Forecasting the resource of console-fixed parts during wear with account of permissible stresses

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Ряд деталей рабочих органов технических средств, предназначенных для эксплуатации в абразивных средах (металлургическое производство, грунто- и почвообрабатывающая техника) [1, 2, 3] имеют консольное крепление, например, зубья ковшей экскаваторов, ножи скоростных плугов, долота глубокорыхлителей [4, 5]. В процессе их использования вследствие изнашивания утрачиваются нормативные размеры и нередко происходит излом, что приводит к остановке агрегата, т. е. в данном случае ресурс таких конструктивных элементов во многом определяется допускаемыми в них изгибными напряжениями с учетом интенсивности их изнашивания. Однако существующие теоретические методы прогнозирования времени работы детали до ее предельного работоспособного состояния при решении подобных задач не учитывают параметров прочности и факторов процесса изнашивания в комплексе.

ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ

Цель исследования заключается в получении математического выражения, определяющего ресурс детали при ее износе с учетом допускаемых напряжений.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

За расчетную схему принимается балка (брус) длиной , защемленная на одном из своих концов и свободная на другом (балка – консоль) – (рис. 1,a).

 

Рис 1. Расчетная схема (a) и профиль поперечного сечения (b). / Fig 1. Design scheme (a) and cross-sectional profile (b).

 

К балке приложена произвольная нагрузка $q=q\left(x\right) (0\le x\le l)$ , представляющая собой силу, отнесенную к единице длины балки (ее размерность $H/\text{м}$). Сечение балки в любом ее сечении представляет собой прямоугольник шириной $b$ и высотой $h$ (рис. 1,b), что соответствует геометрии реальных деталей. Если $p\left(x\right)$ ($H/{\text{м}}^{\text{2}}$) – давление на поверхность балки, к которой приложена нагрузка $q\left(x\right)$, то

$q\left(x\right)=b\cdot p\left(x\right) (0\le x\le l)$.

Схема, изображенная на рис. 1, предполагает неравномерность давления $p\left(x\right)$ на брус по его длине. Значит, и износ бруса (изменение его толщины $h$) может быть неравномерным: где больше давление, там больше износ.

Полагая, что износ бруса в любом его сечении $x$ пропорционален давлению $p\left(x\right)$ в этом сечении, получим следующее выражение для интенсивности  изнашивания бруса:

$с=k\cdot p\left(x\right) (м/\text{с}) (0\le x\le l)$.

Здесь $k$ – коэффициент пропорциональности, регламентируемый износостойкостью материала бруса. Он определялся опытным путем или использованием суммы накопленных на практике данных.

Если $h_0$ – первоначальная толщина бруса (в момент времени $t=0$), то его толщина $h$ в произвольный момент времени $t>0$ будет выражаться формулой:

$h=h\left(x\text{;\hspace{0.17em}}t\right)=h_0-ct=h_0-k\cdot p\left(x\right)\cdot t (t\ge 0;0\le x\le l)$. (1)

Естественно, имеет смысл рассматривать лишь те значения времени $t$, при которых $h>0$ в любом сечении бруса:

$h_{\min }>0\Rightarrow h_0-k\cdot {\left[p\left(x\right)\right]}_{\max }\cdot t>0\Rightarrow 0\le t<\frac{h_0}{k\cdot {\left[p\left(x\right)\right]}_{\max }}$. (2)

Ширину бруса $b$ полагаем постоянной по времени (т. к. изнашивание бруса будет, очевидно, происходить лишь по его толщине). Износ же по ширине если и будет присутствовать, то его величина столь мала, что ею можно пренебречь. Следует отметить, что изгибные напряжения, возникающие в любом его сечении $x$ не зависят от ширины бруса. Это связано с тем, что при изменении ширины бруса $b$ пропорционально этому изменению будет меняться и нагрузка $q\left(x\right)=b\cdot p\left(x\right)$ на консоль по ее длине. Кроме того, практический опыт использования деталей консольного крепления показал на малозначительный износ по их ширине [6]. Как показано ниже, ширина $b$ бруса в итоговых формулах не фигурирует.

Будем далее считать, что нагрузка $q\left(x\right)$ на брус меняется линейно по длине бруса:

$q\left(x\right)=p\left(x\right)\cdot b=b\left[p_0+\left(p_1-p_0\right)\frac{x}{l}\right] (0\le x\le l)$. (3)

Здесь $p_0$ – давление на брус в месте его защемления, а $p_1$ – на свободном конце бруса.

Момент инерции $J$ прямоугольного сечения изгибаемого бруса выражается известной формулой [7]:

$J=J\left(x\text{;\hspace{0.17em}}t\right)=\frac{b{h}^3}{12}$,

где толщина $h$ бруса выражается формулой (1).

Момент сопротивления $W$ сечений бруса изгибу бруса определяется не менее известной формулой [7]:

$W=W\left(x\text{;\hspace{0.17em}}t\right)=\frac{b{h}^2}{6}$. (4)

При изгибе бруса на его выпуклой (согласно рис. 1 – на нижней поверхности) в его сечениях $x$ возникают растягивающие напряжения $\sigma \left(x\right)$, величина которых является определяющей при расчете бруса на прочность. Как известно из [7],

$\sigma \left(x\right)=\frac{M\left(x\right)}{W\left(x;t\right)}$, (5)

где $M\left(x\right)$ – изгибающий момент, возникающий в сечении $x$.

Подсчитаем величину этого момента. Его создает нагрузка $q\left(x\right)$, приложенная к брусу правее сечения $x$, т. е. на его участке $(x\le t\le l)$. Так как $dF=q\left(t\right)dt$ – сила, приложенная к брусу на его участке $\left[t;t+dt\right]$, а плечо этой силы равно $t-x$, то

$dM\left(x\right)=(t-x)q\left(t\right)dt$,

где $dM\left(x\right)$ – момент силы $dF$ относительно сечения $x$. А полный момент $M\left(x\right)$ в сечении $x$ найдем суммированием моментов $dM\left(x\right)$ в сечении на участке $x\le t\le l$:

$M\left(x\right)=\sum dM\left(x\right)=\sum \left(t-x\right)q\left(t\right)dt={\int }_x^l\left(t-x\right)q\left(t\right)dt$.

Учитывая выражение (3), получим:

$M\left(x\right)=b\cdot {\int }_x^l\left(t-x\right)\left[p_0+\left(p_1-p_0\right)\frac{t}{l}\right]dt=\frac{b}{6}\left[\left(p_0+2p_1\right)+\left(p_1-p_0\right)\frac{x}{l}\right]\cdot {\left(l-x\right)}^2\left(0\le x\le l\right).$. (6)

Используя выражения (4) и (6), получим, согласно (5):

$\sigma \left(x\right)=\frac{1}{h^2}\left[\left(p_0+2p_1\right)+\left(p_1-p_0\right)\frac{x}{l}\right]\cdot {\left(l-x\right)}^2$.

А так как, согласно (1) и (3),

$h=h_0-k\left[p_0+\left(p_1-p_0\right)\frac{x}{l}\right]\cdot t$,

то $\sigma \left(x\right)$ принимает следующий окончательный вид:

$\sigma =\sigma \left(x\text{;\hspace{0.17em}}t\right)=\frac{\left[\left(p_0+2p_1\right)+\left(p_1-p_0\right)\frac{x}{l}\right]\cdot {\left(l-x\right)}^2}{{\left[h_0-k\left[p_0+\left(p_1-p_0\right)\frac{x}{l}\right]\cdot t\right]}^2}=\left(t\ge 0\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}0\le x\le l\right).$.

Свое максимальное значение ${\sigma }_{\max }$ напряжение $\sigma \left(x\text{;\hspace{0.17em}}t\right)$ принимает, очевидно, в месте защемления бруса, то есть при $x=0$:

${\sigma }_{\max }=\sigma \left(0\text{;\hspace{0.17em}}t\right)=\frac{\left(p_0+2p_1\right)l^2}{{\left(h_0-k\cdot p_0\cdot t\right)}^2}(t\ge 0)$. (7)

Чтобы брус сохранял свою работоспособность, должно выполняться условие:

$\sigma \left(0\text{;\hspace{0.17em}}t\right)\le \left[\sigma \right]$, (8)

где $\left[\sigma \right]$ – максимально допустимое (с учетом запаса прочности) разрывное растягивающее напряжение, которое допустимо в металле изгибаемого бруса. Оно зависит от марки металла и должно быть задано. С учетом (7) неравенство (8) принимает вид:

$\frac{\left(p_0+2p_1\right)l^2}{{\left(h_0-k\cdot p_0\cdot t\right)}^2}\le \left[\sigma \right]\Rightarrow 0\le t\le \left(\frac{h_0}{l}-\sqrt{\frac{p_0+2p_1}{\left[\sigma \right]}}\right)\cdot \frac{l}{k\cdot p_0}$. (9)

Тогда ресурс детали, выраженный временем ее эксплуатации, будет определяться следующим выражением:

$t_{*}=\left(\frac{h_0}{l}-\sqrt{\frac{p_0+2p_1}{\left[\sigma \right]}}\right)\cdot \frac{l}{k\cdot p_0}$.

Это максимальный временной ресурс, при котором брус сохранит свою работоспособность в самом опасном своем месте – в месте защемления.

При этом нужно иметь в виду, что при возрастании нагрузки $q\left(x\right)$ к свободному концу бруса (при $p_1>p_0$) до момента времени $t_{*}$ может полностью износиться свободный конец бруса. А это разрушит брус. Поэтому нужно учитывать еще условие (2) того, что это не случится. А так как при этом ${\left[p\left(x\right)\right]}_{\max }=p_1$, то наряду с условием (9) должно выполняться условие:

$0\le t\le \frac{h_0}{k\cdot p_1}$. (10)

И только в течение времени $t$, удовлетворяющего обоим неравенствам (9) и (10), изгибаемый и одновременно изнашивающийся брус сохранит свою работоспособность.

ВЫВОДЫ

1. Теоретически получено математическое выражение, позволяющее спрогнозировать ресурс консольно-закрепленных деталей при их изнашивании с учетом допускаемых напряжений и коэффициента, определяющего стойкость детали к изнашиванию.
2. Определены условия, выражающиеся двумя неравенствами, при выполнении которых деталь сохранит свою работоспособность.

ДОПОЛНИТЕЛЬНО

Вклад авторов. Наибольший вклад распределен следующим образом: А.М. Михальченков — разработка идеи, написание статьи; В.Ф. Комогорцев — математическое обеспечение; И.В Козарез — обзор имеющейся информации, корректировка текста статьи; А.В. Дьяченко — подготовка и отправка материалов, обзор литературы, сбор и анализ литературных источников; М.А. Михальченкова — обзор литературы, редактирование статьи.

Конфликт интересов. Авторы декларируют отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с публикацией настоящей статьи.

Источник финансирования. Авторы заявляют об отсутствии внешнего финансирования при проведении исследования.

ADDITIONAL INFORMATION

Author contribution. A.M. Mikhalchenkov developed the research idea, wrote the manuscript. B.F. Komogortsev designed the mathematical support. I.V. Kozarez contributed to analysis of research topic information, edited the manuscript. A.V. Dyachenko contributed to publications review, collection and analysis of the published literature, prepared the materials for publication. M.A. Mikhalchenkova contributed to the research literature review and edition of the manuscript.

Competing interests. The authors declare no any transparent and potential conflict of interests in relation to this article publication.

Funding source. Authors state that this research was not supported by any external sources of funding.

About the authors

Alexander M. Mikhalchenkov

Bryansk State Agrarian University

Author for correspondence.
Email: mihalchenkov.alexandr@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-3104-2548
SPIN-code: 6994-7550

Ptofessor DSc in Engineering

Russian Federation, 2a, Sovetskaya street, Kokino, Vygonichsky District of Bryansk Oblast, 243365

Vladimir F. Komogortsev

Bryansk State Agrarian University

Email: komvf@inbox.ru
ORCID iD: 0000-0003-4134-366X
SPIN-code: 8972-7320

Candidate in Physics and Mathematic, Associate Professor

Russian Federation, 2a, Sovetskaya street, Kokino, Vygonichsky District of Bryansk Oblast, 243365

Irina V. Kozarez

Bryansk State Agrarian University

Email: ikozarez@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-1702-2364
SPIN-code: 2673-3256

Candidate in Engineering, Associate Professor

Russian Federation, 2a, Sovetskaya street, Kokino, Vygonichsky District of Bryansk Oblast, 243365

Anton V. Dyachenko

Bryansk State Agrarian University

Email: avdyachenkoo@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-5631-3979
SPIN-code: 9509-0997

Candidate in Engineering, Associate Professor

Russian Federation, 2a, Sovetskaya street, Kokino, Vygonichsky District of Bryansk Oblast, 243365

Marina A. Mikhalchenkova

Bryansk Institute of Management and Business

Email: mihalchenkov.alexandr@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-6527-9933
SPIN-code: 7862-2899

Master in Economics, Senior Lecturer

Russian Federation, Bryansk

References

Supplementary files