Влияние приближения f-плоскости на вертикальный перенос импульса внутренними волнами в сдвиговом потоке

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

В приближении Буссинеска рассматриваются свободные внутренние волны в плоскопараллельном стратифицированном потоке при учете вращения Земли. Рассматривается аналитически разрешимая модель с линейным профилем скорости течения и однородной стратификацией, когда волна распространяется перпендикулярно потоку. Показано, что учет вклада горизонтальной составляющей угловой скорости вращения Земли в силу Кориолиса (нетрадиционное приближение) практически не изменяет дисперсионные кривые, однако вертикальный волновой поток импульса vw¯ несколько увеличивается. Эффект усиливается при приближении к экватору. В нетрадиционном приближении вертикальный поток импульса vw¯ не нулевой даже при отсутствии течения, в то время как в традиционном приближении он равен нулю.

Полный текст

  1. ВВЕДЕНИЕ

Внутренние волны около инерционной частоты имеют ярко выраженный пик на энергетических спектрах и исследование их динамики в этом спектральном диапазоне открыл ряд интересных эффектов [Бадулин и др., 1991; Saint-Guily, 1970; Каменкович и Кулаков, 1977; Ле Блон и Майсек, 1981; Gerkema and Shrira, 2005]. При отказе от традиционного приближения, т.е при учете вклада горизонтальной составляющей угловой скорости вращения Земли в силу Кориолиса внутренние волны существуют при частоте, меньшей инерционной [Бадулин и др., 1991; Saint-Guily, 1970; Каменкович и Кулаков, 1977; Ле Блон и Майсек, 1981; Gerkema and Shrira, 2005; Резник, 2015]. Их называют субинерционными внутренними волнами. Частотный диапазон их существования тем шире, чем слабее стратификация, поэтому они и заметно проявляются в верхнем квазиоднородном слое и на больших глубинах [Бадулин и др., 1991; Gerkema and Shrira, 2005]. Субинерционные внутренние волны захватываются областями со слабой стратификацией, где частота плавучести меньше инерционной [Бадулин и др., 1991; Gerkema and Shrira, 2005]. При приближении их частоты к минимально возможной вертикальный и горизонтальный масштабы волны стремятся к нулю [Бадулин и др., 1991; Gerkema and Shrira, 2005], что указывает на возможность диссипации энергии в малые масштабы, например при распространении субинерционных внутренних волн на горизонтально-неоднородных течениях или вследствие влияния β-эффекта. Суперинерционные внутренние волны, частота которых в нетрадиционном приближении несколько больше инерционной могут переходить в субинерционные вследствие широтного изменения параметра Кориолиса и далее в малые масштабы, будучи захваченными слоем слабой стратификации [Gerkema and Shrira, 2005]. В настоящей работе будет рассмотрено влияние нетрадиционного приближения на вертикальный перенос импульса внутренними волнами. Причем, будут рассмотрены внутренние волны с частотой заметно большей инерционной при сильной стратификации. Ясно, что на дисперсионных свойствах этих волн нетрадиционное приближение никак не скажется [Каменкович и Кулаков, 1977]. Но на вертикальный перенос импульса этими волнами нетрадиционное приближение оказывает влияние. Даже более того, в случае, когда вертикальный волновой поток импульса в традиционном приближении нулевой, в нетрадиционном приближении он окажется не нулевым.

Нелинейные эффекты при распространении пакетов внутренних волн проявляются в генерации средних на временном масштабе волны течений. Горизонтальная компонента эйлеровой скорости индуцированного течения пропорциональна квадрату текущей амплитуды волны, вертикальная компонента пропорциональна горизонтальному градиенту квадрата амплитуды и имеет разные знаки на переднем и заднем фронте пакета и вклада в вертикальный перенос не вносит [Борисенко и др., 1976; Grimshaw, 1977]. Стоксов дрейф следует отличать от индуцированного эйлерового течения, он присутствует и в слабонелинейной плоской волне [Ле Блон и Майсек, 1981; Longuet-Higgins, 1969]. Суммарная скорость дрейфа частиц жидкости складывается из суммы эйлеровой скорости среднего течения и скорости стоксова дрейфа [Ле Блон и Майсек, 1981].

Для пакетов поверхностных волн показано, что суммарный средний импульс волнового пакета, проинтегрированный по глубине с учетом индуцированного течения и стоксова дрейфа равен нулю [Езерский и Папко, 1986; Фабрикант, 1988; Степанянц и Фабрикант, 1996; Мак-Интайр, 1984]. Однако переданный волновому пакету импульс при его генерации (квазиимпульс [Езерский и Папко, 1986; Фабрикант, 1988; Степанянц и Фабрикант, 1996] или псевдоимпульс в [Островский и Потапов, 2003]) передается длинноволновым возмущениям с масштабом порядка огибающей волнового пакета, генерируемым волновым пакетом [Фабрикант, 1988]. Горизонтальный поток импульса не равен нулю [Мак-Интайр, 1984]. В настоящей работе исследуется вертикальный поток импульса у внутренних волн при учете вращения Земли.

Внутренние волны в океане являются важным фактором, определяющим вертикальный обмен в океане. Это связано с тем, что при обрушении внутренних волн генерируется мелкомасштабная турбулентность, которая и ответственна за вертикальный обмен [Подымов и др., 2017; Самодуров и др., 1994; Охотников и Пантелеев, 1985]. Однако внутренние волны не только через обрушения влияют на вертикальный перенос. Сдвиги скорости течения, обусловленные внутренней волной, могут поддерживать уже сгенерированную турбулентность [Ivanov et al, 1984]. При учете турбулентной вязкости и диффузии внутренние волны затухают [Ле Блон и Майсек, 1981]. Вертикальные волновые потки импульса при этом отличны от нуля [Слепышев, 2016]. Вертикальные волновые потоки импульса отличны от нуля даже при отсутствии турбулентной вязкости и диффузии при учете вращения Земли и сдвигового течения [Слепышев и Лактионова, 2019; Анкудинов и Слепышев, 2021]. Если компонента скорости течения, перпендикулярная направлению распространения волны, зависит от вертикальной координаты, то вертикальные волновые потоки импульса отличны от нуля. Это было показано аналитически в работе [Слепышев и Лактионова, 2019] для плоскопараллельного сдвигового течения при однородной стратификации, когда волна распространяется перпендикулярно потоку в традиционном приближении. Уравнение для амплитуды вертикальной скорости тогда имеет комплексные коэффициенты, частота волны при фиксированном волновом числе – действительная, а собственная функция – комплексная и вертикальные волновые потоки импульса отличны от нуля. Однако в [Слепышев и Лактионова, 2019] пренебрегалось горизонтальным изменением средней плотности, т.е. рассматривался геострофически несбалансированный поток. Вертикальный градиент скорости течения не был сбалансирован горизонтальным градиентом плотности. Представляет интерес учесть горизонтальную неоднородность поля средней плотности в уравнении сохранения массы, выразив указанный горизонтальный градиент плотности через вертикальный сдвиг скорости течения, используя соотношение «термического ветра» [Каменкович, 1973], как это было сделано в работе [Jones, 1967]. Кроме того, еще представляет интерес учесть вклад горизонтальной составляющей угловой скорости вращения Земли в силу Кориолиса, т.е. изучить влияние нетрадиционного приближения на вертикальные волновые потоки импульса.

  1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматриваются свободные внутренние волны на плоскопараллельном стратифицированном течении с вертикальным сдвигом скорости в безграничном бассейне постоянной глубины при учете вращения Земли в нетрадиционном приближении. Скорость течения зависит от вертикальной координаты и направлена на восток. Система уравнений гидродинамики в приближении Буссинеска [Jones, 1967; Миропольский, 1981] для волновых возмущений имеет вид:

DuDt+wdU0dz+fcwfv=1ρ¯0Px, (1)

DvDt+fu=1ρ¯0Py, (2)

DwDtfcu=1ρ¯0Pzgρρ¯0, (3)

ux+vy+wz=0, (4)

DρDt+vρ0y+wρ0z=0, (5)

f=2Ωsinφ, fc=2Ωcosφ,

где Ω — угловая скорость вращения Земли, φ — широта, f — параметр Кориолиса; ось x направлена в зональном направлении на восток, ось y в меридионально направлении на север, ось z направлена вертикально вверх; u, v, w — соответственно две горизонтальные и вертикальная компоненты волновой скорости течения; P и ρ – волновые возмущения давления и плотности; ρ0 – невозмущенная средняя плотность, ρ¯0 – ее средняя по глубине величина, постоянная в приближении Буссинеска [Миропольский, 1981; Бреховских и Гончаров, 1982], U0(z) – скорость среднего течения, направленная вдоль оси x; g – ускорение свободного падения; действие оператора DDt раскрывается по формуле DDt=t+(u+U0)x+vy+wz. В уравнении сохранения массы (5) учитывается горизонтальный градиент средней плотности ρ0y, как это сделано в работе [Jones, 1967]. Используя соотношение «термического ветра» fdU0dz=gρ¯0ρ0y [Каменкович, 1973], выразим ρ0y через вертикальный градиент скорости течения dU0dz:

ρ0y=fgρ¯0dU0dz. (6)

После подстановки (6) в (5) уравнение для волновых возмущений плотности преобразуется к виду:

DρDt+vfgρ¯0dU0dz+wdρ0dz=0. (7)

Граничные условия на поверхности моря (z = 0) – условие «твёрдой крышки», которое отфильтровывает внутренние волны от поверхностных [Миропольский, 1981; Бреховских и Гончаров, 1982]: w(0) = 0. Граничные условия на дне – условие «непротекания»: w(H) = 0, – H – глубина моря.

Линейное приближение. Решения системы (1) – (4), (7) в линейном приближении ищем в виде:

u1=u10(z)Aeiθ+c.c., v1=v10(z)Aeiθ+c.c.,w1=w10(z)Aeiθ+c.c.,P1=P10(z)Aeiθ+c.c., ρ1=ρ10(z)Aeiθ+c.c., (8)

где c.c. — комплексно сопряженные слагаемые, A – амплитудный множитель, θ – фаза волны; ∂θ / ∂y = l, ∂θ / ∂t = −ω, l – горизонтальное волновое число, ω – частота волны. Предполагается, что волна распространяется вдоль оси y, т.е. в меридиональном направлении.

Подставляя (8) в систему (1)–(4) и уравнение (7) находим связь амплитудных функций u10, v10, ρ10, P10 с w10 и уравнение для w10

v10=ildw10dz,u10=1ωfldw10dz+iw10dU0dz+ifcw10, (9)

P10ρ¯0=ilωldw10dzfωidU0dzw10+ifcw10+fldw10dz, (10)

ρ10=iωw10dρ0dz+fglωρ¯0dU0dzdw10dz. (11)

Функция w10 удовлетворяет уравнению

d2w10dz2+a(z)dw10dz+b(z)w10=0, (12)

где a(z)=2ilfω2f2fc+dU0dz,

b(z)=l2ω2f2N2ω2+fcdU0dz+fc2ifld2U0dz2,

N2=gρ¯0dρ0dz – квадрат частоты Брента–Вяйсяля.

Граничные условия для w10:

w10(0)=w10(H)=0. (13)

Волновые потоки импульса. Из соотношений (8)–(9) находим вертикальные волновые потоки импульса:

uw¯=A2ωiw10dU0dz+ifcw10+fldw10dzw10*+c.c., (14)

vw¯=ilA2w10*dw10dzw10dw10*dz. (15)

Черта сверху в (14), (15) означает осреднение по периоду волны. Вертикальный волновой поток импульса uw¯ отличен от нуля при учете вращения Земли. Краевая задача (12), (13) имеет комплексные коэффициенты и комплексные решения. Поэтому поток vw¯ не нулевой. При dU0dz=0 и fc = 0 уравнение (12) имеет действительные коэффициенты и действительные решения, поэтому в этом случае вертикальный волновой поток импульса vw¯ равен нулю. Если вращение Земли не учитывать, то уравнение (12) имеет действительные коэффициенты, решение краевой задачи (12), (13) — действительная функция и вертикальные волновые потоки импульса нулевые. Если волна распространяется под произвольным углом к плоскопараллельному потоку, то при отсутствии учета вращения Земли решение краевой задачи, аналогичной (12), (13) — действительная функция в гидродинамически устойчивом случае [Bulatov and Vladimirov, 2020], когда число Ричардсона больше 1/4, частота волны действительная и вертикальный волновой поток импульса равен нулю.

Нормирующий множитель A находится по известной величине максимальной амплитуды вертикальных смещений. Для этого выразим вертикальное смещение 
ζ, используя соотношение dζdt=w:

ζ=iw10ωAexp(ikxiωt)+c.c.

Отсюда следует

A=ζmax2maxw10/ω. (16)

  1. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Уравнение (12) допускает точные аналитические решения при постоянной частоте Брента–Вяйсяля и постоянном сдвиге скорости течения. В этом случае N = const, dU0dz=U00=const, U0(z) = U00 · (zH), H < 0. Тогда уравнение (12) упрощается к виду:

d2w10dz2+ia0dw10dz+b0w10=0, (17)

где a0=2lfω2f2fc+U00,

b0=l2ω2f2N2ω2+fcU00+fc2. (18)

Решение краевой задачи (13), (17) имеет вид:

w10(z)=eia0z2sinza024+b0. (19)

При этом справедливо дисперсионное уравнение, вытекающее из граничного условия (13) при z = H:

Ha024+b0=πn, (20)

здесь учтено, что H < 0, n — целое положительное число.

Отсюда

a024+b0=πnH2. (21)

Преобразуем выражение (18) для b0 следующим образом:

b0=l2ω2f2N2ω2+fcU00+fc2=l2ω2f2N2f2+f2ω2+fcU00+fc2==l21+1ω2f2N2f2+fcU00+fc2. (22)

Введем обозначение:

R=1ω2f2. (23)

Тогда

b0=l21+RN2f2+fcU00+fc2, (24)

a0=2lfRfc+U00. (25)

Подставим выражения для b0 (24) и a0 (25), в уравнение (21), получим квадратное уравнение для R:

l2R2fc+U002f2+l21+RN2f2+fcU00+fc2πnH2=0. (26)

Уравнение (26) преобразуем к виду:

R2+2dRp=0, (27)

где d=N2f2+fcU00+fc22fc+U002f2, p=1+πnHl2fc+U002f2.

Решение уравнения (27):

R=d±d2+p. (28)

Рассмотрим положительный корень уравнения (27), так как рассматриваются внутренние волны с частотой ω > f:

R=d+d2+p. (29)

Подставляя выражение для R (23) в (29), находим квадрат частоты волны:

ω2=f2+DB2+4D1+π2n2l2H2B, (30)

где n — номер моды, D = 4f2(fc + U00)2,

B=2N2+fcU00+fc2f2.

При U00 → 0, fc → 0 дисперсионное соотношение (30) переходит в известное соотношение для однородной стратификации (31) [Ле Блон и Майсек, 1981; Миропольский, 1981; Бреховских и Гончаров, 1982], соответствующий предельный переход выполнен в Приложении:

ω2=N2l2+f2πnH2l2+πnH2. (31)

Из (14), (15), используя (19), находим вертикальные волновые потоки импульса:

uw¯=A2fχωlsin2χz, (32)

vw¯=A2a0lsin2χz, (33)

где χ=a024+b0=πnH.

Нормирующий множитель A находится по известной максимальной амплитуде вертикальных смещений ζmax (16):

A=ωζmax2maxsin(χz).

На рис. 1 показаны дисперсионные кривые первых трех мод, рассчитанные по формуле (30) при N = 5 цикл/ч, H = −100 м, U00 = 2 × 10−3 с−1 на широте φ = 44°50' при учете fc и при его неучете, когда fc = 0 (параметры модели соответствуют северо-западному шельфу Черного моря в летний период). Из рисунка видно, что fc практически не влияет на дисперсионные кривые. Вертикальные волновые потоки импульса рассчитываются для внутренней волны низшей моды при длине волны λ = 100 м, ζmax = 1 м. Вертикальный волновой поток импульса uw¯ (32) показан на рис. 2 как при учете fc, так и при его неучете, когда fc = 0. Из рисунка видно, что fc никак не влияет на вертикальный волновой поток импульса uw¯. Аналогичные расчеты сделаны для потока vw¯ (33). Результат сравнения этого потока при учете и неучете fc представлен на рис. 3. При учете fc (кривая 1) волновой поток vw¯ несколько больше по абсолютной величине потока при fc = 0 (кривая 2). Указанные расчеты делались в горизонтально-неоднородном по средней плотности случае, т.е. когда в уравнении (5) ρ0y0. Представляет интерес сравнить волновые потоки импульса в горизонтально-однородном случае, когда ρ0y=0 (как это делалось в работе [Слепышев и Лактионова, 2019]) и в горизонтально-неоднородном случае. На рис. 4 представлен профиль вертикального волнового потока импульса vw¯ в горизонтально-неоднородном случае (кривая 1) и в горизонтально-однородном случае (кривая 2). В горизонтально-неоднородном случае поток vw¯ выше почти в два раза. Представляет интерес рассмотреть влияние течения на вертикальные волновые потоки импульса. На рис. 5 показан вертикальный профиль потока импульса vw¯ при наличия течения (сплошная кривая) и при его отсутствии (штриховая линия), когда U00 = 0 в нетрадиционном приближении. Присутствие течения заметно усиливает поток импульса. В традиционном приближении поток импульса vw¯ равен нулю при отсутствии течения, так как в (33) тогда a0 = 0. Таким образом, вертикальный поток импульса vw¯ не нулевой даже при отсутствии течения в нетрадиционном приближении. Поток импульса uw¯ при отсутствии течения практически не отличается от потока при наличии течения.

 

Рис. 1. Дисперсионные кривые первых трех мод.

 

Рис. 2. Профиль вертикального волнового потока импульса uw¯ с учетом и без учета fc.

 

Рис. 3. Профили вертикального волнового потока импульса vw¯ с учетом fc (1) и без его учета (2).

 

Рис. 4. Профили вертикального волнового потока импульса vw¯ в горизонтально-неоднородном (1) и горизонтально-однородном (2) по средней плотности случае.

 

Рис. 5. Зависимость от вертикальной координаты волнового потока импульса vw¯ при наличии течения (1) и при его отсутствии (2).

 

Касаясь влияния fc на волновой поток vw¯ представляет интерес исследовать влияние широты на относительную разность потоков vw¯ при учете fc и при неучете fc. Пусть vw¯0 — вертикальный волновой поток импульса при . Введем величину η по формуле:

η=maxvw¯maxvw0¯maxvw¯100%,

тогда величина η — относительное отличие максимумов модулей потоков vw¯ при учете fc и при неучете fc. На рис. 6 представлен график зависимости η от широты в горизонтально-неоднородном случае. Величина η достигает максимума в окрестности экватора и монотонно спадает к полюсам, хотя сами потоки стремятся к нулю при приближении к экватору.

 

Рис. 6. Зависимость от широты относительного отклонения максимумов модулей потока vw¯ с учетом fc и без его учета.

 

  1. ВЫВОДЫ

1. Вертикальный волновой поток импульса vw¯ у инерционно-гравитационных внутренних волн при наличии сдвигового течения, перпендикулярного направлению распространения волны отличен от нуля.

2. Учет вклада горизонтальной составляющей угловой скорости Земли в силу Кориолиса несколько увеличивает по абсолютной величине волновой поток импульса vw¯. Вертикальный волновой поток импульса uw¯ практически не изменяется. Дисперсионные кривые также практически не меняются.

3. При приближении к экватору влияние горизонтальной составляющей угловой скорости Земли на волновой поток импульса vw¯ усиливается.

4. Учет горизонтальной неоднородности поля средней плотности почти в два раза увеличивает поток импульса vw¯.

5. Вертикальный волновой поток импульса vw¯ отличен от нуля в нетрадиционном приближении и при отсутствии течения, в то время как в традиционном приближении он тогда нулевой. Однако течение заметно усиливает вертикальный волновой поток импульса vw¯ и практически не сказывается на потоке uw¯.

Работа выполнена в рамках государственного задания по теме FNNN-2021-0004 «Фундаментальные исследования процессов, определяющих потоки вещества и энергии в морской среде и на ее границах, состояние и эволюцию физической и биогеохимической структуры морских систем в современных условиях» (шифр «Океанологические процессы»).

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Дисперсионное соотношение (30) имеет вид:

ω2=f2+DB2+4D1+π2n2l2H2B, (П1)

где n — номер моды, D = 4f2(fc + U00)2, B=2N2+fcU00+fc2f2.

Покажем, что при U00 → 0, fc → 0 дисперсионное соотношение (П1) переходит в известное соотношение для однородной стратификации (31). Вынесем в знаменателе дроби в (П1) величину  за скобки:

ω2=f2+DB1+4DB21+π2n2l2H21. (П2)

Введем безразмерный параметр α:

α=4DB21+π2n2l2H2=1+π2n2l2H24f2fc+U002N2+fcU00+fc2f22. (П3)

Тогда дисперсионное соотношение (П3) приобретает вид:

ω2=f2+DB1+α1. (П4)

При U00 → 0, fc → 0 параметр α стремится к нулю и справедливо разложение с точностью до членов первого порядка по α:

1+α1+α2. (П5)

Подставляя (П5) в (П4) получаем:

ω2=f2+2DαB. (П6)

Подставим α в (П6):

ω2=f2+D2BDB21+π2n2l2H2=f2+B21+π2n2l2H2. (П7)

Подставим B в (П7):

ω2=f2+2N2+fcU00+fc2f221+π2n2l2H2. (П8)

Сделаем в (П8) предельный переход U00 → 0, fc → 0, получим:

ω2=f2+N2f21+π2n2l2H2=N2+π2n2l2H2f21+π2n2l2H2=N2l2+π2n2H2f2l2+π2n2H2. (П9)

Получено дисперсионное соотношение (31) для однородной стратификации.

×

Об авторах

А. А. Слепышев

Морской гидрофизический институт РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: slep55@mail.ru
Россия, ул. Капитанская, 2, Севастополь, 299011

М. А. Шадт

Филиал Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова в г. Севастополе

Email: slep55@mail.ru
Россия, ул. Героев Севастополя, 7, Севастополь, 299001

Список литературы

  1. Анкудинов Н.О., Слепышев А.А. Вертикальный перенос импульса внутренними волнами в двумерном потоке // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2021. № 3. С. 39–47.
  2. Бадулин С.И., Василенко В.М., Яремчук М.И. Об особенности интерпретации квазиинерционных движений на примере данных эксперимента Мегаполигон // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1991. Т. 27. № 6. С. 638–647.
  3. Борисенко Ю.Д., Воронович А.Г., Леонов А.И., Миропольский Ю. З. К теории нестационарных слабонелинейных внутренних волн в стратифицированной жидкости // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. I976. T. 12. №3. С. 293–301
  4. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред. М.: Наука. 1982. 337 с.
  5. Езерский А.Б., Папко В.В. Лабораторное исследование крупномасштабных потенциальных течений, индуцируемых пакетом поверхностных волн // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1986. Т. 22. № 9. С. 979–986.
  6. Каменкович В.М., Кулаков А.В. К вопросу о влиянии вращения на волны в стратифицированном океане // Океанология. 1977. Т. 17. № 3. С. 400–410.
  7. Каменкович В.М. Основы динамики океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1973. С. 128.
  8. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. М.: Мир, 1981. Ч. 1. 480 с. Ч. 2. 363 с.
  9. Мак-Интайр М. Миф о «волновом импульсе» // Современная гидродинамикака. Успехи и проблемы. М.: Мир, 1984. С. 454–476.
  10. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Л.: Гидрометеоиздат. 1981. 302 с.
  11. Островский Л.А., Потапов А.И. Введение в теорию модулированных волн. М.: Физматлит, 2003. С. 92.
  12. Охотников И.Н., Пантелеев Н.А. Сдвиговая неустойчивость внутренних волн и вертикальный обмен в океане // Морской гидрофизический журнал. 1985. № 3. С. 13–20.
  13. Подымов О.И., Зацепин А.Г., Островский А.Г. Вертикальный турбулентный обмен в черноморском пикноклине и его связь с динамикой вод // Океанология. 2017. Т. 57. № 4. С. 546–559. https://doi.org/10.7868/S0030157417040049
  14. Резник Г.М. Волновые движения в устойчиво-нейтрально стратифицированном океане // Океанология. 2015. Т. 55. № 6. С. 875–882.
  15. Самодуров А.С., Любицкий А.А., Пантелеев Н.А. Вклад опрокидывающихся внутренних волн в структурообразование, диссипацию энергии и вертикальную диффузию в океане // Морской гидрофизический журнал. 1994. № 3. С. 14–27.
  16. Слепышев А.А., Лактионова Н.В. Вертикальный перенос импульса внутренними волнами в сдвиговом потоке // Изв. РАН Физика атмосферы и океана. 2019. Т. 55. № 6. С. 194–200.
  17. Слепышев А.А. Вертикальный перенос импульса внутренними волнами при учете турбулентной вязкости и диффузии // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2016. Т. 52. № 3. С. 342–349.
  18. Степанянц Ю.А., Фабрикант А.Л. Распространение волн в сдвиговых потоках. М.: Наука. Физматлит, 1996. 240 с.
  19. Фабрикант А.Л. Импульс волнового пакета в среде и индуцированные средние течения. Препринт № 183 ИПФ АН СССР. Горький, 1988. 20 с.
  20. Bulatov V.V., Vladimirov Yu.V. Dynamics of internal gravity waves in the ocean with shear flows // Russian Journal of Earth Sciences. 2020. V. 20. ES4004. doi: 10.2205/2020ES000732
  21. Gerkema T, Shrira V.I. Near-inertial waves in the ocean: beyond the traditional approximation // J. Fluid Mech. 2005. V. 52. P. 195–219.
  22. Gerkema T., Shrira V.I. Near-inertial waves on the ‘‘nontraditional’’ b-plane // Journal Geophys.Res. 2005. V.110. C01003. doi: 10.1029/2004JC002519
  23. Grimshaw R. The modulation of an internal gravity wave packet and the resonance with the mean motion // Stud. In Appl. Math. 1977. V. 56. Р. 241–266. doi.org/10.1002/sapm1977563241
  24. Ivanov A.V., Ostrovsky L.A., Soustova I.A., Thimring L.Sh. Interaction of internal waves and turbulenсе in the upper layer of the ocean // Dynamics of Atmosheres and Ocean. 1984. V. 3. № 7. P. 221–232
  25. Jones W.L. Propagation of internal waves in fluids with shear flow and rotation // J. Fluid Mech. 1967. V. 30. Pt. 3. P. 439–448. doi: 10.1017/S0022112067001521
  26. Longuet-Higgins M.S. On the transport of mass by time varying ocean current // Deep-Sea Research 1969. V. 16. № 5. P. 431–447. doi.org/10.1016/0011-7471(69)90031-X
  27. Saint-Guily, B. On internal waves: Effects of the horizontal component of the Earthʼs rotation and of a uniform current // Dtsch. Hydrogr. Z. 1970. V. 23. P. 16–23.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
2. Рис. 1. Дисперсионные кривые первых трех мод.

Скачать (91KB)
3. Рис. 2. Профиль вертикального волнового потока импульса uw с учетом и без учета fc.

Скачать (79KB)
4. Рис. 3. Профили вертикального волнового потока импульса vw с учетом fc (1) и без его учета (2).

Скачать (84KB)
5. Рис. 4. Профили вертикального волнового потока импульса vw в горизонтально-неоднородном (1) и горизонтально-однородном (2) по средней плотности случае.

Скачать (83KB)
6. Рис. 5. Зависимость от вертикальной координаты волнового потока импульса vw при наличии течения (1) и при его отсутствии (2).

Скачать (80KB)
7. Рис. 6. Зависимость от широты относительного отклонения максимумов модулей потока vw с учетом fc и без его учета.

Скачать (50KB)

© Российская академия наук, 2024

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.