Suns are convex in tangent directions

Cover Page

Abstract


A direction d is called a tangent direction to the unit sphere S of a normed linear space s  S and lin(s + d) is a tangent line to the sphere S at s imply that lin(s + d) is a one-sided tangent to the sphere S, i. e., it is the limit of secant lines at s. A set M is called convex with respect to a direction d if [x, y]  M whenever x, y in M, (yx) || d. We show that in a normed linear space an arbitrary sun (in particular, a boundedly compact Chebyshev set) is convex with respect to any tangent direction of the unit sphere.


Пусть X — вещественное линейное нормированное или несимметрично нормированное пространство конечной размерности, B(x, r) — замкнутый шар с центром x и радиусом r, B (x,r) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaaxacabaGaam OqaaWcbeqaaiadKI8IyiYBaaGccaGGOaGaamiEaiaacYcacaaMc8Ua aGPaVlaadkhacaGGPaaaaa@4093@ — открытый шар, S(x, r) — сфера, S = S(0, 1). [1]

Определение 1. Множество M называется чебышевским множеством, если оно есть множество существования и множество единственности, т.е. если для каждого x MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabgIGiodaa@373C@ X множество PMx ближайших элементов из M для x одноточечно. Точкаx MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabgIGiodaa@373C@ X\M называется точкой солнечности для множества MX, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaad2eacqGHck cZcaWGybGaaiilaaaa@3A13@ M φ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuyTjMCPf gaiuGajugGbabaaaaaaaaapeGaa8NXdaaa@3B21@ , если существует точка светимости y MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabgIGiodaa@373C@ PM/x φ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuyTjMCPf gaiuGajugGbabaaaaaaaaapeGaa8NXdaaa@3B21@ такая, что y MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabgIGiodaa@373C@ PM ((1 — λ)y + λx) для всех λ 0. Множество φ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuyTjMCPf gaiuGajugGbabaaaaaaaaapeGaa8NXdaaa@3B21@ M ⊂ Х называется солнцем, если каждая точка x MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabgIGiodaa@373C@ X \M является точкой солнечности. Множество M MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabgkOimdaa@37B4@ X называется строгим солнцем, если для каждой точки x MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabgIGiodaa@373C@ X\M выполнено PM/x φ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuyTjMCPf gaiuGajugGbabaaaaaaaaapeGaa8NXdaaa@3B21@ и любая точка y MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabgIGiodaa@373C@ PM x φ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuyTjMCPf gaiuGajugGbabaaaaaaaaapeGaa8NXdaaa@3B21@ является точкой светимости.

“Солнца” являются наиболее естественным объектом, для которого выполнен критерий Колмогорова о характеризации элемента наилучшего приближения; им присущи те или иные свойства отделимости: шар можно отделить от такого множества посредством большего шара или опорного конуса.

В работе мы следуем определениям, данным в обзоре [1]. Основные определения даются ниже.

Исследуется задача о выпуклости солнц по касательным направлениям сферы. Данная постановка задачи является новой и была впервые решена в работе [2] для чебышевских множеств в конечномерных пространствах. Подчеркнём, что вопрос о выпуклости солнц (в отличие от проблемы выпуклости чебышевских множеств) решается очень просто: в пространстве X любое солнце выпукло, если и только если пространство X гладко (т.е. в любой точке единичной сферы пространства X опорная гиперплоскость единственна). Отметим, что известен пример несвязного солнца — единственный пример такого рода был построен В.А. Кощеевым в бесконечномерном подпространстве пространства C[0, 1] со специально выбранной нормой (см. [1; п. 8.3]). Этот пример не противоречит утверждению о выпуклости солнца по любому касательному направлению к сфере: даже на плоскости легко построить несвязное множество, выпуклое по любому касательному направлению к сфере (см. также замечание 3 ниже).

Определение 2. Для точки y MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabgIGiodaa@373C@ S через Λy обозначим множество предельных точек выражения yz ||yz|| MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaalaaabaGaam yEaiabgkHiTiaadQhaaeaacaGG8bGaaiiFaiaadMhacqGHsislcaWG 6bGaaiiFaiaacYhaaaaaaa@3F9C@ при z y, z MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabgIGiodaa@373C@ S (т.е. Λyмножество полукасательных направлений к сфере S в точке y). Направление d называется (глобально) касательным направлением для сферы S, если для любой точки y MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabgIGiodaa@373C@ S условие опорности направления d в точке y влечёт, что d MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabgIGiodaa@373C@ Λy, т.е. направление d является касательным в точке y.

К примеру, в пространстве l n ,n2, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabloriSnaaDa aaleaacaWGUbaabaGaeyOhIukaaOGaaiilaiaaygW7caaMb8UaaGPa VlaaykW7caWGUbGaeyyzImRaaGOmaiaacYcaaaa@4483@ касательными направлениями сферы являются только направления, параллельные рёбрам единичного шара (куба). В пространстве l n 1 ,n3, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabloriSnaaDa aaleaacaWGUbaabaGaaGymaaaakiaacYcacaaMb8UaaGzaVlaaykW7 caaMc8UaamOBaiaaykW7caaMc8UaeyyzImRaaGPaVlaaykW7caaIZa Gaaiilaaaa@49FA@ касательных направлений к сфере нет.

Определение 3. Множество M называется выпуклым по направлению d, если из того, что x,yM,(yx)||d, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadIhacaGGSa GaamyEaiabgIGiolaad2eacaGGSaGaaGPaVlaaykW7caGGOaGaamyE aiabgkHiTiaadIhacaGGPaGaaiiFaiaacYhacaaMc8UaaGPaVlaads gacaGGSaaaaa@496F@ вытекает, что [x,y]M. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaacUfacaWG4b GaaiilaiaadMhacaGGDbGaeyOGIWSaamytaiaac6caaaa@3DA3@

Основным результатом работы является следующая

Теорема 1. В линейном нормированном пространстве произвольное солнце выпукло по любому касательному направлению единичной сферы.

Теорема 1 обобщает следующий результат из работы [2].

Теорема A. Если направление является касательным для единичной сферы конечномерного банахова пространства, то всякое чебышевское множество выпукло в этом направлении.

В теореме A и теореме 1 важно, что направление, по которому исследуется выпуклость чебышевского множества, является касательным для всей сферы. Можно легко построить пример трёхмерного пространства (к примеру, X= l 2 (2) 1 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadIfacqGH9a qpcqWItecBdaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaGGOaGaaGOmaiaacMca cqGHvksXdaWgaaWcbaGaaGymaaqabaGccqWIDesOcaGGPaaaaa@40EA@ и чебышевского множества (солнца) в нём, не выпуклого по направлению, являющемуся касательным к сфере в некоторой точке (но, конечно, не во всех точках сферы, в которых оно является опорным). В двумерном банаховом пространстве любое касательное направление в точке сферы является касательным направлением сферы.

Более сильный вариант теоремы A для пространства l n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabloriSnaaDa aaleaacaWGUbaabaqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaiuaacqWFEisPaaaa aa@3E80@ содержится в теореме B (см. [1]).

Пусть X = l n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabloriSnaaDa aaleaacaWGUbaabaqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaiuaacqWFEisPaaaa aa@3E80@ . Пусть также k + , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadUgacqGHii IZcqWIKeIOdaWgaaWcbaGaey4kaScabeaakiaacYcaaaa@3B6C@ k dim X.

Обозначим cAffk(X) — класс всех аффинных координатных подпространств из X конечной размерности k, т. е. подпространств вида {x MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabgIGiodaa@373C@ l n | MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabloriSnaaDa aaleaacaWGUbaabaqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaiuaacqWFEisPaaGc caaMc8UaaiiFaaaa@4115@ xi1= = c1, ..., x i k MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadIhadaWgaa WcbaGaamyAamaaBaaameaacaWGRbaabeaaaSqabaaaaa@38F7@ = ck} для некоторого фиксированного набора индексов i1, ..., ik и набора констант c1, ..., ck. В следующей теореме ri A — относительная внутренность множества A, замкнутый промежуток Π — это пересечение экстремальных (координатных) гиперполос вида {x MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabgIGiodaa@373C@ l n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabloriSnaaDa aaleaacaWGUbaabaqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaiuaacqWFEisPaaaa aa@3E80@ | a f (x) b}, —∞ a b +∞, f MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabgIGiodaa@373C@ ext S*, порождаемых в исходном пространстве l n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabloriSnaaDa aaleaacaWGUbaabaqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaiuaacqWFEisPaaaa aa@3E80@ экстремальными функционалами из сопряжённого пространства.

Теорема B. Чебышевское множество в l n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabloriSnaaDa aaleaacaWGUbaabaqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaiuaacqWFEisPaaaa aa@3E80@ является экстремально чебышевским. Иными словами, если Π замкнутый промежуток в l n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabloriSnaaDa aaleaacaWGUbaabaqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaiuaacqWFEisPaaaa aa@3E80@ M Π φ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuyTjMCPf gaiuGajugGbabaaaaaaaaapeGaa8NXdaaa@3B21@ , M ri Π = φ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuyTjMCPf gaiuGajugGbabaaaaaaaaapeGaa8NXdaaa@3B21@ , то пересечение M Π одноточечно.

Как следствие, если P координатное подпространство и M P φ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuyTjMCPf gaiuGajugGbabaaaaaaaaapeGaa8NXdaaa@3B21@ , то M P чебышевское множество в P.

Отметим ещё один результат [3], частично обобщающий теорему A.

Определение 4. Направление d будем называть гиперкасательным направлением для единичной сферы S, если направление d параллельно некоторой гиперграни единичного шара.

Теорема C. Чебышевская кривая в l n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabloriSnaaDa aaleaacaWGUbaabaqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaiuaacqWFEisPaaaa aa@3E80@ выпукла по любому гиперкасательному направлению к единичной сфере.

Замечание 1. Произвольное чебышевское множество в l n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabloriSnaaDa aaleaacaWGUbaabaqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaiuaacqWFEisPaaaa aa@3E80@ не обязано быть выпуклым по гиперкасательному направлению. Соответствующий пример легко построить в пространстве любой размерности n 3.

Замечание 2. Строгое солнце (и в частности, солнце) не обязано быть выпуклым по (локально) касательному направлению в точке сферы. Рассмотрим соответствующий пример в пространстве l 3 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabloriSnaaDa aaleaacaaIZaaabaqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaiuaacqWFEisPaaaa aa@3E4A@ . На плоскости 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabl2riHoaaCa aaleqabaGaaGOmaaaaaaa@3811@ для каждого t MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadshacqGHii IZcqWIDesOaaa@39A5@ зададим ломаную Mt следующим уравнением в полярной системе координат (r, φ):

M t = r0, φ= 1 4  arcctgt r0, φ= π 2 + 1 4  arcctgt . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaabaaaaaaaaape GaamytamaaBaaaleaacaWG0baabeaakiabg2da9maacmaabaGaamOC aiabgwMiZkaaicdacaGGSaaccaGae8hiaaIaeqOXdOMaeyypa0Jaey OeI0YaaSaaaeaacaaIXaaabaGaaGinaaaacaGGGcGaaeyyaiaabkha caqGJbGaae4yaiaabshacaqGNbGaamiDaaGaay5Eaiaaw2haaiablQ IivnaacmaabaGaamOCaiabgwMiZkaaicdacaGGSaGae8hiaaIaeqOX dOMaeyypa0ZaaSaaaeaacqaHapaCaeaacaaIYaaaaiabgUcaRmaala aabaGaaGymaaqaaiaaisdaaaGaaiiOaiaabggacaqGYbGaae4yaiaa bogacaqG0bGaae4zaiaadshaaiaawUhacaGL9baacaGGUaaaaa@653D@

Множество M = MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiablQIivbaa@36EA@ {(Mt + (0, 0, t)) | t MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadshacqGHii IZcqWIDesOaaa@39A5@ } является строгим солнцем в l 3 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabloriSnaaDa aaleaacaaIZaaabaqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaiuaacqWFEisPaaaa aa@3E4A@ , но его пересечение с касательной прямой в некоторых точках сферы не выпукло по направлению такой касательной.

Замечание 3. В трёхмерном пространстве l 3 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabloriSnaaDa aaleaacaaIZaaabaqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaiuaacqWFEisPaaaa aa@3E4A@ можно построить пример множества замкнутого, связного и выпуклого по любому касательному направлению сферы S, не являющегося солнцем (и, как следствие, не являющегося чебышeвским множеством).

Замечание 4. B пространстве l n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabloriSnaaDa aaleaacaWGUbaabaqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaiuaacqWFEisPaaaa aa@3E80@ утверждение о выпуклости солнц по любому касательному направлению было известно ранее (в другой формулировке). Данный результат вытекает из монотонной линейной связности солнц в l n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabloriSnaaDa aaleaacaWGUbaabaqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaiuaacqWFEisPaaaa aa@3E80@ .

Заключение. Показано, что в произвольном линейном нормированном пространстве произвольное солнце выпукло по любому касательному направлению единичной сферы. Теорема A, в которой тот же результат установлен для чебышевских множеств в конечномерных пространствах, нашла своё применение в работах [3, 5] по исследованию локально чебышевских множеств. Авторы надеются, что теорема 1 также окажется полезной при исследовании более общих множеств с заданными локально аппроксимативными свойствами (по поводу таких задач см. [6–8]).

Работа первого автора выполнена при поддержке РФФИ (гранты 18–01–00333-а, 19–01–00332-а) и гранта Президента РФ поддержки ведущих научных школ (проект НШ-6222.2018.1).

A. R. Alimov

Lomonosov Moscow State University; Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: alexey.alimov-msu@yandex.ru

Russian Federation, Moscow

E. V. Shchepin

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: scepin@mi.ras.ru

Russian Federation, Moscow

  1. Алимов А.Р., Царьков И.Г. Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближе-ния // УМН. 2016. Т 71. №1 (427). С.3–84.
  2. Алимов А.Р., Щепин Е.В. // Выпуклость чебышёвских множеств по касательным направлениям // УМН. 2018. Т. 73. № 2 (440). С. 185–186.
  3. Алимов А.Р. Локально чебышёвские множества в пространстве // Вестн. филиала МГУ. Душанбе. Сер. Естеств. наук, 2018. № 4(1). С. 5–8.
  4. Алимов А.Р. Выпуклость ограниченных чебышёвских множеств в конечномерных пространствах с несим-метричной нормой // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14. № 4(2). С. 489–497.
  5. Alimov A.R. On Approximative Properties of Locally Chebyshev Sets // Proc. Inst. Math. Mech., Natl. Acad. Sci. Azerb. 2018. V. 44. № 1. Р. 36–42.
  6. Флеров А.А. Локально чебышевские множества на плоскости // Мат. заметки. 2015. T.97. № 1. С. 142–149.
  7. Флеров А.А. О множествах с не более чем двузначной метрической проекцией на нормированной плоско-сти // Мат. заметки. 2017. T. 101. № 2. С. 286–301.
  8. Alimov A.R. Continuity of the Metric Projection and Local Solar Properties of Sets // Set-Valued Var. Anal. 2017.

Views

Abstract - 170

PDF (Russian) - 89

PlumX


Copyright (c) 2019 Russian Academy of Sciences