Development and verification of a mathematical model of the wheel mover interaction with deformable soil, based on the application of the method of discrete elements

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время существует большое количество работ, связанных с исследованием проходимости транспортных средств (ТС), которые характеризуют способность машины двигаться в ухудшенных дорожных условиях (см., например, [1–4]).

При движении по разбитым дорогам или местности возникает проблема, связанная с недостаточной опорной проходимостью, поэтому, автомобили высокой проходимости имеют определенный тип движителя. При движении по деформируемым грунтовым опорным основаниям для сохранения подвижности ТС особенно важно разработать движитель такой конструкции, который бы обеспечивал требуемый уровень проходимости.

Исследование опорной проходимости ТС на этапе проведения научно-исследовательских работ до сих пор является актуальной задачей. Единый математический аппарат для описания взаимодействия движителя с несвязанным опорным основанием отсутствует, поэтому часто приходится проводить натурные испытания для оценки опорной проходимости ТС. Данный подход является довольно ресурсоемким, вследствие чего зачастую используются различные эмпирические зависимости.

Существует множество эмпирических зависимостей, которые достаточно точно позволяют описать физико-механические свойства грунтов и их поведение при взаимодействии с движителем, однако их применение ограничено [5]. Наиболее часто для этого используют такие параметры, как связность и угол внутреннего трения, так как в процессе движения на грунт действуют как нормальные, так и сдвиговые силы. Для описания вертикальных деформаций грунта чаще всего используют модели Бернштейна, Беккера, Агейкина, а для описания сдвига – модели Кулона, Беккера, Агейкина и другие [6–8].

Альтернативным подходом к моделированию грунта является подход, основанный на представлении грунта в виде отдельных частиц. Для этого в работе применяется метод дискретных элементов.

Для разработки математической модели взаимодействия движителя с опорным основанием необходимо разработать и верифицировать математическую модель грунта. При проведении исследований в качестве несвязанного грунта выбран сухой песок, который обеспечивает хорошую повторяемость эксперимента и стабильность свойств. Для верификации математической модели используется тягово-сцепная характеристика колесного движителя $k_{Rx}\left(S_6\right)$, полученная в работе Ю.Л. Рождественского [9]. Полученные результаты можно использовать для разработки рациональной конструкции движителя и анализа его взаимодействия с опорным основанием.

ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ

Разработка методики определения параметров математической модели несвязанного грунта для исследования взаимодействия движителя с опорным основанием.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Для разработки математической модели грунта и определения тягово-сцепных характеристик используются методы имитационного математического моделирования и аналитические методы, основанные на рассмотрении стационарного движения колесного движителя.

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ГРУНТА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОТДЕЛЬНЫХ ЧАСТИЦ

Для верификации математической модели грунта воспользуемся результатами испытаний сухого песка, которые представлены в работе Ю.Л. Рождественского [9]. Основные физико-механические свойства песка приведены в таблице 1.

 

Таблица 1. Основные физико-механические свойства песка

Table 1. Basic physical and mechanical properties of sand

Параметр	Значение
Плотность грунта, кг/м3	1500
Плотность «скелета», кг/м3	2600
Угол внутреннего трения, °	33–34
Связность, кПа	0

 

Сопротивление песка сдвигу в диссертации Рождественского определялось с помощью кругового штампа. Для обеспечения надежного сцепления с верхним слоем грунта опорная поверхность штампа была выполнена рифленой. Испытания проводились при следующих нормальных давлениях:  2,94 кПа; 3,92 кПа; 5,88 кПа.

Для верификации математической модели грунта будем использовать следующую зависимость Кулона для определения максимальных касательных напряжений:

${\tau }_{\text{max}}=p\tan {\phi }_0+c_0$, (1)

где $p$ – нормальное давление на грунт, ${\phi }_0$ – угол внутреннего трения, $c_0$ – связность [10].

Рассмотрим расчетную схему виртуальных испытаний грунта, представленную на рис. 1. Здесь: 1 – штамп, 2 – неподвижное основание, 3 – грунт (песок).

 

Рис. 1. Расчетная схема для испытания грунта.

Fig. 1. Analytical model of soil testing.

 

Для штампа можно составить дифференциальное уравнение динамики:

$J_z{\dot{\omega }}_{\text{шт}}=M_{\text{шт}}-M_{\text{c}}$, (2)

где $J_z$ – момент инерции штампа; ${\omega }_{\text{шт}}$ – угловая скорость поворота штампа; $M_{\text{шт}}$ – вращающий момент, прикладываемый к штампу; $M_{\mathrm{c}}$ – момент сопротивления сдвигу, который пропорционален нормальному давлению $p$.

Рассмотрим разработанную математическую модель грунта. В основе ее лежит математическая модель Герца-Миндлина, которая наилучшим образом подходит для описания несвязанного грунта [11]. В этой модели не учитывается влияние сил Ван-дер-Ваальса в зоне контакта частиц, поэтому связность грунта $c_0$ при использовании этой модели меньше, чем у других. Основными параметрами модели Герца-Миндлина являются коэффициент упругого восстановления $e$, коэффициент трения скольжения ${\mu }_s$ и коэффициент сопротивления качению ${\mu }_r$. Для описания динамики i-ой частицы используется следующая система дифференциальных урав- нений:

$\left\{\begin{array}{l}{m}_i\frac{d{\overrightarrow{v}}_i}{dt}=\underset{j=1}{\overset{n}{}}({\stackrel{\rightharpoonup }{F}}_{cn,ij}+{\overrightarrow{F}}_{dn,ij}+{\overrightarrow{F}}_{ct,ij}+{\overrightarrow{F}}_{dt,ij})+m_i\overrightarrow{g},\\ J_i\frac{d{\stackrel{\rightharpoonup }{\omega }}_i}{dt}=\underset{j=1}{\overset{n}{}}{\stackrel{\rightharpoonup }{T}}_{ij},\end{array}\right.$ (3)

где $m_i$ – масса частицы; $v_i$ – вектор линейной скорости частицы; $n$ – число частиц, взаимодействующих с i-ой частицей; $J_i$ – тензор моментов инерций частицы; ${\omega }_i$ – вектор угловой скорости частицы; $\stackrel{\rightharpoonup }{F}={\stackrel{\rightharpoonup }{F}}_{cn,ij}+{\overrightarrow{F}}_{dn,ij}+{\overrightarrow{F}}_{ct,ij}+{\overrightarrow{F}}_{dt,ij}$ – вектор внешней силы, действующей на i-ую частицу со стороны j-ой частицы; ${\overrightarrow{F}}_{cn,ij},{\overrightarrow{F}}_{dn,ij}$ – векторы упругой и демпфирующей составляющих нормальной силы; ${\overrightarrow{F}}_{ct,ij},{\overrightarrow{F}}_{dt,ij}$ – векторы упругой и демпфирующей составляющих касательной силы; ${\overrightarrow{T}}_{ij}$ – вектор внешнего момента, действующего на i-ую частицу.

Упругую составляющую нормальной силы находят по формуле Герца:

$F_{cn,ij}=\frac{4}{3}{E}^{*}\sqrt{R^{*}}{{\delta }_n}^{3/2}$, (4)

где $E^{*}$ – приведенный модуль упругости; $R^{*}$ – приведенный радиус; ${\delta }_n$ – глубина проникновения частиц.

Демпфирующую составляющую нормальной силы определяют по формуле:

$F_{dn,ij}=-2\sqrt{\frac{5}{6}}\beta \sqrt{S_n{m}^{*}}{\upsilon }_n^r$, (5)

где $\beta =\frac{-\ln e}{\sqrt{{\left(\ln e\right)}^2+{\pi }^2}}$; $e$ – коэффициент упругого восстановления; $S_n=2E^{*}\sqrt{R^{*}{\delta }_n}$ – нормальная жесткость; $m^{*}$ – приведенная масса; ${\upsilon }_n^r$ – нормальная составляющая относительной линейной скорости двух частиц.

Упругую составляющую касательной силы определяется согласно:

$F_{ct,ij}=-S_t{\delta }_t$, (6)

где $S_t=8G^{*}\sqrt{R^{*}{\delta }_n}$ – касательная жесткость; $G^{*}$ – приведенный модуль сдвига; ${\delta }_t$ – касательное перемещение.

Демпфирующую составляющую касательной силы вычисляют по следующей формуле:

$F_{dt,ij}=-2\sqrt{\frac{5}{6}}\beta \sqrt{S_t{m}^{*}}{\upsilon }_t^r$, (7)

где ${\upsilon }_t^r$ – касательная составляющая относительной линейной скорости двух частиц.

Суммарная касательная сила ограничена величиной ${\mu }_s·F_n$, где $F_n=\left|{\overrightarrow{F}}_{cn}+{\overrightarrow{F}}_{dn}\right|$ – суммарная нормальная сила взаимодействия.

Модуль сдвига и коэффициент Пуассона частицы были выбраны в соответствии с рекомендациями [12]. Радиус частицы был принят равным $r=3$ мм, так как при использовании такого значения радиуса получается приемлемое время расчёта. С меньшими радиусами необходимо использовать большие вычислительные мощности. При этом, подход к определению параметров грунта в модели не изменится. Кроме этого, радиус частицы незначительно влияет на результаты моделирования [13]. Основные массогабаритные параметры используемого штампа и параметры грунта приведены в таблице 2.

 

Таблица 2. Основные параметры математической модели

Table 2. Main Basic parameters of a mathematical model

Параметр	Значение
Диаметр штампа, мм	165
Момент инерции штампа, кг·м2	6,086·10-3
Плотность частицы, кг/м3	2600
Модуль сдвига частицы, МПа	10
Коэффициент Пуассона частицы	0,25
Радиус частицы, мм	3
Коэффициенты взаимодействия частицы с геометрией
Материал штампа	сталь

 

С учетом принятого размера частиц ребра штампа смоделированы в виде четырех выступов высотой $h=2r=6$ мм. На рис. 2 показан виртуальный стенд для моделирования в программном комплексе EDEM. Два вертикальных выступа, изображенные на рис. 2, использовались для визуальной оценки вращения штампа.

 

Рис. 2. Виртуальный стенд.

Fig. 2. A virtual test rig.

 

Согласно ГОСТ 12248.1-2020 при определении характеристик грунта сдвигающую нагрузку допускается прикладывать ступенчато, с шагом 5% от нормальной нагрузки. Испытание следует считать завершенным, если при очередном увеличении нагрузки произойдет мгновенный срез грунта или относительная деформация образца превысит 10% (в зависимости от того, что наступит раньше).

Для более точного определения параметров связности модели грунта проведено дополнительное испытание при малом значении давления, которое принимается равным $p=0,49$ кПа, т.е. меньше минимального значения, используемого в диссертации Рождественского Ю.Л., в 6 раз. Для верификации модели грунта будем варьировать коэффициенты взаимодействия частицы с частицей в соответствии с таблицей 3.

 

Таблица 3. Коэффициенты взаимодействия частиц для различных вариантов грунта и результаты виртуальных испытаний

Table 3. Particles interaction coefficients for various variants of soil and results of virtual testing

Номер варианта	Коэффициенты взаимодействия частиц		Нормальное давление $p$, кПа				$c_0$, кПа	${\phi }_0$, °
		0,49	2,94	3,92	5,88
		Касательные напряжения ${\tau }_{max}$, кПа
1	$e=0,5$	${\mu }_s=\mathrm{0,5}$	0,47	2,09	2,59	3,6	0,26	30,2
2		${\mu }_s=\mathrm{0,6}$	0,47	2,09	2,59	3,89	0,17	32,3
3		${\mu }_s=\mathrm{0,7}$	0,47	2,09	2,79	4,19	0,10	34,6
4		${\mu }_s=\mathrm{0,8}$	0,47	2,24	2,99	4,19	0,17	34,8
5	$e=0,6$	${\mu }_s=\mathrm{0,5}$	0,47	2,24	2,59	3,89	0,21	32,1
6		${\mu }_s=\mathrm{0,6}$	0,50	2,09	2,4	4,19	0,08	33,8
7		${\mu }_s=\mathrm{0,7}$	0,47	2,09	2,59	4,19	0,08	34,3
8		${\mu }_s=\mathrm{0,8}$	0,45	2,24	2,99	4,19	0,15	35,0

 

Для определения максимальных касательных напряжений воспользуемся следующей зависимостью:

${\tau }_{\text{max}}=\frac{M_{\text{c}}}{F_{\text{шт}}\cdot R_{\text{ср шт}}}$, (8)

где $R_{\text{ср шт}}$ мм – средний радиус штампа; $F_{\mathrm{шт}}=21400$ мм² – площадь штампа.

Результаты моделирования, полученные при различных значениях коэффициентов взаимодействия, приведены в таблице 3. Коэффициент сопротивления качению в соответствии с рекомендациями во всех опытах принят ${\mu }_r=0,1$ [12].

Результаты моделирования вариантов грунтов под номерами 1, 2 и 5 имеют угол внутреннего трения ${\phi }_0$ меньше требуемого значения и обладают большим значением связности $c_0$ (см. таблицу 1). Результаты моделирования вариантов грунтов под номерами 3, 4, 7 и 8 имеют угол внутреннего трения больше требуемого. Для дальнейшего моделирования выбираем модель грунта 6, так как она обладает минимальной расчетной связностью, что соответствует данным реального грунта, и угол внутреннего трения находится в требуемом диапазоне.

При увеличении коэффициента трения скольжения ${\mu }_s$ угол внутреннего трения ${\phi }_0$ возрастает. Для уточненного моделирования грунта требуется проведение регрессионного анализа и определения степени влияния всех параметров модели на физико-механические свойства. Указанный подход требует значительных временных затрат и может быть реализован при проведении натурных испытаний по верификации математической модели грунта, что предполагается выполнить в дальнейших работах.

В качестве примера рассмотрим порядок определения значений $c_0$ и ${\phi }_0$ для варианта грунта 6, полученных в таблице 3. Результаты моделирования показаны на рис. 3. Испытание проводилось в следующей последовательности. Штамп нагружался вертикальной силой, после чего к нему прикладывался ступенчато вращающий момент в соответствии с таблицей 4.

 

Рис. 3. Результаты моделирования для 6-го варианта грунта.

Fig. 3. Simulation results for #6 variant of soil.

 

Таблица 4. Данные для испытания грунта

Table 4. Soil testing data

Нормальное давление $p$, кПа	Вращающий момент, прикладываемый к штампу, Н·м
	0-1 с	1-2 с	2-3 с	3-4 с	4-5 с	5-6 с	6-7 с	7-8 с
0,49	0,29	0,31	0,33	0,35	0,37	0,39	0,42	0,44
2,94	1,33	1,46	1,59	1,72	1,85	1,98	2,11	2,24
3,92	1,77	1,94	2,12	2,29	2,46	2,63	2,81	2,98
5,88	2,65	2,91	3,17	3,43	3,69	3,95	4,21	4,47

 

В силу особенностей работы численных методов при моделировании невозможно полностью остановить движение штампа, так как силы взаимодействия на каждом шаге вычисляются после задания начальных условий в виде координат и скоростей. В связи с этим момент среза грунта определяется в момент резкого увеличения угловой скорости штампа.

Из представленных графиков видно, что при давлении $p=0,49$ кПа срез грунта произошел при касательном напряжении ${\tau }_{max}=0,5$ кПа (7-ая секунда моделирования). До 7-ой секунды моделирования угловая скорость штампа монотонно убывала, а после 7-ой секунды угловая скорость постоянна или даже растет. При $p=2,94$ кПа срез грунта произошел при ${\tau }_{max}=2,09$ кПа (4-я секунда моделирования), при $p=3,92$ кПа – ${\tau }_{max}-2,4$ кПа (2-ая секунда моделирования), при $p=5,98$ кПа – ${\tau }_{max}=4,19$ кПа (4-ая секунда моделирования).

Далее, при помощи метода наименьших квадратов получаем зависимость максимальных касательных напряжений от давления, которая приведена на рис. 4. По ней определяем связность грунта и угол внутреннего трения. Таким образом, для варианта грунта 6: $c_0=0,08$ кПа и ${\phi }_0=33,8$°. Затем, данную модель грунта будем использовать при исследовании взаимодействия колесного движителя с опорным основанием.

 

Рис. 4. Зависимость максимальных касательных напряжений от давления.

Fig. 4. Dependence of the maximum shear stresses on pressure.

 

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВИЖИТЕЛЯ С ОПОРНЫМ ОСНОВАНИЕМ

На рис. 5 слева показано колесо Лунохода, которое использовалось в диссертации Рождественского Ю.Л. [9]. Справа показана упрощенная твердотельная модель данного колеса.

 

Рис. 5. Колесо Лунохода и его упрощенная твердотельная модель.

Fig. 5. The Lunar rover wheel and its simplified solid model.

 

Допущения, принятые при разработке математической модели:

1. колесо является абсолютно жестким телом;
2. вращающий момент $M_{к}$, внешняя продольная сила $P_x$ и внешняя нормальная сила $P_z$ постоянны по величине и по направлению;
3. поверхность, контактируемая с грунтом, выполнена цельной.

Исходные данные для расчета приведены в таблице 5.

 

Таблица 5. Исходные данные для расчета

Table 5. The Initial data for calculation

Параметр	Значение
Масса колеса, кг	23,6
Момент инерции колеса, кг·м2	1,26
Ширина колеса, мм	200
Наружный диаметр колеса, мм	470
Ширина грунтозацепа, мм	110
Высота грунтозацепа, мм	20
Число грунтозацепов с каждой стороны	16
Длина грунтового канала, мм	1500
Ширина грунтового канала, мм	450
Высота грунтового канала, мм	200
Нормальная внешняя сила, Н	245

 

Расчетная схема качения колеса показана на рис. 6.

 

Рис. 6. Расчетная схема качения колеса.

Fig. 6. Analytical model of wheel rolling.

 

Движение колеса в общем случае описывается двумя дифференциальными уравнениями:

$\left\{\begin{array}{c}{m}_{\text{к}}\ddot{x}=R_x- P_x;\\ J_{\text{к}}{\dot{\omega }}_{\text{к}}=M_{\text{к}}-M_{\text{к}}^f,\end{array}\right.$ (9)

где $m_{к}$ – масса колеса; $J_{к}$ – момент инерции колеса; $R_x, R_z$ – продольная и нормальная реакции соответственно; $M_{к}^f$ – суммарный момент взаимодействия колесного движителя с опорным основанием; $k_{Rx}\left(s_{\text{б}}\right)=\frac{R_x}{R_z}$ – коэффициент продольной реакции; $r_{к0}$ – радиус качения в свободном режиме.

Радиус качения в свободном режиме определялся экспериментально при моделировании данного режима и равен:

$r_{\text{к0}}=\frac{\upsilon }{{\omega }_{\text{к}}}=235$ мм.

Поскольку рассматривается только установившееся движение колеса, то коэффициент продольной реакции и коэффициент буксования соответственно определяем по следующим зависимостям:

$\begin{array}{cc}{k}_{Rx}=\frac{R_x}{R_z}=\frac{P_x}{P_z};& s_{\text{б}}=1-\frac{\upsilon }{{\omega }_{\text{к}}\cdot r_{\text{к0}}}\end{array}.$ (10)

На рис. 7 показан виртуальный стенд «грунтовой канал» с испытуемым колесом, разработанный в программном комплексе EDEM.

 

Рис. 7. Грунтовой канал в EDEM.

Fig. 7. The soil box in the EDEM software.

 

Для определения зависимости $k_{Rx}\left(s_{\text{б}}\right)$ рассмотрим три режима качения колеса: свободный, ведомый и ведущий. В результате моделирования был определен вращающий момент $M_{\text{к}}=M_f=\mathrm{8,4}$ Н·м, при котором $P_x=R_x=0$, что соответствует свободному режиму качения колеса. Коэффициент сопротивления качению колеса в свободном режиме определяется по формуле:

$f_{\text{св}}=\frac{M_f}{R_z\cdot r_{\text{к0}}}=\mathrm{0,146}$. (11)

Для реализации ведомого режима качения колеса необходимо выполнение следующего условия: $M_{\text{к}}=0;P_x<0$. Тогда, моделируя ведомый режим качения, определим коэффициент сопротивления качению колеса:

$f_{\text{в}}=\frac{\left|R_x\right|}{R_z}=\mathrm{0,143}$. (12)

Полученное значение достаточно близко к коэффициенту сопротивления качению колеса в свободном режиме.

Для реализации ведущего режима качения колеса необходимо выполнение условия: $M_{\text{к}}>0;P_x>0$.

При моделировании взаимодействия колесного движителя с грунтом задаются силовые параметры, а именно вращающий момент $M_{к}$, продольная сила $P_x$ и нормальная сила $P_z$. Измеряемыми параметрами являются реакции $R_x$ и $R_z$, действующие со стороны грунта на колесо, и угловая ${\omega }_{к}$ и линейная $\upsilon$ скорости колеса. В таблице 6 приведены полученные результаты моделирования качения колеса в ведомом, свободном и ведущем режимах. Значения приведены для установившегося режима, поэтому $M_{\text{к}}=M_{\text{к}}^f,R_x=P_x,R_z=P_z$.

 

Таблица 6. Результаты моделирования качения колеса

Table 6. Wheel rolling simulation results

Режим	$M_{\mathrm{к}}$, Н·м	$R_x$, Н	$R_z$, Н	$r_{\mathrm{к}}$, мм	${\omega }_{\text{к}}$, рад/с	$\upsilon$, мм/с	$s_{б}$	$k_{Rx}$
Ведомый	0	-35,0	245	252	0,147	37,1	-0,073	-0,14
Свободный	8,4	0	245	235	0,163	38,3	0	0
Ведущий	14,4 20,3 27,2 32,5 37,8	24,5 49,0 73,5 98,0 122,5	245	217 190 138 92 67	0,157 0,210 0,170 0,162 0,150	34,1 40,0 23,4 15,7 10,1	0,077 0,196 0,412 0,609 0,713	0,10 0,20 0,30 0,40 0,50

 

По результатам моделирования при помощи метода наименьших квадратов получена зависимость удельной силы тяги от удельной окружной силы на колесе, приведенная на рис. 8. Из графика видно, что зависимость линейная.

 

Рис. 8. Зависимость удельной силы тяги от удельной окружной силы.

Fig. 8. Dependence of the specific traction force on the specific circumferential force.

 

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Основная задача для ТС высокой проходимости – совершение полезной работы по транспортировке людей и грузов в труднодоступные места. Тягово-сцепные свойства колеса  и параметры несвязанного грунта $c_0$, ${\phi }_0$ при отсутствии образования глубокой колеи в значительной степени определяют проходимость колесной машины.

На рис. 9 показаны полученные в ходе моделирования и эксперимента зависимости коэффициента продольной реакции $k_{Rx}$ от коэффициента буксования $s_{б}$.

 

Рис. 9. Тягово-сцепная характеристика.

Fig. 9. Traction curves.

 

Выделим 3 условные зоны буксования: малого $s_{\text{б}}\le \mathrm{0,2}$, среднего $0,2\le s_{\text{б}}\le \mathrm{0,5}$ и интенсивного $s_{\text{б}}>\mathrm{0,5}$. При $s_{\text{б}}>0,5$ визуально наблюдается активная экскавация частиц грунта в модели, а при $s_{\text{б}}\le \mathrm{0,2}$ – частицы находятся в состоянии покоя, что соответствует зоне упругого скольжения. Результаты, полученные при использовании разработанной математической модели взаимодействия колеса с опорным основанием, совпадают с результатами эксперимента в зоне малого буксования. В зоне интенсивного буксования начинается значительная экскавация грунта, в результате чего погрешность увеличивается. Для того чтобы получить полную повторяемость эксперимента, в этой области необходимо провести уточненные исследования по верификации математической модели грунта. Данная задача является весьма трудоемкой, так как на буксование влияет уже не только силовые факторы: подводимый крутящий момент $M_{к}$ и преодолеваемая сила $P_x$, но и скорость движения самих частиц, которая зависит от линейной и угловой скорости колесного движителя, а также упругие свойства движителя. В целом данный режим качения колеса не стоит рассматривать в качестве эксплуатационного, так как опорная проходимость ТС снижается из-за значительной экскавации грунта.

Результаты сравнительной оценки разработанной математической модели и натурного эксперимента представлены в таблице 7. Коэффициенты сопротивления качению в свободном режиме и коэффициенты продольной реакции при 10%-ом буксовании подтверждают адекватность разработанной математической модели грунта. При буксовании $s_{\text{б}}=0,2$ коэффициент продольной реакции в модели больше в 1,1 раза ($\epsilon =10$%), а при буксовании $s_{\text{б}}=0,5$ – в 1,5 раза ($\epsilon =47,8$%). Отклонение результатов обусловлено дополнительным влиянием непосредственного взаимодействия частиц с колесом. У колеса при проведении натурных испытаний поверхность, контактируемая с песком, была выполнена из металлической сетки, и тягово-сцепные свойства колеса в основном обеспечивались грунтозацепами. В разработанной модели контактируемая поверхность с грунтом выполнена цельной, поэтому площадь взаимодействия колесного движителя с частицами больше. Кроме этого, реальное колесо является деформируемым и возможно проявление краевых эффектов из-за небольшой глубины грунтового канала.

 

Таблица 7. Результаты сравнительной оценки

Table 7. Comparative evaluation results

Результаты	$f_{\mathrm{св}}$	$k_{Rx}$ при $s_{\mathrm{б}}=0,1$	$k_{Rx}$ при $s_{\mathrm{б}}=0,2$	$k_{Rx}$ при $s_{\mathrm{б}}=0,5$
Натурные испытания	0,150	0,12	0,18	0,23
Математическая модель	0,146	0,12	0,2	0,34
Погрешность, %	2,7	0,0	10,0	47,8

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Верифицирована математическая модель грунта и определены параметры отдельных частиц. Анализ полученных результатов показал качественную зависимость угла внутреннего трения от коэффициента трения скольжения ${\mu }_s$ и позволил выбрать наиболее подходящие параметры модели для дальнейшего исследования.

Разработана математическая модель взаимодействия колесного движителя с опорным основанием. Установлено, что зависимость удельной силы тяги от удельной окружной силы является линейной функцией, что также подтверждается данными работы [1].

При помощи математической модели взаимодействия колесного движителя с опорным основанием построена тягово-сцепная характеристика. Проведенный сравнительный анализ результатов натурных испытаний показал, что модель достаточно точно воспроизводит процесс взаимодействия колеса с песчаным грунтом в зоне малого буксования. Применение регрессионного анализа для дальнейшего уточнения модели поможет достичь более точных результатов. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения взаимодействия колесного движителя с деформируемым основанием и разработки рациональной конструкции движителя.

ДОПОЛНИТЕЛЬНО

Вклад авторов. Р.Р. Пашковский ― поиск публикаций по теме статьи, написание текста рукописи, создание изображений; К.Б. Евсеев ― редактирование текста рукописи, экспертная оценка, утверждение финальной версии. Авторы подтверждают соответствие своего авторства международным критериям ICMJE (все авторы внесли существенный вклад в разработку концепции, проведение исследования и подготовку статьи, прочли и одобрили финальную версию перед публи- кацией).

Конфликт интересов. Авторы декларируют отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с публикацией настоящей статьи.

Источник финансирования. Авторы заявляют об отсутствии внешнего финансирования при проведении исследования.

ADDITIONAL INFORMATION

Authors’ contribution. R.R. Pashkovsky ― search for publications, writing the text of the manuscript, creating images; K.B. Evseev ― editing the text of the manuscript, expert opinion, approval of the final version. All authors made a substantial contribution to the conception of the work, acquisition, analysis, interpretation of data for the work, drafting and revising the work, final approval of the version to be published and agree to be accountable for all aspects of the work.

Competing interests. The authors declare that they have no competing interests.

Funding source. This study was not supported by any external sources of funding.

About the authors

Roman R. Pashkovsky

Bauman Moscow State Technical University

Author for correspondence.
Email: pashkovsky@bmstu.ru
ORCID iD: 0000-0003-0974-4164
SPIN-code: 6519-4034

Student of the Wheeled Vehicles Department

Russian Federation, Moscow

Kirill B. Evseev

Bauman Moscow State Technical University

Email: kb_evseev@bmstu.ru
ORCID iD: 0000-0001-7193-487X
SPIN-code: 7753-2047

Associate Professor, Cand. Sci. (Tech.), Associate Professor of the Wheeled Vehicles Department

Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files