Optimization of design parameters of the vibration protection system of a motor grader seat with quasi-zero stiffness

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

В процессе работы наземных транспортно-технологических машин, их операторы подвергаются значительным вибрационным нагрузкам [1–5]. Вибрации могут приводить к ухудшению качества управления, увеличению времени выполнения работ, снижению производительности и увеличению нагрузок на механические элементы металлоконструкций машин [6–9]. Использование машин, генерирующих значительные вибрации, целесообразно ограничивать, поскольку это отрицательно влияет на внимательность и состояние здоровья операторов [10, 11]. Поэтому целесообразны разработка и использование машин, конструктивные особенности которых учитывают возникающие при их работе вибрации, с рабочим оборудованием и виброзащитными системами, которые могут минимизировать их воздействие [12, 13]. Виброзащитные устройства и системы способны обеспечить для наземных транспортно-технологических машин достаточно полное и эффективное поглощение вибраций, возникающих в процессе работы от воздействия как внешней среды, так и работающих узлов самой машины. Применение систем виброзащиты операторов необходимо, поскольку позволяет наземным транспортно-технологическим машинам работать более безопасно, без создания дополнительных техногенных рисков и, одновременно, обеспечивать комфортные условия работы операторов. Виброзащита получила широкое применение в строительной, дорожной, подъемно-транспортной и других отраслях. Виброзащитные системы обеспечивают надежную защиту операторов от вибраций и снижают степень повреждения и износ рабочего оборудования машин. Виброзащитные системы кабин [14] и сидений операторов [15] могут применяться по отдельности, но их совместное применение увеличивает эффективность виброзащиты.

ЦЕЛЬ

Важным этапом в разработке виброзащитных систем является их параметрическая оптимизация [16]. Для конструкции виброзащитной системы сиденья на основе параллелограммного механизма [17], созданной с участием авторов, и обладающей эффектом квазинулевой жесткости [18–20], необходимо разработать алгоритм оптимизации ее конструктивных параметров.

МЕТОДЫ

Для практического применения разработанной виброзащитной системы сиденья на основе параллелограммного механизма, необходимо решить задачу назначения и оптимизации ее конструктивных параметров. Для этого была разработана расчетная схема виброзащитной системы сиденья (рис. 1).

 

Рис. 1. Схема конструктивных параметров виброзащитного механизма сиденья. / Fig. 1. Scheme of design parameters of the seat vibration protection mechanism.

 

РАСЧЕТНАЯ СХЕМА

На схеме виброзащитного механизма (рис. 1) независимыми конструктивными параметрами, оказывающими влияние на среднеквадратичное вертикальное ускорение сиденья a_s, являются размеры L₁, b, c, x₃, масса сиденья с оператором m, коэффициент жесткости пружины c_s и коэффициент вязкого трения амортизатора b_h.

Конструктивно амортизатор может иметь исполнение, показанное на схеме (рис. 1), но может быть и привязан к одному из угловых шарниров параллелограмма. В последнем случае угловой коэффициент вязкого трения амортизатора b_sh, привязанного, например, к левому нижнему угловому шарниру параллелограмма (точке 0), будет связан с условным линейным коэффициентом вязкого трения поступательного амортизатора b_h соотношением $b_{sh}=b_h\cdot L_1^2$.

Масса сиденья с оператором m в описываемой методике является заданной величиной, с учетом фактической массы текущего оператора и постоянной массы сиденья.

Размер y_r боковых звеньев параллелограмма оказывает влияние только на габаритную высоту виброзащитного механизма и напряжения, возникающие в материале его звеньев, но не оказывает влияния на перемещения механизма и вертикальное ускорение a_s. Размер y₃ оказывает влияние на a_s, но определяется высотой зоны квазинулевой жесткости h_qz, и не является независимым.

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Проблема оптимизации конструктивных параметров виброзащитной системы сиденья в общем случае является многопараметрической задачей. При ее решении необходимо проводить оценку поведения системы при стохастических внешних воздействиях на элементы ходового оборудования автогрейдера, т.е. на имитационной динамической модели базовой машины, описанной в [21]. Модель включает в себя в качестве одной из субмоделей более низкого иерархического уровня, модель виброзащитной системы сиденья, аналитические зависимости которой описаны в работе [17]. Учитывая сравнительно большие временные затраты на имитационное моделирование отдельного процесса перемещения машины с виброзащитной системой сиденья по неровностям микрорельефа опорной поверхности, применение методов многомерной оптимизации, таких, например, как Симплекс-метод, при этом затруднено на всем множестве параметров виброзащитной системы. В этом случае, целесообразно уменьшить размерность задачи, приняв допущения, ограничения, и зафиксировав часть параметров виброзащитной системы, а также связав их аналитическими зависимостями.

ПАРАМЕТРЫ АЛГОРИТМА

Все параметры в алгоритме могут быть разделены на три группы: фиксированные, случайные и варьируемые.

Фиксированные параметры

К данной группе параметров относятся: габаритная длина кабины в направлении движения машины L_cab; диапазонные значения массы оператора m_omin; m_omax; текущее фактическое значение массы оператора m_o; вектор значений скорости движения машины в транспортном режиме $\overrightarrow{v}$; вектор значений среднеквадратичного отклонения профиля микрорельефа, соответствующих вектору скоростей ${\overrightarrow{\sigma }}_{м}$; максимальное допустимое значение коэффициента жесткости пружины c_smax; конструктивные параметры автогрейдера. Конечное время моделирования перемещения автогрейдера по случайно заданному микрорельефу T_kon.

Случайные параметры

К случайным параметрам относятся дискретные значения высот профиля микрорельефа y_i под ходовыми элементами автогрейдера. Они вычислялись по рекуррентным уравнениям [22], и являлись, зависимыми от ${\overrightarrow{\sigma }}_{м}$, внутренними параметрами методики.

Варьируемые параметры

К независимым варьируемым параметрам, значения которых необходимо оптимизировать, относятся: длина горизонтального звена параллелограммного механизма L₁; размеры b, с и x₃ механизма; коэффициент вязкого трения амортизатора b_h; высота зоны квазинулевой жесткости сиденья h_qz.

КРИТЕРИЙ ОПТИМИЗАЦИИ

В качестве критерия оптимизации всех конструктивных параметров виброзащитной системы сиденья выступало среднеквадратичное вертикальное ускорение сиденья a_s, определяемое следующей зависимостью:

$a_s=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\left(a_i-\overline{a}\right)}$, (1)

где a_i – отдельные значения ускорения в дискретные моменты времени динамического процесса; $\overline{a}$ – среднее значение ускорения за весь период процесса; n – количество значений ускорения.

По формуле (1) среднеквадратичное вертикальное ускорение определялось на выборке наиболее вероятных перемещений автогрейдера по стохастическому профилю микрорельефа сразу для шести отдельных процессов перемещения. Выборка, задаваемая заказчиком системы, в качестве весьма распространенного примера, была представлена вектором из 6 скоростей перемещения машины $\overrightarrow{v}$=[1; 2; 3; 4; 5; 6] м/с, и соответствующим ему вектором из 6 среднеквадратичных отклонений вертикальных координат микропрофиля опорной поверхности ${\overrightarrow{\sigma }}_{м}$=[0, 06; 0, 05; 0, 04; 0, 03; 0, 02; 0, 01] м. Конечное время моделирования перемещения автогрейдера по случайно заданному микрорельефу при каждом из 6 сочетаний скорости и отклонения профиля составляло T_kon=1000 с. Было принято, в качестве допущения, что данный набор из 6 сочетаний скоростей и среднеквадратичных отклонений вертикальных координат микропрофиля, представленный в табл. 1, в достаточной степене соответствует реальным условиям эксплуатации машины в транспортном режиме, и может быть использован в качестве тестового для сравнительной оценки виброзащитных механизмов сидений с различными конструктивными параметрами.

 

Таблица 1. Набор из 6 сочетаний среднеквадратичных отклонений микропрофиля и скоростей автогрейдера, используемый в качестве тестового / Table 1. A set of 6 combinations of micro-profile standard deviations and motor grader velocities used as a test set

№ сочетания	σм, м	v, м/с
1	0,06	1
2	0,05	2
3	0,04	3
4	0,03	4
5	0,02	5
6	0,01	6

 

Большим среднеквадратичным отклонениям микропрофиля в табл. 1 соответствовали перемещения с меньшими скоростями, и наоборот. Подобные соотношения в транспортном режиме, как правило, всегда обеспечиваются оператором машины, чтобы минимизировать риск повреждений ходовой части или всей машины (при больших неровностях микрорельефа оператор снижает скорость, и наоборот).

ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ

В качестве целевой функции выступала неявная зависимость среднеквадратичного вертикального ускорения сиденья (1), зависящая от всех конструктивных параметров виброзащитного механизма сиденья:

$a_s=f\left(L_{cab};\text{\hspace{0.33em}}{m_o}_{\text{min}};{m_o}_{\text{max}};m_o;{c_s}_{\text{max}};\overrightarrow{v};{\overrightarrow{\sigma }}_{м};L_1;b;x_3;b_h;h_{qz}\right)$. (2)

В зависимости (2) значение целевой функции определялось при помощи имитационной математической модели автогрейдера с виброзащитной системой сиденья и затем минимизировалось.

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Все параметры принимали только положительные значения. На ряд параметров были наложены дополнительные граничные условия:

${m_o}_{\min }<m_{о}<{m_o}_{\max }; 0.4\text{\hspace{0.33em}м}<L_1<\left(L_{cab}-0.5\text{\hspace{0.33em}м}\right); 0.1\text{\hspace{0.33em}м}<b<L_1; c=b;$

$\left(b+0.05\text{\hspace{0.33em}м}\right)<x_3<\left(L_1-0.05\text{\hspace{0.33em}м}\right); b_h>100\text{\hspace{0.33em}Н/}\left(\text{м/с}\right)\text{; }0\text{\hspace{0.33em}м<}{h}_{qz}\le 0.1\text{\hspace{0.33em}м.}$ (3)

Числовые значения в граничных условиях (3) были заданы из соображений обеспечения работоспособности механизма, технологичности изготовления его деталей, а также эргономичности.

Размер x₃ конструктивно должен находиться в пределах между размерами c и L₁ (рис. 1). Было принято допущение о равенстве размеров c=b, поскольку эти два параметры равнозначны по влиянию на a_s, и при их равенстве используемые аналитические зависимости существенно упрощаются. С учетом минимальных дополнительных расстояний, принятых равными 0,05 м вдоль оси X между точками 2 и 3, либо между точками 3 и 4 (расстояния в 0,05 м необходимы для сохранения постоянного контакта троса с роликами при перескоках троса, и исключения контакта роликов друг с другом), на размер x₃ накладываются приведенные выше ограничения.

Прочие конструктивные параметры принимали фиксированные значения и соответствовали автогрейдеру ДЗ-98 [21].

МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ

В качестве метода оптимизации использовался Симплекс-метод [23]. Он применялся только для оптимизации значений параметров, которые неоднозначно влияют на значение целевой функции. Такими параметрами являются b_h и x₃. Остальные параметры однозначно увеличивают (уменьшают) значение целевой функции при прочих равных условиях, поэтому целесообразно придание им граничных максимальных (минимальных) значений.

АЛГОРИТМ ОПТИМИЗАЦИИ

Результаты предварительных исследований показали, что увеличение величины зоны квазинулевой жесткости h_qz в статической силовой характеристике механизма всегда, при прочих равных условиях, снижает среднеквадратичное вертикальное ускорение сиденья a_s. Поэтому целесообразно придание этому параметру максимального значения с учетом заданных ограничений: h_qz=0,1 м.

Параметру b необходимо придать минимальное значение b=0,1 м, поскольку его уменьшение всегда, при прочих равных условиях, снижает среднеквадратичное вертикальное ускорение сиденья a_s.

Параметру L₁ необходимо придать максимальное значение $L_1=L_{cab}-0.5\text{\hspace{0.33em}м}$, где 0,5 м – минимально допустимая из эргономических соображений длина зоны управления в передней части кабины. Поскольку его увеличение всегда, при прочих равных условиях, снижает среднеквадратичное вертикальное ускорение сиденья a_s.

Минимальные значения среднеквадратичного вертикального ускорения сиденья a_s, при прочих равных условиях, в основном достигаются при значениях x₃, близких к нижнему пределу, т.е. при x₃ ≈ (c + 0,05…0,1) м. Поэтому начальное значение параметра x₃ при оптимизации принималось равным x₃ = c + 0,05 м.

Из проведенных вычислительных экспериментов было установлено, что коэффициент вязкого трения амортизатора b_h оказывает неоднозначное влияние на среднеквадратичное вертикальное ускорение сиденья a_s (рис. 2, 3).

 

Рис. 2. Зависимости среднеквадратичного вертикального ускорения сиденья as от коэффициента вязкого трения амортизатора b_h, при различных значениях размеров L₁ и b и постоянной формуле размера x₃=b + 0,05 м: a) при L₁=0,4 м; b) при L₁=0,8 м; c) при L₁=1,2 м. / Fig. 2. Dependences of root-mean-square vertical acceleration of the seat as on the coefficient of viscous friction of a shock-absorber b_h, at various values of dimensions L₁ and b and constant formula of the dimension x₃=b + 0,05 m: a) at L₁=0,4 m; b) at L₁=0,8 m; c) at L₁=1,2 m.

 

Рис. 3. Зависимости среднеквадратичного вертикального ускорения сиденья as от коэффициента вязкого трения амортизатора b_h, при различных значениях размеров L₁ и x₃ и постоянном значении размера b = 0,1 м: a) при L₁=0,4 м; b) при L₁=0,8 м; c) при L₁=1,2 м. / Fig. 3. Dependences of root-mean-square vertical acceleration of the seat as on the coefficient of viscous friction of a shock-absorber b_h, at different values of dimensions L₁ and x₃ and constant value of dimension b=0,1 m: a) at L₁=0,4 m; b) at L₁=0,8 m; c) at L₁=1,2 m.

 

При увеличении L₁ также происходит повышение среднеквадратичного локального отклонения механизма виброзащитной системы сиденья y_1s от собственного среднего положения. То есть, несколько возрастает вертикальный ход механизма.

Оптимальные значения коэффициента вязкого трения амортизатора b_h, находятся в пределах 200…1000 Н/(м/с), причем большие значения b_h из приведенного диапазона соответствуют меньшим значениям L₁. Начальное значение параметра b_h при оптимизации принималось равным 450 Н/(м/с).

Сравнительно большие затраты времени вычислений при проведении имитационного моделирования затрудняют проведение вычислительных экспериментов с более мелкими шагами всех варьируемых параметров (рис. 2, 3).

Алгоритм может быть описан в виде последовательности шагов.

1. Задание исходных данных. В качестве исходных данных методики выступали описанные выше параметры: L_cab; m_omin; m_omax; m_o; $\overrightarrow{v}$; ${\overrightarrow{\sigma }}_{м}$; c_smax; T_kon.

Значения фиксированных параметров L_cab; m_omin; m_omax; $\overrightarrow{v}$; ${\overrightarrow{\sigma }}_{м}$ задаются заказчиком. Фактическое текущее значение массы оператора m_o измеряется при помощи дополнительных технических средств.

2. Вычисляются значения ряда размеров. Размер L₁ принимается равным верхнему граничному значению, b=c минимизируются:

$L_1=L_{cab}-0.5$, (4)

$b=c=0.1$. (5)

Величина бокового звена (высота) параллелограммного механизма из соображений обеспечения пропорциональности задается равной:

$y_r=0.2\cdot L_1$. (6)

3. Для среднего значения массы оператора из заданного диапазона вычисляется средняя диапазонная масса сиденья с оператором m_m:

$m_m=\frac{{m_o}_{\min }+{m_o}_{\max }}{2}+125$кг, (7)

где 125 кг – принятое значение массы сиденья.

Также вычисляется фактическая текущая масса сиденья с оператором m для фактического текущего значения массы оператора m_o:

$m=m_o+125$кг. (8)

4. Для средней диапазонной массы сиденья с оператором m_m вычисляется жесткость пружины исходя из условия квазинулевой жесткости (горизонтальности среднего участка статической характеристики) виброзащитного механизма сиденья [17]:

$c_s=\frac{L_1\cdot g\cdot m_m}{b\cdot c}$. (9)

5. В случае, если выполняется условие

$c_s>{c_s}_{\max }$, (10)

производится коррекция значения коэффициента жесткости пружины:

$c_s={c_s}_{\max }$. (11)

Значение размера L₁ после коррекции (11) также корректируется по формуле, следующей из (9):

$L_1=\frac{c_s\cdot b\cdot c}{g\cdot m_m}$. (12)

По (12) происходит уменьшение значения L₁. Затем, по (6) корректируется значение y_r. Если условие (10) не выполняется, коррекция значений c_s, L₁, y_r также не производится.

6. Вычисляется номинальная деформация пружины в середине хода механизма для средней диапазонной массы сиденья с оператором m_m, которая равна [17]:

$d{L}_{snom0}=\frac{P_s}{c_s}=\frac{L_1\cdot g\cdot m_m}{b\cdot c_s\cdot \sqrt{1-\frac{b^2}{b^2+c^2}}}=b\cdot \sqrt{2}$. (13)

Значение dL_snom0 используется для настройки виброзащитного механизма сиденья на среднюю массу сиденья с оператором из заданного заказчиком диапазона. Первоначальная настройка для системы выполняется один раз и заключается в установке (при помощи дополнительного механизма привода края пружины, который не связан с тросом) в начальное нулевое положение, и в сохранении значения этого положения (в виде нулевой отметки на шкале, и т.п.). Установка в нулевое положение происходит путем сдвига края пружины на расстояние dL_snom0 от положения, при котором пружина остается недеформированной, но трос при этом натянут. Пружина при первоначальной настройке получает номинальное растяжение dL_snom0 в средней точке подъема сиденья.

7. Вычисляется деформация пружины в середине хода механизма, уравновешивающая фактическое значение массы сиденья с текущим оператором m:

$d{L}_{snom}=\frac{L_1\cdot g\cdot m}{b\cdot c_s\cdot \sqrt{1-\frac{b^2}{b^2+c^2}}}=\frac{m\cdot b\cdot \sqrt{2}}{m_m}$. (14)

8. Вычисляется разность деформаций dL_snom0 и dL_snom0:

$dd{L}_s=d{L_{snom}}_0-d{L}_{snom}$. (15)

Значение ddL_s используется для подстройки виброзащитного механизма сиденья под текущую массу оператора перед началом рабочей смены. Подстройка заключается в сдвиге (при помощи дополнительного механизма привода края пружины, который не связан с тросом) в новое положение, которое находится на расстоянии ddL_s от начального нулевого положения, значение которого сохранялось в п. 6 алгоритма. При этом может использоваться тарированная шкала расстояний сдвига, соответствующих массам оператора.

9. Симплекс-методом выполняется локальная оптимизация значений параметров b_h и x₃ по критерию минимизации среднеквадратичного вертикального ускорения сиденья a_s. Начальные значения параметров принимаются равными:

$b_h=450$Н/(м/с); x₃ = (b + 0,05) м. (16)

Для предотвращения снижения значения аргумента x₃ ниже минимального предела x₃=(b+0,05) м, и значения аргумента b_h ниже нуля, в дополнение к Симплекс-методу применяется метод штрафных функций [24]. В случае выполнения условий:

$b_h<0$Н/(м/с); и/или x₃ < (b + 0,05) м, (17)

к значениям функции a_s, вычисляемым в процессе оптимизации, согласно условиям (17) прибавляются штрафные слагаемые:

$a_s=a_s+\left|b_h\right|\cdot 100$; и/или $a_s=a_s+\left|\left(b+0.05\right)-x_3\right|\cdot 100$. (18)

В процессе локальной оптимизации при помощи имитационной математической модели автогрейдера с виброзащитной системой сиденья [21], для вычисления каждого значения функции a_s выполняется моделирование перемещений машины по описанному выше тестовому набору стохастических микрорельефов опорной поверхности с заданными заказчиком характеристиками и скоростями (см. п. 1).

10. Производится вывод результатов алгоритма: значений конструктивных параметров виброзащитной системы сиденья L₁; b; y_r; b_h; x₃; c_s; dL_snom0, а также параметра ddL_s подстройки виброзащитного механизма сиденья под текущую массу оператора.

РЕЗУЛЬТАТЫ

На рис. 4 приведена блок-схема описанного алгоритма.

 

Рис. 4. Блок-схема алгоритма назначения и оптимизации конструктивных параметров виброзащитной системы сиденья на основе параллелограммного механизма. / Fig. 4. Block diagram of the algorithm for assignment and optimization of design parameters of the vibration protection system of a seat based on a parallelogram mechanism.

 

В табл. 2 приведены два примера использования разработанного алгоритма с различным набором значений исходных данных. Значения среднеквадратичного вертикального ускорения сиденья a_s приведены как до локальной оптимизации (при начальных значениях варьируемых параметров b_h и x₃, которые также близки к оптимуму), так и после локальной оптимизации Симплекс-методом указанных параметров.

 

Таблица 2. Примеры использования разработанного алгоритма / Table 2. Examples of using the developed algorithm

Параметры	Значения параметров для примера
	№ 1	№ 2
Исходные данные
Lcab, м momin, кг momax, кг mo, кг $\overrightarrow{v}$, м/с ${\overrightarrow{\sigma }}_{м}$, м csmax, Н/м Tkon, с	1,05	1,0
	50	50
	100	100
	75	75
	[1; 2; 3; 4; 5; 6]	[1; 2; 3; 4; 5; 6]
	[0, 06; 0, 05; 0, 04; 0, 03; 0, 02; 0, 01]	[0, 06; 0, 05; 0, 04; 0, 03; 0, 02; 0, 01]
	100000	81750
	1000	1000
Результаты
L1, м cs, Н/м b, м yr, м bh, Н/(м/с) (до локальной оптимизации) bh, Н/(м/с) (после локальной оптимизации) x3, м (до локальной оптимизации) x3, м (после локальной оптимизации) as, м/с2 (до локальной оптимизации) as, м/с2 (после локальной оптимизации)	0,55	0,6
	89182	81750
	0,1	0,1
	0,11	0,12
	450	450
	495	460
	0,16	0,17
	0,169	0,17032
	0,304	0,295
	0,293	0,288

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработанный алгоритм позволяет проводить назначение и оптимизацию конструктивных параметров виброзащитной системы сиденья на основе параллелограммного механизма, таких как основные размеры параллелограммного механизма и точек крепления роликов и троса, коэффициент жесткости пружины растяжения, коэффициент вязкого трения амортизатора, параметр подстройки механизма под массу текущего оператора.

Оптимизация значений ряда конструктивных параметров виброзащитной системы сиденья проводится путем минимизации или максимизации в соответствии с применяемыми ограничениями. Максимальное значение коэффициента жесткости пружины целесообразно задать в качестве внутреннего ограничения в алгоритме методики. Оптимизация выполняется по критерию минимального среднеквадратичного вертикального ускорения сиденья в неподвижной системе координат a_s с помощью моделирования на имитационной модели перемещений автогрейдера с виброзащитной системой сиденья по заданному заказчиком тестовому набору стохастических микрорельефов.

Перспективная область использования разработанного алгоритма – при проектировании виброзащитных систем и оптимизации конструктивных параметров параллелограммного механизма сиденья оператора автогрейдера, а также других наземных транспортно-технологических машин.

ДОПОЛНИТЕЛЬНО

Вклад авторов. М.С. Корытов ― разработка имитационной математической модели, разработка алгоритма, разработка блок-схемы алгоритма, обработка результатов вычислительных экспериментов; И.Е. Кашапова ― исследование состояния вопроса, написание введения, разработка программного кода для реализации алгоритма, проведение вычислительных экспериментов; В.С. Щербаков ― общая идея работы, разработка алгоритма, редактирование текста статьи, написание заключения. Авторы подтверждают соответствие своего авторства международным критериям ICMJE (все авторы внесли существенный вклад в разработку концепции, проведение исследования и подготовку статьи, прочли и одобрили финальную версию перед публикацией).

Конфликт интересов. Авторы декларируют отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с проведенным исследованием и публикацией настоящей статьи.

Источники финансирования. Авторы заявляют об отсутствии внешнего финансирования при проведении исследования.

ADDITIONAL INFORMATION

Authors’ contribution. M.S. Korytov ― development of the simulation mathematical model, development of the algorithm, development of the algorithm block diagram, processing the results of computational experiments; I.E. Kashapova ― state-of-the-art research, writing the introduction, developing the program code to implement the algorithm, conducting computational experiments; V.S. Shcherbakov ― general idea of the study, development of the algorithm, text editing, writing the conclusion. All authors made a substantial contribution to the conception of the work, acquisition, analysis, interpreta-tion of data for the work, drafting and revising the work, final approval of the version to be published and agree to be accountable for all aspects of the work.

Competing interests. The authors declare that they have no competing interests.

Funding source. This study was not supported by any external sources of funding.

About the authors

Mikhail S. Korytov

Siberian State Automobile and Highway University

Author for correspondence.
Email: kms142@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-5104-7568
SPIN-code: 2921-4760
Scopus Author ID: 57035238500
ResearcherId: B-5667-2015
https://sibadi.org/about/staff/korytov-mikhail-sergeevich/

Associate Professor, Dr. Sci. (Tech.), Professor of the Automotive Transport Department

Russian Federation, 5 Mira Ave., 644080 Omsk

Vitaly S. Shcherbakov

Siberian State Automobile and Highway University

Email: sherbakov_vs@sibadi.org
ORCID iD: 0000-0002-3084-2271
SPIN-code: 6171-2320

Dr. Sci. (Tech.), Professor of the Automation and Power Engineering Department

Russian Federation, 5 Mira Ave., 644080 Omsk

Irina E. Kashapova

Siberian State Automobile and Highway University

Email: iriska-97-17-13@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-0631-564X
SPIN-code: 8011-6829

Postgraduate Student, Lecturer of the Automation and Power Engineering Department

Russian Federation, 5 Mira Ave., 644080 Omsk

References

Supplementary files