Влияние приближения f-плоскости на вертикальный перенос импульса внутренними волнами в сдвиговом потоке
- Авторы: Слепышев А.А.1, Шадт М.А.2
-
Учреждения:
- Морской гидрофизический институт РАН
- Филиал Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова в г. Севастополе
- Выпуск: Том 60, № 5 (2024)
- Страницы: 601-610
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.eco-vector.com/0002-3515/article/view/685986
- DOI: https://doi.org/10.31857/S0002351524050035
- EDN: https://elibrary.ru/HYEKQK
- ID: 685986
Цитировать
Полный текст
Аннотация
В приближении Буссинеска рассматриваются свободные внутренние волны в плоскопараллельном стратифицированном потоке при учете вращения Земли. Рассматривается аналитически разрешимая модель с линейным профилем скорости течения и однородной стратификацией, когда волна распространяется перпендикулярно потоку. Показано, что учет вклада горизонтальной составляющей угловой скорости вращения Земли в силу Кориолиса (нетрадиционное приближение) практически не изменяет дисперсионные кривые, однако вертикальный волновой поток импульса несколько увеличивается. Эффект усиливается при приближении к экватору. В нетрадиционном приближении вертикальный поток импульса не нулевой даже при отсутствии течения, в то время как в традиционном приближении он равен нулю.
Ключевые слова
Полный текст
ВВЕДЕНИЕ
Внутренние волны около инерционной частоты имеют ярко выраженный пик на энергетических спектрах и исследование их динамики в этом спектральном диапазоне открыл ряд интересных эффектов [Бадулин и др., 1991; Saint-Guily, 1970; Каменкович и Кулаков, 1977; Ле Блон и Майсек, 1981; Gerkema and Shrira, 2005]. При отказе от традиционного приближения, т.е при учете вклада горизонтальной составляющей угловой скорости вращения Земли в силу Кориолиса внутренние волны существуют при частоте, меньшей инерционной [Бадулин и др., 1991; Saint-Guily, 1970; Каменкович и Кулаков, 1977; Ле Блон и Майсек, 1981; Gerkema and Shrira, 2005; Резник, 2015]. Их называют субинерционными внутренними волнами. Частотный диапазон их существования тем шире, чем слабее стратификация, поэтому они и заметно проявляются в верхнем квазиоднородном слое и на больших глубинах [Бадулин и др., 1991; Gerkema and Shrira, 2005]. Субинерционные внутренние волны захватываются областями со слабой стратификацией, где частота плавучести меньше инерционной [Бадулин и др., 1991; Gerkema and Shrira, 2005]. При приближении их частоты к минимально возможной вертикальный и горизонтальный масштабы волны стремятся к нулю [Бадулин и др., 1991; Gerkema and Shrira, 2005], что указывает на возможность диссипации энергии в малые масштабы, например при распространении субинерционных внутренних волн на горизонтально-неоднородных течениях или вследствие влияния β-эффекта. Суперинерционные внутренние волны, частота которых в нетрадиционном приближении несколько больше инерционной могут переходить в субинерционные вследствие широтного изменения параметра Кориолиса и далее в малые масштабы, будучи захваченными слоем слабой стратификации [Gerkema and Shrira, 2005]. В настоящей работе будет рассмотрено влияние нетрадиционного приближения на вертикальный перенос импульса внутренними волнами. Причем, будут рассмотрены внутренние волны с частотой заметно большей инерционной при сильной стратификации. Ясно, что на дисперсионных свойствах этих волн нетрадиционное приближение никак не скажется [Каменкович и Кулаков, 1977]. Но на вертикальный перенос импульса этими волнами нетрадиционное приближение оказывает влияние. Даже более того, в случае, когда вертикальный волновой поток импульса в традиционном приближении нулевой, в нетрадиционном приближении он окажется не нулевым.
Нелинейные эффекты при распространении пакетов внутренних волн проявляются в генерации средних на временном масштабе волны течений. Горизонтальная компонента эйлеровой скорости индуцированного течения пропорциональна квадрату текущей амплитуды волны, вертикальная компонента пропорциональна горизонтальному градиенту квадрата амплитуды и имеет разные знаки на переднем и заднем фронте пакета и вклада в вертикальный перенос не вносит [Борисенко и др., 1976; Grimshaw, 1977]. Стоксов дрейф следует отличать от индуцированного эйлерового течения, он присутствует и в слабонелинейной плоской волне [Ле Блон и Майсек, 1981; Longuet-Higgins, 1969]. Суммарная скорость дрейфа частиц жидкости складывается из суммы эйлеровой скорости среднего течения и скорости стоксова дрейфа [Ле Блон и Майсек, 1981].
Для пакетов поверхностных волн показано, что суммарный средний импульс волнового пакета, проинтегрированный по глубине с учетом индуцированного течения и стоксова дрейфа равен нулю [Езерский и Папко, 1986; Фабрикант, 1988; Степанянц и Фабрикант, 1996; Мак-Интайр, 1984]. Однако переданный волновому пакету импульс при его генерации (квазиимпульс [Езерский и Папко, 1986; Фабрикант, 1988; Степанянц и Фабрикант, 1996] или псевдоимпульс в [Островский и Потапов, 2003]) передается длинноволновым возмущениям с масштабом порядка огибающей волнового пакета, генерируемым волновым пакетом [Фабрикант, 1988]. Горизонтальный поток импульса не равен нулю [Мак-Интайр, 1984]. В настоящей работе исследуется вертикальный поток импульса у внутренних волн при учете вращения Земли.
Внутренние волны в океане являются важным фактором, определяющим вертикальный обмен в океане. Это связано с тем, что при обрушении внутренних волн генерируется мелкомасштабная турбулентность, которая и ответственна за вертикальный обмен [Подымов и др., 2017; Самодуров и др., 1994; Охотников и Пантелеев, 1985]. Однако внутренние волны не только через обрушения влияют на вертикальный перенос. Сдвиги скорости течения, обусловленные внутренней волной, могут поддерживать уже сгенерированную турбулентность [Ivanov et al, 1984]. При учете турбулентной вязкости и диффузии внутренние волны затухают [Ле Блон и Майсек, 1981]. Вертикальные волновые потки импульса при этом отличны от нуля [Слепышев, 2016]. Вертикальные волновые потоки импульса отличны от нуля даже при отсутствии турбулентной вязкости и диффузии при учете вращения Земли и сдвигового течения [Слепышев и Лактионова, 2019; Анкудинов и Слепышев, 2021]. Если компонента скорости течения, перпендикулярная направлению распространения волны, зависит от вертикальной координаты, то вертикальные волновые потоки импульса отличны от нуля. Это было показано аналитически в работе [Слепышев и Лактионова, 2019] для плоскопараллельного сдвигового течения при однородной стратификации, когда волна распространяется перпендикулярно потоку в традиционном приближении. Уравнение для амплитуды вертикальной скорости тогда имеет комплексные коэффициенты, частота волны при фиксированном волновом числе – действительная, а собственная функция – комплексная и вертикальные волновые потоки импульса отличны от нуля. Однако в [Слепышев и Лактионова, 2019] пренебрегалось горизонтальным изменением средней плотности, т.е. рассматривался геострофически несбалансированный поток. Вертикальный градиент скорости течения не был сбалансирован горизонтальным градиентом плотности. Представляет интерес учесть горизонтальную неоднородность поля средней плотности в уравнении сохранения массы, выразив указанный горизонтальный градиент плотности через вертикальный сдвиг скорости течения, используя соотношение «термического ветра» [Каменкович, 1973], как это было сделано в работе [Jones, 1967]. Кроме того, еще представляет интерес учесть вклад горизонтальной составляющей угловой скорости вращения Земли в силу Кориолиса, т.е. изучить влияние нетрадиционного приближения на вертикальные волновые потоки импульса.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматриваются свободные внутренние волны на плоскопараллельном стратифицированном течении с вертикальным сдвигом скорости в безграничном бассейне постоянной глубины при учете вращения Земли в нетрадиционном приближении. Скорость течения зависит от вертикальной координаты и направлена на восток. Система уравнений гидродинамики в приближении Буссинеска [Jones, 1967; Миропольский, 1981] для волновых возмущений имеет вид:
, (1)
, (2)
, (3)
, (4)
, (5)
,
где Ω — угловая скорость вращения Земли, φ — широта, f — параметр Кориолиса; ось x направлена в зональном направлении на восток, ось y в меридионально направлении на север, ось z направлена вертикально вверх; u, v, w — соответственно две горизонтальные и вертикальная компоненты волновой скорости течения; P и ρ – волновые возмущения давления и плотности; ρ0 – невозмущенная средняя плотность, – ее средняя по глубине величина, постоянная в приближении Буссинеска [Миропольский, 1981; Бреховских и Гончаров, 1982], U0(z) – скорость среднего течения, направленная вдоль оси x; g – ускорение свободного падения; действие оператора раскрывается по формуле . В уравнении сохранения массы (5) учитывается горизонтальный градиент средней плотности , как это сделано в работе [Jones, 1967]. Используя соотношение «термического ветра» [Каменкович, 1973], выразим через вертикальный градиент скорости течения :
. (6)
После подстановки (6) в (5) уравнение для волновых возмущений плотности преобразуется к виду:
. (7)
Граничные условия на поверхности моря (z = 0) – условие «твёрдой крышки», которое отфильтровывает внутренние волны от поверхностных [Миропольский, 1981; Бреховских и Гончаров, 1982]: w(0) = 0. Граничные условия на дне – условие «непротекания»: w(H) = 0, – H – глубина моря.
Линейное приближение. Решения системы (1) – (4), (7) в линейном приближении ищем в виде:
(8)
где c.c. — комплексно сопряженные слагаемые, A – амплитудный множитель, θ – фаза волны; ∂θ / ∂y = l, ∂θ / ∂t = −ω, l – горизонтальное волновое число, ω – частота волны. Предполагается, что волна распространяется вдоль оси y, т.е. в меридиональном направлении.
Подставляя (8) в систему (1)–(4) и уравнение (7) находим связь амплитудных функций u10, v10, ρ10, P10 с w10 и уравнение для w10
(9)
, (10)
. (11)
Функция w10 удовлетворяет уравнению
, (12)
где ,
,
– квадрат частоты Брента–Вяйсяля.
Граничные условия для w10:
. (13)
Волновые потоки импульса. Из соотношений (8)–(9) находим вертикальные волновые потоки импульса:
, (14)
. (15)
Черта сверху в (14), (15) означает осреднение по периоду волны. Вертикальный волновой поток импульса отличен от нуля при учете вращения Земли. Краевая задача (12), (13) имеет комплексные коэффициенты и комплексные решения. Поэтому поток не нулевой. При и fc = 0 уравнение (12) имеет действительные коэффициенты и действительные решения, поэтому в этом случае вертикальный волновой поток импульса равен нулю. Если вращение Земли не учитывать, то уравнение (12) имеет действительные коэффициенты, решение краевой задачи (12), (13) — действительная функция и вертикальные волновые потоки импульса нулевые. Если волна распространяется под произвольным углом к плоскопараллельному потоку, то при отсутствии учета вращения Земли решение краевой задачи, аналогичной (12), (13) — действительная функция в гидродинамически устойчивом случае [Bulatov and Vladimirov, 2020], когда число Ричардсона больше 1/4, частота волны действительная и вертикальный волновой поток импульса равен нулю.
Нормирующий множитель A находится по известной величине максимальной амплитуды вертикальных смещений. Для этого выразим вертикальное смещение
ζ, используя соотношение :
Отсюда следует
. (16)
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Уравнение (12) допускает точные аналитические решения при постоянной частоте Брента–Вяйсяля и постоянном сдвиге скорости течения. В этом случае N = const, , U0(z) = U00 · (z − H), H < 0. Тогда уравнение (12) упрощается к виду:
, (17)
где ,
. (18)
Решение краевой задачи (13), (17) имеет вид:
. (19)
При этом справедливо дисперсионное уравнение, вытекающее из граничного условия (13) при z = H:
, (20)
здесь учтено, что H < 0, n — целое положительное число.
Отсюда
. (21)
Преобразуем выражение (18) для b0 следующим образом:
(22)
Введем обозначение:
. (23)
Тогда
, (24)
. (25)
Подставим выражения для b0 (24) и a0 (25), в уравнение (21), получим квадратное уравнение для R:
. (26)
Уравнение (26) преобразуем к виду:
, (27)
где , .
Решение уравнения (27):
. (28)
Рассмотрим положительный корень уравнения (27), так как рассматриваются внутренние волны с частотой ω > f:
. (29)
Подставляя выражение для R (23) в (29), находим квадрат частоты волны:
, (30)
где n — номер моды, D = 4f2(fc + U00)2,
.
При U00 → 0, fc → 0 дисперсионное соотношение (30) переходит в известное соотношение для однородной стратификации (31) [Ле Блон и Майсек, 1981; Миропольский, 1981; Бреховских и Гончаров, 1982], соответствующий предельный переход выполнен в Приложении:
. (31)
Из (14), (15), используя (19), находим вертикальные волновые потоки импульса:
, (32)
, (33)
где .
Нормирующий множитель A находится по известной максимальной амплитуде вертикальных смещений ζmax (16):
.
На рис. 1 показаны дисперсионные кривые первых трех мод, рассчитанные по формуле (30) при N = 5 цикл/ч, H = −100 м, U00 = 2 × 10−3 с−1 на широте φ = 44°50' при учете fc и при его неучете, когда fc = 0 (параметры модели соответствуют северо-западному шельфу Черного моря в летний период). Из рисунка видно, что fc практически не влияет на дисперсионные кривые. Вертикальные волновые потоки импульса рассчитываются для внутренней волны низшей моды при длине волны λ = 100 м, ζmax = 1 м. Вертикальный волновой поток импульса (32) показан на рис. 2 как при учете fc, так и при его неучете, когда fc = 0. Из рисунка видно, что fc никак не влияет на вертикальный волновой поток импульса . Аналогичные расчеты сделаны для потока (33). Результат сравнения этого потока при учете и неучете fc представлен на рис. 3. При учете fc (кривая 1) волновой поток несколько больше по абсолютной величине потока при fc = 0 (кривая 2). Указанные расчеты делались в горизонтально-неоднородном по средней плотности случае, т.е. когда в уравнении (5) . Представляет интерес сравнить волновые потоки импульса в горизонтально-однородном случае, когда (как это делалось в работе [Слепышев и Лактионова, 2019]) и в горизонтально-неоднородном случае. На рис. 4 представлен профиль вертикального волнового потока импульса в горизонтально-неоднородном случае (кривая 1) и в горизонтально-однородном случае (кривая 2). В горизонтально-неоднородном случае поток выше почти в два раза. Представляет интерес рассмотреть влияние течения на вертикальные волновые потоки импульса. На рис. 5 показан вертикальный профиль потока импульса при наличия течения (сплошная кривая) и при его отсутствии (штриховая линия), когда U00 = 0 в нетрадиционном приближении. Присутствие течения заметно усиливает поток импульса. В традиционном приближении поток импульса равен нулю при отсутствии течения, так как в (33) тогда a0 = 0. Таким образом, вертикальный поток импульса не нулевой даже при отсутствии течения в нетрадиционном приближении. Поток импульса при отсутствии течения практически не отличается от потока при наличии течения.
Рис. 1. Дисперсионные кривые первых трех мод.
Рис. 2. Профиль вертикального волнового потока импульса с учетом и без учета fc.
Рис. 3. Профили вертикального волнового потока импульса с учетом fc (1) и без его учета (2).
Рис. 4. Профили вертикального волнового потока импульса в горизонтально-неоднородном (1) и горизонтально-однородном (2) по средней плотности случае.
Рис. 5. Зависимость от вертикальной координаты волнового потока импульса при наличии течения (1) и при его отсутствии (2).
Касаясь влияния fc на волновой поток представляет интерес исследовать влияние широты на относительную разность потоков при учете fc и при неучете fc. Пусть — вертикальный волновой поток импульса при . Введем величину η по формуле:
,
тогда величина η — относительное отличие максимумов модулей потоков при учете fc и при неучете fc. На рис. 6 представлен график зависимости η от широты в горизонтально-неоднородном случае. Величина η достигает максимума в окрестности экватора и монотонно спадает к полюсам, хотя сами потоки стремятся к нулю при приближении к экватору.
Рис. 6. Зависимость от широты относительного отклонения максимумов модулей потока с учетом fc и без его учета.
ВЫВОДЫ
1. Вертикальный волновой поток импульса у инерционно-гравитационных внутренних волн при наличии сдвигового течения, перпендикулярного направлению распространения волны отличен от нуля.
2. Учет вклада горизонтальной составляющей угловой скорости Земли в силу Кориолиса несколько увеличивает по абсолютной величине волновой поток импульса . Вертикальный волновой поток импульса практически не изменяется. Дисперсионные кривые также практически не меняются.
3. При приближении к экватору влияние горизонтальной составляющей угловой скорости Земли на волновой поток импульса усиливается.
4. Учет горизонтальной неоднородности поля средней плотности почти в два раза увеличивает поток импульса .
5. Вертикальный волновой поток импульса отличен от нуля в нетрадиционном приближении и при отсутствии течения, в то время как в традиционном приближении он тогда нулевой. Однако течение заметно усиливает вертикальный волновой поток импульса и практически не сказывается на потоке .
Работа выполнена в рамках государственного задания по теме FNNN-2021-0004 «Фундаментальные исследования процессов, определяющих потоки вещества и энергии в морской среде и на ее границах, состояние и эволюцию физической и биогеохимической структуры морских систем в современных условиях» (шифр «Океанологические процессы»).
ПРИЛОЖЕНИЕ
Дисперсионное соотношение (30) имеет вид:
, (П1)
где n — номер моды, D = 4f2(fc + U00)2, .
Покажем, что при U00 → 0, fc → 0 дисперсионное соотношение (П1) переходит в известное соотношение для однородной стратификации (31). Вынесем в знаменателе дроби в (П1) величину за скобки:
. (П2)
Введем безразмерный параметр α:
. (П3)
Тогда дисперсионное соотношение (П3) приобретает вид:
. (П4)
При U00 → 0, fc → 0 параметр α стремится к нулю и справедливо разложение с точностью до членов первого порядка по α:
. (П5)
Подставляя (П5) в (П4) получаем:
. (П6)
Подставим α в (П6):
. (П7)
Подставим B в (П7):
. (П8)
Сделаем в (П8) предельный переход U00 → 0, fc → 0, получим:
. (П9)
Получено дисперсионное соотношение (31) для однородной стратификации.
Об авторах
А. А. Слепышев
Морской гидрофизический институт РАН
Автор, ответственный за переписку.
Email: slep55@mail.ru
Россия, ул. Капитанская, 2, Севастополь, 299011
М. А. Шадт
Филиал Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова в г. Севастополе
Email: slep55@mail.ru
Россия, ул. Героев Севастополя, 7, Севастополь, 299001
Список литературы
- Анкудинов Н.О., Слепышев А.А. Вертикальный перенос импульса внутренними волнами в двумерном потоке // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2021. № 3. С. 39–47.
- Бадулин С.И., Василенко В.М., Яремчук М.И. Об особенности интерпретации квазиинерционных движений на примере данных эксперимента Мегаполигон // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1991. Т. 27. № 6. С. 638–647.
- Борисенко Ю.Д., Воронович А.Г., Леонов А.И., Миропольский Ю. З. К теории нестационарных слабонелинейных внутренних волн в стратифицированной жидкости // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. I976. T. 12. №3. С. 293–301
- Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред. М.: Наука. 1982. 337 с.
- Езерский А.Б., Папко В.В. Лабораторное исследование крупномасштабных потенциальных течений, индуцируемых пакетом поверхностных волн // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1986. Т. 22. № 9. С. 979–986.
- Каменкович В.М., Кулаков А.В. К вопросу о влиянии вращения на волны в стратифицированном океане // Океанология. 1977. Т. 17. № 3. С. 400–410.
- Каменкович В.М. Основы динамики океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1973. С. 128.
- Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. М.: Мир, 1981. Ч. 1. 480 с. Ч. 2. 363 с.
- Мак-Интайр М. Миф о «волновом импульсе» // Современная гидродинамикака. Успехи и проблемы. М.: Мир, 1984. С. 454–476.
- Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Л.: Гидрометеоиздат. 1981. 302 с.
- Островский Л.А., Потапов А.И. Введение в теорию модулированных волн. М.: Физматлит, 2003. С. 92.
- Охотников И.Н., Пантелеев Н.А. Сдвиговая неустойчивость внутренних волн и вертикальный обмен в океане // Морской гидрофизический журнал. 1985. № 3. С. 13–20.
- Подымов О.И., Зацепин А.Г., Островский А.Г. Вертикальный турбулентный обмен в черноморском пикноклине и его связь с динамикой вод // Океанология. 2017. Т. 57. № 4. С. 546–559. https://doi.org/10.7868/S0030157417040049
- Резник Г.М. Волновые движения в устойчиво-нейтрально стратифицированном океане // Океанология. 2015. Т. 55. № 6. С. 875–882.
- Самодуров А.С., Любицкий А.А., Пантелеев Н.А. Вклад опрокидывающихся внутренних волн в структурообразование, диссипацию энергии и вертикальную диффузию в океане // Морской гидрофизический журнал. 1994. № 3. С. 14–27.
- Слепышев А.А., Лактионова Н.В. Вертикальный перенос импульса внутренними волнами в сдвиговом потоке // Изв. РАН Физика атмосферы и океана. 2019. Т. 55. № 6. С. 194–200.
- Слепышев А.А. Вертикальный перенос импульса внутренними волнами при учете турбулентной вязкости и диффузии // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2016. Т. 52. № 3. С. 342–349.
- Степанянц Ю.А., Фабрикант А.Л. Распространение волн в сдвиговых потоках. М.: Наука. Физматлит, 1996. 240 с.
- Фабрикант А.Л. Импульс волнового пакета в среде и индуцированные средние течения. Препринт № 183 ИПФ АН СССР. Горький, 1988. 20 с.
- Bulatov V.V., Vladimirov Yu.V. Dynamics of internal gravity waves in the ocean with shear flows // Russian Journal of Earth Sciences. 2020. V. 20. ES4004. doi: 10.2205/2020ES000732
- Gerkema T, Shrira V.I. Near-inertial waves in the ocean: beyond the traditional approximation // J. Fluid Mech. 2005. V. 52. P. 195–219.
- Gerkema T., Shrira V.I. Near-inertial waves on the ‘‘nontraditional’’ b-plane // Journal Geophys.Res. 2005. V.110. C01003. doi: 10.1029/2004JC002519
- Grimshaw R. The modulation of an internal gravity wave packet and the resonance with the mean motion // Stud. In Appl. Math. 1977. V. 56. Р. 241–266. doi.org/10.1002/sapm1977563241
- Ivanov A.V., Ostrovsky L.A., Soustova I.A., Thimring L.Sh. Interaction of internal waves and turbulenсе in the upper layer of the ocean // Dynamics of Atmosheres and Ocean. 1984. V. 3. № 7. P. 221–232
- Jones W.L. Propagation of internal waves in fluids with shear flow and rotation // J. Fluid Mech. 1967. V. 30. Pt. 3. P. 439–448. doi: 10.1017/S0022112067001521
- Longuet-Higgins M.S. On the transport of mass by time varying ocean current // Deep-Sea Research 1969. V. 16. № 5. P. 431–447. doi.org/10.1016/0011-7471(69)90031-X
- Saint-Guily, B. On internal waves: Effects of the horizontal component of the Earthʼs rotation and of a uniform current // Dtsch. Hydrogr. Z. 1970. V. 23. P. 16–23.
Дополнительные файлы
