Suns are convex in tangent directions

Full Text

Пусть X — вещественное линейное нормированное или несимметрично нормированное пространство конечной размерности, B(x, r) — замкнутый шар с центром x и радиусом r, $\stackrel{\circ }{B}(x,r)$ — открытый шар, S(x, r) — сфера, S = S(0, 1). [1]

Определение 1. Множество M называется чебышевским множеством, если оно есть множество существования и множество единственности, т.е. если для каждого x $\in$ X множество PMx ближайших элементов из M для x одноточечно. Точкаx $\in$ X\M называется точкой солнечности для множества $M\subset X,$ M ≠ $\phi$, если существует точка светимости y $\in$ PM/x ≠ $\phi$ такая, что y $\in$ PM ((1 — λ)y + λx) для всех λ ≥ 0. Множество $\phi$ ≠ M ⊂ Х называется солнцем, если каждая точка x $\in$ X \M является точкой солнечности. Множество M $\subset$ X называется строгим солнцем, если для каждой точки x $\in$ X\M выполнено PM/x ≠ $\phi$ и любая точка y $\in$ PM x ≠ $\phi$ является точкой светимости.

“Солнца” являются наиболее естественным объектом, для которого выполнен критерий Колмогорова о характеризации элемента наилучшего приближения; им присущи те или иные свойства отделимости: шар можно отделить от такого множества посредством большего шара или опорного конуса.

В работе мы следуем определениям, данным в обзоре [1]. Основные определения даются ниже.

Исследуется задача о выпуклости солнц по касательным направлениям сферы. Данная постановка задачи является новой и была впервые решена в работе [2] для чебышевских множеств в конечномерных пространствах. Подчеркнём, что вопрос о выпуклости солнц (в отличие от проблемы выпуклости чебышевских множеств) решается очень просто: в пространстве X любое солнце выпукло, если и только если пространство X гладко (т.е. в любой точке единичной сферы пространства X опорная гиперплоскость единственна). Отметим, что известен пример несвязного солнца — единственный пример такого рода был построен В.А. Кощеевым в бесконечномерном подпространстве пространства C[0, 1] со специально выбранной нормой (см. [1; п. 8.3]). Этот пример не противоречит утверждению о выпуклости солнца по любому касательному направлению к сфере: даже на плоскости легко построить несвязное множество, выпуклое по любому касательному направлению к сфере (см. также замечание 3 ниже).

Определение 2. Для точки y $\in$ S через Λy обозначим множество предельных точек выражения $\frac{y-z}{\left|\right|y-z\left|\right|}$ при z → y, z $\in$ S (т.е. Λy — множество полукасательных направлений к сфере S в точке y). Направление d называется (глобально) касательным направлением для сферы S, если для любой точки y $\in$ S условие опорности направления d в точке y влечёт, что d $\in$ Λy, т.е. направление d является касательным в точке y.

К примеру, в пространстве ${\mathcal{l}}_n^{\infty },\text{}\text{}n\ge \mathrm{2,}$ касательными направлениями сферы являются только направления, параллельные рёбрам единичного шара (куба). В пространстве ${\mathcal{l}}_n^1,\text{}\text{}n\ge \mathrm{3,}$ касательных направлений к сфере нет.

Определение 3. Множество M называется выпуклым по направлению d, если из того, что $x,y\in M,(y-x)\left|\right|d,$ вытекает, что $[x,y]\subset M.$

Основным результатом работы является следующая

Теорема 1. В линейном нормированном пространстве произвольное солнце выпукло по любому касательному направлению единичной сферы.

Теорема 1 обобщает следующий результат из работы [2].

Теорема A. Если направление является касательным для единичной сферы конечномерного банахова пространства, то всякое чебышевское множество выпукло в этом направлении.

В теореме A и теореме 1 важно, что направление, по которому исследуется выпуклость чебышевского множества, является касательным для всей сферы. Можно легко построить пример трёхмерного пространства (к примеру, $X={\mathcal{l}}^2(2){\oplus }_1ℝ)$ и чебышевского множества (солнца) в нём, не выпуклого по направлению, являющемуся касательным к сфере в некоторой точке (но, конечно, не во всех точках сферы, в которых оно является опорным). В двумерном банаховом пространстве любое касательное направление в точке сферы является касательным направлением сферы.

Более сильный вариант теоремы A для пространства ${\mathcal{l}}_n^{\infty }$ содержится в теореме B (см. [1]).

Пусть X = ${\mathcal{l}}_n^{\infty }$. Пусть также $k\in {\mathbb{Z}}_{+},$ k ≤ dim X.

Обозначим cAffk(X) — класс всех аффинных координатных подпространств из X конечной размерности k, т. е. подпространств вида {x $\in$ ${\mathcal{l}}_n^{\infty }|$ x_i1= = c1, ..., $x_{i_k}$ = ck} для некоторого фиксированного набора индексов i1, ..., ik и набора констант c1, ..., ck. В следующей теореме ri A — относительная внутренность множества A, замкнутый промежуток Π — это пересечение экстремальных (координатных) гиперполос вида {x $\in$ ${\mathcal{l}}_n^{\infty }$ | a ≤ f (x) ≤ b}, —∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞, f $\in$ ext S^*, порождаемых в исходном пространстве ${\mathcal{l}}_n^{\infty }$ экстремальными функционалами из сопряжённого пространства.

Теорема B. Чебышевское множество в ${\mathcal{l}}_n^{\infty }$ является экстремально чебышевским. Иными словами, если Π — замкнутый промежуток в ${\mathcal{l}}_n^{\infty }$ M ∩ Π ≠ $\phi$, M ∩ ri Π = $\phi$, то пересечение M ∩ Π одноточечно.

Как следствие, если P — координатное подпространство и M ∩ P ≠ $\phi$, то M ∩ P — чебышевское множество в P.

Отметим ещё один результат [3], частично обобщающий теорему A.

Определение 4. Направление d будем называть гиперкасательным направлением для единичной сферы S, если направление d параллельно некоторой гиперграни единичного шара.

Теорема C. Чебышевская кривая в ${\mathcal{l}}_n^{\infty }$ выпукла по любому гиперкасательному направлению к единичной сфере.

Замечание 1. Произвольное чебышевское множество в ${\mathcal{l}}_n^{\infty }$ не обязано быть выпуклым по гиперкасательному направлению. Соответствующий пример легко построить в пространстве любой размерности n ≥ 3.

Замечание 2. Строгое солнце (и в частности, солнце) не обязано быть выпуклым по (локально) касательному направлению в точке сферы. Рассмотрим соответствующий пример в пространстве ${\mathcal{l}}_3^{\infty }$. На плоскости ${ℝ}^2$ для каждого $t\in ℝ$ зададим ломаную Mt следующим уравнением в полярной системе координат (r, φ):

$M_t=\left\{r\ge \mathrm{0,}\phi =-\frac{1}{4} \text{arcctg}t\right\}\cup \left\{r\ge \mathrm{0,}\phi =\frac{\pi }{2}+\frac{1}{4} \text{arcctg}t\right\}.$

Множество M = $\cup$ {(Mt + (0, 0, t)) | $t\in ℝ$ } является строгим солнцем в ${\mathcal{l}}_3^{\infty }$, но его пересечение с касательной прямой в некоторых точках сферы не выпукло по направлению такой касательной.

Замечание 3. В трёхмерном пространстве ${\mathcal{l}}_3^{\infty }$ можно построить пример множества замкнутого, связного и выпуклого по любому касательному направлению сферы S, не являющегося солнцем (и, как следствие, не являющегося чебышeвским множеством).

Замечание 4. B пространстве ${\mathcal{l}}_n^{\infty }$ утверждение о выпуклости солнц по любому касательному направлению было известно ранее (в другой формулировке). Данный результат вытекает из монотонной линейной связности солнц в ${\mathcal{l}}_n^{\infty }$.

Заключение. Показано, что в произвольном линейном нормированном пространстве произвольное солнце выпукло по любому касательному направлению единичной сферы. Теорема A, в которой тот же результат установлен для чебышевских множеств в конечномерных пространствах, нашла своё применение в работах [3, 5] по исследованию локально чебышевских множеств. Авторы надеются, что теорема 1 также окажется полезной при исследовании более общих множеств с заданными локально аппроксимативными свойствами (по поводу таких задач см. [6–8]).

Работа первого автора выполнена при поддержке РФФИ (гранты 18–01–00333-а, 19–01–00332-а) и гранта Президента РФ поддержки ведущих научных школ (проект НШ-6222.2018.1).

About the authors

A. R. Alimov

Lomonosov Moscow State University; Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: alexey.alimov-msu@yandex.ru
Russian Federation, Moscow

E. V. Shchepin

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: scepin@mi.ras.ru
Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files