Remote assessment of natural hazards on the base of the mathematical morphology of landscape

Full Text

Способы оценки природной опасности на основе использования материалов дистанционных съемок развиваются в целом ряде исследований [3, 6, 5, 8-12]. Однако их результаты характеризуются следующими особенностями:¹

• оценка природной опасности носит преимущественно качественный характер (высокая, низкая и др.),
• итоговым результатом является выделение участков с разной степенью природной опасности.

Цель настоящей статьи – показать подходы к количественной оценке природной опасности на основе материалов дистанционных съемок с привлечением математической теории морфологического строения ландшафта. Исследования выполнялись на примере ландшафтов криолитозоны.

Рассмотрим территорию эрозионно-термокарстовой равнины – одного из типичнейших ландшафтов криолитозоны. Данный тип территорий представляет собой слабоволнистую субгоризонтальную поверхность с преобладанием различной тундровой или лесотундровой растительности (пушицевые тундры, осоково-пушицевые тундры и др.), в которую вкраплены озера и хасыреи, а также местами развита нечастая эрозионная сеть (рис. 1). Озера часто имеют округлую форму и беспорядочно разбросаны по равнине. Хасыреи представляют собой плоскодонные и пологосклонные заторфованные понижения, также изометричной формы, занятые луговой или болотной растительностью и аналогично озерам в беспорядке располагающиеся на равнине. Внутри хасыреев могут оставаться мелкие остаточные озерки по периферии и крупные озера в центральной части. В пределах хасыреев возможны вторичное формирование мерзлоты и развитие бугров пучения. В соответствии со взглядами большинства исследователей, хасыреи образуются в результате осушения термокарстовых озер, чаще всего в результате эрозионной деятельности водотоков.

 

Рис. 1. Пример изображения ландшафта эрозионно-термокарстовой равнины на материалах космической съемки.

 

Ландшафт эрозионно-термокарстовых равнин находится под влиянием сложно взаимодействующих термокарстовых, термоабразионных и термоэрозионных процессов. Это проявляется в том, что:

• на территории возникают новые первичные термокарстовые понижения;
• термокарстовые понижения растут независимо друг от друга, как озера, за счет термоабразионных процессов;
• в случайный момент времени озеро может быть спущено эрозионными процессами и превратиться в хасырей, при этом рост котловины остановится из-за отсутствия водной массы.

В данной работе авторами рассматривается вариант изменения морфологии территории, когда наблюдается постоянное появление новых термокарстовых понижений, развивающихся в озера (“асинхронный старт” термокарстовых процессов). Рост озер регулируется случайными факторами, связанными с развитием метеорологических процессов конкретного года и грунтовыми условиями.

Решение задачи может быть найдено с помощью математической модели морфологической структуры эрозионно-термокарстовых равнин, полученной на основе подходов математической морфологии ландшафта и основывающейся на следующих предположениях.

1. Возникновения первичных термокарстовых понижений (очагов) за непересекающиеся отрезки времени ($\Delta t$) и на непересекающихся площадках ($\Delta s$) являются независимыми случайными событиями; вероятность возникновения понижения зависит только от величины отрезка времени и площадки²:

$p_1=\lambda \Delta s\Delta t+o\left(\Delta s\Delta t\right)$,

$p_k=o\left(\Delta s\Delta t\right){,}^{}k=\mathrm{2,3...}$,

где λ – параметр.

2. Возникновение первичных термокарстовых понижений не происходит на площади существующих термокарстовых озер.
3. Изменение радиуса возникшего термокарстового понижения представляет собой случайный процесс; оно происходит независимо от других озер, и его скорость, находясь под воздействием случайных факторов, при этом пропорциональна плотности тепловых потерь через боковую поверхность озерной котловины.
4. В процессе роста озеро может перейти в хасырей при его спуске эрозионной сетью, вероятность этого не зависит от других озер, при этом рост котловины прекращается.
5. Возникновения истоков эрозионных форм на непересекающихся площадках являются независимыми случайными событиями, и их вероятность определяется только величиной площадки³.

Таким образом, территория представляется как некоторый поток развивающихся термокарстовых озер. Каждое озеро появляется в случайный момент времени независимо от других, расширяется под действием, в том числе случайных факторов, и, наконец, достигая критического размера, в случайный момент времени независимо от других переходит в стадию хасырея.

Для случая асинхронного старта остаются справедливыми следующие исходные зависимости, полученные в математической морфологии ландшафта:

• распределение радиуса свободно растущего термокарстового очага через время t после возникновения данного озера [1]:

$f_0^{}(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma x\sqrt{t}}{e}^{-\frac{{(\ln x-\alpha t)}^2}{2{\sigma }^{2}t}}$,(1)

где $\alpha ,\sigma$— параметры распределения, $t$ – время, прошедшее с начала процесса;

• распределение расстояния от центра растущего очага до ближайшего истока эрозионной формы, останавливающего рост озера с превращением его в хасырей, отвечает закону Рэлея [13]:

$F_{}\left(x\right)=1-e^{-\pi \gamma x^2}$,(2)

где γ – средняя плотность расположения истоков эрозионных форм.

Анализ предположений модели позволяет сделать существенные выводы о динамике процесса. При выполнении исследований были использованы и результаты, полученные в рамках гранта РНФ.

Рассмотрим развитие отдельного озера. Предположения модели позволяют получить вывод о вероятности непревращения термокарстового озера в хасырей через время t после его появления. Она определяется вероятностью недостижения за данное время его критического размера (расстояния до ближайшего истока эрозионной формы), при котором происходят спуск воды и превращение в хасырей. Соответственно, вероятность сохранения озера за время t с момента его образования будет равна

$P_l\left(t\right)=\underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}{e}^{-\pi \gamma x^2}{f}_0(x,t)dx$,

где f₀(x,t) – плотность распределения размеров озера через время t после его появления (см. (1)).

Предположения модели позволяют получить вывод о динамике процесса генерации первичных очагов термокарстового процесса. Генерация первичных термокарстовых понижений на свободном (незаозеренном) участке без развития эрозии описывается пуассоновским процессом [1], т.е. вероятность появления на площадке S за время t числа k первичных термокарстовых понижений дается выражением

$P\left(k\right)=\frac{{\left(\lambda St\right)}^k}{k!}{e}^{-\lambda St}$,

где λ – среднее число первичных термокарстовых понижений, появляющихся за единицу времени на единице площади, $S$ – площадь пробной площадки, t – временной интервал.

Как неоднократно показано ранее (например, [1, 7, 2]), это строго следует из первого предположения модели. Однако с учетом второго положения модели это означает, что первичные понижения генерируются только вне площади озер, т.е. эквивалентно тому, что наблюдается переменная плотность генерации первичных понижений:

${\lambda }_1\left(t\right)=\lambda P_c\left(t\right)$,

где $P_c\left(t\right)$ представляет собой долю свободной от озер площади – величину, дополнительную к средней пораженности территории термокарстовым процессом (дополнение до единицы). Под средней пораженностью понимается вероятность того, что случайно взятая точка территории будет охвачена хотя бы одним очагом термокарстового процесса или, что то же самое, средняя доля площади, занятая термокарстовыми озерами (заозеренность). Функция $P_c\left(t\right)$, как показано ранее [1, 2], связана с параметрами процесса экспоненциальной зависимостью, и именно этим определяется ее динамика:

$P_c\left(t\right)=e^{-\tau \left(t\right)\overline{s}\left(t\right)}$, (3)

где $\overline{s}\left(t\right)$ – средняя площадь озер в данный момент времени, $\tau \left(t\right)$ – среднее число озер на единицу площади в момент времени $t$.

Предположения модели позволяют получить вывод об изменении среднего числа термокарстовых озер на единице площади в процессе развития ландшафта эрозионно-термокарстовой равнины. Для этого следует учесть:

• переменную генерацию первичных понижений,
• возможность превращения озера в хасырей за время его существования до настоящего момента $t$.

Тогда среднее число озер на единицу площади в момент времени $t$ составит:

${\tau }_l\left(t\right)=\lambda \underset{0}{\overset{t}{\int }}{P}_c\left(u\right)P_l(t-u)du=\lambda \underset{0}{\overset{t}{\int }}{P}_c\left(u\right)\underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}{e}^{-\pi \gamma x^2}{f}_0(x,t-u)dxdu$,(4)

а распределение числа озер останется пуассоновским (так как вероятность перехода в хасырей не зависит от расположения озера), но с нелинейным изменением параметра во времени.

Распределение (плотность распределения) радиусов озер в момент времени t будет равно отношению числа невырожденных озер, имеющих данный радиус, к общему количеству озер, еще не превратившихся в хасыреи, и после упрощения составит⁴:

$f(x,t)=\frac{e^{-\pi \gamma x^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{P}_c\left(u\right)f_0(x,t-u)du}}{{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{P}_c\left(u\right)\underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}{e}^{-\pi \gamma x^2}{f}_0(x,t-u)dxdu}}$.

Анализ модели позволяет определить и характеристики динамики хасыреев. Поскольку вероятность превращения озера в хасырей не зависит от его расположения, распределение числа хасыреев останется пуассоновским, но также с нелинейным изменением параметра. Распределение радиусов хасыреев на момент времени t будет равно отношению числа хасыреев, имеющих заданный радиус, к общему числу хасыреев. После упрощения получаем:

$f_h(x,t)=\frac{2\pi \gamma x{e}^{-\pi \gamma x^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{P}_c\left(u\right)}[1-F_0(x,t-u\left)\right]du}{{\displaystyle \underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}2\pi \gamma x{e}^{-\pi \gamma x^2}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{P}_c\left(u\right)[1-F_0(x,t-u\left)\right]dudx}}$ ’(5)

где F₀(x,u) − распределение радиуса озера через время t после его появления при свободном росте.

Модель позволяет получить выражение, описывающее динамику доли свободной от озер поверхности участка. Если из вышеприведенного закона распределения радиуса установить значение средней площади озера, то с учетом выражения для ${\tau }_l\left(t\right)$ (4) после упрощения и логарифмирования можно получить интегральное уравнение:

$\ln P_c\left(t\right)=-\pi \lambda \underset{0}{\overset{t}{\int }}{P}_c\left(u\right)\underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}{x}^2{e}^{-\pi \gamma x^2}{f}_0(x,t-u)dxdu$,(6)

решением которого и является функция доли свободной от озер площади (“незаозеренность”).

Особый интерес представляет изучение каждого процесса при значительном времени его развития. Это особенно важно, так как сплошь и рядом исследователь сталкивается с давно идущими процессами.

Проанализируем развитие морфологической структуры эрозионно-термокарстовых равнин по истечении значительного времени, т.е. при t →+∞.

В этом случае, используя интегральное уравнение (6), нетрудно показать, что уравнение

$\ln P_c^{*}=-\lambda \pi P_c^{*}I$,

где $I=\underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}{x}^2[1-F(x\left)\right]f_0(x,u)dxdu$,

всегда имеет единственное решение, и если оно превышает 0.56, то существует предел функции $P_c\left(t\right)$ при t →+∞, причем он равен ${P_{с}}^{*}$.

В основе доказательства лежит построение пары ступенчатых функций, ограничивающих функцию $P_c\left(t\right)$ сверху и снизу. Используя уравнение (6), которому подчиняется названная функция, можно показать, что при указанном выше условии обе ступенчатые функции сходятся к единому пределу. Соответственно, по известной теореме, тот же предел должна иметь также и функция $P_c\left(t\right)$.

Из существования предела функции $P_c\left(t\right)$ в свою очередь следует, что существует предельное значение пораженности, и вытекает также существование предельного (стационарного) значения плотности генерации первичных очагов. Оно составляет:

${\lambda }^{*}=\lambda {P_c}^{*}$.

При большом времени существует предельное распределение размеров хасыреев. Переходя к пределу в выражении (5), учитывая существование предела у $P_c\left(t\right)$, используя правило Лопиталя и соответственно дифференцируя по t интегралы в числителе и знаменателе, получаем:

$f_h(x,\infty )=2\pi \gamma x{e}^{-\pi \gamma x^2}$.

Иначе говоря, распределение радиусов хасыреев отвечает распределению Рэлея, а площадей, следовательно, как нетрудно получить, – экспоненциальному распределению:

$F_{sh}(x,\infty )=1-e^{-\gamma x}$.

При указанных условиях, обеспечивающих существование предельного значения пораженности, существует также предельное распределение радиусов озер при t →+∞. Используя выражение (1) для плотности распределения радиуса при свободном росте и вычисляя верхний интеграл как значение преобразования Лапласа, получаем:

$f(x,\infty )=\frac{e^{-\pi \gamma x^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}{f}_0(x,u)du}}{{\displaystyle \underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}{e}^{-\pi \gamma x^2}{f}_0(x,u)dxdu}}=-\frac{2}{xEi(-\pi \gamma )}{e}^{-\pi \gamma x^2},x\ge 1$,

где $Ei(-x)=\underset{-\infty }{\overset{x}{\int }}\frac{e^{-u}}{u}du$ − интегральная экспоненциальная функция. Отсюда нетрудно получить, что распределение площадей будет отвечать распределению

$F_{sl}(x,\infty )=1-\frac{Ei(-\gamma x)}{Ei(-\gamma )}{,}_{}x\ge 1$,

которое может быть названо “интегрально-экспоненциальным”, с плотностью распределения:

$f_{sl}(x,\infty )=-\frac{1}{xEi(-\gamma )}{e}^{-\gamma x}{,}_{}x\ge 1$.

Наконец, из полученного результата о предельном значении незаозеренности вытекает, как можно показать [2], что в этом случае существует предельное (при t →+∞) значение среднего числа озер на единицу площади:

${\tau }_l(\infty )=\lambda P_c^{*}\underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}{e}^{-\pi \gamma x^2}{f}_0(x,u)dxdu=-\frac{\lambda }{2a}Ei(-\pi \gamma )$.

Само распределение числа озер на случайно выбранной площадке остается пуассоновским.

В целом, выполнив анализ развития территории на основе результатов математической морфологии ландшафта, получаем, что в случае асинхронного старта при весьма общих условиях по прошествии большего времени устанавливается динамическое равновесие в процессах генерации термокарстовых озер и превращения их в хасыреи. При этом плотность распределения очагов термокарстовых процессов и их размеры, пораженность процессом, а также размеры хасыреев приближаются к некоторым конечным уровням, задаваемым описанными выше выражениями.

Таким образом, использование подходов математической морфологии ландшафта позволяет получить математическую модель развития морфологической структуры эрозионно-термокарстовой равнины и в частности очагов термокарстовых процессов.

ЭМПИРИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА МОДЕЛЕЙ РАЗВИТИЯ МОРФОЛОГИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ ЭРОЗИОННО-ТЕРМОКАРСТОВЫХ РАВНИН

Эмпирическая проверка моделей развития морфологической структуры эрозионно-термокарстовых равнин базировалась на комплексе созданных моделей математической морфологии ландшафта. Проверке подвергались следующие свойства морфологической структуры равнин:

• соответствие распределения числа центров хасыреев и числа центров термокарстовых озер на случайно выбранной круговой площадке распределению Пуассона;
• соответствие распределения площадей хасыреев и термокарстовых озер разным видам распределений.

Для эмпирической проверки были выбраны участки, находящиеся в различных физико-географических условиях (рис. 2).

 

Рис. 2. Расположение ключевых участков эрозионно-термокарстовых равнин.

 

Были использованы следующие материалы космической съемки: архивные снимки Corona (3-7 м/пикс, 1965-1976 гг.); съемка среднего разрешения Sentinel 2A 2017-2018 гг., 10 м/пикс; современные высокодетальные снимки 0.5-0.7 м/пикс (Ресурс-П, IKONOS, QuickBird, Worldview 2, Geoeye-1, июнь-август 2008-2014 гг.), как специально заказанные (от НЦ ОМЗ), так и полученные из открытых источников (спутниковые покрытия Google, Bing, Yandex).

Выделение границ термокарстовых понижений производили как автоматизированным методом – на основе программных модулей ARCGIS и QGIS по спектральным яркостям снимка, так и в ручном режиме. После выделения проводился дополнительный анализ с целью исключения ошибок распознавания. Выделение границ хасыреев производили в основном вручную.

Проверку соответствия теоретически полученных распределений по эмпирическим критериям для большинства распределений выполняли с помощью программного пакета для статистического анализа с использованием критерия Пирсона (хи-квадрат) на основе известной методики при соблюдении условий ее применения. Для интегрально-экспоненциального распределения был создан специальный модуль для расчета значения критерия Пирсона (разработчик П.В. Березин). Это осуществлялось для случая, когда первичное возникшее понижение имело площадь $\epsilon$, в общем случае отличную от единицы. При этом распределение дается выражением:

$F_{sl}(x,\infty )=1-\frac{Ei(-\gamma x)}{Ei(-\gamma \epsilon )}{,}_{}x\ge \epsilon$,

с плотностью распределения:

$f_{sl}(x,\infty )=-\frac{1}{xEi(-\gamma \epsilon )}{e}^{-\gamma x}{,}_{}x\ge \epsilon$.

За оценку параметра $\epsilon$ принимали минимальное значение выборки, а значение γ находили в рамках того же программного модуля методом моментов путем численного решения уравнения:

$-\frac{1}{\gamma Ei(-\gamma \epsilon )}{e}^{-\gamma \epsilon }=\overline{s}$,

где $\overline{s}$ – средняя площадь озера.

Эмпирическая проверка моделей эрозионно-термокарстовых равнин дала следующие результаты.

Результаты проверки на соответствие распределения числа центров термокарстовых озер и хасыреев на случайно выбранной круговой площадке распределению Пуассона приведены в табл. 1. Проанализировано 11 участков, при этом объем выборок составлял 100 “бросаний”. Для каждой совокупности озер и хасыреев на участке проводили по 4 испытания. Большинство проведенных испытаний показали соответствие распределению Пуассона. На некоторых участках, например, А4 (хасыреи) и С3 (озера) дали частично отрицательный результат, что требует в дальнейшем более глубокого анализа данных ключевых участков на предмет их однородности. На рис. 3 приведен пример графика соответствия эмпирически полученных данных по числу озер и хасыреев распределению Пуассона.

 

Рис. 3. Пример соответствия эмпирического распределения количества озер на случайной площадке распределению Пуассона на ключевом участке А4 (а) и количества хасыреев – на ключевом участке A8 (б).

 

Таблица 1. Соответствие эмпирических распределений числа озер и хасыреев на случайно выбранной площадке распределению Пуассона

Номер участка	Объект	Радиус пробной площадки, м	λ, км-2	p-value
A1	Хасыреи	576	1.04	0.231
		865	2.65	0.182
		1153	3.97	0.008
		1730	9.7	0.039
	Озера	487	0.87	0.841
		730	2.71	0.648
		974	4.4	0.489
		1461	9.22	0.664
A2	Хасыреи	875	1.09	0.989
		1312	2.68	0.057
		1750	4.94	0.272
		2625	11.01	0.001
	Озера	424	1.01	0.942
		636	2.66	0.505
		848	4.25	0.705
		1272	9.3	0.316
A3	Хасыреи	559	0.84	0.470
		839	2.24	0.276
		1119	3.26	0.741
		1679	8.02	0.022
	Озера	440	1.2	0.471
		660	2.57	0.433
		880	4.2	0.426
		1320	9.07	0.454
A4	Хасыреи	409	0.69	0.000
		613	2.88	0.000
		818	3.85	0.000
		1227	9.7	0.000
	Озера	1385	0.94	0.116
		2077	2.41	0.000
		2770	4.46	0.013
		4155	9.38	0.638
A6	Хасыреи	881	1.01	0.989
		1322	2.13	0.483
		1763	4.33	0.577
		2645	10.41	0.022
	Озера	506	0.92	0.799
		759	2.55	0.481
		1012	4.66	0.173
		1518	10.17	0.350
A8	Хасыреи	787	1.29	0.032
		1181	2.41	0.029
		1574	3.76	0.211
		2362	8.06	0.000
	Озера	385	1.05	0.307
		578	2.48	0.135
		771	4.45	0.773
		1157	10.52	0.089
B2	Хасыреи	1083	1	0.025
		1625	2.46	0.005
		2166	4.7	0.003
		3250	10.5	0.211
	Озера	709	1.08	0.744
		1063	1.89	0.024
		1418	4.29	0.002
		2127	8.4	0.590
C1	Хасыреи	3142	1.01	0.094
		4713	2.26	0.065
		6284	4.2	0.015
		9426	8.91	0.025
	Озера	1700	0.89	0.000
		2550	2.58	0.000
		3400	3.7	0.000
		5100	9.58	0.000
C2	Хасыреи	1088	1.24	0.000
		1632	2.56	0.000
		2177	4.52	0.000
		3265	10.83	0.021
	Озера	850	0.89	0.142
		1275	2.41	0.000
		1701	4.22	0.000
		2551	9.73	0.000
C3	Хасыреи	1558	0.98	0.581
		2337	2.31	0.116
		3117	4.2	0.015
		4675	9.49	0.031
	Озера	956	0.97	0.009
		1435	2.42	0.051
		1913	3.99	0.000
		2870	9.16	0.000
D1	Хасыреи	2031	1.29	0.040
		3046	2.62	0.000
		4062	5.86	0.000
		6093	10.67	0.022

Примечание. Здесь и в табл. 2, 3 жирным шрифтом выделены значения, отвечающие согласию эмпирических данных проверяемому распределению на уровне значимости 0.99.

 

Полученные данные по площадям хасыреев включали выборки объема от 43 до 352 элементов. Результаты проверки приведены в табл. 2 и рис. 4. Анализ показывает, что на 13 участках из 17 распределение площадей хасыреев соответствует теоретическим построениям и отвечает экспоненциальному распределению на уровне значимости 0.99. Одновременно на 12 участках из этих 13 распределение площадей хасыреев соответствует как экспоненциальному распределению, так и логнормальному распределению. Последнее вполне объясняется двумя факторами:

• эрозионно-термокарстовые равнины на начальных стадиях представляли собой озерно-термокарстовые равнины, так как вероятность спуска озер при их изначально ограниченных размерах была невелика, а для них характерно логнормальное распределение площадей озер;
• экспоненциальное распределение есть предельное распределение при $t\to \infty$, а прошедшее с начала термокарстового процесса время является хотя и большим, но конечным.

 

Рис. 4. Примеры соответствия эмпирических распределений площадей хасыреев экспоненциальному распределению на ключевых участках A3 (а) и A8 (б).

 

Таблица 2. Соответствие эмпирических и теоретических распределений площадей хасыреев

Номер участка	Объем выборки	p-value
		Распределение
		нормальное	логнормальное	гамма-	экспоненциальное
A1	97	0.000	0.766	0.127	0.179
A10	122	- « -	0.353	0.000	0.396
A11	76	- « -	0.012	- « -	0.723
A2	62	- « -	0.108	- « -	0.000
A3	97	- « -	0.670	0.221	0.539
A5	49	- « -	0.444	0.108	0.281
A6	143	- « -	0.893	0.000	0.153
A7	127	- « -	0.000	0.005	0.084
A8	93	- « -	0.525	0.584	0.390
A9	73	- « -	0.044	0.000	0.191
B1	90	- « -	0.077	- « -	0.005
B2	114	- « -	0.045	0.159	0.034
C1	89	- « -	0.248	0.555	0.749
C2	352	- « -	0.237	0.000	0.000
C3	176	- « -	0.076	0.048	0.372
C4	178	- « -	0.552	0.000	0.001
D1	85	- « -	0.661	- « -	0.225

 

Таблица 3. Соответствие эмпирических и теоретических распределений площадей термокарстовых озер

Участок	Объем выборки	Среднее, м2	Распределение
			нормальное	логнормальное	гамма-	экспоненциальное	интегрально-экспоненциальное
			p-value				хи-квадрат	хи-квадрат 0.99
A1	135	62393	0.000	0.000	0.057	0.018	2.946	11.341
A2	213	108293	- « -	- « -	0.000	0.000	14.437	11.341
A3	274	92392	- « -	0.220	- « -	- « -	21.774	15.086
A4	493	118059	- « -	0.000	- « -	0.003	50.676	18.475
A5	559	36798	- « -	- « -	- « -	0.000	4.68	6.635
A6	434	71626	- « -	- « -	- « -	- « -	2.546	11.341
A7	257	30130	- « -	0.011	0.005	0.000	1.625	9.21
A8	235	56733	- « -	0.022	0.237	0.018	19.427	16.812
B1	222	254272	- « -	0.016	0.000	0.000	11.084	13.277
B2	142	51149	- « -	0.041	0.012	0.164	18.048	13.277
C1	304	281956	- « -	0.321	0.000	0.000	9.526	9.21
C2	269	402552	- « -	0.083	- « -	- « -	2.738	9.21
C3	387	632891	- « -	0.031	- « -	- « -	2.554	6.635
C4	1532	463501	- « -	0.000	- « -	- « -	28.126	15.086
D1	293	75584	- « -	0.490	- « -	- « -	56.992	16.812

 

Полученные эмпирические данные площадей термокарстовых озер для ключевых участков эрозионно-термокарстовых равнин включали выборки объема от 49 до 2108 элементов. Результаты проверки приведены в табл. 3.

На 7 участках из 15 наблюдается соответствие интегрально-экспоненциальному распределению (рис. 5), на 4 из них присутствует согласие и с логнормальным законом. На 3 участках из 15 наблюдается соответствие эмпирических распределений как гамма-распределению, так и логнормальному распределению, что соответствует модели синхронного старта [4, 5]. Это, как и в случае с хасыреями, вполне объясняется двумя упомянутыми выше факторами. Интересно, что для типичных озерно-термокарстовых равнин справедливо в основном только логнормальное распределение [4].

 

Рис. 5. Пример соответствия эмпирического распределения площадей озер (темная линия) интегрально экспоненциальному распределению (светлая линия) на ключевом участке С1 (площади даны в м2).

 

В целом эмпирическая проверка позволяет сделать вывод, что ситуация асинхронного старта для эрозионно-термокарстовых равнин реализуется в природе не достаточно часто. Теоретически полученные закономерности – экспоненциального распределения площадей хасыреев, интегрально-экспоненциального распределения площадей озер, пуассоновского распределения числа хасыреев и числа озер на пробных площадках – подтверждаются эмпирически на значительном числе ключевых участков.

Таким образом, использование подходов математической морфологии ландшафта позволяет получить закономерности весьма сложного развития морфологического строения эрозионно-термокарстовой равнины и в частности очагов термокарстовых процессов. Эти закономерности могут быть использованы при разработке методов оценки природных опасностей на основе материалов дистанционных съемок.

ОЦЕНКА ПРИРОДНЫХ ОПАСНОСТЕЙ НА ОСНОВЕ МАТЕРИАЛОВ ДИСТАНЦИОННЫХ СЪЕМОК

Рассмотрим вероятность поражения линейного сооружения длиной L, пролегающего в пределах ландшафта эрозионно-термокарстовой равнины, при этом ограничимся лишь потенциальной угрозой от возникающих термокарстовых очагов, не рассматривая уже существующие к моменту создания линейного сооружения. Рассмотрим сначала полосу конечной длины R, на оси которой расположен рассматриваемый линейный объект. Вероятность того, что один очаг процесса из числа названных заденет линейное сооружение, обусловливается тремя факторами:

• удаленностью его центра от линейного сооружения x;
• величиной радиуса озера;
• отсутствием в пределах площадки с радиусом x истоков эрозионных форм, которые могли бы остановить рост озера и превратить в его хасырей.

При этом необходимо учесть, что термокарстовый очаг может возникнуть в различные моменты (u) рассматриваемого временного интервала, а также что, согласно предположениям модели, удаленность от сооружения и время возникновения очага распределены равномерно. В итоге в целом упомянутая вероятность равна:

 $\alpha =\underset{0}{\overset{R}{\int }}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{-\pi \gamma x^2}[1-F_0(x,t-u\left)\right]\frac{du}{t}\frac{dx}{R}$,

где $F_0(x,u)$ − распределение радиуса озера через время t после его появления при свободном росте.

Вероятность того, что ни один из очагов процесса не заденет линейное сооружение при условии, что их на полосе k штук, равна:

$P(k,R,t)={(1-\alpha )}^k\frac{{\left(2\lambda P_c^{*}tRL\right)}^k}{k!}{e}^{-2\lambda P^{*}tRL}$.

С учетом того, что число возникших очагов, как следует из предположений модели, распределено по закону Пуассона, вероятность непоражения линейного сооружения при произвольном числе очагов на полосе может быть получена суммированием по k и равна после упрощения

$P(R,t)=\exp [-2\lambda P^{*}\alpha RtL]$.

Выражение для бесконечной полосы получаем, переходя к пределу в последней формуле при R→+∞. Учитывая, что

$\underset{R\to +\infty }{\lim }\alpha Rt=\underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{-\pi \gamma x^2}[1-F_0(x,t-u\left)\right]dudx$,

получаем:

$P\left(t\right)=\exp \left[-2\lambda P^{*}L\underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{-\pi \gamma x^2}[1-F_0(x,t-u\left)\right]dudx\right]$.

Необходимые параметры α, σ, λ, γ, P_c^* определяются по материалам повторных дистанционных съемок:

$\alpha =\frac{M(\ln \xi {}_2)-M(\ln \xi {}_1)}{t_2-t_1}$, P_c^* =$\frac{S}{S_0}$, $\text{σ}=\sqrt{\frac{D(\ln \xi {}_2)-D(\ln \xi {}_1)}{t_2-t_1}}$, $\text{λ}=\frac{n{}_2-n{}_1}{(t_2-t_1)S}$, $\text{γ}=\frac{m{}_1}{{S_0}_{{}_1}}$

где $t_1,t_2$ – сроки первой и второй съемок, $M(\ln \xi {}_i)$, – средний логарифм радиусов озер за соответствующий срок, $D(\ln \xi {}_i)$ – дисперсия логарифма радиусов озер за соответствующий срок, n_i – число озер на рассматриваемой площади участка, свободной от озер (в начальный момент) S за соответствующий срок, m – число истоков эрозионных форм на площади участка S₀.

ВЫВОДЫ

Таким образом, в целом могут быть сформулированы следующие выводы.

1. Использование подходов математической морфологии ландшафта перспективно для решения задачи дистанционной оценки природных опасностей.
2. Основой решения названной задачи является использование математических моделей морфологических структур соответствующего генетического типа.
3. Материалы дистанционных съемок позволяют получить параметры, необходимые для оценки вероятности поражения инженерного сооружения опасными экзогенными процессами.

Примечания:

¹ Выполнено в рамках государственного задания по теме №г.р. АААА-А19-119021190077-6.

² При этом для малых площадок и временных отрезков вероятность возникновения нескольких понижений много меньше, чем вероятность возникновения одного понижения.

³ При этом для малых площадок вероятность наличия более чем одного истока эрозионной формы много меньше, чем вероятность наличия одного истока.

⁴ Считаем, что функции распределения обладают необходимыми для перемены порядка интегрирования качествами (равномерной сходимостью, равномерно интегрируемы и т.д.), а случайные величины имеют конечные моменты до четвертого порядка включительно.

About the authors

A. S. Victorov

Sergeev Institute of Environmental Geoscience, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: dist@geoenv.ru
Russian Federation, Ulanskii per., 13, str. 2, Moscow, 101000

T. V. Orlov

Sergeev Institute of Environmental Geoscience, Russian Academy of Sciences

Email: dist@geoenv.ru
Russian Federation, Ulanskii per., 13, str. 2, Moscow, 101000

S. A. Sadkov

Sergeev Institute of Environmental Geoscience, Russian Academy of Sciences

Email: dist@geoenv.ru
Russian Federation, Ulanskii per., 13, str. 2, Moscow, 101000

O. N. Trapeznikova

Sergeev Institute of Environmental Geoscience, Russian Academy of Sciences

Email: dist@geoenv.ru
Russian Federation, Ulanskii per., 13, str. 2, Moscow, 101000

References

Supplementary files