The mathematical model of turning kinematics of a two-section active road train with real and ideal control systems of semitrailer wheels turning

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Транспортировка грузов в труднодоступные места является актуальной проблемой в современном мире [1]. В существующей инженерной инфраструктуре эксплуатируемых объектов строительства и обслуживания возникают новые задачи транспортировки неделимых грузов, что обязывает перерабатывать траекторию движения автотранспортных средств и пересматривать ограничения по их грузоподъемности [2-4].

Под поворотливостью двухзвенного активного автопоезда понимается его способность к совершению поворота при движении тягача строго по осевой линии дороги. В работе [1] была представлена математическая модель кинематики поворота сверхтяжелого автопоезда, которая в дальнейшем была использована для оценки влияния различных конструктивных параметров полуприцепов и систем управления поворотом их колес на поворотливость двухзвенного активного автопоезда.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Математическое модель описывает движение реального объекта, но степень его идеализации не всегда очевидна. Одним из значимых недостатков существующих математических моделей кинематики поворота строительной техники является отсутствие в них аппаратов определения величины смещения траектории полуприцепа относительно траектории тягача непосредственно в процессе решения задачи.

Устранение этого недостатка является целью настоящего исследования.

Для определения уровня конструкции автотранспортного средства необходимо провести параметрическую декомпозицию [5] и определить требуемые характеристики, критерии и параметры конструкции, которые требуется проанализировать.

Возможность проведения конструктивной доработки для серийной или унифицированной техники [6] не рассматривается.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Решение задачи непосредственного определения величины смещения траектории полуприцепа будем искать на основе сравнения результатов расчетов криволинейного движения автопоезда с реальной и идеальной системами управления поворотом колес полуприцепа.

Под реальной, в данной работе, понимается система, осуществляющая поворот колес в зависимости от угла складывания между тягачом и полуприцепом, а под идеальной – система поворота, которая обеспечивает движение полуприцепа точно по траектории тягача. Работа идеальной системы без учета эксплуатации узлов в агрессивных средах с повышенным износом рассмотрена в работах [1, 7].

В работе [8] рассмотрена проблема отсутствия алгоритма построения движения спецтехники. Разработка движения двухзвенного активного автопоезда с идеальной системой управления поворотом колес полуприцепа позволяет, кроме поставленной задачи, наметить основные принципы создания опытного образца такой системы.

Условие совпадения траекторий опорных точек тягача и полуприцепа (определения опорных точек даны в работе [9]) может быть представлено следующим образом:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{dx{}_{\text{т}}(t-\tau )}{dt}=\frac{d{x}_{\text{п}}}{dt};\\ \frac{dy{}_{\text{т}}(t-\tau )}{dt}=\frac{d{y}_{\text{п}}}{dt};\end{array}\right.$ (1)

где $x_{\text{т}}(t-\tau )$, $y_{\text{т}}(t-\tau )$ – координаты опорной точки тягача в момент времени $t-\tau$, $\tau$ – время необходимое полуприцепу для того, чтобы координаты его опорной точки $x_{\text{п}}\left(t\right)$, $y_{\text{п}}\left(t\right)$ совпали с $x_{\text{т}}(t-\tau )$, $y_{\text{т}}(t-\tau )$.

Левые части уравнений, входящих в систему (1), могут быть преобразованы следующим образом:

$\frac{dx{}_{\text{т}}(t-\tau )}{dt}=\frac{d{x}_{\text{т}}(t-\tau )}{dt-d\tau }\cdot \frac{d(t-\tau )}{dt}=\frac{d{x}_{\text{т}}(t-\tau )}{d(t-\tau )}\cdot (1-\dot{\tau })$,

$\frac{dy{}_{\text{т}}(t-\tau )}{dt}=\frac{d{y}_{\text{т}}(t-\tau )}{dt-d\tau }\cdot \frac{d(t-\tau )}{dt}=\frac{d{y}_{\text{т}}(t-\tau )}{d(t-\tau )}\cdot (1-\dot{\tau })$.

С учетом этих преобразований условие (1) можно записать в виде:

$\left\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_{\text{т}}(t-\tau )\cdot (1-\dot{\tau })={\dot{x}}_{\text{п}}\left(t\right);\\ {\dot{y}}_{\text{т}}(t-\tau )\cdot (1-\dot{\tau })={\dot{y}}_{\text{п}}\left(t\right).\end{array}\right.$ (2)

Таким образом имеем 2 уравнения и 3 неизвестных ${\dot{x}}_{\text{п}}$, ${\dot{y}}_{\text{п}}$, $\dot{\tau }$.

Возводя уравнения (2) в квадрат и складывая их, получим:

${\upsilon }_{{\text{т}}_{t-\tau }}\cdot (1-\dot{\tau })={{\upsilon }_{\text{п}}}_t$, (3)

где ${\upsilon }_{{\text{т}}_{t-\tau }}$ – скорость тягача в момент времени $t-\tau$; ${{\upsilon }_{\text{п}}}_t$ – скорость центра приведенного колеса полуприцепа в момент времени $t$.

Если принять допущение о постоянстве скорости тягача в процессе поворота, то ${\upsilon }_{\text{т-}\tau }={\upsilon }_{\text{т}}$ и уравнение (3) можно представить в форме:

$\dot{\tau }=1-\frac{{\upsilon }_{\text{п}}}{{\upsilon }_{\text{т}}}$, (4)

где ${\upsilon }_{\text{т}}$, ${\upsilon }_{\text{п}}$ – вышеупомянутые скорости в момент времени $t$.

Таким образом, имеем 1 уравнение и 2 неизвестных – $\dot{\tau }$, ${\upsilon }_{\text{п}}$.

Для определения $\dot{\tau }$, ${\upsilon }_{\text{п}}$ можно предложить способ, вытекающий из расчетной схемы, приведенной на рис. 1.

 

Рис. 1. Расчетная схема кинематики поворота автопоезда с идеальной и реальной системами управления поворотом колес полуприцепа.

Fig. 1. Analytical model of road train turning kinematics with ideal and real control systems of semitrailer wheels turning.

 

На схеме (см. рис. 1) приняты следующие обозначения: ${\gamma }_u$, ${\phi }_u$ – угол складывания и угол поворота приведенного колеса полуприцепа при условии его движения по траектории тягача соответственно.

Проекции скоростей ${\upsilon }_{\text{т}}$ и ${\upsilon }_{\mathrm{п}}$ [10] на продольную ось полуприцепа связаны между собой следующей зависимостью:

${\upsilon }_{\text{т}}\cos {\gamma }_u={\upsilon }_{\text{п}}\cos {\phi }_u$,

Откуда имеем:

${\upsilon }_{\text{п}}={\upsilon }_{\text{т}}\cdot \frac{\cos {\gamma }_u}{\cos {\phi }_u}$. (5)

Подставляя (5) в (4), получим:

$\dot{\tau }=1-\frac{\cos {\gamma }_u}{\cos {\phi }_u}$. (6)

Не сложно получить следующие соотношения:

${\gamma }_u=a_1-a_{2u}$, (7)

${\dot{\gamma }}_u={\dot{a}}_1-{\dot{a}}_{2u}$, (8)

где все значения берутся в момент времени $t$, а также очевидно, что

${\phi }_u=a_{2u}-a_{1t-\tau }$, (9)

где $a_{1t-\tau }$ – курсовой угол тягача в момент времени $t-\tau$.

РЕЗУЛЬТАТЫ

Если обозначить через $x$ расстояние от полюса поворота полуприцепа (в полюсе поворота отсутствует боковая составляющая вектора скорости этой точки) до точки сцепки с тягачом, то справедливы следующие уравнения:

${\upsilon }_{\text{т}}\sin {\gamma }_u={\dot{a}}_{2u}x$, (10)

${\upsilon }_{\text{п}}\sin {\phi }_u={\dot{a}}_{2u}(L-x)$. (11)

Выражая  из (10) и подставляя, полученное выражение, в (11), будем иметь (с учетом разных знаков у ${\gamma }_u$ и ${\phi }_u$):

${\dot{a}}_{2u}=\frac{{\upsilon }_{\text{п}}}{L}\cdot (\sin {\gamma }_u-\cos {\gamma }_u\cdot \text{tg}{\phi }_u)$. (12)

Учитывая (8) и (9), выражение (12) примет вид:

${\dot{\gamma }}_u={\dot{a}}_{1t}-\frac{{\upsilon }_{\text{т}}}{L}\cdot (\sin {\gamma }_u-\cos {\gamma }_u\cdot \text{tg(}{a}_{2u}-a_{1t-\tau }))$ (13)

Так как известно начальное значение ${\tau }_0=\frac{L}{\upsilon {}_{\text{т}}}$, то уравнение (13) может быть разрешено относительно ${\gamma }_u$.

После этого из уравнений (7) и (9) могут быть найдены $a_{2u}$ и ${\phi }_u$ соответственно.

После чего решается уравнение (6) относительно $\tau$.

Величина смещения траектории полуприцепа от траектории тягача может быть определена по следующей зависимости:

$\Delta C=2L\cdot \sin \left(\frac{{\gamma }_u-{\gamma }_p}{2}\right)$, (14)

где ${\gamma }_p$ – угол складывания автопоезда с реальной системой поворота, способ определения которого описан в работе [7].

Для реализации разработанной математической модели была написана программа расчета параметров криволинейного движения двухзвенного активного автопоезда с идеальной и реальной системами управления поворотом колес полуприцепа. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений было построено с использованием программ MATLAB/Simulink, реализующих метод Рунге-Кутта-Фельберга четвертого-пятого порядков.

Результаты расчета приведены на рис. 2.

 

Рис. 2. Сравнение значений расчетного и идеального углов складывания.

Fig. 2. Comparison of values of normal and ideal jack-knifing angle.

 

Но, в то же время, традиционный путь учета факторов неопределенности на основе вероятностного и статистического моделирования, зачастую, оказывается неадекватным решаемым задачам и может привести к неверным результатам, так как функционирование сложных организационно-технических систем на практике характеризуется неопределенностями различного типа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработанные математические модели и программы расчета позволяют достаточно оперативно и достоверно оценивать поворотливость вновь разрабатываемых образцов двухзвенного активного автопоезда и добиваться ее улучшения на основе выбора рационального сочетания параметров систем поворота колес полуприцепов.
2. Предложенный алгоритм расчета идеального движения активного автопоезда позволяет определить пути создания системы поворота колес полуприцепа, обеспечивающей максимальное совпадение траекторий звеньев автопоезда при его криволинейном движении с различными радиусами поворота.

ДОПОЛНИТЕЛЬНО

Вклад авторов. М.В. Капитонов ― поиск публикаций по теме статьи, написание текста рукописи; З.А. Годжаев ― экспертная оценка, утверждение финальной версии. Авторы подтверждают соответствие своего авторства международным критериям ICMJE (все авторы внесли существенный вклад в разработку концепции, проведение исследования и подготовку статьи, прочли и одобрили финальную версию перед публикацией).

Конфликт интересов. Авторы декларируют отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с публикацией настоящей статьи.

Источник финансирования. Авторы заявляют об отсутствии внешнего финансирования при проведении исследования.

ADDITIONAL INFORMATION

Authors’ contribution. M.V. Kapitonov ― search for publications, writing the text of the manuscript; Z.A. Godzhaev ― expert opinion, approval of the final version. All authors made a substantial contribution to the conception of the work, acquisition, analysis, interpretation of data for the work, drafting and revising the work, final approval of the version to be published and agree to be accountable for all aspects of the work.

Competing interests. The authors declare that they have no competing interests.

Funding source. This study was not supported by any external sources of funding.

About the authors

Zahid A. Godzhaev

Federal Scientific Agroengineering Center VIM

Email: fic51@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1665-3730
SPIN-code: 1892-8405

Dr. Sci. (Tech.), Corresponding Member of the Russian Academy of Sciences; Deputy Director for Innovational and Implemental Activities

Russian Federation, Moscow

Mikhail V. Kapitonov

Moscow Aviation Institute

Author for correspondence.
Email: km7571@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-6287-3681

Assistant of the of Engineering Graphics Department

Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files