TO THE QUESTION OF MODELING OF A VALVE OF SYNCHRONOUS MACHINES BASED ON QUASIANALYTICAL METHOD

全文:

ВВЕДЕНИЕ В настоящее время в теории электрических машин наметилась тенденция к применению строгих в математическом смысле методов приведения периодических систем к системам уравнений с постоянными коэффициентами [1, 2]. В работе [3] был предложен модифицированный метод приведения и получены матрица постоянных коэффициентов B и матрица преобразования в замкнутой аналитической форме (1) (2) или с учетом первых двух слагаемых в матричном ряде Тейлора: (3) где - матрица периодических коэффициентов. На основе уравнений состояния вентильного магнитоэлектрического генератора (МЭГ) с однополупериодными и мостовыми схемами выпрямления [4, 5] покажем возможность применения данного метода к разработке упрощенных математических моделей (ММ), бесконтактных электрических машин постоянного тока. УПРОЩЕННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЕНТИЛЬНЫХ МАШИН Главным допущением при составлении упрощенных ММ вентильной электрической машины является представление вентилей идеальными ключами [6]. При этом расчет переходных процессов сводится к последовательному анализу ряда линейных схем замещения вентильной машины (ВМ). Если известны алгоритм работы ключей и топология схем замещения, то для каждой схемы замещения можно составить систему дифференциальных уравнений минимального порядка (по числу проводящих вентилей) и затем решать ее до того момента времени, пока состояние одного из вентилей схемы не изменится. Сопряжение решений дифференциальных уравнений, соответствующих различным межкоммутационным интервалам, осуществляется обычным методом припасовывания [7, 8]. Такой подход получил название метода переменной структуры[6-8] и применяется при исследовании нормальных эксплуатационных режимов работы вентильных синхронных машин, когда последовательность образования схем замещения заранее определена из предшествующих результатов натурного эксперимента, либо путем математического моделирования на ЭВМ с помощью универсальных ММ, ВМ, работающих по принципу «черного ящика». Нормальные режимы работы вентильного МЭГ характеризуются определенной повторяемостью схем замещения. Так для нулевых схем замещения (без уравнительного реактора) нормальным является режим проводимости двух или одного вентилей (режим 2-1), для мостовых схем выпрямления - режим 3-2. Поэтому при нормальной работе вентильной машины выделим некоторый интервал повторяемости, равный периоду пульсаций напряжения где Nn = kBm - число пульсаций за период переменного тока, m - число фаз ВМ. В свою очередь период пульсаций ln может состоять из двух подынтервалов непрерывности: коммутационного и межкоммутационного. Разделим основной период [0,Т] на Nn интервалов Nn, то есть , где С учетом свойства линейности интеграла формула (1) запишется в виде (4) где По аналогии с (4) разобьем интервал времени на n подынтервалов. Тогда выражение(3) приводится к рекуррентному соотношению вида или (5) где - шаг дискретности вычислений матрицы преобразования на k-ом интервале непрерывности. Пусть исходная периодическая система с помощью подстановки приводится к виду , (6) где у - вектор переменных состояния системы (6); U - вектор возмущений исходной системы; - вектор возмущений преобразованной системы (6); - матрица постоянных коэффициентов. Тогда из уравнений (4) и (5) следует простой способ описания работы ВМ: Аналитическим путем вычисляем матрицу постоянных коэффициентов и матрицу преобразования на k-ом интервале повторяемости по формулам (4) и (5). По формуле при начальных условиях с шагом интегрирования находим вектор преобразованных переменных состояния . По соотношению вычисляем переменные состояния исходной системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами [3]. Вышеописанная процедура вычислений соответствует случаю, когда переключение с одного вентиля на другой происходит мгновенно. Рассмотрим теперь случай простой коммутации, соответствующий нормальному квазиустановившемуся режиму работы ВМ. Основной период разделим на 2Nn чередующихся коммутационных и межкоммутационных подынтервалов непрерывности (рис. 1), то есть где - k-ый коммутационный подынтервал непрерывности - приращение угла управления вентилями на k-ом интервале; w - угловая частота. С учетом принятого разделения формула (1) принимает вид (7) где - матрица постоянных коэффициентов в k-ый межкоммутационный подынтервал коммутации; - матрица постоянных коэффициентов в k-ый межкоммутационный подынтервал. Матрица преобразования (3) для чередующихся подынтервалов может быть представлена в виде (8) где - верхний переменный предел интегрирования для к-го коммутационного подынтервала непрерывности; - верхний переменный предел интегрирования для к-го межкоммутационного подынтервала непрерывности. Из уравнений (7), (8 вытекает следующий способ описания работы ВМ в случае простой коммутации: Определяются аналитическим путем матрица постоянных коэффициентов и матрица преобразования в коммутационный подынтервал по формулам Формулу, определяющую решение дифференциальных уравнений (6) с постоянными коэффициентами в форме Коши, представляется в виде и находится ее аналитическое решение на интервале времени . Аналогичным образом осуществляется процесс вычислений для к-го межкоммутационного интервала : ; Последнее матричное уравнение при позволяет путем моделирования на ЭВМ системы трансцендентных уравнений определить угол коммутации gk на к-ом интервале непрерывности схем замещения ВМ. Таким образом, после выяснения связи между значениями переменных в начале и в конце интервала повторяемости формируется краевая оптимизационная задача, которая решается на ЭВМ обычными итерационными методами. По существу, процедура определения вектора состояния исходной периодической системы уравнений ВМ позволяет составить квазианалитический алгоритм решения системы дифференциальных уравнений с переменной структурой во всем временном интервале, так как схемы замещения через период работы в нормальном эксплуатационном режиме повторяются. Вектор состояния исходной системы уравнений ВМ определяется по формулам: Вектор мгновенных значений выпрямленного напряжения при активно-индуктивной нагрузке генератора равен: Таким образом, в предложенном квазианалитическом методе построения упрощенных ММ при учете простой коммутации вентилей исходная нелинейная система уравнений ВМ на интервалах повторяемости схем замещения рассматривается как совокупность линейных периодических систем уравнений с неизвестными заранее граничными условиями. Применение метода приведения [3] позволяет преобразовать системы уравнений с периодическими коэффициентами к системам уравнений с постоянной матрицей коэффициентов при любом режиме работы ВМ. Цель такого преобразования заключается в том, что дифференциальные уравнения с постоянной матрицей коэффициентов при векторе состояния поддаются аналитическому решению и позволяют сформулировать краевую задачу для определения неизвестных граничных условий. Из трансцендентных уравнений, полученных в результате аналитического решения преобразованной системы уравнений ВМ, с использованием ЭВМ определяются углы коммутации вентилей в заданном временном интервале. Достоинством предлагаемого квазианалитического метода является то, что полученные выражения (4), (5) или (7), (8), в отличие от метода Еругина-Бреуса [2], в котором аналитические выражения для матриц V(t)В зависят от сходимости степенных рядов относительно величины 1/w , справедливы при любых значениях w, не равных нулю. Очевидным недостатком метода становится сильно возрастающая сложность и объем вычислений для отличных от нормальных эксплуатационных режимов работы ВМ. Поэтому при анализе, например, аварийных режимов более предпочтительным является использование универсальных ММ [4, 5]. ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА Применение квазианалитического метода к решению задачи математического моделирования для случая мгновенной коммутации вентилей покажем на примере трехфазного магнитоэлектрического генератора (МЭГ). Уравнения МЭГ, работающего на нулевую схему выпрямления, имеют вид [4]: ; где R, L - матрицы параметров фаз генератора; - параметры нагрузки; - векторы токов и напряжений вентилей; - фундаментальная матрица контуров; - вектор гармонических э.д.с. источника (постоянного высококоэрцитивного магнита). При представлении вентиля идеальным ключом: - для вентиля, проводящего ток, , а ток через него определяется токами и напряжения во всех других элементах схем. - для вентиля, не проводящего ток, , а напряжение на нем определяется напряжениям и токами во всех других элементах схемы ВМ, то есть Для . Тогда при мгновенной коммутации вентилей достаточно выделить три интервала постоянства схем замещения ВМ. Для интервала : , где - текущее время. Для интервала : , где Для интервала: , где Здесь - матрица (в данном случае скаляр), составленная из ненулевых элементов исходной матрицы периодических коэффициентов на k-ом интервале постоянства схем замещения. Вырождающиеся в скаляры матрицы постоянных коэффициентов и матрицы преобразования, вычисленные аналитически по формулам (4), (5) для различных интервалов повторяемости, имеют вид На интервале повторяемости : На интервале : . Здесь, как и в формуле (5), - шаг численного интегрирования, j=1, 2, …, n; Таким образом, порядок расчета трехфазного вентильного МЭГ при мгновенной коммутации сводится к следующему: Вычисляются матрицы Решается на ЭВМ при k=1 дифференциальное уравнение с шагом численного интегрирования при начальных условиях Находится значение тока исходного уравнения . Определяется напряжение на R-L нагрузке П.п. 2-4 повторяются для k=2, 3при начальных условиях Через период процедура вычислений повторяется. Длина шага интегрирования внутри интервала непрерывности может быть выбрана достаточно большой. Если длина шаге совпадает с интервалом неизменного состава открытых вентилей (j=k), то рекуррентное соотношение (5) становится разностным уравнением, которое, как и в случае простой коммутации вентилей, решается аналитически. ЗАКЛЮЧЕНИЕ На основе модифицированного метода приведения систем с периодическими коэффициентами к системам с постоянными коэффициентами предложен численно-аналитический метод построения упрощенных ММ многофазных вентильных машин. Численно-аналитические расчеты, проводимые с помощью данного метода, учитывают нестационарные свойства периодических систем уравнений вентильной машины и справедливы при анализе электромеханических процессов в широком диапазоне изменения частот вращения ротора. Предлагаемый метод рекомендуется применять, например, при анализе и синтезе регуляторов напряжения, а также для сравнения полученных результатов с результатами численных экспериментов на основе моделирующих программ более высокого уровня. Рис. 1. Напряжение на выходе выпрямителя и ток вентилей, поясняющие процессы коммутации

作者简介

Andrey Alexandrov

Irkutsk State Transport University

Email: andreyalexandrov2008@ya.ru
Candidate of Technics, Associate Professor at the Department of Automation of Production Processes

Roman Daneev

East-Siberian Institute of the Ministry of internal Affairs of Russia

Email: romasun@mail.ru
Candidate of Technics, Lecturer at the Department of Information and Legal Disciplines Irkutsk

Viktor Sizykh

Irkutsk State Transport University

Email: sizykh_vn@mail.ru
Doctor of Technics, Associate Professor, Professor of the Department of Automation of Production Processes

参考

补充文件