METHOD OF FREEING A FIXED DYNAMIC MODEL OF AN AIRCRAFT

Full Text

ВВЕДЕНИЕ Расчетные динамические модели разрабатываются на этапе проектирования летательного аппарата (ЛА). Они используются в оценках эксплуатационной нагруженности, обеспечении прочности, управляемости и аэроупругой устойчивости ЛА. По завершению расчетного этапа изготавливается динамически подобная модель (ДПМ) ЛА и проблема аэроупругой устойчивости решается экспериментально [1, 2]. Затем сроится опытное изделие, а за ним и серийные. Расчетные динамические модели сопровождают экспериментальные исследования, опытную и серийную эксплуатацию ЛА. При этом расчетные модели корректируются по результатам наземных модальных испытаний, которым подвергаются ДПМ, опытные и выборочно серийные ЛА [1 - 10]. Важно отметить, что расчетной моделью ЛА является модель свободной динамической системы. В то же время для модальных испытаний авиационная техника либо устанавливается на шасси, либо помещается на специальную систему упругого вывешивания, а космические конструкции - на систему обезвешивания. Системы упругого вывешивания и обезвешивания, влияние которых на свободную конструкцию строго регламентировано [11], являются сложными и дорогостоящими техническими сооружениями. Кроме того, известные методы коррекции математических моделей конструкций не предполагают использование моделей для граничных условий, отличных от тех, что были реализованы в эксперименте [12 - 19]. В настоящей работе предлагается метод освобождения динамической расчетной модели ЛА после проведения процедуры ее коррекции. МЕТОД ОСВОБОЖДЕНИЯ РАСЧЕТНОЙ МОДЕЛИ Пусть имеется скорректированная по результатам испытаний закрепленная конечно-элементная (КЭ) модель L некоторой упруго-массовой конструкции. Модель описывается матрицами жесткости K и масс M, имеет n степеней свободы и N узлов. Система уравнений собственных колебаний этой модели имеет следующий вид: . (1) Ставится задача освободить КЭ-модель от закреплений при условии, что известны инерционные характеристики свободной конструкции, а именно: масса и массовые моменты инерции относительно некоторой точки, например, центра тяжести. Информации об убранных при начальном закреплении модели степенях свободы либо нет, либо она неактуальна, то есть она не позволяет сделать модель свободной. Последнее имеет место быть, например, когда проводится прямая коррекция матрицы жесткости и/или масс закрепленной модели по результатам эксперимента. Пусть рассматриваемая модель L находится на виртуальной платформе, к которой она прикреплена всеми узлами, которые были зафиксированы. Эта платформа может перемещаться и поворачиваться как жесткое целое. Положение платформы в глобальной неподвижной системе координат будем определять координатами точки C - вектором , а ориентация в пространстве задается вектором конечного поворота [20]. Виртуальная платформа в общем случае находится на упругом основании, заданном тремя линейными и тремя крутильными жесткостями. При ускорении платформы на закрепленную модель действуют дополнительные силы инерции, обусловленные ускорением каждой точки за счёт перемещения и поворота платформы, поэтому уравнение движения (1) перепишется в следующем виде: . (2) где , , - линейные перемещения платформы, - компоненты вектора конечного поворота . В случае малых поворотов матрица линейна относительно компонент этого вектора и имеет следующий вид: . Каждый узел КЭ-модели L до деформирования имеет координаты , в своей системе координат, которая необязательно совпадает с системой координат, выбранной выше, тогда точка C в этой системе имеет координаты . Так как рассматриваются малые перемещения, то зависимость - линейная относительно компонент вектора конечного поворота [20]: (3) Для определенности пусть каждый узел описывается тремя линейными и тремя угловыми степенями свободы (хотя в общем случае это может быть не так), тогда выражение (2) с учетом (3) перепишется в следующем виде: (4) Раскрывая скобки в (4), получим: . (5) Перепишем уравнение (5) в матричном виде: , (6) где , - матрица жесткости , дополненная шестью нулевыми столбцами, чтобы соответствовать , а матрицу можно определить следующим образом: , где матрица (таблица) - содержит порядковый номер уравнения, соответствующего i-ой степени свободы -го узла. Составим уравнения движения платформы. Пусть , - линейные и угловые жесткости крепления платформы. Если платформа свободна, эти жесткости равны нулю. Пусть - общая масса платформы и конечно-элементной модели L (масса свободной конструкции), а - соответствующие массовые моменты инерции. Тогда можно записать 6 уравнений движения платформы: , (7) где , , , Уравнения (6) и (7) образуют новую систему уравнений движения с симметричными матрицами размером (n+6): , или (8) Система (8) описывает собственные колебания конечно-элементной модели L вместе с платформой. Если модель L получена путем закрепления свободной модели , жесткости крепления платформы равны нулю, тогда частоты, найденные из решения проблемы (8), будут близки к частотам колебаний свободной модели . При этом формы собственных колебаний, найденные из (8), также будут близки к формам свободной модели, если их привести к одной системе координат с учетом относительного движения. Переведем (8) в глобальную систему координат. Согласно (3) можно записать следующее: , . Выразим локальные координаты : . (9) Подставим (9) в (8): , , так как , , тогда . Введем обозначение: , тогда последняя система уравнений перепишется следующим образом: . (10) Для приведения системы (10) к симметричному виду, воспользуемся линейными комбинациями первых n строк (10) в соответствии с таблицей : , , тогда с учетом (10) получим итоговую систему уравнений: . (11) Получим выражение для аналогично (5): Итак: Аналогично можно получить выражения для . Необходимо отметить, что точка C не обязательно должна располагаться в центре масс, она может находиться в любом месте конструкции. Пусть точка C находится на расстоянии , , от центра тяжести, тогда матрица может быть вычислена следующим образом: , где . Положение точки C влияет на относительные координаты каждого узла и матрицы и . Более того, модель может быть закреплена не в одной точке, но нужно иметь в виду, что после процедуры освобождения по (8) или (11) появляется специфическая погрешность, вызванная тем, что мы заменяем множество закрепленных степеней свободы всего 6-тью степенями свободы вектора , что вносит определенные изменения в деформирование модели, а именно: все закрепленные точки относительно друг друга не деформируются. Другими словами потерянная информация о законах деформирования закрепленных точек не может быть восстановлена, поэтому освобожденная модель будет отличаться от исходной свободной модели. Уравнения (8) и (11) могут быть использованы в преобразовании любых расчетных моделей, представленных в виде (1). Проиллюстрируем их применение на простейшем примере: колебания двух масс на пружинках (рис. 1). Система уравнений собственных колебаний «Закрепленной системы» (рис.1) имеет следующий вид: . (12) Преобразование (12) с учетом (8) приводит к следующей системе уравнений: . (13) Аналогичное преобразование, но с учетом (11), даёт такую систему уравнений:. (14) Система уравнений, описывающих собственные колебаний «Эквивалентной системы» (рис.1), имеет вид: . (15) Очевидно, что так как , m3=m0-m1-m2, то система уравнений (15) совпадает с системой уравнений (14). Кроме того, следует отметить, что частоты собственных колебаний, найденные по уравнениям (13), совпадают с частотами по (14) и (15). При этом собственные формы колебаний, приведенные к глобальной системе координат, совпадают с соответствующими формами, определенными по (14) и (15). Если в (13)-(15) положить , получим уравнения колебаний свободной системы. ПРИМЕР ОСВОБОЖДЕНИЯ РАСЧЕТНОЙ МОДЕЛИ На рис. 2 представлена условная балочная модель самолёта, стоящего на трёх стойках шасси. Балки, имитирующие шасси, закреплены следующим образом: для задней опоры запрещены перемещения в трех направлениях и по углу рыскания самолёта, а для двух передних - только перемещения по вертикали. Предлагаемый метод был реализован в виде программы Fortran, которая в качестве исходных данных использует матрицы жесткости и масс закрепленной расчетной модели, а также информацию о массе и моментах инерции свободной конструкции. Результатом работы программы является матрицы жесткости и масс для свободной конструкции. В табл. 1 приведены первые 30 частот собственных колебаний закрепленной модели, свободной модели и модели, освобожденной от закреплений по предлагаемому методу. В последней колонке показана разница в процентах между частотами свободной и освобожденной модели. Из представленных результатов следует, что частоты практически совпали между собой. Анализ форм колебаний освобожденной модели показал, что они также близки к формам колебаний свободной модели. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Разработан метод освобождения математических моделей динамических систем, позволяющий восстановить расчетную модель свободного летательного аппарата после ее коррекции по результатам наземных модальных испытаний. Метод основан на том, что закрепленная модель ставится на виртуальную подвижную платформу, которая имеет инерционные характеристики исходной свободной конструкции. Это допускает движение модели, соответствующее движению абсолютно жесткого тела. Процедура освобождения расчетной модели от закреплений не нарушает симметрии матриц жесткости и масс. На численном примере условной балочной модели самолета, установленного на шасси, показано, что освобожденная расчетная модель с высокой точностью воспроизводит частоты и формы собственных колебаний свободного самолета. Рис. 1. Пример преобразования системы масс на пружинках Рис. 2. Балочная модель самолёта Таблица 1. Результаты расчета

About the authors

Dmitry Aleksandrovich Krasnorutskiy

FSUE “SibNIA named after S.A. Chaplygin” (SibNIA); Novosibirsk State Technical University (NSTU)

Email: krasno-rutskiy@corp.nstu.ru
Сandidate of Technical Sciences, Associate Professor, Senior Researcher of the SibNIA, Associate Professor of the Aircraft Strength Department of the NSTU Novosibirsk

Vladimir Andreevich Berns

FSUE “SibNIA named after S.A. Chaplygin” (SibNIA); Novosibirsk State Technical University (NSTU)

Email: v.berns@yandex.ru
Doctor of Technical Sciences, Associate Professor, Head of the Dynamic Test Department of the SibNIA, Professor of the Aircraft Strength Department of the NSTU Novosibirsk

Pavel Anatol'evich Lakiza

FSUE “SibNIA named after S.A. Chaplygin” (SibNIA); Novosibirsk State Technical University (NSTU)

Email: qinterfly@gmail.com
Master’s Student of the Aircraft Strength Department of the NSTU, Engineer of the SibNIA Novosibirsk

Vladimir Evgen'evich Levin

Novosibirsk State Technical University (NSTU)

Email: v.levin@corp.nstu.ru
Doctor of Technical Sciences, Associate Professor, Deputy Head of the Aircraft Strength Department of the NSTU

References

Supplementary files