Visualization of the results of mathematical modeling of dynamic processes in mobile power facilities

Full Text

Введение Зачастую при анализе поведения сложных систем, описываемых математическими моделями, результаты моделирования представляются в виде графиков. При этом, когда речь идет о взаимных перемещениях нескольких узлов, как, например, при моделировании процесса движения МЭС по неровной поверхности, информация, представленная в графической форме, может быть весьма сложной к пониманию и оценке [8, 9]. Для примера, на рис. 1 представлены результаты моделирования вертикальных колебаний мостов, остова и подрессоренной части подвески сиденья МЭС при переезде единичной неровности, форма которой описывается следующим уравнением: (1) где qmax - амплитудное значение высоты единичной неровности, м; Δx - расстояние от нулевой точки до начала единичной неровности, м; l - длина единичной неровности, м; θ(x) - функция Хэвисайда. По внешнему виду представленных на рис. 1 кривых достаточно сложно определить, насколько точно математическая модель описывает поведение реальных объектов (элементов конструкции трактора). Визуальный анализ данных графиков не позволяет сразу выявить ошибки, допущенные при моделировании. Для подтверждения адекватности разработанной модели, как правило, требуется длительные и детальные исследования. Рис. 1. Результаты моделирования вертикальных колебаний элементов конструкции МЭС Еще более сложным становится взаимный анализ изменения поведения подобных систем при корректировании входных данных, например скорости переезда препятствия, жесткости и демпфирования упругих элементов, массы и моментов инерции узлов и т.д. Возникает необходимость применения более гибкого инструмента, позволяющего с минимальными затратами времени оценить адекватность новой математической модели поведения какой-либо динамической системы. Одним из наиболее более информативных способов отображения результатов моделирования является создание анимации процессов, происходящих с течением времени. Методика формирования анимированных представлений Одним из наиболее удобных инструментов для создания анимации сложных процессов является программный модуль MathCAD [1, 5, 7]. В качестве примера разберем методику создания анимированного представления процесса переезда автотракторным средством единичного препятствия, описываемого формулой (1). Первоначально создается математическая модель передачи колебаний от неровностей грунта на остов МЭС. В предлагаемую математическую модель вводим следующие ограничения: 1) колебания переднего и заднего мостов независимы друг от друга; 2) угловые перемещения корпусов мостов и подвески сиденья минимальны, и ими можно пренебречь; 3) характеристики упругих и демпфирующих элементов шин, подвески и подрессоренного сиденья линейны; 4) характеристики и параметры шин и подвески правых и левых колес одинаковы; 5) угловыми колебаниями переднего и заднего мостов, а также подвески сиденья пренебрегаем; 6) высота неровностей под правым и левым колесом одинакова; 7) неподрессоренные массы сосредоточены в центре колес; 8) изменением геометрической длины плеча любой действующей на остов силы при его угловых перемещениях пренебрегаем; 9) движение трактора прямолинейное. На основании принятых допущений формируем динамическую модель трактора при передвижении по неровностям, представленную на рис. 2. Рис. 2. Динамическая модель МЭС при движении по неровностям грунта На рисунке обозначено: mО - масса подрессоренной части остова МЭС, кг; mпМ - масса подрессоренной части переднего моста МЭС, кг; mзМ - масса подрессоренной части заднего моста МЭС, кг; mВ - масса подрессоренной части подвески сиденья совместно с водителем, кг; JО - момент инерции остова МЭС, кг∙м2; KпШ - коэффициент радиального демпфирования передних шин, кг∙с-1; KзШ - коэффициент радиального демпфирования задних шин, кг∙с-1; KпП - коэффициент демпфирования передней подвески, кг∙с-1; KзП - коэффициент демпфирования задней подвески, кг∙с-1; KС - коэффициент демпфирования подвески сиденья, кг∙с-1; СпШ - коэффициент радиальной жесткости передних шин, кг∙с-2; СзШ - коэффициент радиальной жесткости задних шин, кг∙с-2; СпП - коэффициент жесткости передней подвески, кг∙с-2; СзП - коэффициент жесткости задней подвески, кг∙с-2; СС - коэффициент жесткости подвески сиденья, кг∙с-2; Для формирования дифференциальных уравнений, которые позволят описать данную динамическую модель, произведем анализ сил, действующих на каждый компонент с массой [6] (рис. 3). На рис. 3 ввиду чрезмерной простоты не показана единственная сила, действующая на подрессоренную часть подвески сиденья с водителем. Рис. 3. Схемы сил, действующих на основные элементы конструкции МЭС: а - силы, действующие на передний мост; б - силы, действующие на задний мост; в - силы, действующие на основ трактора На рисунке обозначено: FпШ - равнодействующая от сил упругости и демпфирования, действующая на передний мост со стороны шин, Н (2) FзШ - равнодействующая от сил упругости и демпфирования, действующая на задний мост со стороны шин, Н (3) FпП - равнодействующая от сил упругости и демпфирования, действующая на передний мост и остов со стороны подвески, Н (4) FзП - равнодействующая от сил упругости и демпфирования, действующая на задний мост и остов со стороны подвески, Н; (5) FС - равнодействующая от сил упругости и демпфирования, действующая на сиденье с водителем и остов со стороны подвески сиденья, Н (6) где ZпМ - вертикальная координата положения центра масс переднего моста, м; ZзМ - вертикальная координата положения центра масс заднего моста, м ; ZО - вертикальная координата положения центра масс остова, м; αО - угловая координата положения остова, рад; Lп, Lз, Lс - плечи соответствующих сил, м. Следует заметить, что каждая из представленных сил зависит от входящих в расчетную формулу вертикальных компонент скоростей и перемещений, а также углов и угловых скоростей, которые, по сути, являются аргументами в данных формулах. В среде MathCAD данные аргументы обязательно необходимо записывать [1, 2], но в нашем случае мы их не указываем с целью снижения громоздкости отображения расчетных зависимостей. В результате анализа представленных на рис. 3 схем можем получить 4-массовую математическую модель колебаний элементов конструкции МЭС: (7) Для нахождения решения подобной системы зачастую применяются встроенные функции численного расчета систем дифференциальных уравнений, такие как odesolve, rkfixed, rkadapt, bulstoer, stiffr и др. [2, 5, 7]. Разберем алгоритм решение полученной системы применением встроенной функции rkfixed методом Рунге - Кутта 4-го порядка [3]. 1. Задаем вектор начальных условий. В нашем случае примем: in: = (0 0 0 0 0 0 0 0 0 0)T, (8) in0 - вертикальное перемещение переднего моста; in1 - скорость вертикального перемещения переднего моста; in2 - вертикальное перемещение заднего моста; in3 - скорость вертикального перемещения заднего моста; in4 - вертикальное перемещение остова; in5 - скорость вертикального перемещения остова; in6 - угловое положение остова; in7 - скорость углового перемещения остова; in8 - вертикальное перемещение водителя; in9 - скорость вертикального перемещения водителя. Это означает, что вертикальные перемещения и скорости компонентов МЭС, а также угловые скорость и перемещение остова в начале моделирования равны нулю. 2. Определяем моменты времени начала Тнач и конца Ткон моделирования. В нашем случае примем: Тнач = 0 с, Ткон = 10 с. 3. Определяем количество расчетных точек N на данном временном участке. Увеличение числа точек приводит к повышению точности и, одновременно, возрастанию времени, затрачиваемому на расчет. В нашем расчете мы принимаем N = 104. 4. Определяем правую часть уравнения - матрицу D, которая будет содержать производные искомого решения: (9) В качестве аргументов данной функции передается вначале независимая переменная t - время и вектор начальных условий. Вторые производные по времени для перемещений различных узлов определяются делением на соответствующие массы уравнений в системе (7). 5. Производим решение уравнений методом Рунге - Кутта 4-го порядка: Out: = rkfixed (in, Tнач, Ткон, N, D). (10) В результате расчета получим матрицу решений дифференциального уравнения Out, первым столбцом в которой являются значения независимой переменной - времени, а все последующие - в соответствии с заданными начальными условиями. Программный пакет MathCAD позволяет создавать анимированное представление перемещений элементов конструкции МЭС при наезде на единичное препятствие с помощью программной переменной, обозначаемой как FRAME. Эта переменная при расчете может принимать значения от 0 до 999 в зависимости от потребностей пользователя. Причем расчет проводится для каждого значения этой переменной с самого начала. Одновременно записывается в видеофайл выбранная пользователем область рабочего пространства программы, как правило, - двумерный или трехмерный график [5]. Учитывая, что одно вычисление матрицы решений нашей системы на современном высокопроизводительном ПК составляет около 40 с, то расчет и создание анимированного представления перемещения элементов конструкции МЭС может продлиться более 10 час. Чтобы избежать ненужного и длительного пересчета решения его необходимо сохранить в файл, а затем обращаться к нему при создании анимации из другого расчетного файла. Для записи в файл в среде MathCAD используется функция WRITEPRN [7]. Она создает текстовый файл нужной конфигурации с разрешением *.prn. Его можно просматривать и редактировать блокнотом Windows. Пример записи результатов моделирования в файл в корневом каталоге диска C: . (11) В дальнейшем мы будем обращаться к данному файлу из вновь созданного расчетного файла среды MathCAD. Доступ к файлу решения осуществляется с помощью функции READPRN: . (12) После исполнения указанной строчки содержимое сохраненной матрицы решений копируется в матрицу Input. Эта операция выполняется практически мгновенно, так как при этом отсутствуют сложные математические вычисления, а идет лишь обращение к дисковому пространству. Для создания качественного анимированного представления модели поведения конструктивных элементов МЭС при переезде единичного препятствия необходимо отобразить перемещение каждого элемента в отдельности при помощи некоторых геометрических примитивов, легко задаваемых на двумерных чертежах, например, прямоугольников, квадратов или окружностей. Для этого необходимо создать прототипы функций, которые будут использованы для отображения некоторых конструктивных элементов в соответствии с принятыми ограничениями модели. Следует указать, что результатом выполнения указанных прототипов функций будет создание двумерных массивов, состоящих из двух столбцов с n-м количеством точек, необходимом для отображения замкнутого контура примитива. По понятным причинам, необходимое количество точек для качественного отображения окружности серьезно превышает количество, требуемое для отрисовки прямоугольника или квадрата, поэтому применение окружностей целесообразно ограничить. Ниже приведены прототипы функций для создания квадрата со стороной a, прямоугольника высотой а и длиной (Lп + Lз + а) и окружности радиусом R, центры которых расположены на расстоянии L от начала координат вдоль оси x и на расстоянии H от начала координат вдоль оси y. При этом квадрат и круг не могут совершать вращательного движения, а прямоугольник может. Следует обратить внимание, что для отрисовки окружности радиусом R, с аналогичными аргументами положения, необходимо 37 точек. Меньшее количество может отразиться на качестве отображения круга. ; (13) ; (14) . (15) Внешний вид квадрата, прямоугольника и окружности, отображенных с использованием написанных нами функций, представлен на рис. 4. Рис. 4. Пример одновременного отображения фигур на двумерных графиках в среде MathCAD Теперь, если привязать значение высоты положения квадрата или прямоугольника к системной переменной FRAME, можно создать анимацию поднимающегося вдоль оси Y примитива. Анимация создается при помощи пунктов меню MathCAD Инструменты->Анимация-> >Запись. В появившемся окне необходимо определить предел изменения переменной FRAME, количество кадров в секунду, затем, не закрывая окна, мышью в рабочей зоне выделить записываемую область (как правило, это двумерный график) и нажать на кнопку Анимировать. Созданную анимацию можно сохранить в *.avi как видеофайл для дальнейшего анализа и демонстрации. Кроме этого, переменную FRAME можно использовать для доступа к элементу массива. Если последовательно обращаться к элементам матрицы решений разработанной системы (7), предварительно привязав их к высотам положений примитивов, соответствующих конструктивным элементам трактора, можно создать анимированное представление поведения трактора при переезде через единичное препятствие. Следует напомнить, что переменная FRAME может принимать максимум тысячу значений, при этом количество строк в матрице решений может значительно превышать данное значение. В этом случае необходимо отбросить часть строк решений, например при использовании 10 тыс. точек решения необходимо использовать каждую десятую строчку результатов для создания анимации. Следует на каждом шаге расчета сохранять текущие значения решения в отдельный вектор STEP, к которому в дальнейшем и обращаться . (16) Необходимо заранее расположить примитивы на графике в максимальном соответствии с их пространственным положением в конструкции трактора. Если предварительно сдвинуть на ΔL вдоль оси x от начала координат центр переднего моста, а значение ΔH использовать в качестве вертикального расстояния между элементами, получим следующую систему выражений для упрощенного изображения исследуемых конструктивных элементов трактора: (17) Данное упрощенное изображение представлено на рис. 5. Рис. 5. Упрощенное изображение исследуемых конструктивных элементов трактора при значениях геометрических параметров: ΔL = 1, ΔH = 0,85, a = 0,5, Lп = 1,2, Lз = 1,0, Lс = 0,9 [4] Добавив пробег через график единичной неровности по формуле (1), в соответствующий момент переезжаемой трактором, можем получить качественную визуализацию процесса переезда МЭС единичного препятствия заданной формы. Выводы 1. Создаваемые при решении систем дифференциальных уравнений матрицы численного решения могут быть использованы не только для графических представлений поведения исследуемого объекта, но и для анимированных отображений данных процессов. 2. Анимация способна наглядно продемонстрировать характер поведения смоделированных объектов с течением времени, сравнить его с поведением реальных объектов, и быстро проанализировать качество математической модели, выявить ее недостатки и найти ошибки, допущенные при моделировании. 3. Созданные по описанной методике визуализированные представления могут применяться для демонстраций при осуществлении докладов, разъяснении принципов работы и в других смежных ситуациях.

About the authors

A. N Kuznecov

Voronezh State Agricultural University

Email: kuz-basss@yandex.ru
PhD in Engineering

O. I Polivaev

Voronezh State Agricultural University

Email: kuz-basss@yandex.ru
DSc in Engineering

A. V Loshchenko

Voronezh State Agricultural University

Email: kuz-basss@yandex.ru

References

Supplementary files