Influence of the Non-Traditional Approximation on Momentum Transfer by Internal Waves in a Shear Flow

Full Text

1. ВВЕДЕНИЕ

Внутренние волны около инерционной частоты имеют ярко выраженный пик на энергетических спектрах и исследование их динамики в этом спектральном диапазоне открыл ряд интересных эффектов [Бадулин и др., 1991; Saint-Guily, 1970; Каменкович и Кулаков, 1977; Ле Блон и Майсек, 1981; Gerkema and Shrira, 2005]. При отказе от традиционного приближения, т.е при учете вклада горизонтальной составляющей угловой скорости вращения Земли в силу Кориолиса внутренние волны существуют при частоте, меньшей инерционной [Бадулин и др., 1991; Saint-Guily, 1970; Каменкович и Кулаков, 1977; Ле Блон и Майсек, 1981; Gerkema and Shrira, 2005; Резник, 2015]. Их называют субинерционными внутренними волнами. Частотный диапазон их существования тем шире, чем слабее стратификация, поэтому они и заметно проявляются в верхнем квазиоднородном слое и на больших глубинах [Бадулин и др., 1991; Gerkema and Shrira, 2005]. Субинерционные внутренние волны захватываются областями со слабой стратификацией, где частота плавучести меньше инерционной [Бадулин и др., 1991; Gerkema and Shrira, 2005]. При приближении их частоты к минимально возможной вертикальный и горизонтальный масштабы волны стремятся к нулю [Бадулин и др., 1991; Gerkema and Shrira, 2005], что указывает на возможность диссипации энергии в малые масштабы, например при распространении субинерционных внутренних волн на горизонтально-неоднородных течениях или вследствие влияния β-эффекта. Суперинерционные внутренние волны, частота которых в нетрадиционном приближении несколько больше инерционной могут переходить в субинерционные вследствие широтного изменения параметра Кориолиса и далее в малые масштабы, будучи захваченными слоем слабой стратификации [Gerkema and Shrira, 2005]. В настоящей работе будет рассмотрено влияние нетрадиционного приближения на вертикальный перенос импульса внутренними волнами. Причем, будут рассмотрены внутренние волны с частотой заметно большей инерционной при сильной стратификации. Ясно, что на дисперсионных свойствах этих волн нетрадиционное приближение никак не скажется [Каменкович и Кулаков, 1977]. Но на вертикальный перенос импульса этими волнами нетрадиционное приближение оказывает влияние. Даже более того, в случае, когда вертикальный волновой поток импульса в традиционном приближении нулевой, в нетрадиционном приближении он окажется не нулевым.

Нелинейные эффекты при распространении пакетов внутренних волн проявляются в генерации средних на временном масштабе волны течений. Горизонтальная компонента эйлеровой скорости индуцированного течения пропорциональна квадрату текущей амплитуды волны, вертикальная компонента пропорциональна горизонтальному градиенту квадрата амплитуды и имеет разные знаки на переднем и заднем фронте пакета и вклада в вертикальный перенос не вносит [Борисенко и др., 1976; Grimshaw, 1977]. Стоксов дрейф следует отличать от индуцированного эйлерового течения, он присутствует и в слабонелинейной плоской волне [Ле Блон и Майсек, 1981; Longuet-Higgins, 1969]. Суммарная скорость дрейфа частиц жидкости складывается из суммы эйлеровой скорости среднего течения и скорости стоксова дрейфа [Ле Блон и Майсек, 1981].

Для пакетов поверхностных волн показано, что суммарный средний импульс волнового пакета, проинтегрированный по глубине с учетом индуцированного течения и стоксова дрейфа равен нулю [Езерский и Папко, 1986; Фабрикант, 1988; Степанянц и Фабрикант, 1996; Мак-Интайр, 1984]. Однако переданный волновому пакету импульс при его генерации (квазиимпульс [Езерский и Папко, 1986; Фабрикант, 1988; Степанянц и Фабрикант, 1996] или псевдоимпульс в [Островский и Потапов, 2003]) передается длинноволновым возмущениям с масштабом порядка огибающей волнового пакета, генерируемым волновым пакетом [Фабрикант, 1988]. Горизонтальный поток импульса не равен нулю [Мак-Интайр, 1984]. В настоящей работе исследуется вертикальный поток импульса у внутренних волн при учете вращения Земли.

Внутренние волны в океане являются важным фактором, определяющим вертикальный обмен в океане. Это связано с тем, что при обрушении внутренних волн генерируется мелкомасштабная турбулентность, которая и ответственна за вертикальный обмен [Подымов и др., 2017; Самодуров и др., 1994; Охотников и Пантелеев, 1985]. Однако внутренние волны не только через обрушения влияют на вертикальный перенос. Сдвиги скорости течения, обусловленные внутренней волной, могут поддерживать уже сгенерированную турбулентность [Ivanov et al, 1984]. При учете турбулентной вязкости и диффузии внутренние волны затухают [Ле Блон и Майсек, 1981]. Вертикальные волновые потки импульса при этом отличны от нуля [Слепышев, 2016]. Вертикальные волновые потоки импульса отличны от нуля даже при отсутствии турбулентной вязкости и диффузии при учете вращения Земли и сдвигового течения [Слепышев и Лактионова, 2019; Анкудинов и Слепышев, 2021]. Если компонента скорости течения, перпендикулярная направлению распространения волны, зависит от вертикальной координаты, то вертикальные волновые потоки импульса отличны от нуля. Это было показано аналитически в работе [Слепышев и Лактионова, 2019] для плоскопараллельного сдвигового течения при однородной стратификации, когда волна распространяется перпендикулярно потоку в традиционном приближении. Уравнение для амплитуды вертикальной скорости тогда имеет комплексные коэффициенты, частота волны при фиксированном волновом числе – действительная, а собственная функция – комплексная и вертикальные волновые потоки импульса отличны от нуля. Однако в [Слепышев и Лактионова, 2019] пренебрегалось горизонтальным изменением средней плотности, т.е. рассматривался геострофически несбалансированный поток. Вертикальный градиент скорости течения не был сбалансирован горизонтальным градиентом плотности. Представляет интерес учесть горизонтальную неоднородность поля средней плотности в уравнении сохранения массы, выразив указанный горизонтальный градиент плотности через вертикальный сдвиг скорости течения, используя соотношение «термического ветра» [Каменкович, 1973], как это было сделано в работе [Jones, 1967]. Кроме того, еще представляет интерес учесть вклад горизонтальной составляющей угловой скорости вращения Земли в силу Кориолиса, т.е. изучить влияние нетрадиционного приближения на вертикальные волновые потоки импульса.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматриваются свободные внутренние волны на плоскопараллельном стратифицированном течении с вертикальным сдвигом скорости в безграничном бассейне постоянной глубины при учете вращения Земли в нетрадиционном приближении. Скорость течения зависит от вертикальной координаты и направлена на восток. Система уравнений гидродинамики в приближении Буссинеска [Jones, 1967; Миропольский, 1981] для волновых возмущений имеет вид:

$\frac{Du}{Dt}+w\frac{d{U}_0}{dz}+f_{c}w-fv=-\frac{1}{{\overline{\rho }}_0}\frac{\partial P}{\partial x}$, (1)

$\frac{Dv}{Dt}+fu=-\frac{1}{{\overline{\rho }}_0}\frac{\partial P}{\partial y}$, (2)

$\frac{Dw}{Dt}-f_{c}u=-\frac{1}{{\overline{\rho }}_0}\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{g\rho }{{\overline{\rho }}_0}$, (3)

$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0$, (4)

$\frac{D\rho }{Dt}+v\frac{\partial {\rho }_0}{\partial y}+w\frac{\partial {\rho }_0}{\partial z}=0$, (5)

$f=2\Omega \sin \phi , f_c=2\Omega \cos \phi$,

где Ω — угловая скорость вращения Земли, φ — широта, f — параметр Кориолиса; ось x направлена в зональном направлении на восток, ось y в меридионально направлении на север, ось z направлена вертикально вверх; u, v, w — соответственно две горизонтальные и вертикальная компоненты волновой скорости течения; P и ρ – волновые возмущения давления и плотности; ρ₀ – невозмущенная средняя плотность, ${\overline{\rho }}_0$ – ее средняя по глубине величина, постоянная в приближении Буссинеска [Миропольский, 1981; Бреховских и Гончаров, 1982], U₀(z) – скорость среднего течения, направленная вдоль оси x; g – ускорение свободного падения; действие оператора $\frac{D}{Dt}$ раскрывается по формуле $\frac{D}{Dt}=\frac{\partial }{\partial t}+(u+U_0)\frac{\partial }{\partial x}+v\frac{\partial }{\partial y}+w\frac{\partial }{\partial z}$. В уравнении сохранения массы (5) учитывается горизонтальный градиент средней плотности $\frac{\partial {\rho }_0}{\partial y}$, как это сделано в работе [Jones, 1967]. Используя соотношение «термического ветра» $f\frac{d{U}_0}{dz}=\frac{g}{{\overline{\rho }}_0}\frac{\partial {\rho }_0}{\partial y}$ [Каменкович, 1973], выразим $\frac{\partial {\rho }_0}{\partial y}$ через вертикальный градиент скорости течения $\frac{d{U}_0}{dz}$:

$\frac{\partial {\rho }_0}{\partial y}=\frac{f}{g}{\overline{\rho }}_0\frac{d{U}_0}{dz}$. (6)

После подстановки (6) в (5) уравнение для волновых возмущений плотности преобразуется к виду:

$\frac{D\rho }{Dt}+v\frac{f}{g}{\overline{\rho }}_0\frac{d{U}_0}{dz}+w\frac{d{\rho }_0}{dz}=0$. (7)

Граничные условия на поверхности моря (z = 0) – условие «твёрдой крышки», которое отфильтровывает внутренние волны от поверхностных [Миропольский, 1981; Бреховских и Гончаров, 1982]: w(0) = 0. Граничные условия на дне – условие «непротекания»: w(H) = 0, – H – глубина моря.

Линейное приближение. Решения системы (1) – (4), (7) в линейном приближении ищем в виде:

$$\begin{gathered} u_1=u_{10}\left(z\right)A{e}^{i\theta }+c.c., v_1=v_{10}\left(z\right)A{e}^{i\theta }+c.c., \\ {w}_1=w_{10}\left(z\right)A{e}^{i\theta }+c.c., \\ {P}_1=P_{10}\left(z\right)A{e}^{i\theta }+c.c., {\rho }_1={\rho }_{10}\left(z\right)A{e}^{i\theta }+c.c., \end{gathered}$$ (8)

где c.c. — комплексно сопряженные слагаемые, A – амплитудный множитель, θ – фаза волны; ∂θ / ∂y = l, ∂θ / ∂t = −ω, l – горизонтальное волновое число, ω – частота волны. Предполагается, что волна распространяется вдоль оси y, т.е. в меридиональном направлении.

Подставляя (8) в систему (1)–(4) и уравнение (7) находим связь амплитудных функций u₁₀, v₁₀, ρ₁₀, P₁₀ с w₁₀ и уравнение для w₁₀

$$\begin{gathered} v_{10}=\frac{i}{l}\frac{d{w}_{10}}{dz}, \\ {u}_{10}=-\frac{1}{\omega }\left(\frac{f}{l}\frac{d{w}_{10}}{dz}+i{w}_{10}\frac{d{U}_0}{dz}+i{f}_c{w}_{10}\right), \end{gathered}$$ (9)

$\frac{P_{10}}{{\overline{\rho }}_0}=\frac{i}{l}\left[\frac{\omega }{l}\frac{d{w}_{10}}{dz}-\frac{f}{\omega }\left(i\frac{d{U}_0}{dz}{w}_{10}+i{f}_c{w}_{10}+\frac{f}{l}\frac{d{w}_{10}}{dz}\right)\right]$, (10)

${\rho }_{10}=-\frac{i}{\omega }{w}_{10}\frac{d{\rho }_0}{dz}+\frac{f}{gl\omega }{\overline{\rho }}_0\frac{d{U}_0}{dz}\frac{d{w}_{10}}{dz}$. (11)

Функция w₁₀ удовлетворяет уравнению

$\frac{d^2{w}_{10}}{d{z}^2}+a\left(z\right)\frac{d{w}_{10}}{dz}+b\left(z\right)w_{10}=0$, (12)

где $a\left(z\right)=-\frac{2ilf}{{\omega }^2-f^2}\left(f_c+\frac{d{U}_0}{dz}\right)$,

$b\left(z\right)=\frac{l^2}{{\omega }^2-f^2}\left(N^2-{\omega }^2+f_c\frac{d{U}_0}{dz}+{f_c}^2-\frac{if}{l}\frac{d^2{U}_0}{d{z}^2}\right)$,

$N^2=-\frac{g}{{\overline{\rho }}_0}\frac{d{\rho }_0}{dz}$ – квадрат частоты Брента–Вяйсяля.

Граничные условия для w₁₀:

$w_{10}\left(0\right)=w_{10}\left(H\right)=0$. (13)

Волновые потоки импульса. Из соотношений (8)–(9) находим вертикальные волновые потоки импульса:

$\overline{uw}=-\frac{\left|A^2\right|}{\omega }\left(i{w}_{10}\frac{d{U}_0}{dz}+i{f}_c{w}_{10}+\frac{f}{l}\frac{d{w}_{10}}{dz}\right)w_{10}^{*}+c.c.$, (14)

$\overline{vw}=\frac{i}{l}\left|A^2\right|\left(w_{10}^{*}\frac{d{w}_{10}}{dz}-w_{10}\frac{d{w}_{10}^{*}}{dz}\right)$. (15)

Черта сверху в (14), (15) означает осреднение по периоду волны. Вертикальный волновой поток импульса $\overline{uw}$ отличен от нуля при учете вращения Земли. Краевая задача (12), (13) имеет комплексные коэффициенты и комплексные решения. Поэтому поток $\overline{vw}$ не нулевой. При $\frac{d{U}_0}{dz}=0$ и f_c = 0 уравнение (12) имеет действительные коэффициенты и действительные решения, поэтому в этом случае вертикальный волновой поток импульса $\overline{vw}$ равен нулю. Если вращение Земли не учитывать, то уравнение (12) имеет действительные коэффициенты, решение краевой задачи (12), (13) — действительная функция и вертикальные волновые потоки импульса нулевые. Если волна распространяется под произвольным углом к плоскопараллельному потоку, то при отсутствии учета вращения Земли решение краевой задачи, аналогичной (12), (13) — действительная функция в гидродинамически устойчивом случае [Bulatov and Vladimirov, 2020], когда число Ричардсона больше 1/4, частота волны действительная и вертикальный волновой поток импульса равен нулю.

Нормирующий множитель A находится по известной величине максимальной амплитуды вертикальных смещений. Для этого выразим вертикальное смещение 
ζ, используя соотношение $\frac{d\zeta }{dt}=w$:

$\zeta =\frac{i{w}_{10}}{\omega }A\exp (ikx-i\omega t)+c.c.$

Отсюда следует

$A=\frac{{\zeta }_{\max }}{2\max \left|w_{10}/\omega \right|}$. (16)

3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Уравнение (12) допускает точные аналитические решения при постоянной частоте Брента–Вяйсяля и постоянном сдвиге скорости течения. В этом случае N = const, $\frac{d{U}_0}{dz}=U_{00}=const$, U₀(z) = U₀₀ · (z − H), H < 0. Тогда уравнение (12) упрощается к виду:

$\frac{d^2{w}_{10}}{d{z}^2}+i{a}_0\frac{d{w}_{10}}{dz}+b_0{w}_{10}=0$, (17)

где $a_0=-\frac{2lf}{{\omega }^2-f^2}\left(f_c+U_{00}\right)$,

$b_0=\frac{l^2}{{\omega }^2-f^2}\left(N^2-{\omega }^2+f_c{U}_{00}+{f_c}^2\right)$. (18)

Решение краевой задачи (13), (17) имеет вид:

$w_{10}\left(z\right)=e^{-\frac{i{a}_0\cdot z}{2}}\cdot \sin \left(z\sqrt{\frac{a_0^2}{4}+b_0}\right)$. (19)

При этом справедливо дисперсионное уравнение, вытекающее из граничного условия (13) при z = H:

$H\sqrt{\frac{a_0^2}{4}+b_0}=-\pi n$, (20)

здесь учтено, что H < 0, n — целое положительное число.

Отсюда

$\frac{a_0^2}{4}+b_0={\left(\frac{\pi n}{H}\right)}^2$. (21)

Преобразуем выражение (18) для b₀ следующим образом:

$\begin{array}{l}{b}_0=\frac{l^2}{{\omega }^2-f^2}\left(N^2-{\omega }^2+f_c{U}_{00}+{f_c}^2\right)=\frac{l^2}{{\omega }^2-f^2}\left(N^2-f^2+f^2-{\omega }^2+f_c{U}_{00}+{f_c}^2\right)=\\ =l^2\left[-1+\frac{1}{{\omega }^2-f^2}\left(N^2-f^2+f_c{U}_{00}+{f_c}^2\right)\right].\end{array}$ (22)

Введем обозначение:

$R=\frac{1}{{\omega }^2-f^2}$. (23)

Тогда

$b_0=l^2\left[-1+R\left(N^2-f^2+f_c{U}_{00}+{f_c}^2\right)\right]$, (24)

$a_0=-2lfR\left(f_c+U_{00}\right)$. (25)

Подставим выражения для b₀ (24) и a₀ (25), в уравнение (21), получим квадратное уравнение для R:

$l^2{R}^2{\left(f_c+U_{00}\right)}^2{f}^2+l^2\left[-1+R\left(N^2-f^2+f_c{U}_{00}+{f_c}^2\right)\right]-{\left(\frac{\pi n}{H}\right)}^2=0$. (26)

Уравнение (26) преобразуем к виду:

$R^2+2dR-p=0$, (27)

где $d=\frac{N^2-f^2+f_c{U}_{00}+{f_c}^2}{2{\left(f_c+U_{00}\right)}^2{f}^2}$, $p=\frac{1+{\left(\frac{\pi n}{Hl}\right)}^2}{{\left(f_c+U_{00}\right)}^2{f}^2}$.

Решение уравнения (27):

$R=-d\pm \sqrt{d^2+p}$. (28)

Рассмотрим положительный корень уравнения (27), так как рассматриваются внутренние волны с частотой ω > f:

$R=-d+\sqrt{d^2+p}$. (29)

Подставляя выражение для R (23) в (29), находим квадрат частоты волны:

${\omega }^2=f^2+\frac{D}{\sqrt{B^2+4D\left(1+\frac{{\pi }^2{n}^2}{l^2{H}^2}\right)}-B}$, (30)

где n — номер моды, D = 4f²(f_c + U₀₀)²,

$B=2\left(N^2+f_c{U}_{00}+{f_c}^2-f^2\right)$.

При U₀₀ → 0, f_c → 0 дисперсионное соотношение (30) переходит в известное соотношение для однородной стратификации (31) [Ле Блон и Майсек, 1981; Миропольский, 1981; Бреховских и Гончаров, 1982], соответствующий предельный переход выполнен в Приложении:

${\omega }^2=\frac{N^2{l}^2+f^2{\left(\frac{\pi n}{H}\right)}^2}{l^2+{\left(\frac{\pi n}{H}\right)}^2}$. (31)

Из (14), (15), используя (19), находим вертикальные волновые потоки импульса:

$\overline{uw}=-\frac{A^{2}f\chi }{\omega l}\cdot \sin \left(2\chi z\right)$, (32)

$\overline{vw}=\frac{A^2{a}_0}{l}{\sin }^2\left(\chi z\right)$, (33)

где $\chi =\sqrt{\frac{a_0^2}{4}+b_0}=\frac{\pi n}{\left|H\right|}$.

Нормирующий множитель A находится по известной максимальной амплитуде вертикальных смещений ζ_max (16):

$A=\frac{\omega {\zeta }_{\max }}{2\max \left|\sin \left(\chi z\right)\right|}$.

На рис. 1 показаны дисперсионные кривые первых трех мод, рассчитанные по формуле (30) при N = 5 цикл/ч, H = −100 м, U₀₀ = 2 × 10⁻³ с⁻¹ на широте φ = 44°50' при учете f_c и при его неучете, когда f_c = 0 (параметры модели соответствуют северо-западному шельфу Черного моря в летний период). Из рисунка видно, что f_c практически не влияет на дисперсионные кривые. Вертикальные волновые потоки импульса рассчитываются для внутренней волны низшей моды при длине волны λ = 100 м, ζ_max = 1 м. Вертикальный волновой поток импульса $\overline{uw}$ (32) показан на рис. 2 как при учете f_c, так и при его неучете, когда f_c = 0. Из рисунка видно, что f_c никак не влияет на вертикальный волновой поток импульса $\overline{uw}$. Аналогичные расчеты сделаны для потока $\overline{vw}$ (33). Результат сравнения этого потока при учете и неучете f_c представлен на рис. 3. При учете f_c (кривая 1) волновой поток $\overline{vw}$ несколько больше по абсолютной величине потока при f_c = 0 (кривая 2). Указанные расчеты делались в горизонтально-неоднородном по средней плотности случае, т.е. когда в уравнении (5) $\frac{\partial {\rho }_0}{\partial y}\ne 0$. Представляет интерес сравнить волновые потоки импульса в горизонтально-однородном случае, когда $\frac{\partial {\rho }_0}{\partial y}=0$ (как это делалось в работе [Слепышев и Лактионова, 2019]) и в горизонтально-неоднородном случае. На рис. 4 представлен профиль вертикального волнового потока импульса $\overline{vw}$ в горизонтально-неоднородном случае (кривая 1) и в горизонтально-однородном случае (кривая 2). В горизонтально-неоднородном случае поток $\overline{vw}$ выше почти в два раза. Представляет интерес рассмотреть влияние течения на вертикальные волновые потоки импульса. На рис. 5 показан вертикальный профиль потока импульса $\overline{vw}$ при наличия течения (сплошная кривая) и при его отсутствии (штриховая линия), когда U₀₀ = 0 в нетрадиционном приближении. Присутствие течения заметно усиливает поток импульса. В традиционном приближении поток импульса $\overline{vw}$ равен нулю при отсутствии течения, так как в (33) тогда a₀ = 0. Таким образом, вертикальный поток импульса $\overline{vw}$ не нулевой даже при отсутствии течения в нетрадиционном приближении. Поток импульса $\overline{uw}$ при отсутствии течения практически не отличается от потока при наличии течения.

 

Рис. 1. Дисперсионные кривые первых трех мод.

 

Рис. 2. Профиль вертикального волнового потока импульса $\overline{\mathbf{u}\mathbf{w}}$ с учетом и без учета f_c.

 

Рис. 3. Профили вертикального волнового потока импульса $\overline{\mathbf{vw}}$ с учетом f_c (1) и без его учета (2).

 

Рис. 4. Профили вертикального волнового потока импульса $\overline{\mathbf{vw}}$ в горизонтально-неоднородном (1) и горизонтально-однородном (2) по средней плотности случае.

 

Рис. 5. Зависимость от вертикальной координаты волнового потока импульса $\overline{\mathbf{vw}}$ при наличии течения (1) и при его отсутствии (2).

 

Касаясь влияния f_c на волновой поток $\overline{vw}$ представляет интерес исследовать влияние широты на относительную разность потоков $\overline{vw}$ при учете f_c и при неучете f_c. Пусть ${\overline{vw}}_0$ — вертикальный волновой поток импульса при . Введем величину η по формуле:

$\eta =\frac{\max \left|\overline{vw}\right|-\max \left|\overline{v{w}_0}\right|}{\max \left|\overline{vw}\right|}\cdot 100\%$,

тогда величина η — относительное отличие максимумов модулей потоков $\overline{vw}$ при учете f_c и при неучете f_c. На рис. 6 представлен график зависимости η от широты в горизонтально-неоднородном случае. Величина η достигает максимума в окрестности экватора и монотонно спадает к полюсам, хотя сами потоки стремятся к нулю при приближении к экватору.

 

Рис. 6. Зависимость от широты относительного отклонения максимумов модулей потока $\overline{\mathbf{vw}}$ с учетом f_c и без его учета.

 

4. ВЫВОДЫ

1. Вертикальный волновой поток импульса $\overline{vw}$ у инерционно-гравитационных внутренних волн при наличии сдвигового течения, перпендикулярного направлению распространения волны отличен от нуля.

2. Учет вклада горизонтальной составляющей угловой скорости Земли в силу Кориолиса несколько увеличивает по абсолютной величине волновой поток импульса $\overline{vw}$. Вертикальный волновой поток импульса $\overline{uw}$ практически не изменяется. Дисперсионные кривые также практически не меняются.

3. При приближении к экватору влияние горизонтальной составляющей угловой скорости Земли на волновой поток импульса $\overline{vw}$ усиливается.

4. Учет горизонтальной неоднородности поля средней плотности почти в два раза увеличивает поток импульса $\overline{vw}$.

5. Вертикальный волновой поток импульса $\overline{vw}$ отличен от нуля в нетрадиционном приближении и при отсутствии течения, в то время как в традиционном приближении он тогда нулевой. Однако течение заметно усиливает вертикальный волновой поток импульса $\overline{vw}$ и практически не сказывается на потоке $\overline{uw}$.

Работа выполнена в рамках государственного задания по теме FNNN-2021-0004 «Фундаментальные исследования процессов, определяющих потоки вещества и энергии в морской среде и на ее границах, состояние и эволюцию физической и биогеохимической структуры морских систем в современных условиях» (шифр «Океанологические процессы»).

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Дисперсионное соотношение (30) имеет вид:

${\omega }^2=f^2+\frac{D}{\sqrt{B^2+4D\left(1+\frac{{\pi }^2{n}^2}{l^2{H}^2}\right)}-B}$, (П1)

где n — номер моды, D = 4f²(f_c + U₀₀)², $B=2\left(N^2+f_c{U}_{00}+f_c^2-f^2\right)$.

Покажем, что при U₀₀ → 0, f_c → 0 дисперсионное соотношение (П1) переходит в известное соотношение для однородной стратификации (31). Вынесем в знаменателе дроби в (П1) величину  за скобки:

${\omega }^2=f^2+\frac{D}{B\left[\sqrt{1+4\frac{D}{B^2}\left(1+\frac{{\pi }^2{n}^2}{l^2{H}^2}\right)}-1\right]}$. (П2)

Введем безразмерный параметр α:

$\alpha =4\frac{D}{B^2}\left(1+\frac{{\pi }^2{n}^2}{l^2{H}^2}\right)=\left(1+\frac{{\pi }^2{n}^2}{l^2{H}^2}\right)\cdot \frac{4f^2{\left(f_c+U_{00}\right)}^2}{{\left(N^2+f_c{U}_{00}+{f_c}^2-f^2\right)}^2}$. (П3)

Тогда дисперсионное соотношение (П3) приобретает вид:

${\omega }^2=f^2+\frac{D}{B\left[\sqrt{1+\alpha }-1\right]}$. (П4)

При U₀₀ → 0, f_c → 0 параметр α стремится к нулю и справедливо разложение с точностью до членов первого порядка по α:

$\sqrt{1+\alpha }\approx 1+\frac{\alpha }{2}$. (П5)

Подставляя (П5) в (П4) получаем:

${\omega }^2=f^2+\frac{2D}{\alpha B}$. (П6)

Подставим α в (П6):

${\omega }^2=f^2+\frac{D}{\frac{2BD}{B^2}\left(1+\frac{{\pi }^2{n}^2}{l^2{H}^2}\right)}=f^2+\frac{B}{2\left(1+\frac{{\pi }^2{n}^2}{l^2{H}^2}\right)}$. (П7)

Подставим B в (П7):

${\omega }^2=f^2+\frac{2\left(N^2+f_c{U}_{00}+{f_c}^2-f^2\right)}{2\left(1+\frac{{\pi }^2{n}^2}{l^2{H}^2}\right)}$. (П8)

Сделаем в (П8) предельный переход U₀₀ → 0, f_c → 0, получим:

${\omega }^2=f^2+\frac{N^2-f^2}{1+\frac{{\pi }^2{n}^2}{l^2{H}^2}}=\frac{N^2+\frac{{\pi }^2{n}^2}{l^2{H}^2}{f}^2}{1+\frac{{\pi }^2{n}^2}{l^2{H}^2}}=\frac{N^2{l}^2+\frac{{\pi }^2{n}^2}{H^2}{f}^2}{l^2+\frac{{\pi }^2{n}^2}{H^2}}$. (П9)

Получено дисперсионное соотношение (31) для однородной стратификации.

About the authors

A. A. Slepyshev

Marine Hydrophysical Institute of the RAS

Author for correspondence.
Email: slep55@mail.ru
Russian Federation, 2, Kapitanskaya St., Sevastopol, 299011

M. A. Schadt

Sevastopol Branch of Lomonosov Moscow State University

Email: slep55@mail.ru
Russian Federation, 7, Geroi Sevastopolya St., Sevastopol, 299001

References

Supplementary files