NORMAL SHOCK SIMULATION BY MODIFICATED MONTE-CARLO METHOD

Abstract

The problem of direct numerical simulation of normal shock by Monte-Carlo method is solved. Density and velocity distribution in shock by modificated method are obtained. For calculation the original Monte-Carlo method and its modification are used. It is shown, that the modificated Monte-Carlo method is able to obtain very good results in comparing with the original one. By the way executive time is reduced at 18 percent.

Full Text

ВВЕДЕНИЕ Первый вероятностный метод моделирования течений с поверхностями отражения был введен Haviland и Lavin [1] и назывался метод тестовых частиц Монте-Карло. Этот метод применялся для моделирования течений без столкновений и имел дело со сложными течениями, которые включают многоповерхностные отражения. При моделировании переходных режимов становится необходимым вычислять типичные межмолекулярные столкновения в дополнение к молекулярно-поверхностному взаимодействию. Метод, учитывающий межмолекулярные столкновения, был в первый раз применен Bird к задаче релаксации однородного газа [2] и назывался метод моделирования Монте-Карло. Далее этот метод был применен Bird к моделированию задачи о распространении ударной волны [3]. Hammersley и Handscomb [4] установили, что методы Монте-Карло работают в области экспериментальной математики, которая связана с теорией вероятности. Они также применили термин «прямое моделирование» к расчету вероятностных задач данным методом. В настоящей работе используется дальнейшее развитие метода прямого моделирования Монте-Карло (ПММК) [5, 6]. 1. ЧИСЛЕННАЯ СХЕМА МЕТОДА В работе рассматриваются схемы метода ПММК для случая одномерного течения, хотя для частиц вычисляются все три компоненты скорости, но учитываются перемещения частиц только вдоль оси Ox. В методе, описанном в [5], область течения разбивается основной и вспомогательной однородными сетками. Основная сетка имеет квадратные ячейки, при этом в каждой ячейке содержится несколько подъячеек вспомогательной сетки. В начальный момент времени в ячейках сетки располагаются частицы случайным образом с компонентами скорости: , , (1) . Здесь , (2) где - случайная величина из диапазона , , (3) , (4) , (5) где - постоянная Больцмана, - температура течения, - молекулярная масса. После чего частицы перемещаются со своей скоростью за шаг по времени в новое положение . (6) Если частицы вылетают за расчетную область, то они удаляются. При этом если число частиц становится меньше максимального числа частиц, то новые частицы добавляются в течение. После этого заполняются вспомогательные массивы, ставящие в соответствие каждой ячейке сетки несколько частиц, которые в ней находятся. Причем в оригинальной программе Bird [5] заполняется также массив, ставящий в соответствие каждой подъячейке сетки частицы газа, которые в ней находятся. В предлагаемой модифицированной программе данный шаг отсутствует, так как вспомогательная сетка с подъячейками была исключена из схемы метода ПММК [7]. На следующем шаге алгоритма вычисляются скорости после столкновения частиц. В оригинальной программе [5] выбирается пара частиц для столкновения из подъячеек, ближайших к рассматриваемой ячейке, методом случайного выбора, но в пределах одной ячейки сетки. В предлагаемой модифицированной схеме метода [7] пары частиц выбираются сразу из рассматриваемой ячейки сетки методом случайного выбора, что сильно упрощает алгоритм. Компоненты относительной скорости двух столкнувшихся частиц и определяются следующим образом , . (7) Относительная скорость частиц по модулю определится как . (8) Если выполняется условие , (9) то расчет ведется по модели твердых ядер, в противном случае расчет выполняется по модели мягких ядер. Здесь - величина обратная параметру разброса в модели мягких ядер. Промежуточные величины скорости для модели мягких ядер рассчитываются с помощью следующих формул: , , (10) , где , (11) , (12) . (13) Скорости частиц после столкновения вычисляются по скоростям центра масс частиц l и m до столкновения и скоростям, определяемым по формулам (10), , , . (14) После этапа столкновений частиц следует этап вычисления параметров потока. Параметры потока, как и в [5], рассчитываются каждые четыре шага по времени. Скорость потока в -ой ячейке сетки определяется следующим образом , (15) где - -ая компонента скорости -ной частицы в -ой ячейке сетки; - число образцов для измерений в -ой ячейке сетки. На этом численная схема метода завершается и происходит переход к следующему шагу по времени. 2. НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Был рассмотрен прямой скачок уплотнения в одномерной области м. Граница разрыва параметров течения находилась при . В начальный момент времени в ней размещались частицы с полем скорости, которое соответствовало скачку, на него накладывалось случайное поле скорости теплового движения частиц. С левой границы области в неё добавлялись частицы со случайными скоростями плюс скорость набегающего потока, а на правой границе ставилось условие зеркального отражения. Параметры потока до скачка равнялись кг/м3, м/с, К, после скачка кг/м3, м/с, К. Расчет производился по модели мягких ядер, величина, обратная параметру разброса, принималась равной . Однородная сетка состояла из 300 ячеек и 1800 подъячеек. Температура газа в области [в выражении (5)] равнялась до скачка , после скачка . Время моделирования составляло 0.6009193 с. Максимальное число частиц равнялось 20000. На рисунках 1, 2 представлены результаты, полученные с помощью оригинального метода ПММК [5], в сравнении с результатами модифицированного метода [7]. Из рисунков видно, что две линии, соответствующие представленным методам, сливаются в одну. Для оценки совпадения результатов была произведена выборка для скорости в пяти точках рассматриваемой области, которая приводится в таблице 1. Из результатов таблицы видно, что численные результаты двух методов практически совпадают. При этом в модифицированном методе ПММК удалось добиться снижения времени счета на 18 %. ВЫВОДЫ По численным результатам моделирования методом ПММК прямого скачка уплотнения можно сделать вывод, что модифицированный метод ПММК [7] позволяет получать результаты, практически совпадающие с результатами оригинального метода Bird [5], при этом его алгоритм более прост. Кроме того, удалось добиться снижения времени счета на 18 %. Рис. 1. Распределение плотности в скачке уплотнения: - - - - - - метод ПММК Bird [5], _ - модификация метода ПММК Рис. 2. Распределение скорости в скачке уплотнения: - - - - - - метод ПММК Bird [5], _ - модификация метода ПММК Таблица 1. Сравнение скоростей модифицированного и оригинального методов