Full Text
Пусть X — вещественное линейное нормированное или несимметрично нормированное пространство конечной размерности, B(x, r) — замкнутый шар с центром x и радиусом r, — открытый шар, S(x, r) — сфера, S = S(0, 1). [1]
Определение 1. Множество M называется чебышевским множеством, если оно есть множество существования и множество единственности, т.е. если для каждого x X множество PMx ближайших элементов из M для x одноточечно. Точкаx X\M называется точкой солнечности для множества M ≠ , если существует точка светимости y PM/x ≠ такая, что y PM ((1 — λ)y + λx) для всех λ ≥ 0. Множество ≠ M ⊂ Х называется солнцем, если каждая точка x X \M является точкой солнечности. Множество M X называется строгим солнцем, если для каждой точки x X\M выполнено PM/x ≠ и любая точка y PM x ≠ является точкой светимости.
“Солнца” являются наиболее естественным объектом, для которого выполнен критерий Колмогорова о характеризации элемента наилучшего приближения; им присущи те или иные свойства отделимости: шар можно отделить от такого множества посредством большего шара или опорного конуса.
В работе мы следуем определениям, данным в обзоре [1]. Основные определения даются ниже.
Исследуется задача о выпуклости солнц по касательным направлениям сферы. Данная постановка задачи является новой и была впервые решена в работе [2] для чебышевских множеств в конечномерных пространствах. Подчеркнём, что вопрос о выпуклости солнц (в отличие от проблемы выпуклости чебышевских множеств) решается очень просто: в пространстве X любое солнце выпукло, если и только если пространство X гладко (т.е. в любой точке единичной сферы пространства X опорная гиперплоскость единственна). Отметим, что известен пример несвязного солнца — единственный пример такого рода был построен В.А. Кощеевым в бесконечномерном подпространстве пространства C[0, 1] со специально выбранной нормой (см. [1; п. 8.3]). Этот пример не противоречит утверждению о выпуклости солнца по любому касательному направлению к сфере: даже на плоскости легко построить несвязное множество, выпуклое по любому касательному направлению к сфере (см. также замечание 3 ниже).
Определение 2. Для точки y S через Λy обозначим множество предельных точек выражения при z → y, z S (т.е. Λy — множество полукасательных направлений к сфере S в точке y). Направление d называется (глобально) касательным направлением для сферы S, если для любой точки y S условие опорности направления d в точке y влечёт, что d Λy, т.е. направление d является касательным в точке y.
К примеру, в пространстве касательными направлениями сферы являются только направления, параллельные рёбрам единичного шара (куба). В пространстве касательных направлений к сфере нет.
Определение 3. Множество M называется выпуклым по направлению d, если из того, что вытекает, что
Основным результатом работы является следующая
Теорема 1. В линейном нормированном пространстве произвольное солнце выпукло по любому касательному направлению единичной сферы.
Теорема 1 обобщает следующий результат из работы [2].
Теорема A. Если направление является касательным для единичной сферы конечномерного банахова пространства, то всякое чебышевское множество выпукло в этом направлении.
В теореме A и теореме 1 важно, что направление, по которому исследуется выпуклость чебышевского множества, является касательным для всей сферы. Можно легко построить пример трёхмерного пространства (к примеру, и чебышевского множества (солнца) в нём, не выпуклого по направлению, являющемуся касательным к сфере в некоторой точке (но, конечно, не во всех точках сферы, в которых оно является опорным). В двумерном банаховом пространстве любое касательное направление в точке сферы является касательным направлением сферы.
Более сильный вариант теоремы A для пространства содержится в теореме B (см. [1]).
Пусть X = . Пусть также k ≤ dim X.
Обозначим cAffk(X) — класс всех аффинных координатных подпространств из X конечной размерности k, т. е. подпространств вида {x xi1= = c1, ..., = ck} для некоторого фиксированного набора индексов i1, ..., ik и набора констант c1, ..., ck. В следующей теореме ri A — относительная внутренность множества A, замкнутый промежуток Π — это пересечение экстремальных (координатных) гиперполос вида {x | a ≤ f (x) ≤ b}, —∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞, f ext S*, порождаемых в исходном пространстве экстремальными функционалами из сопряжённого пространства.
Теорема B. Чебышевское множество в является экстремально чебышевским. Иными словами, если Π — замкнутый промежуток в M ∩ Π ≠ , M ∩ ri Π = , то пересечение M ∩ Π одноточечно.
Как следствие, если P — координатное подпространство и M ∩ P ≠ , то M ∩ P — чебышевское множество в P.
Отметим ещё один результат [3], частично обобщающий теорему A.
Определение 4. Направление d будем называть гиперкасательным направлением для единичной сферы S, если направление d параллельно некоторой гиперграни единичного шара.
Теорема C. Чебышевская кривая в выпукла по любому гиперкасательному направлению к единичной сфере.
Замечание 1. Произвольное чебышевское множество в не обязано быть выпуклым по гиперкасательному направлению. Соответствующий пример легко построить в пространстве любой размерности n ≥ 3.
Замечание 2. Строгое солнце (и в частности, солнце) не обязано быть выпуклым по (локально) касательному направлению в точке сферы. Рассмотрим соответствующий пример в пространстве . На плоскости для каждого зададим ломаную Mt следующим уравнением в полярной системе координат (r, φ):
Множество M = {(Mt + (0, 0, t)) | } является строгим солнцем в , но его пересечение с касательной прямой в некоторых точках сферы не выпукло по направлению такой касательной.
Замечание 3. В трёхмерном пространстве можно построить пример множества замкнутого, связного и выпуклого по любому касательному направлению сферы S, не являющегося солнцем (и, как следствие, не являющегося чебышeвским множеством).
Замечание 4. B пространстве утверждение о выпуклости солнц по любому касательному направлению было известно ранее (в другой формулировке). Данный результат вытекает из монотонной линейной связности солнц в .
Заключение. Показано, что в произвольном линейном нормированном пространстве произвольное солнце выпукло по любому касательному направлению единичной сферы. Теорема A, в которой тот же результат установлен для чебышевских множеств в конечномерных пространствах, нашла своё применение в работах [3, 5] по исследованию локально чебышевских множеств. Авторы надеются, что теорема 1 также окажется полезной при исследовании более общих множеств с заданными локально аппроксимативными свойствами (по поводу таких задач см. [6–8]).
Работа первого автора выполнена при поддержке РФФИ (гранты 18–01–00333-а, 19–01–00332-а) и гранта Президента РФ поддержки ведущих научных школ (проект НШ-6222.2018.1).