Исследование мультифрактральности температуры по данным метеостанции Цугшпитце

Полный текст

Статья подготовлена на основе устного доклада, представленного на IV Всероссийской конференции с международным участием “Турбулентность, динамика атмосферы и климата”, посвященной памяти академика А.М. Обухова (Москва, 22–24 ноября 2022 г.).

ВВЕДЕНИЕ

Климат представляет собой сложный динамический комплекс различных атмосферных факторов, характеризующийся множественными взаимодействиями между различными его компонентами и нелинейным поведением [Rind, 1999]. Вариации метеорологических параметров характеризуются случайными колебаниями в разных временных и пространственных масштабах, возникающими под воздействием сложных природных процессов, которые невозможно полностью проанализировать, используя только линейные статистические или физические методы [Rial et al., 2004; Maslin, Austin, 2012]. Таким образом, такая сложная система, как климат, должна быть дополнительно проанализирована с привлечением развивающихся сейчас методов анализа динамики нелинейных систем [Аптуков, Митин, 2019; Govindan et al., 2002; Balasis et al., 2013]. Можно ожидать, что полученные в ходе таких исследований результаты улучшат наше понимание влияния природных и техногенных процессов на формирование климата, а также станут основой для разработки новых климатических моделей и совершенствования моделей предыдущего поколения [Knutti et al., 2010].

Имеющиеся на сегодняшний день исследования продемонстрировали, что как в глобальных, так и в региональных климатических моделях возникают погрешности и неопределенности (в зависимости от временного и пространственного масштаба) при моделировании среднего количества осадков и приземной температуры воздуха (далее по тексту ‒ температура), которые являются переменными, наиболее часто используемыми для климатических исследований [Jaiswal et al., 2015]. С целью уменьшения неопределенности, возникающей при моделировании климатических изменений, необходимо продолжать изучение исторических и текущих климатических условий с помощью всестороннего анализа данных о соответствующих климатических параметрах (в частности, данные о температуре).

Развитие компьютерных технологий и методов анализа динамики нелинейных систем позволяет наряду с расчетом базовых статистических характеристик метеорологических показателей вычислять параметры, которые отражают неочевидные, глубинные свойства метеорологических процессов (например, свойства самоподобности и сложного скейлинга) [Tuck, Hovde, 1999; Kiraly, Janosi, 2005; Donges et al., 2009; Laib et al., 2018; Xavier et al., 2019]. Одним из таких методов исследований, получившим в последнее время широкое развитие в самых разнообразных областях науки, является мультифрактальный анализ [Тараненко, 2019; Barnsley, 1993; Liu et al., 1997; Gierałtowski et al., 2018].

Что касается метеорологии и климатологии, то здесь мультифрактальные методы в основном привлекались при анализе данных об осадках, причем исследования варьировались от простых эмпирических исследований скейлингового поведения [Svensson et al., 1996; Sivakumar, 2000; Kantelhardt et al., 2006; Yuan et al., 2013] до выделения однородных областей осадков [Garcia-Marin et al., 2015] и анализа качества моделей осадков [Garcia-Marin et al., 2008]. Здесь следует отметить, что исследований, посвященных анализу мультифрактальности временных вариаций температуры, значительно меньше [Burgueno et al., 2014; Jiang et al., 2016; Kalamaras et al., 2017, 2019].

Климат горных районов уникален и сильно отличается от климата прилегающих равнин. Для гор характерны пониженные температуры и атмосферное давление, повышенная интенсивность солнечной радиации, образование специфических ветров и абсолютная влажность воздуха.

Цель настоящей работы заключалась в изучении временных особенностей температуры в горных районах на примере обработки и анализа данных продолжительного мониторинга температуры на высокогорной метеостанции Цугшпитце.

ХАРАКТЕРИСТИКА МЕСТА НАБЛЮДЕНИЙ И ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Цугшпитце – самая высокая гора на территории Германии. Цугшпитце входит в состав хребта Веттерштайн (является частью Северных Известняковых Альп). Она находится в 11 км от немецкого города Гармиш-Партенкирхен и в 6 км от австрийского поселка Эрвальд, по ее вершине проходит государственная граница между Германией (Бавария) и Австрией (Тироль). Гора Цугшпитце состоит из трех пиков: восточного, среднего и западного ‒ самого высокого. Точная высота горы составляет 2962 м над уровнем моря.

Южнее горы находится Цугшпитцплатт ‒ высокогорное карстовое плато, пронизанное множеством пещер и впадин, возникших в ходе процессов химического выветривания. По склонам горы спускаются три ледника: два самых больших в Германии (Северный Шнефернер и Хелленталфернер) и относительно небольшой Южный Шнефернер (по последним данным ледник практически растаял, а площадь остальных значительно уменьшилась [https://phys.org/news/2022–09-germany-glaciers-scalding-summer.html]).

Несмотря на то, что гора Цугшпитце располагается на территории умеренного пояса, для ее вершины характерен тундровый климат с большим количеством осадков и довольно высокими температурами. Цугшпитце является местом встречи западных и южных ветров. Расположенная в северной части Альп гора Цугшпитце представляет собой первое высокое орографическое препятствие для западных ветров в Альпах, на котором скапливаются влажные воздушные массы и выпадают обильные осадки (на склоны Цугшпитце ежегодно выпадает до 2000 мм осадков). Дующие с юга на север ветры несут на Цугшпитце теплый сухой воздух, благодаря которому температуры на склонах массива не опускаются до очень низких и могут приводить к необычно высоким температурам зимой. Период воздействия южных ветров на регион горы Цугшпитце невелик и составляет порядка 60 сут в году. В целом на горе Цугшпитце преобладают морозные дни (период с отрицательными температурами длится в среднем 310 сут в году).

В настоящей работе использовались данные инструментальных наблюдений за вариациями температуры на метеостанции, расположенной на высоте 2574 м на горе Цугшпитце. Географические координаты: 47°25' 00" с. ш., 10°58' 59" в. д. Эта высокогорная метеостанция была открыта в 1900 г. и выполняет регистрацию температуры до настоящего момента. В работе рассматривались среднесуточные данные за период с 1 августа 1900 г. по 31 января 2023 г. Следует отметить, что в данных имеется единственный пропуск с 1 мая по 14 августа 1945 г.

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ И АНАЛИЗА ДАННЫХ

При проведении настоящих исследований первичная обработка временного ряда вариаций температуры на метеостанции Цугшпитце сводилась к редакции данных, выявлению выбросов с применением критерия на основе диаграммы “ящик с усами” (или “коробчатая диаграмма”) [Тьюки, 1982; Hoaglin et al., 1983] и критерия Титьена‒Мура [Tietjen et al., 1973], восстановлению пропусков методом линейной интерполяции и методом с использованием вейвлет-преобразования [Сидак, 2019]. Подробно методы первичной обработки данных, используемые в настоящей работе, описаны в монографии [Адушкин и др., 2021]. В результате обработки были сформированы банки данных, которые содержали временные ряды минимальной, максимальной и средней температуры с дискретизацией 1 сут.

При исследовании мультифрактальной структуры временных рядов использовался метод мультифрактального флуктуационного анализа [Kantelhardt et al., 2002].

В этом случае для исходного ряда данных x(t) строится кумулятивный ряд $y\left(t\right)=\sum _{i=1}^{t}x\left(t\right)$ который разбивается на N сегментов длиной s. Для каждого сегмента y(t) вычисляется флуктуационная функция:

$F\left(s\right)=\frac{1}{s}\sum _{i=1}^s\left(y\right(t)-Y_m\left(t\right){)}^2,$ (1)

где Y_m(t) – локальный m-полиномиальный тренд в пределах данного сегмента. Функция F(s) усредняется по всему ряду y(t). Такие вычисления повторяются для различных размеров сегментов, чтобы получить зависимость F(s) в широком диапазоне значений параметра s.

При проведении мультифрактального флуктуационного анализа исследуется зависимость флуктуационной функции F_q(s) от параметра q:

$F\left(s\right)={\left\{\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{\left[F^2\left(s\right)\right]}^{\frac{q}{2}}\right\}}^{\frac{1}{q}},$ (2)

полученная возведением выражения (1) в степень q и последующим усреднением по всем сегментам. Изменяя временную шкалу s при фиксированном показателе q, находим зависимость F_q(s), представляя ее в двойных логарифмических координатах. Если исследуемый ряд сводится к мультифрактальному множеству, проявляющему долгосрочные зависимости, то флуктуационная функция F_q(s) представляется степенной зависимостью:

F_q(s) µ S^h(q), (3)

с функцией обобщенного показателя Херста h(q).

Для рядов данных, которые отвечают монофрактальному множеству, флуктуационная функция F_q(s) одинакова для всех сегментов, и обобщенный показатель Херста h(q) = H не зависит от параметра q. Параметр H (0 < H < 1), называемый показателем Херста, представляет собой степень самоподобия.

Для мультифрактальных рядов h(q) является нелинейной функцией: при положительных q основной вклад в функцию F_q(s) дают сегменты, проявляющие большие отклонения F²(s), а при отрицательных q доминируют сегменты с малыми дисперсиями F²(s). Таким образом, при отрицательных значениях q обобщенный показатель Херста h(q) описывает сегменты, проявляющие малые флуктуации, а при положительных – большие.

Стандартное представление скейлинговых свойств предполагает переход от обобщенного показателя Херста h(q) к массовому показателю τ(q):

τ(q) = qh(q)–1, (4)

и спектру сингулярности f(α), где α – показатель Гельдера. Из свойств преобразования Лежандра:

$\left\{\begin{array}{l}\alpha =d\tau /dq\\ f\left(\alpha \right)=q\alpha -\tau \left(q\right).\end{array}\right.$

Типичным графическим представлением функции f(α) является “перевернутая парабола”. Интегральную оценку спектра сингулярности дают два его параметра, которые определяют положение максимума и ширину спектра f(α*) = max f(α) и ∆α= α_max – α_min.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Анализ средней суточной температуры, зарегистрированной на метеостанции Цугшпитце, показал, что самая низкая средняя суточная температура (–33.1°C) наблюдалась 13 февраля 1940 г., а самая высокая (13.6°C) – 26 июня 2019 г. Временные ряды суточной температуры демонстрируют периодические вариации, которые связаны с годовым сезонным циклом, при этом самыми теплыми месяцами являются июль и август (2.5°C), а самым холодным – февраль (–11.3°C).

Известно, что в целом периодические тренды оказывают влияние на нелинейные свойства временных рядов [Krzyszczak et al., 2017], и поэтому из временных рядов минимальной, максимальной и средней температуры удалялся сезонный цикл перед применением метода мультифрактального флуктуационного анализа. Для удаления сезонной компоненты использовался метод Loess, описанный в работе [Cleveland et al., 2015] и успешно опробированный при исследовании стока в бассейне Хуанхэ [Li et al., 2015], при исследовании температуры воздуха над Грецией [Kalamaras et al., 2017, 2019].

Метод мультифрактального флуктуационного анализа применяется к временным рядам с удаленной из них сезонной и трендовой компонентой. Поскольку линейные тренды исключаются из исходных временных рядов перед использованием метода мультифрактального флуктуационного анализа, то следует, что при применении мультифрактального анализа в ходе подгонки (с использованием полиномов второго порядка) будут удаляться из профиля тренды второго порядка. Длина сегмента s выбиралась в диапазоне от 10^1.5 до 10^3.5 сут.

Результаты вычислений F_q(s) для различных моментов q в зависимости от s в логарифмическом масштабе для временных рядов минимальной, максимальной и средней температуры представлены на рис. 1. Анализ данных, приведенных на рис. 1, показал, что масштабное поведение F_q(s) (т. е. наклон) для q ≥ 0 почти одинаково для трех рассматриваемых временных рядов. Этот факт наблюдается и для отрицательных значений q и для s > 90 сут, но не для малых временных масштабов (s < 90 сут), где наклон F_q(s) увеличивается (для маленьких отрицательных значений q наклон становится больше). Такое поведение показывает наличие большей степени мультифрактальности для малых временных масштабов (s ≤ 90 сут) и для отрицательных значений q; во всех остальных случаях мультифрактальность слабее. Согласно работе [Ihlen, 2012] малые сегменты способны различать локальные периоды с большими (положительные q) и малыми флуктуациями (отрицательные q), поскольку малые сегменты встроены в эти периоды. Напротив, большие сегменты пересекают несколько локальных периодов как с малыми, так и с большими флуктуациями и поэтому усредняют их различия по величине. Таким образом, F_q(s) для больших масштабов (большие сегменты s) аналогичны монофрактальным временным рядам.

Рис. 1. Зависимость флуктуационной функции Fq(s) для моментов q = –6, –3, 0, 3, 6 от s в логарифмическом масштабе для временных рядов минимальной (а), максимальной (б) и средней температуры (в).

Обобщенные показатели Херста h(q) для временных рядов минимальной, максимальной и средней температуры в зависимости от момента q приведены на рис. 2. Из данных, представленных на рис. 2, получаем, что для всех рассматриваемых в работе временных рядов наблюдается зависимость h(q) от q. Исходя из того, что для мультифрактальных рядов h(q) является нелинейной функцией, можно сделать вывод о мультифрактальности вариаций минимальной, максимальной и средней температуры. Как видно из рис. 2, h(q) > 0.5, то есть рассматриваемые временные ряды, имеют долгосрочную положительную корреляцию, а это означает, что за высоким значением температуры, вероятно, последует другое высокое значение температуры (или, аналогично, за низким значением температуры последует другое низкое значение). Кроме того, из данных на рис. 2 можно сделать вывод, что мультифрактальность слабее для положительных значений, поскольку наклон h(q) больше для отрицательных значений q, чем для положительных. Полученный вывод согласуется с данными рис. 1.

Рис. 2. Зависимость обобщенных показателей Херста h(q) от момента q для временных рядов минимальной (а), максимальной (б) и средней температуры (в).

На рис. 3 представлены спектры сингулярности в зависимости от показателя “частоты” сингулярности (показатель Гельдера) для временных рядов минимальной, максимальной и средней температуры. Данные на рис. 3 показывают, что спектры сингулярности вариаций минимальной, максимальной и средней температуры имеют левое усечение и длинный правый хвост. Это связано с мультифрактальной структурой рассматриваемых временных рядов, нечувствительной к локальным флуктуациям большой величины. Максимальное значение f(α) соответствует q = 0, тогда как значения f(α) слева от него соответствуют положительным значениям q и, аналогично, значения f(α) справа от максимума соответствуют отрицательным значениям q. Из рис. 3 следует, что f(α) незначительно изменяется слева от своего максимального значения (положительные значения q) и, наоборот, существенно изменяется справа от своего максимума (отрицательные значения q). Кроме того, диапазон минимального и максимального значений параметра а характеризует степень мультифрактальности временного ряда; диапазон больше справа от максимума f(α), что означает, что существует более высокая степень мультифрактальности для отрицательного q, подтверждая таким образом результаты масштабного поведения F_q(s) и распределение обобщенного показателя Херста h(q) (рис. 1 и 2 соответственно).

Рис. 3. Спектр сингулярности для временных рядов минимальной (а), максимальной (б) и средней температуры (в).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При выполнении настоящих исследований проанализированы основные мультифрактальные свойства временных рядов суточной температуры в горном районе, а именно с помощью метода мультифрактального флуктуационного анализа изучены фрактальные особенности временных рядов минимальной, максимальной и средней суточной температуры по данным высокогорной метеостанции Цугшпитце. Установлено, что в целом все три временных ряда демонстрируют мультифрактальное поведение, особенно для малых временных масштабов, примерно до 90 сут. Анализ зависимости обобщенного показателя Херста h(q) от момента q показал, что рассматриваемые временные ряды имеют долгосрочную положительную корреляцию и что мультифрактальность слабее при больших флуктуациях (положительные значения q). Спектр сингулярности для всех временных рядов усечен влево, что означает, что временные ряды имеют мультифрактальную структуру, нечувствительную к локальным флуктуациям больших величин. Также следует отметить, что мультифрактальное поведение практически одинаково для всех временных рядов (минимальная, максимальная и средняя суточная температура).

ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ

Исследования выполнены в рамках государственного задания ИДГ РАН № 1220329000185–5 “Проявление процессов природного и техногенного происхождения в геофизических полях”.

Об авторах

С. А. Рябова

Автор, ответственный за переписку.
Email: riabovasa@mail.ru
Россия, Ленинский просп., 38, к. 1, Москва, 119334

Список литературы

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

2. Рис. 1. Зависимость флуктуационной функции Fq(s) для моментов q = –6, –3, 0, 3, 6 от s в логарифмическом масштабе для временных рядов минимальной (а), максимальной (б) и средней температуры (в).

Скачать (28KB)

Метаданные

3. Рис. 2. Зависимость обобщенных показателей Херста h(q) от момента q для временных рядов минимальной (а), максимальной (б) и средней температуры (в).

Скачать (4KB)

Метаданные

4. Рис. 3. Спектр сингулярности для временных рядов минимальной (а), максимальной (б) и средней температуры (в).

Скачать (3KB)

Метаданные