Mathematical model of oriented planting of bulbs with bulb stem pointing downwards

Full Text

Введение Перед сельским хозяйством нашей страны стоит задача полного удовлетворения потребности населения в продуктах питания, в т.ч. и овощах. Между тем, овощеводство агропромышленного комплекса России находится в неудовлетворительном состоянии. Для обеспечения потребности населения в качественных продуктах питания необходимо решить задачи разработки и освоения инновационных технологий возделывания овощей, а также технических средств для производства овощных культур. Особое место среди овощных культур занимает лук. Его высокая ценность обусловлена химическим составом, вкусовыми и лечебными свойствами [1]. На сегодняшний день ни в России, ни в зарубежных странах нет промышленного выпуска машин, обеспечивающих ориентированную посадку лука-севка донцем вниз [2, 3]. В связи с вышеизложенным исследования и разработка технических средств для качественной посадки луковиц лука-севка - актуальная и практически значимая задача. Цель исследования Цель исследования - создание математической модели технологического процесса ориентированной подачи тела округлой формы (на примере луковиц лука-севка) при транспортировании к месту сброса и последующего сохранения исходного положения. Материалы и методы При проведении теоретических исследований ориентации луковицы приняты следующие основные допущения: 1) центр тяжести луковицы расположен на оси симметрии, и при нахождении луковицы в канавке пневматического барабана расстояние от центра тяжести до центра барабана равно радиусу барабана; 2) пневматический барабан вращается с постоянной угловой скоростью; 3) сопротивлением воздуха пренебрегаем; 4) движение пласта почвы рассматриваем как движение материальной точки (частицы почвы). Результаты и их обсуждение Попадая на желоб, луковицы занимают одно из двух устойчивых положений (рис. 1, а). Положение I и III - на боку с опорой на точки А и В - требуемое; положение II - донцем вниз с опорой на точку А, из него луковицу нужно перевести в положение III. Для перевода луковицы из положения II в положение III необходимо наклонить опорную плоскость на некоторый угол α, при котором линия действия силы тяжести G выйдет за пределы точки опоры А и создаст момент вращения луковицы, пока она не займет устойчивое положение III с опорой на две точки А и В. Если опорная поверхность наклонена на угол α′′ (рис. 1, б), при котором линия действия силы тяжести выходит за пределы опорных точек А и В, то луковица будет катиться по наклонной плоскости, т.е. угол α′′ равен углу трения качения φ. Таким образом, условие устойчивого положения луковицы на вибрационном желобе с опорой на две точки: Условие (1) показывает влияние коэффициентов трения луковиц на их устойчивость и транспортирование на вибрационном желобе. Рассмотрим луковицу в момент ее нахождения между присасывающими отверстиями 1 и 2 (рис. 2), где на нее действуют сила тяжести G, сила трения о поверхность барабана Fтр и реакция опоры N. Спроецировав обе силы на ось Х, параллельную направлению силы трения Fтр, получим: где γ - угол между направлением оси Х и линией действия силы тяжести луковицы G, град. После преобразования условия (2) запишем его как: где f - коэффициент трения луковицы о поверхность барабана, равный тангенсу угла трения φ. Выражение (3) определяет необходимое место подачи луковиц вибрационным желобом на пневматический барабан. После того как присасывающее отверстие приходит к месту подачи луковицы, она попадает под действие присасывающей силы Fп, создаваемой вентилятором внутри камеры разрежения. В этот момент происходит присасывание луковицы и ее транспортирование к месту сброса. В общем случае этот процесс описывается условием отрыва [4]. Для его составления рассмотрим силы, действующие на луковицу во время транспортирования. Барабан вращается вокруг горизонтальной оси. На луковицу действуют сила присасывания Fп, направленная по радиусу к центру барабана, сила тяжести G = mg, направленная вниз, сила инерции J = m R, направленная по радиусу барабана от центра, и реакция опоры N. Все силы приложены в центре тяжести луковицы. Направим ось Х по оси присасывающего отверстия и спроецируем на нее все силы. Луковицы при транспортировании должны удерживаться на барабане, т.е. присасывающая сила должна быть больше суммы всех остальных сил. Тогда условие безотрывного транспортирования запишем как [5]: где m - масса луковицы, кг; - угловая скорость вращения пневматического барабана, рад/с; R - радиус барабана, м; - угол поворота барабана, рад. В крайней нижней точке реакция опоры равна нулю, и присасывающей силе противодействует сумма сил тяжести и инерции. С учетом этого из условия (4) угловая скорость вращения пневматического барабана равна: где - экспериментальный коэффициент, который учитывает различные факторы, определяющие силу присасывания луковиц (k = 1,1…1,3); - давление вакуума, Па; S - площадь присасывающих отверстий, расположенных в зоне камеры разрежения, м2. Подставив в выражение (5) известные формулы для определения частоты вращения барабана, площади присасывающих отверстий и кинематические показатели работы высаживающего аппарата, а также необходимое давление вакуума, получим предельное значение частоты вращения барабана: где - отношение количества присасывающих отверстий, расположенных в зоне камеры разрежения, к общему количеству отверстий ( = 0,6); - плотность воздуха, кг/м3; - скорость воздушного потока в присасывающем отверстии, м/с; - диаметр отверстий, м; - аэродинамический коэффициент сопротивления отверстия, определяемый экспериментально ( = 0,61…0,67); - заданный шаг посадки, м; - кинематический показатель работы высаживающего аппарата. Таким образом, с учетом выражений (1) и (6) условие устойчивого транспортирования луковицы в заданном положении запишем в виде: Для сохранения исходного положения луковицы в борозде после укладки необходимо, чтобы подача почвы на луковицу производилась в момент ее контакта с дном борозды. Это позволит увеличить количество луковиц, расположенных донцем вниз, и равномерность посадки за счет фиксации луковиц почвой. Для заделки луковиц почвой разработан дисковый заделывающий орган с почвонаправителями, который воздействует почвой на луковицу вертикально сверху, не нарушая ее ориентированного положения [6]. Каждая пара дисков, установленных вразвал, образует гребень. Во время работы дискового заделывающего органа частица почвы B (рис. 3, а), расположенная на почвонаправителе, под действием приложенных к ней сил совершает сложное движение: вращательное вместе с дисковым заделывающим органом - переносное движение частицы почвы, и одновременно она движется вдоль поверхности почвонаправителя - относительное движение [7]. Для определения движения частиц почвы по поверхности почвонаправителя дискового заделывающего органа воспользуемся дифференциальными уравнениями Лагранжа второго рода [8], решение которых позволит получить искомые уравнения движения частиц почвы. Для механической системы, находящейся в потенциальном силовом поле, активная обобщенная сила , соответствующая -й обобщенной координате, равна [9-11]: где - силовая функция, характеризующая свойства силового поля, Н; - потенциальная энергия, Дж; - частная производная по обобщенной координате . Поскольку в рассматриваемом случае механическая система находится в потенциальном силовом поле, то на частицу почвы действуют только потенциальные силы [12]. Следовательно, уравнения Лагранжа второго рода запишем в виде [9-11]: где - число степеней свободы механической системы, 1, 2, 3, …, S; - частные производные кинетической энергии по обобщенным скоростям ; - частные производные кинетической энергии по обобщенным координатам . В качестве обобщенных координат выберем: - перемещение вдоль оси (см. рис. 3, а), определяющее положение частицы почвы в зависимости от радиуса кривизны почвонаправителя ρ; - перемещение вдоль оси , определяющее положение частицы почвы в зависимости от изменения угла α между плоскостью вращения диска и направлением его поступательного движения (угол атаки); - перемещение вдоль оси , фиксирующее положение частицы почвы в зависимости от изменения угла β наклона дискового заделывающего органа к вертикали. Обобщенные координаты , связаны с системой координат OXYZ соотношением [9]: где - угол поворота точки почвонаправителя, рад. где - угловая скорость дискового заделывающего органа, рад/с; - время поворота точки, с. Для определения обобщенных сил системы рассмотрим активные силы (см. рис. 3, а), действующие на частицу почвы в точке В в промежуточном положении. Единственная активная сила - это сила тяжести частицы почвы. Силовая функция представляет собой потенциальную энергию системы и определяется выражением: где - масса частицы почвы, кг; - ускорение свободного падения, м/с2. Абсолютная скорость точки В [7]: где - относительная скорость частицы почвы В, м/с; - переносная скорость частицы почвы В, м/с; - угол между векторами и , град. Скорость относительного движения: где , , - обобщенные скорости по координатам , , , м/с. Переносная скорость частицы почвы: Абсолютная скорость частицы почвы [5]: Уравнение кинетической энергии системы запишем в виде [5]: После вычисления кинетической энергии частицы почвы по обобщенным скоростям и , обобщенным координатам и , подставив результаты вычислений в выражение (7), получим искомые уравнения движения частицы почвы по поверхности почвонаправителя дискового заделывающего органа в плоскости OX1Y1Z1 в проекции на координатные оси: где - координата, определяющая положение частицы почвы на оси в момент времени , м; - радиус кривизны поверхности почвонаправителя, м; - угол между плоскостью вращения диска и направлением его поступательного движения, град. Координата , определяющая положение частицы почвы на оси в момент времени : Для изучения движения частицы почвы В после схода с поверхности почвонаправителя воспользуемся теорией полета тела, брошенного под углом к горизонту (см. рис. 3, б). Пренебрегая силой сопротивления воздуха, запишем уравнение движения частицы почвы в виде [9-11]: где - начальная скорость полета частицы почвы В в момент времени , м/с; - угол наклона скорости к горизонту, град. Начальную скорость полета частицы почвы в момент времени определим из выражения [7]: Для определения уравнения траектории движения частицы почвы B исключим из первого выражения системы уравнений (8) время и подставим его во второе выражение этой системы, в результате имеем [9-11]: Полученное выражение (9) - уравнение второго порядка, которое представляет собой параболу. Максимальную величину подъема частицы почвы найдем из условия [7]: Из уравнения (10) определим время полета частицы почвы В до точки А [8-10]: Ширину гребня определим как сторону треугольника при известной медиане Н и угле [7]: Подставив значение во второе выражение системы уравнений (8) и преобразовав его, получим наибольшую величину подъема частицы почвы B, которая представляет собой высоту гребня [7]: Дальность полета частицы почвы в горизонтальной плоскости (см. рис. 3, б) определим из уравнения траектории ее движения (9) при : Из выражения (11) определим максимальное и минимальное значения дальности полета частицы почвы: Величина соответствует начальному моменту полета частицы почвы, а величина определяет дальность полета частицы по горизонтали [13-15]. Заключение Построенная математическая модель ориентации тел округлой формы позволила получить условие их ориентированной подачи в борозду, а также аналитические зависимости, определяющие траекторию движения частицы почвы по рабочей поверхности почвонаправителя дискового заделывающего органа, уравнения движения частиц почвы после отрыва от поверхности почвонаправителя при заделке ориентированного тела почвой. Дальнейшее исследование полученных уравнений позволит определить оптимальные конструкционные и технологические параметры устройств (вибрационно-пневматического высаживающего аппарата и дискового заделывающего органа) для ориентированной подачи тел округлой формы в борозду с последующим сохранением полученного положения, а также экспериментально определить указанные оптимальные параметры этих устройств.

About the authors

A. G Aksenov

All-Russian Research Institute of Agricultural Mechanization

PhD in Engineering Moscow, Russia

A. V Sibirev

All-Russian Research Institute of Agricultural Mechanization

Email: sibirev2011@yandex.ru
PhD in Engineering Moscow, Russia

P. A Emel'yanov

Penza State Agricultural Academy

Email: emelianov@mail.ru
DSc in Engineering Penza, Russia

References

Supplementary files