Calculation of normal stiffness and contact patch of ultra-low pressure tires for agricultural machinery

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Шины транспортных средств по различному воздействуют на твердую и деформируемую опорные поверхности. Их воздействие на твердую опорную поверхность [1–3] определяет их контактные сцепные и геометрические характеристики. Эти характеристики влияют на безопасность движения транспортного средства (устойчивость, управляемость, тормозные свойства).

Воздействие шин на деформируемую опорную поверхность [4–6] определяет не только возможности машины по передвижению, но и давление на грунт через геометрические характеристики пятен контакта. Давление на грунт нормируется и ограничивается условиями сохранности его агрофизических свойств.

Поэтому, при создании машин различного назначения для передвижения по деформируемым опорным поверхностям или их прицепов требуется в процессе проектирования рассчитывать давление на грунт. Как известно, этот параметр связан не только с нормальной нагрузкой на колесо, но и с контурной площадью пятна контакта шины [7–10]. Чем эта площадь больше, тем ниже давление на грунт. Контурная площадь определяется упругими свойствами шины, а именно, нормальной жесткостью. Для увеличения контурной площади при сохранении прочностных свойств и долговечности шин применяют шины сверхнизкого давления [11, 12]. Для определения длин и контурных площадей пятен контакта при проектном моделировании машины требуются расчетные зависимости. Такие зависимости существуют для легковых и грузовых шин обычного назначения [13–15]. Упругие свойства шин обычных и сверхнизкого давления изучались в работах [16–22]. Однако, на сегодняшний день отсутствуют универсальные зависимости для расчета указанных параметров шин сверхнизкого давления. Это относится и к вертикальному, и к наклонному расположению шин.

ЦЕЛЬ

Целью данного исследования является разработка и реализация универсальных методик расчета нормальной жесткости и параметров пятен контакта шин сверхнизкого давления для сельскохозяйственной техники.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

С участием авторов проведено экспериментальное определение упругих свойств шин сверхнизкого давления. Теоретическое исследование основано на результатах этих экспериментов. Были измерены 7 шин сверхнизкого давления, фотографии которых показаны на рис. 1.

 

Рис. 1. Фотографии исследуемых шин.

Fig. 1. Photographs of the studied tires.

 

Под общим руководством чл.-корр. РАН З.А. Годжаева на экспериментальном стенде определялись нагрузочные характеристики этих шин при разных значениях внутреннего давления. Эти зависимости между нагрузкой и деформацией имели вид пар экспериментальных точек ( $P_z$; Z ) при каждом значении давления.

С помощью программного продукта Curve Expert Professional измеренные нагрузочные характеристики были аппроксимированы, и построены расчетно-экспериментальные зависимости вида   для каждого значения давления в шине. Для примера, полученные зависимости представлены на рис. 2 в графическом виде.

 

Рис. 2. Расчетно-экспериментальные нагрузочные характеристики шины 1300х600-533: 1 – р =20 кПа; 2 – р =30 кПа; 3 – р =60 кПа; 4 – р =70 кПа.

Fig. 2. Analytical-experimental load characteristics for the 1300х600-533 tire: 1 – р =20 kPа; 2 – р =30 kPа; 3 – р =60 kPа; 4 – р =70 kPа.

 

Авторами разработана методика построения универсальной расчетно-экспериментальной зависимости для определения нормальной жесткости произвольной шины сверхнизкого давления. В основе методики лежат исходные экспериментальные нагрузочные характеристикам $P_z=f\left(Z\right)$  различных шин сверхнизкого давления. Суть предлагаемой методики можно охарактеризовать следующими этапами:

1. Аппроксимация для каждой опытной шины сверхнизкого давления экспериментальных нагрузочных характеристик $P_z=f\left(Z\right)$ функциями одинакового вида $P_z=a_i\cdot Z^{b_i}$ для каждого давления  $p_i$ в данной шине. Здесь  $a_i$, $b_i$  – постоянные коэффициенты.
2. Аппроксимация зависимости полученных коэффициентов $a$ и $b$ от давления в шине   для каждой исследуемой шины сверхнизкого давления. В результате получаем дополнительные функции:

$a=f\left(p\right)$ и  $b=f\left(p\right)$.

Они имеют вид:

$a=k_1\cdot p$;  $b\approx \text{const}$.

В итоге для каждой шины сверхнизкого давления получены выражения:

$P_z=a\cdot Z^b$ или  $P_z=k_1\cdot p\cdot Z^b$.

3. По определению, коэффициент нормальной жесткость шины (нормальная жесткость) – есть первая производная от нормальной нагрузки колеса по нормальному прогибу шины. Поэтому, необходимо дифференцирование полученной формулы нормальной нагрузки по нормальному прогибу. Оно позволяет получить выражение для нормальной жесткости каждой шины сверхнизкого давления:

$C_{tz}=\frac{\partial P_z}{\partial Z}=\frac{\partial (a\cdot Z^b)}{\partial Z}=a\cdot b\cdot Z^{b-1}=k_1\cdot p\cdot b\cdot Z^{b-1}$.

Вводя новые обозначения  $k_0=k_1\cdot b$;  $d=b-1$ получим выражение:

$C_{tz}=k_0\cdot p\cdot Z^d$. (1)

Пример расчета нормальной жесткости показан на рис. 3 в графическом виде.

 

Рис. 3. Нормальная жесткость шины 1300х600-533: 1 – р =20 кПа; 2 – р =30 кПа; 3 – р =60 кПа; 4 – р =70 кПа.

Fig. 3. Normal stiffness for the 1300х600-533 tire: 1 – р =20 kPа; 2 – р =30 kPа; 3 – р =60 kPа; 4 – р =70 kPа.

 

4. Избавление от неизвестной величины $Z$ в правой части уравнения (1) для каждой шины сверхнизкого давления:

$C_{tz}=k_0\cdot p\cdot Z^d$;  $C_{tz}=k_0\cdot p\cdot {\left(\frac{P_z}{C_{tz}}\right)}^d$;

${C_{tz}}^1={\frac{k_0\cdot p\cdot P_z}{{C_{tz}}^d}}^d$;  ${C_{tz}}^{(1+d)}=k_0\cdot p\cdot {P_z}^d$;  $C_{tz}={k_0}^{\frac{1}{1+d}}\cdot p^{\frac{1}{1+d}}\cdot {P_z}^{\frac{d}{1+d}}$.

Обозначим

$k={k_0}^{\frac{1}{1+d}}={(k_1\cdot b)}^{\frac{1}{1+(b-1)}}={(k_1\cdot b)}^{\frac{1}{b}}$;  $n_1=\frac{1}{1+d}=\frac{1}{b}$;  $n_2=\frac{d}{1+d}=\frac{b-1}{b}$.

В результате выражение (1) примет общий вид:

$C_{tz}=k\cdot p^{n_1}\cdot {P_z}^{n_2}$. (2)

где  $p_{}$ – давления в шине;  $P_z$ – нормальная нагрузка на шину;  $k,n_1,n_2$ – постоянные коэффициенты, характеризующие конструкцию данной шины.

Таким образом, удалось избавиться от неизвестной величины нормального прогиба  $Z$ в формуле (1) для расчета коэффициента нормальной жесткости. Теперь в этом выражении присутствуют условия: давление в шине $p$ , нормальная нагрузка на шину $P_z$  и постоянные коэффициенты  $k,n_1,n_2$, характеризующие конструкцию данной шины.

В табл. 1 приведены расчетные постоянные коэффициенты для 7 моделей шин сверхнизкого давления.

 

Таблица 1. Постоянные коэффициенты уравнения (2)

Table 1. Constant coefficients of the equation (2)

Полученные постоянные коэффициенты	№ шины
	1	2	3	4	5	6	7
$k_1$	0,829	0,738	0,650	0,675	0,642	0,695	1,152
$b$	1,358	1,263	1,420	1,380	1,302	1,336	1,282
$k_0$	1,126	0,934	0,923	0,931	0,836	0,929	1,476
$d$	0,358	0,263	0,420	0,380	0,302	0,336	0,282
$k$	1,091	0,947	0,945	0,949	0,871	0,946	1,255
$n_1$	0,736	0,792	0,704	0,725	0,768	0,749	0,780
$n_2$	0,264	0,208	0,296	0,275	0,232	0,251	0,220

5. Получение универсальной расчетно-экспериментальной зависимости для нормальной жесткости шины сверхнизкого давления.

В табл. 2 приведены геометрические характеристики, рассматриваемых шин сверхнизкого давления, и полученные постоянные коэффициенты уравнения (2) для расчета нормальной жесткости.

 

Таблица 2. Характеристики шины и полученные коэффициенты

Table 2. Tire properties and obtained coefficients

№ Шины	Характеристики шины				Полученные коэффициенты
	$\left[P_z\right]$, H	$D_0$, мм	$H_t$, мм	$B_t$, мм	$\frac{H_t}{B_t}$	$k$	$n_1$	$n_2$
1	4000	1300	380	530	0,717	1,091	0,736	0,264
2	6000	1300	380	600	0,633	0,947	0,792	0,208
3	8000	1300	345	700	0,493	0,945	0,704	0,296
4	8000	1300	345	700	0,493	0,949	0,725	0,275
5	6000	1200	330	600	0,550	0,871	0,768	0,232
6	8000	1300	345	700	0,493	0,946	0,749	0,251
7	8000	1300	345	700	0,493	1,255	0,780	0,220

 

Анализ соответствия полученных постоянных коэффициентов  $k,n_1,n_2$ разным характеристикам шин выявил взаимосвязи вида:

$n_1=f\left(\frac{H_t}{B_t}\right)$; $n_1=f\left(\frac{H_t}{B_t}\right)$ ;  $n_2=f\left(\frac{H_t}{B_t}\right)$,

где $H_t$  – высота профиля шины в мм; $B_t$  – ширина профиля шины в мм.

Аппроксимация указанных зависимостей позволила получить следующую систему универсальных коэффициентов:

$\left\{\begin{array}{l}k=\mathrm{6,1}+\mathrm{17,4}\cdot \frac{H_t}{B_t}-\mathrm{14,6}{\left(\frac{H_t}{B_t}\right)}^2;\\ n_1=-\mathrm{0,67}+\mathrm{4,82}\cdot \frac{H_t}{B_t}-4{\left(\frac{H_t}{B_t}\right)}^2;\\ n_2=\mathrm{1,65}+\mathrm{4,764}\cdot \frac{H_t}{B_t}-\mathrm{3,94}{\left(\frac{H_t}{B_t}\right)}^2.\end{array}\right.$ (3)

На рис. 4 представлены результаты расчета значений безразмерных коэффициентов $k,n_1,n_2$ по выражениям (3) в графическом виде. Точки показывают значения соответствующих коэффициентов для разных шин из табл. 2.

 

Рис. 4. Коэффициенты для расчета нормальной жесткости шин сверхнизкого давления: линии – расчет по зависимостям (3); точки – эксперимент.

Fig. 4. Coefficients for calculation of normal stiffness of ultra-low pressure tires: lines – values calculated with the formulae (3); points – experimental values.

 

По результатам расчета коэффициентов $k,n_1,n_2$ для шины с заданным соотношением  $\frac{H_t}{B_t}$ появляется возможность вычисления нормальной жесткости шины сверхнизкого давления по выражению (2):

$C_{tz}=k\cdot p^{n_1}\cdot {P_z}^{n_2}$.

Реализация разработанной математической модели выполнялась в средах MatLab и Excel.

Формулы (2) и (3) относятся к случаю вертикального расположения главной плоскости колеса. При его наклонном расположении требуется корректировка уравнения (2):

$C_{t{z}_{\alpha \ne 0}}^{}=K_{\alpha \text{z}}\cdot C_{tz}^{}$, (4)

где  $C_{t{z}_{\alpha \ne 0}}^{}$ – коэффициент нормальной жесткости при наклонном расположении;  $\alpha$ – угол наклона оси вращения колеса; $K_{\alpha \text{z}}$  – коэффициента коррекции нормальной жесткости шины.

Для расчета $K_{\alpha \text{z}}$  авторами получена приближенная зависимость

$K_{\alpha z}\approx 1-\mathrm{0,052}\alpha \text{+0,00026}{\alpha }^2+\text{0,00044}{\alpha }^3-\text{0,00005}{\alpha }^4$. (5)

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ

Таким образом, получены расчетно-экспериментальные выражения (2) и (3) для определения нормальной жесткости шин сверхнизкого давления. Формулы (2) и (3) являются универсальными для всех шин сверхнизкого давления. Они учитывают давление в шине, нормальную нагрузку на нее в конкретных условиях и ее геометрические характеристики: высоту и ширину профиля. Полученные коэффициенты  $k,n_1,n_2$ являются функциями отношения геометрических характеристик профиля $\left(H_t/B_t\right)$ . Зависимостей указанных коэффициентов от других геометрических параметров шины не выявлено. Коэффициенты  $k,n_1,n_2$ можно вычислить по выражению (3).

По значению нормальной жесткости можно рассчитать нормальную деформацию и геометрические характеристики пятна контакта шины сверхнизкого давления с грунтом, а также давление на грунт.

$Z=\frac{P_z}{C_{tz}}$, (6)

где $Z$  – нормальная деформация (прогиб);  $P_z$ – нормальная нагрузка.

Длину пятна контакта можно вычислить согласно работе [13] по следующей формуле

$l_c=2\cdot k_l\sqrt{Z\cdot \left(2R_0-Z\right)}$, (7)

где  $k_l$ – экспериментальный коэффициент уменьшения длины пятна контакта, рассчитанный по формуле Хедэкеля ($k_l\approx \mathrm{0,7}$ ).

Формула (7) справедлива при паспортном давлении в шине или отличающемся от него не более чем на 20%.

Контурную площадь пятна контакта шин больших размеров с грунтовым основанием можно приближенно вычислить по полученной авторами зависимости от паспортной нагрузки по выражению

$F_c\approx K\left(a\cdot P_z+b\cdot {P_z}^2\right)$, (8)

где $K$  – коэффициент учета грунтового основания, зависящий от наружного диаметра шины колеса (табл. 3);  $a$ = 0,335;  $b$ = -0,0000645;  $P_z$ – нормальная нагрузка в кГс (0,1Н);  $F_c$ – контурная площадь пятна контакта в см² (0,0001 м²).

Давление на грунт

$p_c=\frac{P_z}{F_c}$. (9)

Воспользовавшись формулами (6), (8) и (9) можно рассчитать давление на грунт. Оно не должно превышать нормируемого значения, ограничиваемого условиями сохранности агрофизических свойств грунта. В случае превышения указанного значения, требуется выбирать шину с меньшей нормальной жесткостью.

ВЫВОДЫ

1. Разработана и реализована методика расчета нормальной жесткости и параметров пятна контакта для шин сверхнизкого давления: длины контакта, контурной площади и давления в контакте. Методика является универсальной для всех шин сверхнизкого давления.
2. Получена расчетно-экспериментальная зависимость для определения нормальной жесткости шин сверхнизкого давления, в том числе, при возможном наклоне оси вращения колеса. Зависимость учитывает давление в шине, нормальную нагрузку на колесо, угол наклона оси вращения и геометрические характеристики шины: высоту и ширину профиля. В полученном выражении три безразмерных коэффициента являются функциями отношения высоты и ширины профиля шины.
3. Получена универсальная расчетно-экспериментальная зависимость для определения контурной площади пятна контакта шины сверхнизкого давления. Зависимость позволяет рассчитывать текущее давление на грунт, которое не должно превышать нормируемой величины.

ДОПОЛНИТЕЛЬНО

Вклад авторов. Е.В. Балакина — разработка концепции, разработка теоретической методики, общее руководство теоретическими исследованиями, подготовка статьи; З.А. Годжаев — разработка концепции, разработка экспериментальной методики, общее руководство экспериментальными исследованиями, подготовка статьи; А.А. Коньшин — обработка результатов экспериментов, теоретические расчеты, подготовка статьи; М.С. Кочетов — участие в получении формулы (5), библиографический поиск, подготовка статьи. Авторы подтверждают соответствие своего авторства международным критериям ICMJE (все авторы внесли существенный вклад в разработку концепции, проведение исследования и подготовку статьи, прочли и одобрили финальную версию перед публикацией).

Конфликт интересов. Авторы декларируют отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов.

Источники финансирования. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-21-00004, https://rscf.ru/project/23-21-00004/.

ADDITIONAL INFORMATION

Authors contribution. E.V. Balakina — concept development, development of a theoretical methodology, general management of theoretical research, writing the text of the manuscript; Z.A. Godzhaev — concept development, development of an experimental methodology, general management of experimental studies, writing the text of the manuscript; A.A. Konshin — processing of experimental results, theoretical calculations, writing the text of the manuscript; M.S. Kochetov — participation in obtaining the formula (5), search for publications, writing the text of the manuscript. All authors made a substantial contribution to the conception of the work, acquisition, analysis, interpretation of data for the work, drafting and revising the work, final approval of the version to be published and agree to be accountable for all aspects of the work.

Competing interests. The authors declare the absence of obvious and potential conflicts of interest.

Funding source. The study was supported by the grant from the Russian Science Foundation № 23-21-00004, https://rscf.ru/en/project/23-21-00004/.

About the authors

Ekaterina V. Balakina

Volgograd State Technical University

Author for correspondence.
Email: fahrgestell@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-5152-9340
SPIN-code: 2595-2802

Professor of the Technical Operation and Maintenance of Vehicles Department

Russian Federation, Volgograd

Zahid A. Godzhaev

Federal Scientific Institution Agroengineering Center VIM

Email: fic51@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1665-3730
SPIN-code: 1892-8405

Corresponding Member of the Russian Academy of Sciences, Dr. Sci. (Tech.), Deputy Director for Innovational and Implemental Activities

Russian Federation, Moscow

Alexander A. Konshin

Volgograd State Technical University

Email: alex.tiger.vd.1999@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-7786-5913
SPIN-code: 3503-9285

postgraduate student of the Technical Operation and Maintenance of Vehicles Department

Russian Federation, Volgograd

Mikhail S. Kochetov

Volgograd State Technical University

Email: kochetov_m.s.1995@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-2527-6890
SPIN-code: 9405-4356

Researcher of the Technical Operation and Maintenance of Vehicles Department

Russian Federation, Volgograd

References

Supplementary files