NORMAL SHOCK SIMULATION BY MODIFICATED MONTE-CARLO METHOD

详细

The problem of direct numerical simulation of normal shock by Monte-Carlo method is solved. Density and velocity distribution in shock by modificated method are obtained. For calculation the original Monte-Carlo method and its modification are used. It is shown, that the modificated Monte-Carlo method is able to obtain very good results in comparing with the original one. By the way executive time is reduced at 18 percent.

全文:

ВВЕДЕНИЕ Первый вероятностный метод моделирования течений с поверхностями отражения был введен Haviland и Lavin [1] и назывался метод тестовых частиц Монте-Карло. Этот метод применялся для моделирования течений без столкновений и имел дело со сложными течениями, которые включают многоповерхностные отражения. При моделировании переходных режимов становится необходимым вычислять типичные межмолекулярные столкновения в дополнение к молекулярно-поверхностному взаимодействию. Метод, учитывающий межмолекулярные столкновения, был в первый раз применен Bird к задаче релаксации однородного газа [2] и назывался метод моделирования Монте-Карло. Далее этот метод был применен Bird к моделированию задачи о распространении ударной волны [3]. Hammersley и Handscomb [4] установили, что методы Монте-Карло работают в области экспериментальной математики, которая связана с теорией вероятности. Они также применили термин «прямое моделирование» к расчету вероятностных задач данным методом. В настоящей работе используется дальнейшее развитие метода прямого моделирования Монте-Карло (ПММК) [5, 6]. 1. ЧИСЛЕННАЯ СХЕМА МЕТОДА В работе рассматриваются схемы метода ПММК для случая одномерного течения, хотя для частиц вычисляются все три компоненты скорости, но учитываются перемещения частиц только вдоль оси Ox. В методе, описанном в [5], область течения разбивается основной и вспомогательной однородными сетками. Основная сетка имеет квадратные ячейки, при этом в каждой ячейке содержится несколько подъячеек вспомогательной сетки. В начальный момент времени в ячейках сетки располагаются частицы случайным образом с компонентами скорости: , , (1) . Здесь , (2) где - случайная величина из диапазона , , (3) , (4) , (5) где - постоянная Больцмана, - температура течения, - молекулярная масса. После чего частицы перемещаются со своей скоростью за шаг по времени в новое положение . (6) Если частицы вылетают за расчетную область, то они удаляются. При этом если число частиц становится меньше максимального числа частиц, то новые частицы добавляются в течение. После этого заполняются вспомогательные массивы, ставящие в соответствие каждой ячейке сетки несколько частиц, которые в ней находятся. Причем в оригинальной программе Bird [5] заполняется также массив, ставящий в соответствие каждой подъячейке сетки частицы газа, которые в ней находятся. В предлагаемой модифицированной программе данный шаг отсутствует, так как вспомогательная сетка с подъячейками была исключена из схемы метода ПММК [7]. На следующем шаге алгоритма вычисляются скорости после столкновения частиц. В оригинальной программе [5] выбирается пара частиц для столкновения из подъячеек, ближайших к рассматриваемой ячейке, методом случайного выбора, но в пределах одной ячейки сетки. В предлагаемой модифицированной схеме метода [7] пары частиц выбираются сразу из рассматриваемой ячейки сетки методом случайного выбора, что сильно упрощает алгоритм. Компоненты относительной скорости двух столкнувшихся частиц и определяются следующим образом , . (7) Относительная скорость частиц по модулю определится как . (8) Если выполняется условие , (9) то расчет ведется по модели твердых ядер, в противном случае расчет выполняется по модели мягких ядер. Здесь - величина обратная параметру разброса в модели мягких ядер. Промежуточные величины скорости для модели мягких ядер рассчитываются с помощью следующих формул: , , (10) , где , (11) , (12) . (13) Скорости частиц после столкновения вычисляются по скоростям центра масс частиц l и m до столкновения и скоростям, определяемым по формулам (10), , , . (14) После этапа столкновений частиц следует этап вычисления параметров потока. Параметры потока, как и в [5], рассчитываются каждые четыре шага по времени. Скорость потока в -ой ячейке сетки определяется следующим образом , (15) где - -ая компонента скорости -ной частицы в -ой ячейке сетки; - число образцов для измерений в -ой ячейке сетки. На этом численная схема метода завершается и происходит переход к следующему шагу по времени. 2. НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Был рассмотрен прямой скачок уплотнения в одномерной области м. Граница разрыва параметров течения находилась при . В начальный момент времени в ней размещались частицы с полем скорости, которое соответствовало скачку, на него накладывалось случайное поле скорости теплового движения частиц. С левой границы области в неё добавлялись частицы со случайными скоростями плюс скорость набегающего потока, а на правой границе ставилось условие зеркального отражения. Параметры потока до скачка равнялись кг/м3, м/с, К, после скачка кг/м3, м/с, К. Расчет производился по модели мягких ядер, величина, обратная параметру разброса, принималась равной . Однородная сетка состояла из 300 ячеек и 1800 подъячеек. Температура газа в области [в выражении (5)] равнялась до скачка , после скачка . Время моделирования составляло 0.6009193 с. Максимальное число частиц равнялось 20000. На рисунках 1, 2 представлены результаты, полученные с помощью оригинального метода ПММК [5], в сравнении с результатами модифицированного метода [7]. Из рисунков видно, что две линии, соответствующие представленным методам, сливаются в одну. Для оценки совпадения результатов была произведена выборка для скорости в пяти точках рассматриваемой области, которая приводится в таблице 1. Из результатов таблицы видно, что численные результаты двух методов практически совпадают. При этом в модифицированном методе ПММК удалось добиться снижения времени счета на 18 %. ВЫВОДЫ По численным результатам моделирования методом ПММК прямого скачка уплотнения можно сделать вывод, что модифицированный метод ПММК [7] позволяет получать результаты, практически совпадающие с результатами оригинального метода Bird [5], при этом его алгоритм более прост. Кроме того, удалось добиться снижения времени счета на 18 %. Рис. 1. Распределение плотности в скачке уплотнения: - - - - - - метод ПММК Bird [5], _ - модификация метода ПММК Рис. 2. Распределение скорости в скачке уплотнения: - - - - - - метод ПММК Bird [5], _ - модификация метода ПММК Таблица 1. Сравнение скоростей модифицированного и оригинального методов