Solution of the Kolmogorov system of equations for the generalized graph of states of a mobile feed hopper

Full Text

Введение Для определения времени одного кормления животных мобильным кормоцехом на фермах по предложенной ранее методике [1-4] необходимо вычислить вероятность нахождения мобильного кормоцеха в состоянии раздачи корма. При этом необходимо учесть тот факт, что количество компонентов в кормосме-си может существенно меняться в зависимости от выбранных рационов. Ранее уже были рассмотрены случаи с кормосмесью, состоящей из 2 и 5 компонентов [5-7]. В дальнейшем, для повышения эффективности математической модели, был предложен обобщенный граф, позволяющий рассматривать процесс приготовления и раздачи кормов мобильным кормоцехом для кормосмесей, включающих от 2 до 25 компонентов [8]. Также был разработан алгоритм для составления системы уравнений Колмогорова к данному графу, и представлена итоговая формула для расчета вероятности нахождения мобильного кормоцеха в состоянии раздачи корма. Однако содержание этой формулы не было раскрыто. Также не были представлены выявленные закономерности при решении системы уравнений Колмогорова для кормосмесей с различным количеством компонентов. Цель исследования о; Целью исследования является разработка И математической модели, позволяющей решать О систему уравнений Колмогорова для обобщен- ^ ного графа состояний мобильного кормоцеха с ^ использованием ЭВМ. X Объектом исследования является техно-ш Т логический процесс приготовления и разда- И чи кормов мобильным кормоцехом на ферме. Метод исследования основан на теории слу- И чайных процессов, теории графов и математическом моделировании. со И Материалы, методы исследования АН и их обсуждение о! С целью нахождения времени кормления О животных мобильными кормоцехами для 2-, 3- А, и 4-компонентной кормосмесей были состав- К лены соответствующие системы уравнений МИ Колмогорова по разработанному алгоритму к О обобщенному графу (рис. 1). Н В связи с тем что интенсивность перехода 2 мобильного кормоцеха из состояния загрузки компонента (S2, S^.S^) в состояние переезда (S3, S5. S51) не зависит от состояния переезда, для упрощения математической модели можно сделать следующее допущение о равенстве ин-тенсивностей переходов между состояниями: К2х51 = К2х2х+1, где х - количество компонентов кормосмеси. Ранее так же были приняты допущения [8]: ■■■ К2х 54 К52,54' Л = К = 2,54 4,54 ' '"2х,54 К54,2 = К54,4 = - = К54,2х '"54,52= К2,55 = К4,55 = ••• = К2х,55= К52,55' К55,2 = К55,4 =-= К55,2х= К55,52. Системы уравнений Колмогорова для частных случаев (при x = 2, x = 3, x = 4), составленные с учетом принятых допущений, приведены в табл. 1. Нормировочное условие при решении системы уравнений Колмогорова: Для наглядности систему уравнений Колмогорова, составленную по алгоритму, можно представить в виде цепочки уравнений для нахождения следующих вероятностей: pi -> pn2 (m = 2) -> (m = 2) - -p„2 (m = 3) - p«i (m = 3)- • - - pn2 (m = x) - Pni (m = x) - p2x - - p51 - p52 - p53 - p54 - p55 , где n2 = 2m - 2; n1 = 2m - 1 при m = 2, 3...x. На этапе решения систем уравнений Колмогорова для упрощения преобразования уравнений вводим соответствующие коэффициенты K, заменяя ими образующиеся по ходу преобразований сочетания интенсивностей X.. Нумерация уравнений соответствует разработанному ранее алгоритму. В общем виде введенные коэффициенты могут быть представлены в первой части алгоритма следующим образом. X '52,1 Алгоритм по составлению коэффициентов, часть 1 Для уравнения под № 1 (для p1): K1 = Для уравнений под номерами n2 = 2m - 2, где m = 2, 3. x (для p2, p4. p2x-2): Kn2 = (Xni,(ni +1)+X52,54 +X52,55 )- Например, при x = 4 (4-компонентная кор-мосмесь) n2 = 2-2-2 = 2, n2 = 2-3-2 = 4, n2 = 2-4-2 = 6, т.е. коэффициенты K2, K4 и K6 для соответствующих вероятностей p2, p4 иp6 в уравнениях № 2, 4, 6. Для уравнений под номерами n1 = 2m - 1, где m = 2, 3...x (для p3, p5... p2x-1): X n1,(n1+1) Например, при x = 4 (4-компонентная кормосмесь) n1 = 2-2-1 = 3, n1 = 2-3-1 = 5, n1 = 2-4-1 = 7, т.е. коэффициенты K3, K5 и K7 для соответствующих вероятностей p3, p5 и p7 в уравнениях № 3, 5, 7. Для уравнения под номером 2x (для p2x): K2х = (X2х,(2x+1) + X52,54 + X52,55 ). Например, при x = 2: p2x = p4, K2x= K4; при x = 3: p2x = ^ K2x = K6; при x = 4: p2x = pv K2x= K8 и т.д. Для уравнения под номером 2x+1 (для p ): K51 =------------------- 51,52 Для уравнения под номером 2x+2 (для p52): K52 = X52,1 +X52,53 +X52,54 +X52,55 . X Для уравнения под номером 2x+3 (для p53): 52,53 K53 = 53,52 Для уравнения под номером 2x+4 (для p54): K4 =(x + 1)X54,52 . Для уравнения под номером 2x+5 (для p55): K55 =(x + 1)X55,52. ш Для наглядности последовательную совокупность данных коэффициентов «К» для соответствующих вероятностей p. также можно представить в виде следующей цепочки: К -Кпг (ж = 2)-Кщ (ж = 2)---(ж = 3)-Кщ (ж = 3)-...- - К51 - К52 - К53 - К54 - К55 , где n2 = 2т - 2; n1 = 2т - 1 при ж = 2,3...х Решая приведенные системы уравнений Колмогорова, вводим дополнительные коэффициенты (табл. 2) для нахождения соответствующих вероятностей, а также для возможности отследить закономерности их развития при изменении количества компонентов кор-мосмеси «Х». В общем виде данные коэффициенты могут быть представлены во второй части алгоритма следующим образом. Алгоритм по составлению коэффициентов, часть 2 К К2 54,52 К2 ; К2 Для вероятности p2 (например, общий вид уравнения на основании табл. 1: fv-55,52 К2 Для вероятностей pn \ n2 = 2m - 2, где m = 3...x: (n2 "2) (n2 -1) (n2 -1),n2 K(n2 -2)' K(n2 -1)'\n, -1),: +А-54,52 K° К* \ -4- \ K52 K2xK51A'51,52 ~|~ Л55,52 irx6 К2 xK51A'51,52 ~|~ Л54,52 К52 =--------------------- Т--------------- ; TSXB K52 = K52 Для вероятности p54: K(n2 -2)' K(n2 -1)'^(n2 -1),n2 +^55,52 Например: для индекса «"» коэффициенты имеют вид K , K6: ... K2ax-2 для вероятностей Р4, Р6- P2x2, соответственно; для индексов «б» и «в» - аналогично. Для вероятности p2x: VXB *■52,54(K: +YKI + K2ax + 1) ; x K54 ^52,54(+XKn2 + K26x ) . ^52,54 (K28 + XKn2 + K28x ) . x K54 iyxB туxa , туxв туxa K52 K54 + K54 K52 2x K 2x-2)' K(2x-1) ' ^(2x-1),2x ; К „6 K(2x-2) ' K(2x-1) ' ^(2x-1),2x + ^54,52 K2 x =------------------ ^------------------ ; K2x = K(2x-2) K(2x-1) ^(2x-1),2x + ^55,52 K2x Например, при x = 2: K2"x = KaA , при x = 3: 'x = K(a ; для «б» и «e» - аналогично. Для вероятности p52: Z^xa t K2xK51^"51,52 + K53^"53,52 K52 = 1------------------------------- ~----------------------- ; К52 Для вероятности p55: K™ = к +K2K3 +SK; +SK; Km + +K22x + + K53 + 1 + K1; = K + KlK + 2KJ + +SK6 Кщ + К2х + +1; к- = кв+ К2ВКз + хк; + +SK; Кщ + K'x + K2xKx, где SK! = К + К +... + К" -2; К5 + к7 : К4!К5 + Кб"К7 + - + K2!x-2К2x-1 ; для индексов «б» и «в» - аналогично; n2 = 2m - 2, n1 = 2m - 1 при m = 3, 4...Х Например: при x = 2 ЪК^ +ЪК:г Кщ = 0; при x = 3 ЕК; +ЪК1г Кщ = К; + К;К,; П2 П2 П при x = 4 К; + К;К5 + Кi + К6аК7. Итоговое решение с выраженными вероятностями p. для рассмотренных систем уравнений приведено в табл. 3. Таким образом, для определения искомой вероятности p52 нахождения мобильного кормоцеха в состоянии раздачи корма при конкретном значении x необходимо выразить соответствующие коэффициенты К по рассмотренному выше алгоритму, найти значение вероятности р55, а затем уже - значение вероятностиp52 Выводы 1. Пользуясь предложенным подходом, ВА можно получить выражение вероятности на-н хождения мобильного кормоцеха в состоянии Д раздачи корма для кормосмеси, включающей О от 2 до 25 компонентов. ^ 2. При использовании ЭВМ появляется воз- И можность моделирования баланса времени О процесса приготовления и раздачи кормосме-с сей с различным количеством компонентов.

About the authors

A. I Kupreenko

Bryansk State Agricultural Academy

Email: kupreenkoai@mail.ru
DSc in Engineering

Kh. M Isaev

Bryansk State Agricultural Academy

Email: kupreenkoai@mail.ru
PhD in Economics

S. M Mikhaylichenko

Bryansk State Agricultural Academy

Email: kupreenkoai@mail.ru

References

Supplementary files