Features of combined friction in contact patch during cornering of track-type tractor on deforming ground

Abstract

The article discusses the question of refinement of analytical dependencies determining the summarized external forces of resistance in the system of differential equations of motion. For describing the interaction of track assembly with the ground in curvilinear motion the model of combined friction is used.

Full Text

Одна из проблем теории движения гусеничных машин - адекватное определение сил сопротивления повороту на деформируемом грунте. Известные на сегодняшний день подходы к решению данной проблемы представлены в работах Е.Е. Александрова, А.А. Благонравова, С.Е. Бурцева, В.В. Гуськова, В.Б. Держанского, Н.А. Забавникова, А.М. Кауфмана, В.И. Красненькова, Ф.А. Опейко и других ученых и специалистов в области гусеничных машин [1, 2]. Они основаны на известных моделях взаимодействия опорной поверхности гусеничного движителя с грунтом в пятне контакта. Для недеформируемого грунта процессы формирования сил сопротивления в пятне контакта достаточно хорошо изучены и описаны эмпирическими зависимостями. Для деформируемого грунта процессы взаимодействия более сложные, в общем случае существенно нелинейные. Известные зависимости, определяющие силы (моменты) сопротивления в пятне контакта, не учитывают их зависимость от угловой скорости поворота гусеничной машины, что становится существенным фактором при моделировании движения на неустановившихся режимах [3]. Поэтому учет кинематических параметров вращательного движения опорной поверхности в выражениях, определяющих силы (моменты) сопротивления в пятне контакта, - актуальная задача. Для ее решения необходим новый метод определения обобщенных сил при составлении математической модели криволинейного движения гусеничной машины. Для гусеничных машин характерно движение со скольжением гусениц по грунту, что приводит к необходимости учитывать в общем случае буксование (юз) как при определении кинематических связей между производными обобщенных координат, так и при определении обобщенных сил, входящих в систему уравнений движения. В частности, неголономные кинематические связи между теоретической и действительной скоростями движения гусениц в неподвижной системе координат можно выразить следующими уравнениями, в которые в явном виде входят коэффициенты буксования (юза): Здесь и - проекции линейных скоростей геометрических центров гусениц О1 и О2 на продольную ось машины, которые определяют величины действительных линейных скоростей движения соответствующих гусениц. Углы между векторами линейных скоростей точек О1 и О2 и продольной осью машины определяются системой уравнений [3]: Математическая модель плоскопараллельного движения гусеничной машины представляет собой систему дифференциальных уравнений: (1) Необходимо рассмотреть структуру выражений, определяющих обобщенные силы, которые входят в систему уравнений движения (1). Силы сопротивления движению машины и представляют собой сумму сил сопротивления качению и трению . Результирующие указанных сил приложены в точках О1 и О2 - геометрических центрах гусениц. Для моделирования процесса взаимодействия гусениц с грунтом и определения сил сопротивления вертикальная нагрузка представляется в виде сосредоточенных сил (где ; ), действующих на грунт под отдельными i-ми опорными катками [3]. Оси опорных катков имеют продольную координату относительно середины опорной поверхности. Силы сопротивления рассматриваются как совокупность сил сопротивления качению гусениц и трению гусениц о грунт: ; . Сила сопротивления качению гусениц пропорциональна нормальной нагрузке, действующей на каждый i-й, j-й опорный каток, и направлена параллельно продольной оси гусеничной машины: ; . При взаимодействии движителя с грунтом последний подвергается смятию, сдвигу в разных направлениях, в результате чего в грунте возникают поля нормальных и касательных напряжений. Упрощенно данную модель взаимодействия можно представить с помощью обобщенной модели трения. Силы трения гусениц о грунт при классической постановке задачи также пропорциональны нормальной нагрузке: ; , (2) где - коэффициент сопротивления трению гусениц о грунт. Силы трения направлены в сторону, противоположную направлению векторов мгновенных скоростей и движения геометрических центров гусениц. Полагаем, что трение между поверхностью и грунтом подчиняется закону Кулона и анизотропно при движении по деформируемому грунту. При этом коэффициент трения зависит от коэффициента буксования гусениц и определяется выражением: , где - максимальный коэффициент трения сцепления; k - экспериментальная постоянная. Результирующие всех элементарных сил трения гусениц о грунт направлены под углом к продольной оси машины (см. рисунок). В связи с этим представляет интерес зависимость продольной и боковой составляющих силы трения от направления равнодействующей. Прежде всего, как показал Ф.А. Опейко [1], принцип суперпозиции не сохраняется в кинематических связях с трением. Наличие скольжения свидетельствует об ограничении результирующей силы по сцеплению, поэтому увеличение боковой составляющей приводит к уменьшению продольной составляющей и изменению направления результирующей силы. Таким образом, имеет место обратная зависимость. При этом величина сил трения представляет собой функцию угла относительно продольной оси и определяется годографом трения для данного типа грунта и профиля рабочей поверхности гусениц с грунтозацепами. Замкнутая кривая, изображающая годограф трения, определяет предельное по сцеплению значение силы трения. Наличие бокового скольжения при повороте гусеничной машины свидетельствует о том, что равнодействующая сил трения достигла предела по сцеплению. При этом сила скольжения меньше предела по сцеплению. Возникающие при скольжении в пятне контакта элементарные силы - предельные по сцеплению. При мгновенном вращении опорной поверхности гусеницы скорость каждой точки направлена перпендикулярно ее расстоянию до мгновенного центра вращения. При скольжении все элементарные силы достигают максимального по сцеплению значения. Результирующая сила трения может достигать предельного значения и при отсутствии момента, т.е. при прямолинейном поступательном движении. Результирующий момент появляется при возникновении плеча составляющей равнодействующей силы относительно полюса поворота. Силы трения гусениц о грунт и сопротивления повороту формируются соответствующими проекциями элементарных сил трения в пятне контакта. Это позволяет определять момент сопротивления повороту в системе уравнений движения [3] как совокупность моментов, создаваемых проекциями равнодействующих сил трения под каждым опорным катком относительно полюса поворота, на основании геометрических представлений. В этом случае момент сопротивления повороту равен: (3) где - поперечное смещение полюса поворота; - продольное смещение полюса поворота; - угол между направлением сил трения под каждым опорным катком и продольной осью машины. Особенность выражения (3) заключается в характере коэффициентов трения, предельных по сцеплению. Таким образом, при повороте гусеничной машины с увеличением угловой скорости поворота продольная составляющая силы трения уменьшается. Это геометрический фактор, определяемый годографом трения. Но имеет место и другой эффект, который в явном виде практически не описан в литературе по теории движения гусеничных машин. Он состоит в том, что с увеличением угловой скорости поворота коэффициент трения в пятне контакта уменьшается. Это во многом определяет особенность переходных процессов при частичном боковом заносе гусеничной машины. Для описания этого процесса целесообразно использовать современные модели трения. Данный случай - аналог так называемого комбинированного трения, которое возникает, когда поверхность тела совершает одновременно вращательное и поступательное движение. В этих условиях реальный закон трения имеет принципиальное отличие от классического закона Кулона. В результате исследований взаимосвязи трения скольжения и верчения в случае неточечного контакта движущихся тел была предложена комбинированная модель сухого трения первого порядка [4], основанная на прямом построении дробно-линейных аппроксимаций Паде силы и момента сопротивления трению для круговых площадок контакта. Данная модель известна также как теория Контенсу-Журавлева. Для решения задач динамики достаточно использовать модели трения на основе разложения Паде первого порядка. На основе обобщения данной модели на плоское пятно контакта гусеничного движителя с грунтом прямоугольной формы получены следующие выражения для силы трения и момента сопротивления повороту: ; ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) . (8) Здесь - момент сил сопротивления трению (3), предельных по сцеплению; - сила сопротивления трению (2); - линейная скорость поступательного движения (скольжения) геометрического центра пятна контакта в неподвижной системе координат; - угловая скорость верчения относительно мгновенного полюса поворота; - радиус верчения геометрического центра пятна контакта относительно мгновенного полюса поворота; , - эмпирические коэффициенты. Отличительная черта моделей трения (2), (3), (4)-(8) в том, что все они построены в предположении справедливости закона Кулона в дифференциальной форме для маленького элемента площади внутри пятна контакта. Известные результаты экспериментальных исследований реальных процессов сухого трения [5], отличающихся от классических кулоновских, позволяют представить характеристику силы трения при отличной от нуля скорости скольжения в виде нелинейной зависимости: , (9) где , - эмпирические коэффициенты. В случае комбинированной кинематики зависимость (9) может использоваться в дифференциальной форме [6]. Тогда в представлениях для силы и момента трения возникают дополнительные полиномиальные члены, и двумерная модель трения первого порядка (4)-(8) имеет вид: ; ; ; . Коэффициенты полиномиальных членов этой модели представляют собой первые моменты распределения нормальных контактных напряжений в контакте. Моменты первого, третьего и пятого порядка определяются выражениями: ; (10) ; (11) , (12) где - распределение контактных напряжений внутри пятна контакта; - радиус-вектор элементарной площадки внутри пятна контакта. Значения моментов (10)-(12) определяются законом распределения нормальных контактных напряжений в пятне контакта, который может быть представлен в аналитической форме или путем аппроксимации сеточным множеством. Количественные отличия поведения сил и моментов сопротивления трению для рассмотренной модели по сравнению с классическим случаем представляют интерес для определения границ области устойчивости движения гусеничной машины. В частности, результаты численного моделирования движения гусеничных машин массой 22 и 16,1 т по траектории типа «змейка» в диапазоне средних скоростей показали смещение границы устойчивости движения в область меньших скоростей на 7-10% по сравнению с традиционным представлением сил и моментов сопротивления. Это также влияет на фазовые частотные характеристики гусеничных машин, определяя запаздывание реакции машины на управляющее воздействие по угловой скорости и курсовому углу и ограничивая скорость по условию вписываемости в динамический коридор движения, что подтверждается результатами экспериментальных исследований [7]. Для исследования вопросов устойчивости криволинейного движения гусеничных машин представляет интерес возможная интерпретация реальных процессов трения, отличных от классических кулоновских. В частности, аналог движения машины в режиме полного заноса - процесс трения скольжения, при котором можно полагать, что мгновенный центр скоростей лежит внутри пятна контакта. В этом случае при любой отличной от нуля угловой скорости верчения объекта сила трения в окрестности малых скоростей скольжения ведет себя как сила вязкого трения. По отношению к скольжению трение покоя практически исчезает, и любая, сколь угодно малая возмущающая сила, действующая параллельно поверхности пятна контакта, приводит к возникновению скольжения. В условиях комбинированной кинематики использование классического закона Кулона некорректно. Наибольшее приближение к реальной ситуации дает использование двумерной модели первого порядка, которая рассмотрена выше. Отсюда также вытекает давно известный факт наличия буксования (юза) гусениц при повороте. Это объясняется в рамках комбинированной теории трения тем, что при наличии сколь угодно малого верчения условие отсутствия скольжения в пятне контакта не может быть реализовано. Рассмотренный новый метод определения сил и моментов сопротивления при криволинейном движении гусеничной машины на основе комбинированной модели трения первого порядка позволяет уточнить физический смысл процессов нарушения устойчивости движения гусеничной машины [7]. Модель комбинированного трения позволяет существенно дополнить метод оценки условий входа гусеничной машины в занос и выхода из заноса [8]. Представленная модель комбинированного трения упрощает реальные процессы взаимодействия при повороте гусеничного движителя с грунтом, который подвергается также сложному процессу смятия и сдвига в разных направлениях. Тем не менее определяющий фактор данного процесса - именно скольжение гусеничного движителя по грунту. Оно ограничивает реализуемую силу тяги и определяет граничные условия сцепления гусениц с грунтом в пятне контакта. Интерпретация физических процессов, возникающих в пятне контакта, на основе теории комбинированного трения позволяет использовать данную математическую модель в структуре алгоритма системы автоматического управления движением гусеничных машин [9, 10].