{h\cdot w_D}=C_K\left(P\right)\cdot {\left(\frac{z}{h}\right)}^{4/3}{\left\{1-\frac{z}{h}\right\}}^P,\\ 0\le z/h\le 1.\end{array}$ (19)

Здесь $P>0$ – рациональный показатель степени; $C_K\left(P\right)>0$ – функция показателя степени, зависящая от выбранной модели.

Аппроксимации классического подобия (19) с показателями $P=1/\mathrm{3,}{C}_K(1/3)=1.7$; $P=\mathrm{2,}{C}_K\left(2\right)=1$ и $P=\mathrm{2,}{C}_K\left(2\right)=0.8$ были предложены в работах [Sorbjan, 1990], [Holtslag, Moeng, 1991] и [Noh et al., 2003] соответственно.

Полуэмпирическая теория турбулентности Прандтля позволяет построить аналитические выражения для коэффициента турбулентного теплообмена $K_H$, включающие путь перемешивания Прандтля $l_P$. Возможность использования спектрального пути перемешивания $l_{PS}$ в форме для вычисления коэффициента турбулентного теплообмена $K_H$ рассматривалась в работах [Sun, Chang, 1986; Zhang, Drennan, 2012; Degrazia et al., 2015].

Рассмотрим аппроксимацию профиля коэффициента турбулентного обмена $K_H$ в рамках теории локального подобия. Подстановка базовых параметров, (16), (17) в формулу Прандтля $K_H=l_P{\left(\overline{w^2}\right)}^{1/2}$ приводит к выражению

$\begin{array}{c}\frac{K_H}{h\cdot w_D}={\lambda }_K{\left(\frac{z}{h}\right)}^{4/3}{\left\{1-0.8\left(\frac{z}{h}\right)\right\}}^3,\\ {\lambda }_K={\alpha }_P\cdot {\lambda }_{ww}^{1/2},\end{array}$ (20)

где ${\lambda }_K$ – постоянный коэффициент. При ${\lambda }_{ww}=1.8$ и ${\alpha }_P=0.8$ найдем, что ${\lambda }_K={\alpha }_P\cdot {\lambda }_{ww}^{1/2}=1.1$.

Сопоставление аппроксимации (20) при значении коэффициента ${\lambda }_K=1.1$ с результатами численных расчетов [Holtslag, Moeng, 1991; Abdella, Mcfarlane, 1997], а также с аналитической аппроксимацией [Kristensen et al., 2010] представлено на рис. 5.

 

Рис. 5. Вертикальные профили безразмерных коэффициентов турбулентности. Штрихпунктирная линия соответствует аппроксимации численных расчетов [Abdella, Mcfarlane, 1997]. Линия коротких штрихов соответствуют аппроксимации численных расчетов [Holtslag, Moeng, 1991]. Линия длинных штрихов соответствует аппроксимации [Kristensen et al., 2010]. Сплошная линия соответствует аппроксимации при значении коэффициента .

 

Натурные измерения коэффициента турбулентности $K_H$ сопряжены со значительными трудностями. Однако представленные результаты численного моделирования убедительно демонстрируют возможность приложения теории Прандтля к описанию коэффициента турбулентного теплообмена.

8. УНИВЕРСАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ТУРБУЛЕНТНЫХ МОМЕНТОВ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СКОРОСТИ И ПЛАВУЧЕСТИ

Для аппроксимации произвольных турбулентных моментов p-го порядка можно предложить общее уравнение. Используем соотношение размерности $\left[g{\theta }_b\right]=\left[l_P^{-1}\overline{w^2}\right]=ì/{ñ}^2$, тогда в соответствии с предложенной теорией локального подобия общее выражение для турбулентных моментов -го порядка примет вид

$\begin{array}{c}\overline{{\left(g{\theta }_b\right)}^m{w}^n}={\lambda }_{mn}^{\left(p\right)}{l}_{PS}^{-m}{\left(\overline{w^2}\right)}^{m+n/2},\\ 0\le m,n\le p,m+n=p.\end{array}$ (21)

Здесь ${\lambda }_{mn}^{\left(p\right)}>0$ – неизвестные постоянные, включенные в соотношения турбулентных моментов; $m\ge 0$, $n\ge 0$, $p\ge 2$ – целые неотрицательные индексы.

Полученное в рамках теории локального подобия универсальное уравнение для моментов турбулентной конвекции (21) является существенным дополнением к теории Прандтля.

9. ПРОФИЛИ ВТОРЫХ МОМЕНТОВ ПУЛЬСАЦИЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СКОРОСТИ И ПЛАВУЧЕСТИ

Аппроксимация локального подобия для вторых моментов соответствует случаю $p=2$, $m+n=p$. Рассмотрим для определенности смешанный турбулентный момент, для которого $m=1$, $n=1$. Преобразование общего уравнения локального подобия с учетом базовых параметров , приводит к равенству

$\frac{\overline{g{\theta }_{b}w}}{g{\theta }_D{w}_D}={\lambda }_{\theta w}^o\left\{1-0.8\left(\frac{z}{h}\right)\right\},$ (22)

где ${\lambda }_{\theta w}^o$ – постоянный числовой параметр. Коэффициент ${\lambda }_{\theta w}^o=1$, так как, согласно определению параметров Дирдорффа, произведение $g{\theta }_D{w}_D$ представляет поток тепла на подстилающей поверхности.

На рис. 6 изображены данные измерений второго безразмерного момента плавучести, полученные в натурном эксперименте ARTIST-1999 и представленные в работе [Gryanik, Hartmann, 2002], а также их аппроксимация (22).

 

Рис. 6. Безразмерный момент “буссинесковой” плавучести согласно натурному эксперименту ARTIST-1999, представленному в работе [Gryanik, Hartmann, 2002]. Сплошная линия соответствует аппроксимации с коэффициентом .

 

Результаты данного сопоставления показывают, что форма является верхней оценкой экспериментальных данных в конвективном слое $0<z/h<1$.

10. ПРОФИЛИ ТРЕТЬИХ МОМЕНТОВ ПУЛЬСАЦИЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СКОРОСТИ И ПЛАВУЧЕСТИ

Аппроксимация локального подобия для третьих моментов соответствует случаю $p=3$, $m+n=p$. Рассмотрим для определенности смешанный турбулентный момент, для которого $m=3$, $n=1$. Преобразование общего уравнения локального подобия (21) с учетом базовых параметров (16), (17) приводит к равенству

$\frac{\overline{{\left(g{\theta }_b\right)}^{2}w}}{{\left(g{\theta }_D\right)}^2{w}_D}={\lambda }_{\theta \theta w}^o{\left(\frac{z}{h}\right)}^{-1/3}\left\{1-0.8\left(\frac{z}{h}\right)\right\},$ (23)

где ${\lambda }_{\theta \theta w}^o$ – постоянный числовой параметр.

В приземном конвективном слое атмосферы $0\le z/h\le 0.1$ соотношения редуцируются к форме (8).

Существенно, что величины этих постоянных могут быть определены экспериментально по измерениям в поверхностном слое. Значения подобных постоянных определены в рамках теории Монина–Обухова.

Так, например, ${\lambda }_{\theta \theta w}^o=1.1$ согласно данным эксперимента Kanzass-1968, подробнее см. [Kaimal et al., 1976].

На рис. 7 приведены данные измерений третьего момента $\overline{{g{\theta }_b}^{2}w}$ в эксперименте ARTIST-1999 согласно [Gryanik, Hartmann, 2002]. На рис 7 представлена также аппроксимация (23) c коэффициентом ${\lambda }_{\theta \theta w}^o=1.2$, изображенная сплошной линией.

 

Рис. 7. Зависимость нормированного момента третьего порядка от нормированной высоты z/h и его аппроксимация аналитическим соотношением (23). Точки – экспериментальные данные ARTIST–1999 согласно [Gryanik, Hartmann, 2002]. Сплошная линия – аппроксимация с коэффициентом .

 

Натурные данные обо всех третьих моментах получены в эксперименте AMTEX-1974 и приведены в работе [Lenschow et al., 1980].

11. ПРОФИЛИ ЧЕТВЕРТЫХ МОМЕНТОВ ПУЛЬСАЦИЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СКОРОСТИ И ПЛАВУЧЕСТИ

Аппроксимация локального подобия для четвертых моментов соответствует случаю $p=4$, $m+n=p$. Рассмотрим для определенности смешанный турбулентный момент, для которого $m=3$, $n=1$. Преобразование общего уравнения локального подобия (21) с учетом базовых параметров (16), (17) приводит к равенству

$\frac{\overline{{\left(g{\theta }_b\right)}^{3}w}}{{\left(g{\theta }_D\right)}^3{w}_D}={\lambda }_{\theta \theta \theta w}^o{\left(\frac{z}{h}\right)}^{-2/3}\left\{1-0.8\left(\frac{z}{h}\right)\right\}.$ (24)

Принципиально значение постоянной ${\lambda }_{\theta \theta \theta w}^o$ может быть определено экспериментально по измерениям в поверхностном слое. Однако уникальный характер эксперимента ARTIST не позволяет определить этот коэффициенты по другим данным.

На рис. 8 приведено сопоставление данных эксперимента ARTIST-1999, согласно [Gryanik, Hartmann, 2002] и аппроксимации безразмерного четвертого момента при значении коэффициента ${\lambda }_{\theta \theta \theta w}^o=5$.

 

Рис. 8. Зависимость нормированного момента четвертого порядка от нормированной высоты z/h и его аппроксимация аналитическим соотношением (24). Точки – экспериментальные данные ARTIST–1999 согласно [Gryanik, Hartmann, 2002]. Сплошная линия – аппроксимация с коэффициентом .

 

Результаты, представленные на рис. 8, убедительно подтверждают справедливость предложенной теории локального подобия.

11. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рассмотренном варианте локальной теории подобия в качестве базовых параметров приняты два размерных параметра: путь перемешивания Прандтля и второй момент вертикальной скорости. Для пути перемешивания использовано конструктивное определение, основанное на спектральной теории.

Соображения размерности позволяют выразить статистические средние турбулентного конвективного слоя в форме обобщенных одночленов, зависящих от пути перемешивания и второго момента вертикальной скорости. В теории локального подобия такая комбинация базовых размерных параметров использована впервые.

Предложенная теория является серьезным дополнением к теории Прандтля, т.к. предлагает ряд более новых аппроксимаций турбулентных моментов вертикальной скорости и плавучести, зависящих от пути перемешивания и второго момента вертикальной скорости.

Аппроксимации новой теории локального подобия идентичны свободно конвективным пределам поверхностного слоя. Поэтому новая теория локального подобия обобщает теорию Монина–Обухова в режиме свободной конвекции и не требует использования дополнительных констант.

Результаты, представленные на рис. 6–8, указывают на соответствие новой теории локального подобия экспериментальным данным в слое $0\le z\text{/}h\le 0.85$, высота которого представляет нижнюю границу слоя инверсии, см. рис. 1. Заметим, что известные теории локального подобия соответствуют полевым измерениям в менее глубоком слое $0\le z\text{/}h\le 0.5$. Поэтому с практической точки зрения предложенная теория локального подобия является наиболее эффективной.

Работа выполнена в рамках темы № FMWZ-2022-0001 Государственного задания ИВП РАН.

Об авторах

А. Н. Вульфсон

Институт водных проблем РАН; Национальный исследовательский университет “Высшая школа экономики”

Автор, ответственный за переписку.
Email: vulfson@iwp.ru
Россия, ул. Губкина, 3, Москва, 119333; ул. Мясницкая, 20, Москва, 101000

П. В. Николаев

Национальный исследовательский технологический университет МИСиС

Email: vulfson@iwp.ru
Россия, Ленинский просп., 4, стр. 1, Москва, 119049

Список литературы

Дополнительные файлы