Development and verification of a virtual prototype of a vehicle

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

К математической модели цифрового двойника предъявляются требования с учетом специфики решаемой задачи [1, 2]. В разрабатываемой модели динамики транспортной машины должна быть учтена совместная динамика кузова, силовой установки, трансмиссии и ходовой части с достаточной точностью для проведения моделирования движения. Также в модели должен быть учтен неудерживающий характер связи при взаимодействии колеса с опорным основанием. Предполагается, что массы неподрессоренных элементов приведены к колесам, а подрессоренных — к несущей системе [8]. При движении автотранспортного средства необходимо учитывать характеристики сцепления и сопротивления опорной поверхности, так как эти факторы влияют на движение транспортного средства [8].

Цель работы — разработка и верификация виртуального прототипа автотранспортного средства.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Система уравнений корпуса транспортного средства

Система уравнений движения автотранспортного средства содержит: уравнения динамики, которые составлены на основе закона сохранения количества движения и момента количества движения [1–3]; кинематические уравнения связи угловых и линейных скоростей с угловыми и пространственными координатами, полученными на основе уравнений связей между различными координатными системами; динамические уравнения движения неподрессоренных масс относительно корпуса [8].

Сначала составляется система уравнений корпуса автомобиля. При составлении системы уравнений рассматривается движение твердого тела в пространстве. В разрабатываемой модели используются три системы координат (рис. 1): неподвижная система координат (НСК, ОНСКXНСКYНСКZНСК), полусвязанная система координат (ПС, CXПСYПСZПС) и подвижная система координат (ПСК, CXПСКYПСКZПСК) [8].

Уравнения динамики следует записывать относительно подвижной системы координат, параметрами которой, являются проекции линейных скоростей (v_x, v_y, v_z) и угловых скоростей (ω_x, ω_y, ω_z).

 

Рис. 1. Ориентация и систем координат в пространстве.

Fig. 1. Spacing of coordinate systems.

 

Система уравнений корпуса колесной машины состоит из шести уравнений, из них первые три — уравнения поступательного движения (см. работы [1–4]), а вторые три уравнения — вращательного движения [1–4]. Описание поступательного и вращательного движения тела записывается по формуле Бура [3]:

$\frac{d\overline{Q}}{dt}=\frac{\tilde{d}\overline{Q}}{dt}+\overline{\omega }\times \overline{Q}=\sum _k{F}_k^{\left(e\right)}$;

$\frac{d\overline{K_O}}{dt}=\frac{\tilde{d}\overline{K_O}}{dt}+\overline{\omega }\times \overline{K_O}=L_O^{\left(e\right)}$,

где $\frac{\tilde{d}\overline{Q}}{dt}$— локальная производная по времени от вектора количества движения $\overline{Q}$в подвижной системе координат;  $\overline{\omega }$— мгновенная угловая скорость подвижной системы координат; $F_k^{\left(e\right)}$ — сумма сил, действующих на корпус колесной машины; $\frac{\tilde{d}\overline{K_O}}{dt}$ — локальная производная по времени от главного момента количества движения $\overline{K_O}$ относительно центра O; $L_O^{\left(e\right)}$ — главный момент внешних сил, приложенных к твердому телу, относительно центра O.

Векторные выражения теорем на оси подвижной системы координат в развернутом виде будут выглядеть представляются в форме:

$\left\{\begin{array}{l}m{\dot{v}}_{cx}+m({\omega }_y{v}_{cz}-{\omega }_z{v}_{cy})=\sum _k{F}_x^{\left(e\right)};\\ m{\dot{v}}_{cy}+m({\omega }_z{v}_{cx}-{\omega }_x{v}_{cz})=\sum _k{F}_y^{\left(e\right)};\\ m{\dot{v}}_{cz}+m({\omega }_x{v}_{cy}-{\omega }_y{v}_{cx})=\sum _k{F}_z^{\left(e\right)},\end{array}\right.$                                                                     

 $\left\{\begin{array}{l}\frac{d{K}_x}{dt} +(\overline{\omega }\times K_O{)}_x=L_x^{\left(e\right)};\\ \frac{d{K}_y}{dt} +(\overline{\omega }\times K_O{)}_y=L_y^{\left(e\right)};\\ \frac{d{K}_z}{dt} +(\overline{\omega }\times K_O{)}_z=L_z^{\left(e\right)},\end{array}\right.$                                                                                  (1) 

где m — масса колесной машины.

Учитывая, что центробежные моменты инерции могут быть приравнены к нулю, система уравнений примет вид динамических уравнений Эйлера [1–4]. Векторное выражение теоремы на оси подвижной системы координат в конечном виде будет выглядеть следующим образом:

$\left\{\begin{array}{l}{J}_x{\dot{\omega }}_x+{\omega }_z{\omega }_y(J_z-J_y)=L_x^{\left(e\right)};\\ J_y{\dot{\omega }}_y+{\omega }_x{\omega }_z(J_x-J_z)=L_y^{\left(e\right)};\\ J_z{\dot{\omega }}_z+{\omega }_x{\omega }_y(J_y-J_x)=L_z^{\left(e\right)},\end{array}\right.$                                                                                (2)

Если совместить системы уравнений (1) и (2), в одну систему, то можно записать общее уравнение движения кузова автомобиля в проекциях на оси подвижной системы координат:

где ω_x, ω_y, ω_z, ${\dot{\omega }}_x, {\dot{\omega }}_y, {\dot{\omega }}_z$ — проекции угловых скоростей и ускорений математической модели; v_cx, v_cy, v_cz, ${\dot{v}}_{cx}, {\dot{v}}_{cy}, {\dot{v}}_{cz}$, — проекции линейных скоростей и ускорений центра масс C; G_x , G_y , G_z – проекции силы тяжести; F_x , F_y , F_z — проекции силы внешнего воздействия; R_xi, R_yi, R_zi  — проекции реакций в пятне контакта между опорной поверхностью; M_x(F), M_y(F) ,M_z(F),  — проекции момента от сил внешнего воздействия; M_x(R_i), M_y(R_i), M_z(R_i),— проекции момента от реакции в пятне контакта.

Взаимосвязь между положением корпуса автомобиля в пространстве и неподвижной системой координат характеризуется углами Эйлера–Крылова (рис. 2), углом рыскания (θ), углом дифферента (φ), углом крена (ψ) [1–4, 8]:

$\left\{\begin{array}{l}m{\dot{v}}_{cx}+m({\omega }_y{v}_{cz}-{\omega }_z{v}_{cy})=G_x+F_x+\sum _{i=1}^4{R}_{x\text{}i};\\ m{\dot{v}}_{cy}+m({\omega }_z{v}_{cx}-{\omega }_x{v}_{cz})=G_y+F_y+\sum _{i=1}^4{R}_{yi};\\ m{\dot{v}}_{cz}+m({\omega }_x{v}_{cy}-{\omega }_y{v}_{cx})=G_z+F_z+\sum _{i=1}^4{R}_{z\text{}i};\\ J_x{\dot{\omega }}_x+{\omega }_z{\omega }_y(J_z-J_y)=M_x\left(F\right)+\sum _{i=1}^4{M}_{x\text{}}\left(R_i\right);\\ J_y{\dot{\omega }}_y+{\omega }_x{\omega }_z(J_x-J_z)=M_y\left(F\right)+\sum _{i=1}^4{M}_{y\text{}}\left(R_i\right);\\ J_z{\dot{\omega }}_z+{\omega }_x{\omega }_y(J_y-J_x)=M_z\left(F\right)+\sum _{i=1}^4{M}_z\left(R_i\right),\end{array}\right.$                                                         (3)

Полученные углы необходимы для вычисления коэффициентов матрицы направляющих косинусов:

b₁₁ = cos(θ)cos(ϕ);

b₁₂ = cos(θ)sin(ϕ)sin(ψ) − sin(θ)cos(ψ);

b₁₃ = cos(θ)sin(ϕ)cos(ψ) + sin(θ)sin(ψ);

b₂₁ = sin(θ)cos(ϕ);

b₂₂ = sin(θ)sin(ϕ)sin(ψ) + cos(θ)cos(ψ);

b₂₃ = sin(θ)sin(ϕ)cos(ψ) − cos(θ)sin(ψ);

b₃₁ = −sin(ϕ);

b₃₂ = cos(θ)sin(ψ);

b₃₃ = cos(ϕ)cos(ψ).

Матрицы линейного преобразования:

$\left[\begin{array}{l}{v}_{cx\text{НСК}}\\ v_{cy\text{НСК}}\\ v_{cz\text{НСК}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\\ b_{31}& b_{32}& b_{33}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{l}{v}_{cx\text{ПСК}}\\ v_{cy\text{ПСК}}\\ v_{cz\text{ПСК}}\end{array}\right],$

где v_cxПСК, v_cyПСК, v_czПСК, v_cxНСК, v_cyНСК, v_czНСК — проекции мгновенной скорости движения центра масс на оси подвижной и неподвижной систем координат.

 

Рис. 2. Углы Эйлера–Крылова: φ, ψ, θ — углы дифферента, крена, рыскания.

Fig. 2. Euler–Krylov angles: φ, ψ, θ — pitch, roll, yaw angles.

 

Разработка математической модели качения колеса

Скорость движения автотранспортного средства в математической модели обеспечивается за счет приложения крутящего момента на вал колеса [1, 7–9]. Динамика вала колеса описывается следующей системой уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}{J}_{\text{к}i}\cdot {\dot{\omega }}_{\text{к}i}=M_{\text{кр}i}-M_{\text{с}i};\\ M_{\text{с}i}=R_{xi}{r}_0+M_{\text{торм}i}+M_{fi},\end{array}\right.$

где ${\dot{\omega }}_{\text{к}i}$ — угловое ускорение колеса; M_крi — крутящий момент на колесе; M_сi — сумма моментов сопротивлений на колесе; M_торм — тормозной момент; M_fi — момент сопротивления качению колеса; r₀ — радиус качения колеса.

 

Рис. 3. Расчетная схема реакции и скоростей в пятне контакта.

Fig. 3. Analytical scheme of reaction and velocities acting in a contact patch.

 

 При моделировании взаимодействия колеса следует принять следующее предположение: опорное снование неровное и недеформируемое; трение шины об опорное основание стабильно [1, 7–9]. Для построения расчётной схемы качения колеса (рис. 3 и 4), необходимо ввести микроподвижную систему координат (МпСК), в которой происходит взаимодействие колеса с опорным основанием (рис. 4).

 

Рис. 4. Расчетная схема качения эластичного колеса.

Fig. 4. Analytical scheme of elastic wheel rolling on uneven and non-deformable ground surface.

 

Линейная скорость колеса относительно подвижной системы координат рассчитывается по следующей формуле [1, 7–9]:  

v_кПСК = v_cПСК + ω_cПСК × L_кПСК, 

где: v_cПСК — вектор скорости центра масс автомобиля; ω_cПСК — вектор угловой скорости центра масс автомобиля; L_кПСК — радиус-вектор крепления центров колес к корпусу.

Скорость скольжения колеса (рис. 3) в микроподвижной системе координат [1, 5, 6, 8, 9] вычисляется согласно:

$v_{\text{ск}}=\sqrt{v_{x.\text{ск}}^2+v_{y.\text{ск}}^2};$

$v_{\text{x.ск}}=v_{\text{к.x.МпСК}}-v_{\text{отн}};$

$v_{y.\text{ск}}=v_{\text{к}.y.\text{МпСК}}.$

Угол скольжения α_ск изменяется в пределах 0 ≤ α_ск ≤$\frac{\pi }{2}$.

Моделирование эластичного колеса можно представить в виде взаимодействия точек на нижней полуокружности колеса и неровной опорного основания. Положение i–ой точки определяется кратчайшим расстоянием от точки на окружности колеса до центра колеса и вертикальной прямой, проходящей через центр колеса углом αт i (рис. 4).

Координаты точек на продольной X_НСК, поперечной Y_НСК и вертикальной Z_НСК осей неподвижной системы координат вычисляются следующим образом [8, 10]:

X_НСК.т.i = X_НСК.к + r₀ · sin(α_т.i) · sin(θ + β);

Y_НСК.т.i  = Y_НСК.к + r₀ · sin(α_т.i) · sin(θ + β);

Z_НСК.т.i  = Z_НСК.к - r₀ · cos(α_т.i),

где:  X_НСК.к, Y_НСК.к и  Z_НСК.к — координаты центра эластичного колеса в неподвижной системе координат; β – угол поворота управляемого колеса.

Прогиб шины q вычисляется согласно [8, 10]:

q_т.экв =$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0,}{Z}_{\text{грунт.т.}i}\le Z_{\text{НСК.т.}i};\\ (Z_{\text{грунт.т.}i}-Z_{\text{НСК.т.}i})\cos \left(\left|{\alpha }_{\text{т}.i}\right|\right),Z_{\text{грунт.т.}i}>Z_{\text{НСК.т.}i},\end{array}\right.$  

где Z_{грунт.т.i} — вертикальная координата профиля неровности.

Далее рассчитывается эквивалентный угол α_тэкв точки приложения радиальной реакции R_r и тангенциальной реакции R_τ и эквивалентный прогиб эластичного колеса [10]:

${\alpha }_{\text{т.экв}}=\frac{{\displaystyle \sum _i^{n_{\text{т}}}{\alpha }_{\text{т.}i}\cdot q_{\text{т.}i}}}{{\displaystyle \sum _i^{n_{\text{т}}}{q}_{\text{т.}i}}};$ $q_{\text{т.экв}}=\frac{{\displaystyle \sum _i^{n_{\text{т}}}{q}_{\text{т.}i}}}{n_{\text{т}}},$

где n_Т — число точек в полуокружности эластичного колеса.

Далее проецируется вектор линейных скоростей на оси микроподвижной системы координат с учетом эквивалентного угла α_{т экв} точки [10]:

$v_{\text{к.x.МпСК}}=v_{\text{к.}z}\cdot \sin \left({\alpha }_{\text{т.экв}}\right)+(v_{\text{к.}x}\cdot \cos (\beta )+v_{\text{к.}y}\cdot \sin (\beta \left)\right)\cdot \text{cos}\left({\alpha }_{\text{т.экв}}\right);$

$v_{\text{к.y.МпСК}}=-v_{\text{к.}x}\cdot \sin \left(\beta \right)+v_{\text{к.}y}\cdot \cos \left(\beta \right);$

$v_{\text{к.z.МпСК}}=v_{\text{к.}z}\cdot \cos \left(\psi \right)\cos \left(\psi \right).$

Скорость деформации профиля i–ой точки в радиальном направлении:

$\frac{d{q}_{\text{т.}i}}{dt}=\frac{d{Z}_{\text{грунт.т.}i}}{dt} \cdot$cos(α_т.j) - v_r.i ,

где v_r.i  — вектор линейной скорости i–ой точки в радиальном направлении, вычисляемая согласно:

$v_{r.i}=v_{x.\text{МпСК.т.}i}\cdot \sin \left({\alpha }_{\text{т.}i}\right)+v_{z.\text{МпСК.т.}i}\cdot \cos \left({\alpha }_{\text{т.}i}\right).$

Скорости точек контура эластичного колеса вычисляются по формуле [8, 10]:

$v_{x.\text{МпСК.т.}i}={\omega }_{\text{к}}(r_0-q_i)\cos \left({\alpha }_{\text{т.}i}\right)+v_{\text{к.x.МпСК}};$

$v_{z.\text{МпСК.т.}i}={\omega }_{\text{к}}(r_0-q_i)\sin \left({\alpha }_{\text{т.}i}\right)+v_{\text{к.z.МпСК}}.$

Сила взаимодействия с опорной поверхностью в соответствии с [1, 5 – 9] равна:

$R_i=-{\mu }_s\cdot \left|P_{\text{ш.}i}\right|\frac{v_{\text{ск}}}{\left|v_{\text{ск}}\right|};$  ${\mu }_s={\mu }_{s\alpha .\max }\cdot \left(1-e^{-\frac{s_{\text{к}}}{s_0}}\right)\cdot \left(1+e^{-\frac{s_{\text{к}}}{s_1}}\right),$

где: P_ш.i — радиальная реакция в шине i–го колеса; µ_s — коэффициент трения частичного скольжения [1, 5–9] (рис. 5);  µ_sα.max— коэффициент трения полного скольжении; s_к — коэффициент буксования  s_к = v_ск /  (ω_к · r_к)— для тягового режима, s_к = v_ск / v_{к.х.МпСК} — для тормозного режима, s₀ — константа.

 

 

Рис. 5. Графики функции µ_s(s_к) при различных значениях µ_sα.max и s₀ для связных грунтов: а) µ_sα.max= 0,6; s₀ = 0,0458; s₁ = 0,0864; b) µ_sα.max = 0,6; s₀ = 0,1373; s₁ = 0,2539.

Fig. 5. Graphs of the µ_s(s_к) function at various values µ_sα.max and s₀ for cohesive soils: а) µ_sα.max= 0,6; s₀ = 0,0458; s₁ = 0,0864; b) µ_sα.max = 0,6; s₀ = 0,1373; s₁ = 0,2539.

 

Предельная сила, в продольном и поперечном направлении, ограничена эллипсом трения. Так как предельная сила напрямую связана с коэффициентом трения предельного скольжения, тогда в качестве параметров эллипса будут приняты коэффициенты трения при полном буксовании на продольную ось X_МпСК и поперечную ось Y_МпСК соответственно: µ_sx.max , µ_sv.max  (рис. 6).

 

Рис. 6. Эллипс трения.

Fig. 6. Ellipsis of friction.

 

Коэффициент трения полного скольжения, зависящий от угла скольжения, может быть рассчитан по формуле:

${\mu }_{s\alpha .\max }=\frac{{\mu }_{sx.\max }\cdot {\mu }_{sy.\max }}{\sqrt{{{\mu }_{sy.\max }}^2{\cos }^2\left({\alpha }_{\text{ск}}\right)+{{\mu }_{sx.\max }}^2{\sin }^2\left({\alpha }_{\text{ск}}\right)}}$.

Радиальная и тангенциальная силы вычисляются по формулам [4, 8]:

$R_r=\frac{P_{\text{ш.}i}}{\cos \left({\alpha }_{\text{т.}i}\right)};$ 

$R_{\tau }=R_r\cdot {\mu }_s.$

Все силы, действующие на корпус модели автомобиля, должны быть спроецированы на оси подвижной системы координат, для чего необходим переход от микроподвижной системы координат колеса к подвижной системе. Сначала вычисляются проекции суммарной реакции на оси микроподвижной системы координат [8, 10]:

$R_{x.\text{МпСК}}=-\left(R_{\tau }\cos \right({\alpha }_{\text{т.экв}})-R_r\sin ({\alpha }_{\text{т.экв}}\left)\right)\cos \left({\alpha }_{\text{ск}}\right);$

$R_{y.\text{МпСК}}=-R_r\cdot {\mu }_s\cdot \sin \left({\alpha }_{\text{ск}}\right);$

$R_{z.\text{МпСК}}=R_{\tau }\sin \left({\alpha }_{\text{т.экв}}\right)-R_r\cos \left({\alpha }_{\text{т.экв}}\right),$

где

cos(α_ск) = $\frac{v_{x.\text{ск}}}{v_{\text{ск}}}$, sin(α_ск) =$\frac{v_{y.\text{ск}}}{v_{\text{ск}}}$.

Перенос проекций от микроподвижной системы координат на подвижную осуществляется по следующим формулам [8, 10]:

$R_{x.\text{ПСК}}=\left(R_{x.\text{МпСК}}\cos \right({\alpha }_{\text{т.экв}})-R_r\sin ({\alpha }_{\text{т.экв}}\left)\right)\cdot \cos \left(\beta \right)-R_{y.\text{МпСК}}\sin \left(\beta \right);$

$R_{y.\text{ПСК}}=R_{x.\text{МпСК}}\sin \left(\beta \right)+R_{y.\text{МпСК}}\cos \left(\beta \right);$

$R_{z.\text{ПСК}}=R_{z.\text{МпСК}}\cos \left(\psi \right)\cos \left(\phi \right).$

Также моделируются моменты сопротивления качения и момент сопротивления повороту. Момент сопротивления качению вызванный продольным смещением радиальной реакции R_r рассчитываются согласно:

$M_{fR}=R_{z.\text{МпСК}}(r_0-q_{\text{т.экв}})\sin \left({\alpha }_{\text{т.экв}}\right)$.

 

Рис. 7. Расчетная схема действия боковой силы на эластичное колесо.

Fig. 7. Analytical scheme of lateral force acting at an elastic wheel.

 

Общий момент сопротивления повороту состоит из момента сопротивления повороту колеса и стабилизирующего момента, возникающего при уводе (рис. 7). Момент сопротивления согласно [8, 11] можно рассчитать по следующей формуле:

$M_{п.\text{к.}\max }=0.375\cdot {\mu }_{s\alpha .\max }\cdot R_{z.\text{МпСК}}\sqrt{\frac{\pi l_{\text{к}}{b}_{\text{к}}}{4}},$

где l_к — длина пятна контакта; b_к — ширина пятна контакта.

Длина пятна контакта вычисляется по формуле:

$l_{\text{к}}=2\sqrt{r_{\text{к}}^2-{(r_{\text{к}}-q_{\text{т.экв}})}^2}.$

Для поворачивающего катящегося колеса момент сопротивления повороту колеса и стабилизирующий момент колеса примут вид [11]:

$M_{п.\text{к}}=\frac{M_{п.\text{к}.\max }}{\left(1+\mathrm{0,15}\left(\frac{R_{п.\text{к}}}{b_{\text{к}}}\right)\right)};$

$M_{\text{ст}}=R_{y.\text{к.МпСК}}\cdot e+R_{x.\text{к.МпСК}}\cdot d,$

где: R_n.к — радиус траектории катящегося колеса; e — плечо поперечной реакции, e = l_к/6; d — плечо продольной реакции, d = tg(δ)e.

Общий момент сопротивления повороту колеса равен:

$M_{\Sigma \text{сп}}=M_{п.\text{к}}+M_{\text{ст}}$ .

Разработка математической модели подвески

При моделировании движении автомобиля моделируется перемещение центра колеса относительно корпуса в вертикальном направлении [12]. Силы в шине и подвеске зависят от их упругодемпфирующих свойств. Принято, что колесо перемещается вертикально, параллельно вертикальной оси подвижной системы координат.

Расчетная схема, согласно которой составляется дифференциальное уравнение, показана на (рис. 8):

 

Рис. 8. Расчетная схема подвески.

Fig. 8. Analytical scheme of suspension.

 

где m_к — масса колеса; g — ускорение свободного падения; ${\ddot{z}}_{\text{к}.i}$ — ускорение центра колеса в вертикальном направлении; P_z.подв.i — сила со стороны подвески.

Радиальная реакция в шине P_ш.i , зависит от упругодемпфирующих свойств [1, 5–9]:

$P_{\text{ш.}i}=P_{\text{ш.}y.i}+P_{\text{ш.д.}i},$

где $P_{\text{ш.}y.i}=f\left(h_{\text{ш.}i}\right)$, $P_{\text{ш.д.}i}=f\left({\dot{h}}_{\text{ш.}i}\right)$ — упругая и демпфирующая силы в шине, которая является функцией от прогиба шины.

Сила в подвеске  P_подв.i , так же зависит от упругодемпфирующих свойств [1, 5–9]:

$P_{\text{подв.}i}=P_{\text{подв.}y.i}+P_{\text{подв.д.}i},$

где $P_{\text{подв.}y.i}=f\left(h_{\text{подв.}i}\right)$, $P_{\text{подв.д.}i}=f\left({\dot{h}}_{\text{подв.}i}\right)$ — упругая и демпфирующая силы в подвеске, которая является функцией от прогиба подвески.

Моменты сил, действующие на автотранспортное средство в подвижной системе координат, зависят от усилий, прикладываемых на корпус автомобиля и координат точек приложения этих усилий относительно центра масс. С учетом того, что в качестве координат точек приложения усилий выступают геометрические характеристики корпуса, моменты сил от колес относительно осей подвижной системы координат записаны ниже:

$M_x\left(R_i\right)=R_{z.i}\cdot (B_{\text{к}}/2)-R_{y.i}\cdot Z_{\text{к}};$

$M_y\left(R_i\right)=R_{x.i}\cdot Z_{\text{к}}-R_{z.i}\cdot (L_{\text{к}}/2);$

$M_z\left(R_i\right)=R_{y.i}\cdot (L_{\text{к}}/2)-R_{x.i}\cdot (B_{\text{к}}/2),$

где B_к — колея колес; Z_к — вертикальная координата крепления колес; L_к — колесная база.

Похожим образом записываются моменты внешних сил, приложенных на корпус колесной машины:

$M_x\left(F\right)=F_{z.i}\cdot y-F_{y.i}\cdot z;$

$M_y\left(F\right)=F_{x.i}\cdot z-F_{z.i}\cdot x;$

$M_z\left(F\right)=F_{y.i}\cdot x-F_{x.i}\cdot y.$

Моделирование двигателя и трансмиссии

В разрабатываемой модели трансмиссии принимается ограничение [8], что не учитываются потери в трансмиссии и упругие свойства валов [13]. Рассмотрены следующие узлы: двигатель, коробка передач, главная передача.

Уравнение динамики вала двигателя принимает вид [8]:

$J_{\text{дв}}\cdot {\dot{\mathrm{\omega }}}_{\text{дв}}={М}_{\text{кр.дв}}- {М}_{\text{с.дв}},$

где J_дв — момент инерции движущихся частей двигателя; ${\dot{\mathrm{\omega }}}_{\text{дв}}$ — угловое ускорение вала двигателя; M_кр.дв — крутящий момент двигателя;  M_с.дв — момент сопротивления, приложенный к валу двигателя.

Система уравнений коробки передач [8]:

$\left\{\begin{array}{l}{\dot{\mathrm{\omega }}}_{\text{дв}}=i_{\text{кп}}\cdot {\dot{\mathrm{\omega }}}_{\text{кп}};\\ J_{\text{кп}}\cdot {\dot{\mathrm{\omega }}}_{\text{кп}}={М}_{\text{кр.кп}}-{М}_{\text{с.кп}},\end{array}\right.$

где J_кп — момент инерции движущихся частей коробки передач; ${\dot{\mathrm{\omega }}}_{\text{кп}}$ — угловое ускорение выходного вала коробки передач; i_кп— передаточное число коробки передач; M_кр.кп  — крутящий момент на выходном валу коробки передач; M_с.кп — момент сопротивления, приложенный от главной передачи к выходному валу коробки передач.

Система уравнений передней главной передачи [8]:

$\left\{\begin{array}{l}{J}_{\text{к}}\cdot {\dot{\omega }}_{\text{к.прав}}=i_{\text{гп}}\cdot \frac{{М}_{\text{кр.вх}}}{2}-{М}_{\text{с.прав}};\\ J_{\text{к}}\cdot {\dot{\omega }}_{\text{к.лев}}=i_{\text{гп}}\cdot \frac{{М}_{\text{кр.вх}}}{2}-{М}_{\text{с.лев}};\\ {\dot{\omega }}_{\text{вх}}=i_{\text{гп}}\cdot \frac{{\dot{\omega }}_{\text{к.прав}}+{\dot{\omega }}_{\text{к.лев}}}{2},\end{array}\right.$

где ${\dot{\omega }}_{\text{к.прав}}$ — угловое ускорение выходного вала правого колеса; ${\dot{\mathrm{\omega }}}_{\text{к.лев}}$ — угловое ускорение выходного вала левого колеса; ${\dot{\mathrm{\omega }}}_{\text{вх}}$ — угловое ускорение входного вала; i_гп — передаточное число главной передачи; M_кр.вх — крутящий момент входного вала главной передачи; M_с.прав, M_с.лев — момент сопротивления, приложенный к правой и левой полуосей.

Верификация виртуального прототипа

Испытательные заезды проводились на дорогах Инновационного центра «Сколково». В заездах использовался автомобиль Toyota Prius Hybrid (рис. 9). Через бортовую информационную шину CAN, посредством бортовых датчиков записывались сигналы продольного и поперечного ускорения, угловой скорости вокруг вертикальной оси, угла положения рулевого колеса, частот вращения колес.

 

Рис. 9. Автомобиль Toyota Prius Hybrid во время заездов.

Fig. 9. The Toyota Prius Hybrid during the events.

 

Заезд проводился по замкнутой траектории изображенной на рис. 10.

 

Рис. 10. Маршрут испытательного заезда.

Fig. 10. The vehicle motion route.

 

РЕЗУЛЬТАТЫ

Вначале проводится заезд, а затем сравниваются параметры движения автомобиля. На рис. 11 показана траектория движения цифрового двойника автомобиля. Откуда видно, что транспортное средство вернулось в точку старта.

 

Рис. 11. Траектория центра масс математической модели цифрового двойника автомобиля.

Fig. 11. Path of the center of gravity of the mathematical model of the vehicle’s digital twin.

 

Рис. 12. Сравнение параметров движения автомобиля: а) — продольное ускорение, b) — поперечное ускорение, c) — угловая скорость.

Fig. 12. Comparison of vehicle motion indicators: a) longitudinal acceleration; b) lateral acceleration; c) yaw rate.

 

При сравнении испытания и моделирования движения (табл. 1) выяснилось, что относительная среднеквадратическая ошибка ускорений составила 15,37 % и 16,7 % соответственно. В то время как относительная среднеквадратическая ошибка угловой скорости вращения автомобиля вокруг вертикальной оси составила 8,09 %.

 

Таблица 1. Результаты верификационных заездов

Table 1. Results of verification events

Относительная среднеквадратическая ошибка:	Заезд на территории «Сколково»
продольное ускорение	15,37 %
поперечное ускорение	16,7 %
угловая скорость вращения КМ	8,09 %

Результаты свидетельствуют о возможности ее дальнейшего применения для исследования для задач исследования динамики автотранспортных средств.

ВЫВОДЫ

В работе представлена математическая модель движения автотранспортного средства в среде имитационного моделирования MATLAB&Simulink, с различными схемами трансмиссии. В математической модели учтены такие явления как скольжение колеса в боковом направлении, деформация шины при движении по неровной недеформируемой опорной поверхности. Верификационные заезды показали работоспособность и адекватность разработанного цифрового прототипа.

Дополнительно

Вклад авторов. А.В. Антонян ― разработка математической модели движения автотранспортного средства, проведение верификационных испытаний; М.М. Жилейкин ― разработка математической модели движения автотранспортного средства, проведение верификационных испытаний; Ю.М. Фурлетов ― разработка математической модели движения автотранспортного средства, поиск литературных источников. Авторы подтверждают соответствие своего авторства международным критериям ICMJE (все авторы внесли существенный вклад в разработку концепции, проведение исследования и подготовку статьи, прочли и одобрили финальную версию перед публикацией).

Конфликт интересов. Авторы декларируют отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с публикацией настоящей статьи.

Источник финансирования. Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования РФ в рамках проекта «Разработка математической модели эксплуатации шасси (трансмиссии, ходовой части и механизмов управления) в статическом и динамическом состоянии и создание на ее основе цифрового двойника платформы легкового автомобиля» (шифр: FZRR-2023-0007).

Additional information

Authors’ contribution. A.V. Antonyan ― development of a mathematical model of the movement of a motor vehicle, conducting verification tests; M.M. Zhileikin ― development of a mathematical model of the movement of a motor vehicle, conducting verification tests; Yu.M. Furletov ― development of a mathematical model of the movement of a motor vehicle, search for literary sources. All authors made a substantial contribution to the conception of the work, acquisition, analysis, interpretation of data for the work, drafting and revising the work, final approval of the version to be published and agree to be accountable for all aspects of the work.

Competing interests. The authors declare that they have no competing interests.

Funding source. The research was carried out with the financial support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation within the framework of the project “Development of a mathematical model of chassis operation (transmission, chassis and control mechanisms) in static and dynamic states and creation of a digital twin of a passenger car platform on its basis” (code: FZRR-2023-0007).

About the authors

Mikhail M. Zhileykin

KAMAZ Innovation Center; Moscow Polytechnic University

Author for correspondence.
Email: jileykin_m@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-8851-959X
SPIN-code: 6561-3300

Dr. Sci. (Tech.), Head of the Engineering Calculations Group, Professor of the Advanced Engineering School of Electric Transport

Russian Federation, 62 Bolshoy boulevard, Skolkovo Innovation Center, 121205 Moscow; Moscow

Akop V. Antonyan

KAMAZ Innovation Center; Moscow Polytechnic University

Email: AntonyanAV@kamaz.ru
ORCID iD: 0000-0002-5566-6569
SPIN-code: 4797-9808

Cand. Sci. (Tech.), Lead Software and Simulation Engineer, Associate Professor of the Advanced Engineering School of Electric Transport

Russian Federation, 62 Bolshoy boulevard, Skolkovo Innovation Center, 121205 Moscow; Moscow

Yury M. Furletov

Moscow Polytechnic University

Email: yury.furletov@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-7131-0933
SPIN-code: 4919-9869

Cand. Sci. (Tech.), Associate Professor of the Advanced Engineering School of Electric Transport

Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files