Mathematical model of the cross-section of wheat grain

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Требование реализации в Российской Федерации новых прогрессивных технологий уборочного процесса обусловлено постоянным ростом производства зерновых культур в нашей стране. Например, Министерство сельского хозяйства прогнозирует, что Россия сохранит лидерство в производстве пшеницы в 2024 году и доведет экспорт до 50 миллионов тонн зерновых. Однако, решение вопросов снижения трудоемкости, затрат энергии и повышения качества зерна и семян до требуемых параметров традиционными комбайновыми технологиями в настоящее время невозможно [1, 2]. Значительный расход горюче-смазочных материалов (до 7 литров на тонну убранного зерна), увеличение себестоимости продукции производства (до 12 тыс. рублей за тонну зерна), а так же прямые и косвенные потери зерна до 30…50% [3, 4], от всего выращенного урожая диктуют необходимость перехода к современным методам ведения сельского хозяйства.

В частности, результаты многочисленных исследований и передовой производственный опыт свидетельствуют о том, что повысить производительность и энергоэффективность комбайна, а также снизить прямые и косвенные потери зерна, возможно, за счет применения комбайнового очеса. Сравнительные испытания позволяют утверждать о значительной (до 40%) экономии горючего на гектар и увеличении производительности в 1,3 раза, при использовании очесывающей жатки, по сравнению с прямоточной [5]. Одной из проблем указанной технологии уборки является то, что в очесанном ворохе содержится до 85% свободного зерна, поступление которого в молотильный зазор приводит к его повышенному дроблению (до 8%) рабочими органами молотильного барабана, и снижению его качественных показателей [6].

Для исключения этого негативного явления целесообразно производить предварительную сепарацию очесанного вороха с целью выделения из него свободного зерна и направления последнего на очистку, минуя молотильное устройство. При сложившейся компоновочной схеме зерноуборочного комбайна разместить дополнительное сепарирующее устройство можно в наклонной камере [7, 8]. При проведении теоретических исследовании по определению оптимальной длины отверстий решетчатого днища наклонной камеры зерноуборочного комбайна, обеспечивающей предварительную сепарацию очесанного зернового вороха, поперечное сечение зерна пшеницы моделировали в виде отдельно взятого шара или обрезанного цилиндра [9–11]. Это обусловлено тем, что при такой форме зерновки существенным образом упрощается описание процесса сепарации. Однако, такие модели поперечного сечения зерна весьма далеки от реальной формы объекта, поскольку спинная сторона зерновок выпуклая, а на брюшной стороне имеется продольная бороздка. Вследствие этого установлено, что разница в скорости сепарации свободного зерна между теоретическими и экспериментальными данными составляет порядка 30% [12].

 

Рис. 1. Частные случаи поперечного сечения зерна пшеницы выполненной в виде улитки Паскаля: a) a = b (кардиоида); b) a < b (улитка Паскаля без внутренней петли); c) a > b (улитка Паскаля содержит внутреннюю петлю).

Fig. 1. Special cases of the cross-section of wheat grain shaped as the Pascal’s snail: a) a = b (cardioid); b) a < b (the Pascal’s snail without an internal loop); c) a > b (the Pascal’s snail with an internal loop).

 

Наиболее близкой поверхностью к реальной форме поперечного сечения зерновки является математическая модель, разработанная И.А. Маяцкой, которая представляет собой улитку Паскаля (см. рис. 1) [13, 14]. Для этих моделей автором определены координаты центра тяжести фигуры, а также получены уравнения для расчета площади ее поперечного сечения и моментов инерции для каждой оси координат.

 

Рис. 2. Скриншот рабочего окна программы «КОМПАС-3D» при определении центра тяжести кардиоиды a = b = 20 мм.

Fig. 2. Screenshot of the working window of the KOMPAS-3D software when determining the centroid of the cardioid (a = b = 20 mm).

 

Однако, в результате построения указанных моделей поперечного сечения зерновки в программе «КОМПАС-3D» установлено, что расхождение между реальными и теоретически предсказанными значениями координат центра тяжести фигуры составляет порядка 13% [12], что снижает адекватность расчетов и требует их уточнения.

Цель исследований

Целью исследования является уточнение математической модели поперечного сечения зерна пшеницы, выполненной в виде улитки Паскаля.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Объектом исследования является поперечное сечение зерна пшеницы, выполненное в виде улитки Паскаля. При определении координат центра тяжести фигуры использовались методы теоретической механики, а проверку полученных выражений осуществляли в системе трехмерного моделирования «КОМПАС-3D».

РЕЗУЛЬТАТ И ЕГО ОБСУЖДЕНИЕ

Запишем уравнение улитки Паскаля в прямоугольной системе координатах в общем виде [7]

${(x^2+y^2-a\cdot x)}^2-b^2\cdot (x^2+y^2)=\mathrm{0,}$                                                       (1)

где a, b — геометрические параметры фигуры (рис. 1); х, у — декартовы координаты.

Если a = b, то улитка Паскаля становится кардиоидой. Ее уравнение в полярных координатах (φ; r) (-π ≤ φ ≤ π) может быть представлено в следующем виде:

$r=a\cdot (1+\cos \phi )$,                                                                                (2)

где φ — полярный угол радиус-вектора текущей точки кривой.

 

Рис. 3. Скриншот рабочего окна программы «КОМПАС-3D» при определении центра тяжести улитки Паскаля при a = 20 мм и b = 30 мм.

Fig. 3. Screenshot of the working window of the KOMPAS-3D software when determining the centroid of the Pascal’s snail at a = 20 mm and b = 30 mm.

 

Найдем центр тяжести фигуры, ограниченной кардиоидой — точку С (х_с; у_с) (см. рис. 1, а). Так как, в силу симметрии кардиоиды, у_с = 0, то необходимо найти только х_с — абсциссу точки С:

$x_c=\frac{M_y}{S}$,                                                                                                (3)

где S — площадь, ограниченная кардиоидой; M_y — статический момент тела, ограниченного кардиоидой, относительно оси у.

Площадь S фигуры, ограниченной кардиоидой, определим следующим образом:

$S=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\cdot \pi }{r}^2\left(\phi \right)d\phi =\frac{1}{2}{\int }_0^{2\cdot \pi }{\left[a\cdot (1+\cos \phi )\right]}^{2}d\phi =\frac{3\cdot \pi \cdot a^2}{2}$               (4)

Согласно своему определению, статический момент фигуры равен [15]:

$M_y=\underset{S}{\iint }xdxdy$.                                                                                    (5)

Вычислим его, перейдя к полярным координатам для точек (х; у) указанной фигуры

$\begin{array}{c}x=\rho \cos \phi ;y=\rho \sin \phi ;dxdy=\rho d\rho d\phi ;\\ -\pi \le \phi \le \pi ;0\le \rho \le a(1+\cos \phi ).\end{array}$                                          (6)

Тогда

$\begin{array}{l}{M}_y=\underset{S}{\iint }xdxdy=\underset{S}{\iint }\rho \cos \phi \cdot \rho d\rho d\phi =\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos \phi d\phi \underset{0}{\overset{a(1+\cos \phi )}{\int }}{\rho }^{2}d\rho =\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos \phi d\phi \cdot \frac{1}{3}{\rho }^3\left|\begin{array}{c}{}^{a(1+\cos \phi )}\\ {}_{\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}0& & \end{array}& \end{array}}\end{array}\right.=\\ =\frac{a^3}{3}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{(1+\cos \phi )}^3\cos \phi d\phi =\frac{5\pi }{4}{a}^3.\end{array}$(7)

На основании (4) и (7) из (3) получаем:

$x_c=\frac{5}{6}a$.                                                                                               (8)

Рассмотрим пример, в котором диаметр начальной окружности равен а = 20 мм. Тогда согласно (8), центр тяжести кардиоиды будет находится от начала координат на расстоянии х_с = 16,67 мм.

Для подтверждения теоретических исследований, в программе «КОМПАС-3D» была построена кардиоида (см. рис. 2) и определена абсцисса центра тяжести фигуры х_с = 16,67 мм, а также площадь ее поперечного сечения S = 1884,95 мм2. Результаты построения свидетельствуют об адекватности полученных уравнений (4) и (8), поскольку сходимость теоретических и экспериментальных данных составляет 100%.

По аналогии с кардиоидой, найдем положение центра тяжести фигуры, ограниченной улиткой Паскаля для случая, когда 0 < a < b (рис. 1, b).

Уравнение улитки Паскаля в полярных координатах (φ; r) (-π ≤ φ ≤ π) имеет следующий вид [7]:

$r=a\cdot \cos \phi +b$.                                                                                          (9)

Площадь S, ограниченная улиткой Паскаля:

$S=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\cdot \pi }{r}^2\left(\phi \right)d\phi =\frac{1}{2}{\int }_0^{2\cdot \pi }{(a\cdot \cos \phi +b)}^{2}d\phi =\frac{\pi \cdot a^2}{2}+\pi \cdot b^2$.           (10)

Вычислим статический момент фигуры, перейдя к полярным координатам для точек (х; у) указанной фигуры

$\begin{array}{c}x=\rho \cos \phi ;y=\rho \sin \phi ;dxdy=\rho d\rho d\phi ;\\ -\pi \le \phi \le \pi ;0\le \rho \le a\cdot \cos \phi +b.\end{array}$                                             (11)

Тогда

$\begin{array}{l}{M}_y=\underset{S}{\iint }xdxdy=\underset{S}{\iint }\rho \cos \phi \cdot \rho d\rho d\phi =\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos \phi d\phi \underset{0}{\overset{a\cdot \cos \phi +b}{\int }}{\rho }^{2}d\rho =\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos \phi d\phi \cdot \frac{1}{3}{\rho }^3\left|\begin{array}{c}{}^{a\cdot \cos \phi +b}\\ {}_{\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}0& & \end{array}& \end{array}}\end{array}\right.=\\ =\frac{1}{3}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{(a\cdot \cos \phi +b)}^3\cos \phi d\phi =\frac{\pi \cdot a\cdot (a^2+4\cdot b^2)}{4}.\end{array}$(12)

На основании (10) и (11) из (3) получаем:

$x_c=\frac{a\cdot (a^2+4\cdot b^2)}{2\cdot (a^2+2\cdot b^2)}.$                                                                             (13)

Рассмотрим пример, в котором исследуемый вариант улитки Паскаля имеет следующие исходные параметры: а = 20 мм, b = 30 мм. Тогда согласно (13), центр тяжести фигуры расположен на расстоянии от начала координат х_с = 18,18 мм.

По этим же данным в программе «КОМПАС-3D» была построена улитка Паскаля и определена реальная координата центра тяжести фигуры х_с = 18,18 мм (рис. 3). Результаты построения свидетельствуют об адекватности полученного уравнения (13). Сходимость теоретических и экспериментальных данных здесь также составляет 100%.

 

Рис. 4. Улитка Паскаля с внутренней петлей.

Fig. 4. The Pascal’s snail with an internal loop.

 

Рассмотрим третий частный случай, когда 0 < b < a, улитка Паскаля содержит внутреннюю петлю рис. 4.

Запишем ее уравнение в полярных координатах (φ; r) [7]:

$x=r\cdot \cos \phi ,y=r\cdot \sin \phi .$                                                           (14)

Тогда уравнение (1) примет вид:

${(r^2-a\cdot r\cdot \cos \phi )}^2-b^2\cdot r^2=\mathrm{0,}\Rightarrow r=a\cdot \cos \phi \pm b.$                       (15)

Исследуем это уравнение при различных знаках перед b.

При знаке (–) имеем:

($r=a\cdot \cos \phi -b.$16)

Условие r ≥ 0 дает:

$a\cdot \cos \phi -b\ge 0\Rightarrow \cos \phi \ge \frac{b}{a}\Rightarrow -\alpha \le \phi \le \alpha ,\text{\hspace{1em}где\hspace{1em}}\alpha \text{=arccos}\frac{b}{a}.$               (17)

То есть получаем:

$r=a\cdot \cos \phi -b\left(-\alpha \le \phi \le \alpha ;\alpha \text{=arccos}\frac{b}{a}\right).$                               (18)

Уравнение (18) петли в полярных координатах соответствует рис. 4.

При знаке (+) в (15) получаем (опять при выполнении требования r ≥ 0):

$r=a\cdot \cos \phi +b\left(-(\pi -\alpha )\le \phi \le \pi -\alpha \right).$                                        (19)

Уравнение (19) внешней линии улитки Паскаля в полярных координатах.

А теперь опираясь на уравнения (18) и (19), найдем центр тяжести улитки Паскаля. Для этого найдем площадь, ограниченную фигурой при отсутствии внутренней петли:

$\begin{array}{l}S={\int }_{-(\pi -\alpha )}^{\pi -\alpha }d\phi {\int }_0^{a\cdot \cos \phi +b}\rho d\rho =\frac{1}{2}{\int }_{-(\pi -\alpha )}^{\pi -\alpha }{(a\cdot \cos \phi +b)}^{2}d\phi ={\int }_0^{\pi -\alpha }{(a\cdot \cos \phi +b)}^{2}d\phi =\left|\alpha =\arccos \frac{b}{a}\right|=\\ =\left(\frac{a^2}{2}+b^2\right)\cdot (\pi -\alpha )+\frac{3}{2}\cdot b\cdot \sqrt{a^2-b^2}.\end{array}$(20)

Вычислим статический момент, перейдя к полярным координатам для точек (x; y) указанной фигуры:

$\begin{array}{c}x=\rho \cos \phi ;y=\rho \sin \phi ;dxdy=\rho d\rho d\phi ;\\ -\pi \le \phi \le \pi ;0\le \rho \le a\cdot \cos \phi +b.\end{array}$                                           (21)

Тогда:

$\begin{array}{l}{M}_y=\underset{S}{\iint }xdxdy=\underset{S}{\iint }\rho \cos \phi \cdot \rho d\rho d\phi =\underset{-(\pi -\alpha )}{\overset{\pi -\alpha }{\int }}\cos \phi d\phi \underset{0}{\overset{a\cdot \cos \phi +b}{\int }}{\rho }^{2}d\rho =\underset{-(\pi -\alpha )}{\overset{\pi -\alpha }{\int }}\cos \phi d\phi \cdot \frac{1}{3}{\rho }^3\left|\begin{array}{c}{}^{a\cdot \cos \phi +b}\\ {}_{\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}0& & \end{array}& \end{array}}\end{array}\right.=\\ =\frac{2}{3}\underset{0}{\overset{\pi -\alpha }{\int }}{(a\cdot \cos \phi +b)}^3\cos \phi d\phi =\left|\alpha =\arccos \frac{b}{a}\right|=\frac{1}{4}\cdot a\left(a^2+4\cdot b^2\right)\left(\pi -\alpha \right)+\frac{1}{12}\cdot \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\cdot b\cdot \left(13\cdot a^2+2\cdot b^2\right).\end{array}$(22)

На основании (20) и (22) из (3) получаем:

$x_c=\frac{\frac{1}{4}\cdot a\left(a^2+4\cdot b^2\right)\left(\pi -\alpha \right)+\frac{1}{12}\cdot \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\cdot b\cdot \left(13\cdot a^2+2\cdot b^2\right)}{\left(\frac{a^2}{2}+b^2\right)\cdot (\pi -\alpha )+\frac{3}{2}\cdot b\cdot \sqrt{a^2-b^2}}.$           (23)

Рассмотрим пример, в котором исследуемый вариант улитки Паскаля имеет следующие исходные параметры: а = 20 мм, b = 15 мм. Тогда согласно (23), центр тяжести фигуры будет находиться на расстоянии от начала координат х_с = 15,38 мм.

Построим тот же вариант улитки Паскаля. Используя пакет прикладных программ в системе трехмерного моделирования «КОМПАС-3D» определено реальное значение координаты центра тяжести фигуры х_с = 15,38 мм (рис. 5). Результаты построения свидетельствуют об адекватности полученного уравнения (23). Сходимость теоретических и экспериментальных данных составляет 100%.

 

Рис. 5. Скриншот рабочего окна программы «КОМПАС-3D» при определении центра тяжести улитки Паскаля при a = 20 мм и b = 15 мм.

Fig. 5. Screenshot of the working window of the KOMPAS-3D software when determining the centroid of the Pascal’s snail at a = 20 mm and b = 15 mm.

 

Таким образом, использование уточненных математических моделей поперечного сечения зерна пшеницы позволяет повысить точность расчетов процесса сепарации очесанного вороха на решетчатом днище наклонной камеры зерноуборочного комбайна. При этом, для упрощения описания указанного процесса целесообразно использовать систему трехмерного моделирования «КОМПАС-3D».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. При выполнении теоретических исследований сепарации поперечное сечение зерна пшеницы целесообразно моделировать в виде улитки Паскаля.
2. Получены математические выражения для аналитического нахождения координат центров тяжести для разных вариантов улитки Паскаля: a = b (кардиоида), a < b (улитка Паскаля без внутренней петли), a > b (улитка Паскаля содержит внутреннюю петлю). Проверка полученных выражений свидетельствует об их адекватности, поскольку сходимость теоретических и экспериментальных данных составляет 100%.
3. Использование уточненных математических моделей поперечного сечения зерна пшеницы позволяет повысить точность расчетов процесса сепарации очесанного вороха на решетчатом днище наклонной камеры зерноуборочного комбайна. При этом для упрощения описания указанного процесса целесообразно использовать систему трехмерного моделирования «КОМПАС-3D».

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Вклад авторов. В.В. Никитин — поиск публикаций по теме статьи, написание текста рукописи; В.Н. Ожерельев — экспертная оценка, редактирование текста рукописи, утверждение финальной версии; Н.В. Синяя — создание изображений, редактирование текста рукописи. Авторы подтверждают соответствие своего авторства международным критериям ICMJE (все авторы внесли существенный вклад в разработку концепции, проведение исследования и подготовку статьи, прочли и одобрили финальную версию перед публикацией).

Конфликт интересов. Авторы декларируют отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с публикацией настоящей статьи.

Источник финансирования. Авторы заявляют об отсутствии внешнего финансирования при проведении исследования.

ADDITIONAL INFORMATION

Authors’ contribution. V.V. Nikitin — analysis of publications on the research topic, writing the text of the manuscript; V.N. Ozhereliev — expert opinion, editing the text of the manuscript, approval of the final version of the manuscript; N.V. Sinyaya — creating figures, editing the text of the manuscript. All authors made a substantial contribution to the conception of the work, acquisition, analysis, interpretation of data for the work, drafting and revising the work, final approval of the version to be published and agree to be accountable for all aspects of the work.

Competing interests. The authors declare that they have no competing interests.

Funding source. This study was not supported by any external sources of funding.

About the authors

Victor V. Nikitin

Bryansk State Agrarian University

Author for correspondence.
Email: viktor.nike@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-1393-2731
SPIN-code: 5246-6938
Scopus Author ID: 57201686117

Associate Professor, Dr. Sci. (Engineering), Head of the Technical Service Department

Russian Federation, 2a Sovetskaya street, 243365 Kokino, Vygonichsky District of Bryansk Oblast

Victor N. Ozhereliev

Bryansk State Agrarian University

Email: vicoz@bk.ru
ORCID iD: 0000-0002-2121-3481
SPIN-code: 3423-0991
Scopus Author ID: 57195608281

Professor, Dr. Sci. (Agriculture), Professor of the Technical Systems in Agrobusiness, Environmental Management and Road Construction Department

Russian Federation, 2a Sovetskaya street, 243365 Kokino, Vygonichsky District of Bryansk Oblast

Natalia V. Sinyaya

Bryansk State Agrarian University

Email: sinzea@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-1794-1347
SPIN-code: 9225-4347

Cand. Sci. (Engineering), Associate Professor of the Technical Service Department

Russian Federation, 2a Sovetskaya street, 243365 Kokino, Vygonichsky District of Bryansk Oblast

References

Supplementary files