The method for calculating the support reactions of a statically indeterminable final drive shaft of a tractor drive axle

Full Text

Введение

Система является статически определимой, если наложенные на неё связи обеспечивают её кинематическую неизменяемость, а число неизвестных сил не превышает число уравнений статики. Статически неопределимыми системами являются те, у которых число неизвестных силовых факторов превышает их количество, определяемое из уравнений равновесия твёрдого тела [1].

Для задач со статически неопределимыми системами существуют различные методы решения, такие как метод сил или метод перемещений. Однако в учебном процессе при изучении конструирования и расчёта деталей машин рассматриваются, как правило, статически определимые системы благодаря большей простоте и наглядности. Тем не менее, в практике проектирования узлов трансмиссий транспортных средств широко применяются статически неопределимые системы. Например, валы центральной передачи ведущих мостов тракторов и грузовых автомобилей, как правило, устанавливаются на трёх подшипниках качения. При расчёте подшипников в таких узлах применяются методы, раскрывающие статическую неопределимость и позволяющие определить величину опорных реакций, действующих на подшипники. Интерес представляет формализация методов раскрытия статической неопределимости при проектировании узлов трансмиссий транспортных средств, в частности, центральных передач, для расчёта подшипников.

Цель исследования

Целью работы является формализация методики определения опорных реакций в статически неопределимых центральных передачах ведущих мостов для расчёта подшипников.

Объектом исследования выбрана одинарная коническая центральная передача ведущего моста трактора «Кировец» К-7М так, как и ведущий, и ведомый валы данной центральной передачи установлены по схеме, образующей статически неопределимую систему, которая не рассматривается в литературе по проектированию трансмиссий транспортных средств.

Методы

Центральная передача тракторного ведущего моста состоит из ведущего и ведомого валов с коническими зубчатыми колёсами, находящимися в зацеплении (рис. 1, a).

 

Рис 1. Центральная передача тракторного ведущего моста: a — центральная передача в сборе; b — эскиз ведущего вала; с — эскиз ведомого вала.

Fig 1. The bevel final drive of the tractor drive axle: a — the final drive assembly; b — a sketch of the input shaft; с — a sketch of the output shaft.

 

Ведущий вал представляет собой вал-шестерню, закреплённую в картере центральной передачи на трёх однорядных подшипниках A’, A’’, B (рис. 1, b). Ведомый вал представляет собой сборочную единицу, состоящую из дифференциала в сборе и конического зубчатого колеса, закреплённого на нём (рис. 1, c). Ведомый вал закреплён в картере с помощью двухрядного подшипника С и однорядного подшипника D. Так как тела качения в подшипнике C расположены в два ряда, то и нормальных реакций в таком подшипнике будет две. Для определения реакций, действующих в двухрядном подшипнике, каждый ряд рассматривается по отдельности, условно заменяясь однорядным подшипником.

Возникающая в зацеплении конической передачи сила раскладывается на три составляющие: окружная, радиальная, осевая, воспринимаемые подшипниками и валами, на которых установлены зубчатые колеса. За точку приложения сил принимают точку зацепления в средней плоскости колеса [2]. Радиальная сила F_r и изгибающий момент M_a, создаваемый осевой силой F_a создают поперечный изгиб; окружная сила F_t изгибает вал, а крутящий момент M, создаваемый ей, вал скручивает. Данные составляющие указываются на расчётной схеме валов. Также, при составлении расчётной схемы учитывается внутренняя геометрия подшипников для того, чтобы верно оценить координаты точек приложения нормальных реакций опор.

Смещение точки приложения реакции a для конических подшипников рассчитывается по следующей формуле [2]:

$a=\mathrm{0,5}\cdot \left(T+\frac{d+D}{4}\cdot e\right)$,

где: e — коэффициент влияния осевого нагружения. Рассчитывается по формуле [3]:

$e=\mathrm{1,5}\cdot \mathrm{tg}\alpha$.

Для раскрытия статической неопределимости используется метод, в основе которого лежит теорема Кастилиано, применяемая для определения упругих перемещений в стержневых системах. Формулируется теорема Кастилиано следующим образом: обобщённое перемещение точки приложения обобщённой силы по направлению её действия равно частной производной от потенциальной энергии деформации по соответствующей этому перемещению обобщающей силе [1]. Формальная запись в соответствии с источником [4]:

$\Delta =\frac{\partial U}{\partial X}$,

где U — потенциальная энергия деформации, Дж; X — обобщённая сила, Н.

Для системы с лишними связями энергия деформации имеет минимальное значение: $∆=0$, и статически неопределимые усилия определяются из соотношения [4]:

$0=\frac{\partial U}{\partial X}$. (1)

Потенциальная энергия деформации численно равна работе внешних сил при нагружении системы или работе внутренних сил, совершаемой в процессе разгрузки [1].

При изгибе вала потенциальная энергия деформации определяется по формуле [5]:

$U=\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}\cdot \underset{0}{\overset{l}{\int }}\frac{M_x^2}{E\cdot J_z}\cdot dz$, (2)

где: $E\cdot J_z$ — жёсткость поперечного сечения вала при изгибе; E — модуль упругости, Па; J_z — осевой момент инерции вала, кг·м²; M_x — изгибающий момент, Н·м; l — длина участка вала, м; n — количество рассматриваемых участков.

При кручении вала, потенциальная энергия деформации вала определяется по формуле [6]:

$U=\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}\cdot \underset{0}{\overset{l}{\int }}\frac{M_z^2}{G\cdot J_p}\cdot dz$, (3)

где: G — модуль сдвига, Па; J_p — полярный момент инерции, кг·м²; M_z — крутящий момент, Н·м; l — длина участка вала, м; n — количество рассматриваемых участков.

С учётом формулы (1), дифференцируя выражения (2) и (3), получаем:

$\frac{1}{E\cdot J_z}\sum _{i=1}^n\underset{0}{\overset{l_i}{\int }}{M}_{x_i}\frac{\partial M_{x_i}}{\partial X}\cdot d{z}_i=0$,

$\frac{1}{G\cdot J_p}\sum _{i=1}^n\underset{0}{\overset{l_i}{\int }}{M}_{z_i}\frac{\partial M_{z_i}}{\partial X}\cdot d{z}_i=0$.

В силу того, что $\frac{1}{E\cdot J_z}\ne 0$ и $\frac{1}{G\cdot J_p}\ne 0$, получаем следующую общую формулу:

$\sum _{i=1}^n\underset{0}{\overset{l_i}{\int }}{M}_i\frac{\partial M_i}{\partial X}\cdot d{z}_i=0$. (4)

Результаты

Значения, сил, действующих в зацеплении конической передачи приведены в табл. 1. Данные были получены при расчете сил, действующих в элементах трансмиссии трактора «Кировец» К-7М на основании внешней скоростной характеристики двигателя, размера колёсных шин, массы трактора, передаточных чисел коробки переключения передач и геометрических характеристик конических зубчатых колес центральной передачи.

 

Таблица 1. Силы, действующие в зацеплении конической передачи

Table 1. Forces acting in the bevel gear coupling

Силовые параметры	Окружная сила, Ft , кН	Радиальная сила, Fr , кН	Осевая сила Fa , кН	Изгибающий момент, Ma , кН·м
Ведущая шестерня	41,016	9,258	33,039	1,898
Ведомое колесо	41,016	33,039	9,258	0,532

 

Геометрические характеристики подшипников, устанавливаемых в качестве опор валов центральной передачи, приведены в табл. 2.

 

Таблица 2. Подшипники центральной передачи ведущего моста трактора «Кировец» серии К-7

Table 2. Bearings the bevel final drive of the drive axle of the Kirovets K-7 series tractor

Обозначение опоры	A’	A’’	B	C	C’, C’’	D
Обозначение подшипника	7316А ГОСТ 27365-87	7317А ГОСТ 27365-87	102313А ГОСТ 8328-75	97520 ГОСТ 6364-78	7520А ГОСТ 27365-87	122 ГОСТ 8338-75
Диаметр отверстия, d, мм	80 [7]	85 [7]	65 [8]	100 [9]	100 [7]	110 [10]
Наружный диаметр, D, мм	170 [7]	180 [7]	140 [8]	180 [9]	180 [7]	170 [10]
Общая ширина, T, мм	42,5 [7]	44,5 [7]	33 [8]	112 [9]	49 [7]	28 [10]
Ширина внутреннего кольца, B, мм	39 [7]	41 [7]	33 [8]	46 [9]	46 [7]	28 [10]
Угол наклона дорожки качения, α, град	12°57’10’’ [7]	12°57’10’’ [7]	0	-	15°38’32’’ [7]	0
Смещение точки приложения реакции, a, мм	35,625	37,488	0	-	44,1	0

 

Ведущий вал

На рис. 2 приведена расчётная схема ведущего вала. На схеме обозначены три участка, на которых действуют напряжения: l₁₁, l₁₂, l₁₃, а общая длина участка составляет L1.

 

Рис. 2. Расчётная схема ведущего вала.

Fig. 2. Calculation scheme of the input shaft.

 

Исходя из геометрических размеров элементов, представленных на расчётной схеме, определены расчётные значения длин рассматриваемых участков (табл. 3).

 

Таблица 3. Геометрические характеристики ведущего вала

Table 3. Geometric characteristics of the input shaft

Участок	L1	l11	l12	l13
Длина, мм	185,12	89,61	38,76	56,75

 

Для раскрытия статической неопределимости по формуле (4) реакции B_x и B_y заменены обобщёнными силами X_x и X_y, соответственно, и составлены расчётные схемы сил, спроецированных на плоскости YOZ (рис. 3) и XOZ (рис. 4).

 

Рис. 3. Расчётная схема сил, спроецированных на плоскости YOZ.

Fig. 3. Calculation scheme of forces projected onto the YOZ plane.

 

Рис. 4. Расчётная схема сил, спроецированных на плоскости ХOZ.

Рис. 4. Расчётная схема сил, спроецированных на плоскости ХOZ.

 

Для каждой проекции составлены уравнения моментов на каждом участке, чтобы найти обобщённую силу, и два уравнения равновесия, чтобы найти нормальные реакции в опорах A’ и A’’.

Вертикальная плоскость

Уравнения равновесия:

Первое уравнение равновесия:

$\sum M_{i_{A\text{'}}}=0$;

$-A\text{'}{\text{'}}_y\cdot l_{11}+F_r\cdot \left(l_{11}+l_{12}\right)-M_a-X_Y\cdot L_1=0$;

$A\text{'}{\text{'}}_y=\frac{{\displaystyle F_r\cdot \left(l_{11}+l_{12}\right)-M_a-X_Y\cdot L_1}}{{\displaystyle l_{11}}}$. (5)

Второе уравнение равновесия:

$\sum M_{i_{A\text{'}\text{'}}}=0$;

$-A{\text{'}}_y\cdot l_{11}+F_r\cdot l_{12}-M_a-X_Y\cdot \left(l_{12}+l_{13}\right)=0$;

$A{\text{'}}_y=\frac{{\displaystyle M_a+X_Y\cdot \left(l_{12}+l_{13}\right)-F_r\cdot l_{12}}}{{\displaystyle l_{11}}}$. (6)

Уравнения моментов:

Участок 0 ≤ z₁₁ ≤ l₁₁:

$M_{x_{{}_{11}}}=A{\text{'}}_y\cdot z_{{}_{11}}$.

С учётом выражения (6):

$M_{x_{{}_{11}}}=\frac{{\displaystyle M_{{}_a}+X_{{}_Y}\cdot \left(l_{12}+l_{13}\right)-F_r\cdot l_{12}}}{{\displaystyle l_{{}_{11}}}}\cdot z_{{}_{11}}$;

$\frac{\partial {{\displaystyle M}}_{{\displaystyle x_{{}_{11}}}}}{\partial {{\displaystyle X}}_{{}_Y}}=\frac{{\displaystyle z_{{}_{11}}\cdot \left(l_{{}_{12}}+l_{{}_{13}}\right)}}{{\displaystyle l_{{}_{11}}}}$.

Участок l₁₁ ≤ z₁₂ ≤ l₁₁+ l₁₂:

$M_{x_{{}_{12}}}=X_{{}_Y}\cdot \left(l_{{}_{13}}+z_{{}_{12}}\right)-F_r\cdot z_{{}_{12}}+M_{{}_a}$;

$\frac{\partial {{\displaystyle M}}_{{\displaystyle x_{{}_{12}}}}}{\partial {{\displaystyle X}}_{{}_Y}}=l_{{}_{13}}+z_{{}_{12}}$.

Участок 0 ≤ z₁₃ ≤ l₁₃:

$M_{{{}_x}_{{}_{13}}}=X_{{}_Y}\cdot z_{{}_{13}}$;

$\frac{\partial {{\displaystyle M}}_{{{\displaystyle {}_x}}_{{}_{13}}}}{\partial {{\displaystyle X}}_{{}_Y}}=z_{{}_{13}}$.

Равенство (4) для всего участка L1:

$\begin{array}{l}\underset{0}{\overset{}{\int }}\left(\frac{{\displaystyle M_{{}_a}+X_{{}_Y}\cdot \left(l_{{}_{12}}+l_{{}_{13}}\right)-F_{{}_r}\cdot l_{{}_{12}}}}{{\displaystyle l_{{}_{11}}}}\cdot z_{{}_{11}}\right)\cdot \left[\frac{{\displaystyle z_{{}_{11}}\cdot \left(l_{{}_{12}}+l_{{}_{13}}\right)}}{{\displaystyle l_{{}_{11}}}}\right]d{z}_{{}_{11}}+\\ +\underset{0}{\overset{}{\int }}\left(M_{{}_a}+X_{{}_Y}\cdot \left(l_{{}_{12}}+l_{{}_{13}}\right)-F_{{}_r}\cdot l_{{}_{12}}\right)\cdot \left[l_{{}_{13}}+z_{{}_{12}}\right]d{z}_{{}_{12}}+\underset{0}{\overset{}{\int }}{z}_{{}_{13}}\cdot \left(X_{{}_Y}\cdot z_{{}_{13}}\right)d{z}_{{}_{13}}=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{{\displaystyle X_{{}_Y}\cdot l_{{}_{13}^3}}}{3}+\frac{{\displaystyle l_{{}_{12}}\cdot \left(2\cdot X_{{}_Y}\cdot l_{12}^2-2\cdot F_{{}_r}\cdot l_{12}^2+6\cdot X_{{}_Y}\cdot l_{13}^2+3\cdot M_{{}_a}\cdot l_{{}_{12}}\right)}}{6}+\\ +\frac{{\displaystyle l_{{}_{12}}\cdot \left(6\cdot M_{{}_a}\cdot l_{{}_{13}}-3\cdot F_{{}_r}\cdot l_{{}_{12}}\cdot l_{{}_{13}}+6\cdot X_{{}_Y}\cdot l_{{}_{12}}\cdot l_{{}_{13}}\right)}}{6}+\\ +\frac{{\displaystyle l_{{}_{11}}\cdot \left(l_{{}_{12}}+l_{{}_{13}}\right)\cdot \left(M_{{}_a}-F_{{}_r}\cdot l_{{}_{12}}+X_{{}_Y}\cdot \left(l_{{}_{12}}+l_{{}_{13}}\right)\right)}}{3}=0\end{array}$

Из последнего равенства выражается XY:

$X_{{}_Y}=\frac{\frac{{\displaystyle l_{{}_{12}}\cdot \left(2\cdot F_{{}_r}\cdot l_{12}^2-3\cdot M_{{}_a}\cdot l_{{}_{12}}-6\cdot M_{{}_a}\cdot l_{{}_{13}}+3\cdot F_{{}_r}\cdot l_{{}_{12}}\cdot l_{{}_{13}}\right)}}{6}-\frac{{\displaystyle l_{{}_{11}}\cdot \left(M_{{}_a}-F_{{}_r}\cdot l_{{}_{12}}\right)\cdot \left(l_{{}_{12}}+l_{{}_{13}}\right)}}{3}}{\frac{{\displaystyle l_{{}_{11}}\cdot {\left(l_{{}_{12}}+l_{{}_{13}}\right)}^2}}{3}+\frac{l_{13}^3}{3}+\frac{{\displaystyle l_{{}_{12}}\cdot \left(2\cdot l_{12}^2+6\cdot l_{{}_{12}}\cdot l_{{}_{13}}+6\cdot l_{13}^2\right)}}{6}}$. (7)

Горизонтальная плоскость

Уравнения равновесия:

Первое уравнение равновесия:

$\sum M_{i_{A\text{'}\text{'}}}=0$;

$-A_{{}_X}^{\text{'}}\cdot l_{{}_{11}}+F_{{}_t}\cdot l_{{}_{12}}-X_{{}_X}\cdot \left(l_{{}_{12}}+l_{{}_{13}}\right)=0$;

$A_{{}_X}^{\text{'}}=\frac{{\displaystyle X_{{}_X}\cdot \left(l_{{}_{12}}+l_{{}_{13}}\right)-F_{{}_t}\cdot l_{{}_{12}}}}{{\displaystyle l_{{}_{11}}}}$. (8)

Второе уравнение равновесия:

$\sum M_{i_{A\text{'}}}=0$;

$-A_{{}_X}^{\text{'}\text{'}}\cdot l_{{}_{11}}+F_{{}_t}\cdot \left(l_{{}_{12}}+l_{{}_{13}}\right)-X_{{}_X}\cdot L_{{}_1}=0$;

$A_{{}_X}^{\text{'}\text{'}}=\frac{{\displaystyle F_{{}_t}\cdot \left(l_{{}_{12}}+l_{{}_{13}}\right)-X_{{}_X}\cdot L_{{}_1}}}{{\displaystyle l_{{}_{11}}}}$. (9)

Уравнения моментов:

Участок 0 ≤ z₁₁ ≤ l₁₁:

$M_{{{}_y}_{11}}=A{\text{'}}_{{}_x}\cdot z_{{}_{11}}$

С учётом выражения (8):

$M_{{{}_y}_{11}}=\frac{{\displaystyle X_{{}_X}\cdot \left(l_{{}_{12}}+l_{{}_{13}}\right)-F_{{}_t}\cdot l_{{}_{12}}}}{{\displaystyle l_{{}_{11}}}}\cdot z_{{}_{11}}$;

$\frac{\partial {{\displaystyle M}}_{{{\displaystyle {}_y}}_{11}}}{\partial {{\displaystyle X}}_{{}_X}}=\frac{{\displaystyle z_{{}_{11}}\cdot \left(l_{{}_{12}}+l_{{}_{13}}\right)}}{{\displaystyle l_{{}_{11}}}}$

Участок l₁₁ ≤ z₁₂ ≤ l₁₁+ l₁₂:

$M_{{{}_y}_{12}}=X_{{}_X}\cdot \left(l_{{}_{13}}+z_{{}_{12}}\right)-F_{{}_t}\cdot z_{{}_{12}}$;

$\frac{\partial {{\displaystyle M}}_{{{\displaystyle {}_y}}_{12}}}{\partial {{\displaystyle X}}_{{}_X}}=l_{{}_{13}}+z_{{}_{12}}$.

Участок 0 ≤ z₁₃ ≤ l₁₃:

$M_{{{}_y}_{13}}=X_{{}_X}\cdot z_{{}_{13}}$;

$\frac{\partial {{\displaystyle M}}_{{{\displaystyle {}_y}}_{13}}}{\partial {{\displaystyle X}}_{{}_X}}=z_{{}_{13}}$.

Равенство (4) для всего участка L1:

$\begin{array}{l}\underset{0}{\overset{}{\int }}\left(\frac{{\displaystyle X_{{}_X}\cdot \left(l_{{}_{12}}+l_{{}_{13}}\right)-F_{{}_t}\cdot l_{{}_{12}}}}{{\displaystyle l_{{}_{11}}}}\cdot z_{{}_{11}}\right)\cdot \left[\frac{{\displaystyle z_{{}_{11}}\cdot \left(l_{{}_{12}}+l_{{}_{13}}\right)}}{{\displaystyle l_{{}_{11}}}}\right]d{z}_{{}_{11}}+\\ +\underset{0}{\overset{}{\int }}\left(X_{{}_X}\cdot \left(l_{{}_{13}}+z_{{}_{12}}\right)-F_{{}_t}\cdot z_{{}_{12}}\right)\cdot \left[l_{{}_{13}}+z_{{}_{12}}\right]d{z}_{{}_{12}}+\underset{0}{\overset{}{\int }}{z}_{{}_{13}}\cdot \left(X_{{}_X}\cdot z_{{}_{13}}\right)d{z}_{{}_{13}}=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{{\displaystyle X_{{}_X}\cdot l_{12}^3}}{3}-\frac{{\displaystyle F_{{}_t}\cdot l_{12}^3}}{3}+\frac{{\displaystyle X_{{}_X}\cdot l_{13}^3}}{3}-\frac{{\displaystyle F_{{}_t}\cdot l_{12}^2\cdot l_{{}_{13}}}}{2}+\\ +X_{{}_X}\cdot l_{{}_{12}}\cdot l_{13}^2+X_{{}_X}\cdot l_{12}^2\cdot l_{{}_{13}}+\frac{{\displaystyle l_{{}_{11}}\cdot \left(l_{{}_{12}}+l_{{}_{13}}\right)\cdot \left(X_{{}_X}\cdot \left(l_{{}_{12}}+l_{{}_{13}}\right)-F_{{}_t}\cdot l_{{}_{12}}\right)}}{3}=0\end{array}$

Из последнего равенства выражается X_X:

$X_{{}_X}=\frac{\frac{{\displaystyle F_{{}_t}\cdot l_{12}^3}}{3}+\frac{{\displaystyle F_{{}_t}\cdot l_{13}^2\cdot l_{{}_{11}}}}{2}+\frac{{\displaystyle F_{{}_t}\cdot l_{{}_{11}}\cdot l_{{}_{12}}\cdot \left(l_{{}_{12}}+l_{{}_{13}}\right)}}{3}}{\frac{{\displaystyle l_{{}_{11}}\cdot {\left(l_{{}_{12}}+l_{{}_{13}}\right)}^2}}{3}+{{\displaystyle l}}_{{}_{12}}\cdot l_{13}^2+l_{12}^2\cdot {{\displaystyle l}}_{{}_{13}}+\frac{l_{12}^3}{3}+\frac{l_{13}^3}{3}}$. (10)

Подставив значения сил (см. табл. 1) и значения размеров (см. табл. 3) в формулы (7) и (10) получены $X_{{}_Y}=-\mathrm{16,731}$1 кН и $X_{{}_X}=\mathrm{12,578}$ кН. По формулам (5), (6), (8), (9) найдены значения реакций в соответствующих опорах: $A_{{}_y}^{\text{'}}=-\mathrm{0,656}$ кН, $A_{{}_y}^{\text{'}\text{'}}=\mathrm{26,645}$ кН, $A_{{}_x}^{\text{'}}=-\mathrm{4,335}$ кН, $A_{{}_x}^{\text{'}\text{'}}=\mathrm{32,773}$ кН.

Для проверки правильности полученных результатов произведён расчёт равнодействующей силы в обеих плоскостях.

Вертикальная плоскость:

$A_{{}_y}^{\text{'}}+A_{{}_y}^{\text{'}\text{'}}+X_{{}_Y}-F_{{}_r}=0$;

$-656+26645-16731-9258=0$. (11)

Горизонтальная плоскость:

$A_{{}_x}^{\text{'}}+A_{{}_x}^{\text{'}\text{'}}+X_{{}_X}-F_{{}_t}=0$;

$-4335+32773+12578-41016=0$. (12)

Левая и правая части равенств (11), (12) равны, следовательно, значения опорных реакций определены корректно.

Учитывая значения реакций в проекциях на вертикальную и горизонтальную плоскости, определяются результирующие радиальные реакции в опорах по формуле ниже.

$R=\sqrt{R_x^2+R_y^2}$.

Итоговые значения опорных реакций:

$A^{\text{'}}=\sqrt{{\left(-4335\right)}^2+{\left(-656\right)}^2}=4384$ Н

$A^{\text{'}\text{'}}=\sqrt{{26645}^2+{32773}^2}=42238$ Н

$B=\sqrt{{\left(-16731\right)}^2+{\left(-12578\right)}^2}=20932$ Н

Ведомый вал

На рис. 5 приведена расчётная схема ведомого вала. На схеме обозначены 3 участка, на которых действуют напряжения: l₂₁, l₂₂, l₂₃, а общая длина участка составляет L2. Исходя из геометрических размеров элементов, представленных на расчётной схеме, определены расчётные значения длин рассматриваемых участков (табл. 4).

 

Рис. 5. Расчётная схема ведомого вала.

Fig. 5. Calculation scheme of the output shaft.

 

Таблица 4. Геометрические характеристики ведомого вала

Table 4. Geometric characteristics of the output shaft

Участок	L1	l11	l12	l13
Длина, мм	361,6	102,2	81,18	178,22

 

Для раскрытия статической неопределимости по формуле (4), аналогично ведущему валу, реакции D_x и D_y заменены обобщёнными силами X_x и X_y, соответственно, и составлены расчётные схемы сил, спроецированных на плоскости YOZ и XOZ.

Расчет опорных реакций ведомого вала выполняется по данной методике аналогично расчёту реакций ведущего вала. Схема сил, действующих на ведомый вал (рис. 5) идентична схеме сил, действующих на ведущий вал (см. рис. 2). Следовательно, формулы (5)–(10) могут быть использованы для расчёта опорных реакций ведомого вала.

Полученные значения радиальных реакций в опорах ведущего (см. рис. 2) и ведомого (см. рис. 5) валов приведены в табл. 5.

 

Таблица 5. Опорные реакции ведущего и ведомого валов центральной передачи

Table 5. Support reactions of the final drive input and output shafts of the final drive

Условное обозначение подшипника	A’	A’’	B	C’	C’’	D
Радиальная реакция R, Н	4384	42 238	20 932	14 421	61286	7309

 

Заключение

Разработаны расчётные схемы статически неопределимых валов центральной передачи ведущего моста тракторов «Кировец» серии К-7. На основании расчётных схем составлены уравнения моментов и уравнения равновесия. С помощью теоремы Кастилиано и уравнений моментов была выведена формула, раскрывающая статическую неопределимость валов, что позволило вычислить значение реакции «лишней» опоры. Применение уравнений равновесия позволило вычислить значения оставшихся опорных реакций.

Проверка на равенство нулю равнодействующих сил показала, что данная методика аналитического расчёта верна и может быть использована для определения опорных реакций в статически неопределимых валах.

Полученная и апробированная в ходе расчётов математическая модель статически неопределимых валов центральной передачи может быть использована в качестве основы для разработки программного обеспечения, автоматизирующего расчет опорных реакций в статически неопределимых валах.

Дополнительная информация

Вклад авторов. К.Н. Серов — формулирование идеи, формулирование исследовательских целей и задач, написание текста, анализ полученных данных и подготовка первоначальных выводов; С.И. Худорожков — научное руководство, планирование исследовательской деятельности, проведение критического анализа материалов, расчётов и выводов. Авторы подтверждают соответствие своего авторства международным критериям ICMJE (все авторы внесли существенный вклад в разработку концепции, проведение исследования и подготовку статьи, прочли и одобрили финальную версию перед публикацией).

Конфликт интересов. Авторы декларируют отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с проведенным исследованием и публикацией настоящей статьи.

Источник финансирования. Авторы заявляют об отсутствии внешнего финансирования.

Additional information

Authors’ contributions. K.N. Serov — formulating the idea, formulating research goals and objectives, writing the text, analyzing the data obtained and preparing initial conclusions; S.I. Hoodorozhkov — scientific supervision, planning of research activities, critical analysis of materials, calculations and conclusions. The authors confirm that their authorship meets the international ICMJE criteria (all authors made significant contributions to the development of the concept, conduct of the research and preparation of the article, read and approved the final version before publication).

Competing interests. The authors declare that they have no competing interests.

Funding source. This study was not supported by any external sources of funding.

About the authors

Kirill N. Serov

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

Author for correspondence.
Email: serovkn97@mail.ru
ORCID iD: 0009-0002-2869-641X

Postgraduate of the Higher School of Transport of the Institute of Mechanical Engineering, Materials and Transport

Russian Federation, Saint Petersburg

Sergey I. Hoodorozhkov

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

Email: xcu-55@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-5646-2998
SPIN-code: 4405-9649

Dr. Sci. (Engineering), Professor of the Higher School of Transport

Russian Federation, Saint Petersburg

References

Supplementary files