ANALYSIS OF PHYSICAL AND MATHEMATICAL MODELS OF STRESSED MAGNETOANISOTROPIC STRUCTURES

Full Text

В настоящее время напряженные магнитоанизотропные структуры (НМАС) находят широкое применение не только в устройствах сбора и обработки информации, но и в качестве многофункциональных устройств (МФУ): преобразователях силы, момента и перемещения; модуляторах, ключах и переключателях; регулируемых линиях задержки; акселерометрах и др. [1-7]. В связи с этим возникает актуальная задача оценки эффективности существующих физических и математических моделей НМАС при разработке различных МФУ. Принципиальная базовая схема неуправляемых и управляемых НМАС этих устройств выполнена из двух кольцевых ферромагнитных элементов ЧЭ1 и КЭ3 (чувствительного и компенсационного, рис. 1) по дифференциально-трансформаторной резонансной схеме (обмотки возбуждения 5, 8 соединены последовательно-согласно и к генератору 2, а обмотки измерительные 4, 9 соединены последовательно-встречно и через конденсатор 6 с регистратором 7 и обмотки управления 10). Математическая реализация такой кольцевой физической модели НМАС в трехмерном пространстве вызывает непреодолимые трудности из-за сложности распределения электромагнитного и силового полей в кольцевом ЧЭ. Для упрощения обобщенной физической модели кольцевого ЧЭ его неуправляемая и управляемая НМАС была представлена в двухмерном пространстве в виде прямоугольной пластины из ферромагнитного материала, равной сечению кольцевого элемента, при силовом воздействии в электромагнитном поле (рис. 2) [1-3]. При этом вводятся следующие допущения [1, 2]: 1. Магнитное поле ЧЭ изменяется по синусоидальному закону; 2. Магнитное поле равномерное и имеет нормальную составляющую магнитной индукции Bz; 3. Комплексная магнитная проницаемость ЧЭ для заданного цикла перемагничивания постоянна; 4. Плотность токов по толщине пластины не изменяется; 5. Тангенциальные составляющие напряженности электрического поля Еа и Ев на границах пластины постоянны; 6. Поля, идущие в обход пластины, относятся к полям рассеивания; 7. Среда пластины изменяется под действием силы; 8. Механические напряжения в пластине имеют нормальную составляющую σ и действуют в нормальной к пластине плоскости. При введенных допущениях обобщенная физическая модель неуправляемой НМАС ЧЭ описывается системой дифференциальных уравнений теорий электромагнитного поля, ферромагнетизма и упругости в декартовых координатах [1-3]. где γx и γy - удельные электрические проводимости по x и y; Ex, Ey, Hz - комплексы действующих значений напряженностей электрического и магнитного полей на поверхности пластины по осям x, y, z; ω - круговая частота поля; w - деформация НМАС; S - площадь сечения пластины; μσ=μн-Δμ - магнитная проницаемость под действием σ [1-7]; μн - начальная магнитная проницаемость; Δμ - изменение магнитной проницаемости. Граничные условия имеют вид: (6) (7) где ℓ=2a, t=2b - толщина и ширина пластины; с - длина пластины; σ - нормальные механические напряжения в пластине при действии силы P на поверхности S. Решение дифференциальных уравнений (1-5) с условиями (6-7) осуществляется в результате анализа магнитного и электрического состояний напряженной магнитоанизотропной структуры (НМАС) ЧЭ с учетом уравнения (5) закона упругости. В результате определены электрические и магнитные параметры НМАС и характеристики преобразователей [1-3]. Разработана физическая модель управляемых НМАС для магнитоанизатропных ключевых элементов (МКЛ) (рис. 2), выполненных по дифференциально-трансформаторной схеме [1-3]. Обобщенная физическая модель управляемой НМАС также представлена в виде ферромагнитной пластины в электромагнитных полях возбуждения и управления при статическом силовом воздействии (рис. 2) при вышеназванных допущениях [1-3]. Рис. 2. Обобщенная физическая модель неуправляемой при Ey=0 и Hy=0 и управляемой при Ey≠0 и Hy≠0 НМАС Физическая модель на рис. 2 с учетом принятых допущений в двухмерном пространстве при одновременном воздействии силового поля и полей возбуждения и управления описывается следующими дифференциальными уравнениями в декартовых координатах для МКЛ [3]. где γx и γy - электрические проводимости по x и y; Ex, Ey, Exy, Eyy - напряженности электрических полей от возбуждения и управления по осям x, y; Bz, Bzy - магнитные индукции обмоток возбуждения и управления; ω, ωy - круговые частоты полей возбуждения и управления; σz - нормальные механические напряжения в НМАС; μσz - магнитная проницаемость от механических напряжений σz; E - модуль упругости; - деформация точки структуры по оси z. Граничные условия при этом имеют вид: (12) (13) (14) где a и b - размеры пластины; t - время срабатывания МКЛ; t1 и t2 - время включения и выключения МКЛ. Решение уравнения ферромагнетизма (11) известна в литературе и его решение имеет вид [1-3]: где μу и μк - магнитные проницаемости управляемого и компенсационного элементов; Δμσ - изменение проницаемости. Решение матмодели (8-11) с условиями (12-14) осуществляется так же как и предыдущей и позволяет определить электрические и магнитные параметры управляемой НМАС и определить выходную характеристику МКЛ [1-3]. Рассмотренные физические и математические модели НМАС устройств контроля не полностью отражают суть процессов, происходящих в НМАС кольцевых ЧЭ, так как рассматриваются в двухмерном пространстве. Поэтому была разработана физическая модель НМАС в виде реальной кольцевой структуры [4-7]. Обобщенная физическая модель неуправляемой и управляемой НМАС ЧЭ сжатия и растяжения представлена на рис. 3 в виде четверти ферромагнитного кольца, сечение которого ориентированно в сферической системе полярных координат таким образом, чтобы вектор нормальных напряжений σ совпадал с направлением магнитного поля Hc, а вектор касательных напряжений τ был с ним перпендикулярен, где P - сила воздействия на кольцо, направленная по радиусу ЧЭ под прямым углом к полю Hc; a = rн - rв; rн и rв - наружный и внутренний радиусы кольца; а - толщина кольца; b - ширина кольца; r0 - средний радиус элемента; φ - угол между осью симметрии сечения и радиусом rв; Er и Eв - напряженности электрического поля на гранях сечения; Bс - максимальная магнитная индукция внешнего магнитного поля; Hс - напряженность магнитного поля перпендикулярная сечению кольца; i - ток в обмотке возбуждения; iв - вихревой ток; iy - ток управления; θ - угол между осью симметрии сечения и радиусом r0 по длине кольца в рад. Рис. 3. Физическая модель НМАС обобщенная при iу=0 и iу≠0, τ=0 и τ≠0 Математическая модель неуправляемой НМАС ферромагнитного ЧЭ описывается уравнениями теории электромагнитного поля, ферромагнетизма и упругости. Решение этой модели в трехмерном пространстве связано с большими трудностями. Поэтому задача также была сведена к двумерной и решена в полярных цилиндрических координатах при принятых выше допущениях [4]. При одновременном воздействии силового поля (без учета касательных напряжений) и электромагнитного поля возбуждения состояние НМАС ЧЭ описывается дифференциальными уравнениями в полярных цилиндрических координатах. где γr и γφ - удельные электрические проводимости по направлениям; Er, Eφ, Hc - комплексы действующих значений напряженностей электрического и магнитного полей по поверхности сечения кольца по переменным r, φ и с; с = 2πr0 = const - длина кольца; μσ - магнитная проницаемость под действием механического напряжения σ; wr - перемещение точки структуры по радиусу r; E - модуль упругости. Граничные условия при этом имеют вид (рис. 3) При малых углах φ имеем b ≈ L=. (22) Совместное решение уравнений тории ферромагнетизма (18) и упругости (19) в литературе позволяет при радиальном сжатии кольца определить магнитную проницаемость НМАС [1, 2]: (23) где μн - начальная магнитная проницаемость; Δμ - изменение магнитной проницаемости от P. Совместное решение системы уравнений электромагнитного поля (15-17) с условиями (20-22) позволяет определить напряженности магнитного поля Hc и электрического поля Er и Eφ, параметры НМАС и далее преобразователя [1-7]. Рассмотренные физическая и математическая модели, как и предыдущие не отражают полную картину силового поля в ЧЭ, так как задача по существу решена в двухмерной плоскости. В реальных кольцевых ЧЭ имеет место сложная картина распределения механических напряжений, когда одновременно возникают различного вида напряжения сжатия σs, растяжения σp и сдвиговые (касательные) напряжения τ, которые не учитываются предыдущими моделями (рис. 3). Общее выражение для определения нормальных механических напряжений сжатия и растяжения в кольцевом ЧЭ под действием силы нажатия P записывается [1, 2, 5]: , (24) где верхние знаки относятся к наружной поверхности кольцевого ЧЭ, а нижние знаки - к внутренней поверхности ЧЭ. При θ=0 наружная поверхность ЧЭ сжимается под действием σc, а внутренняя растягивается под σр (см. рис. 3). При θ=π/2 картина меняется на обратную: наружная поверхность растягивается под σр, а внутренняя - сжимается под σc. Картина распределения напряжений повторяется для каждой четверти кольца. Используя обобщенную физическую модель ЧЭ на рис. 3, определяются максимальные напряжения сжатия σc при θ=0 и растяжения σр при θ=π/2 согласно выражений (24) и (25) Учитывая 3-ю гипотезу прочности для ЧЭ и максимальные касательные напряжения определяются эквивалентные механические напряжения при работе ЧЭ на сжатие и растяжение [5-7]: (26) Подстановка выражений (25) в формулы (26) и (23) позволяет получить: (27) и определить магнитную проницаемость НМАС [1, 2]: , (28) где (-) - при сжатии элемента; (+) - при растяжении элемента; μн - начальная магнитная проницаемость элементов 1 и 3 (рис. 1); Δμ - изменение магнитной проницаемости. При принятых выше допущениях и предположениях при одновременном воздействии силового поля сжатия или растяжения и поля возбуждения состояние соответствующего неуправляемого ферромагнитного ЧЭ описывается дифференциальными уравнениями в сферических полярных координатах [5]: где σэ - соответствующие эквивалентные напряжения кольцевых ЧЭ; γр и γφ - удельные электрические проводимости по направлениям; Er, Eφ, Hc - комплексы действующих значений напряженностей электрического и магнитного полей по поверхности сечения кольца по переменным r, φ и θ; с - длина кольца; r0 - средний радиус элемента; ω - круговая частота; μσэ - магнитная проницаемость от механического напряжения σэ; wr, wφ и wθ - перемещение точек структуры по радиусу r, углам φ и θ; E - модуль упругости; θ - угол в радианах. Граничные условия при этом имеют вид (рис. 3): При малых углах φ имеем b ≈ L=. (36) (37) Уравнение ферромагнетизма (32) для НМАС решается исходя из энергетических соотношений ферромагнетика и результат его представлен в литературе [1, 2] в виде выражений (23) и (28). Уравнение теории упругости (33) рассмотрено с учетом 3-ей гипотезы прочности и его решение приведено в виде формул (26) и (27). Решение уравнений (29-33) с условиями (34-37) позволили определить электрические и магнитные параметры объемной неуправляемой НМАС и далее всего МФУ [5, 6]. На рис. 3 представлена обобщённая физическая модель управляемой НМАС. При принятых выше допущениях и предположениях при одновременном воздействии силового поля сжатия и электромагнитных полей возбуждения и управления состояние управляемого ферромагнитного ЧЭ1 описывается дифференциальными уравнениями в сферических полярных координатах [7]: где σэс - эквивалентные напряжения сжатия кольцевых ЧЭ; γр и γφ - удельные электрические проводимости по направлениям r и φ; Er, Eφ, Erу и Eφу - комплексы действующих значений напряженностей электрических полей от обмоток возбуждения и управления по направлениям r и φ; Bc, Hc, Bcy и Hcy - комплексы действующих значений магнитных индукций и напряженностей магнитного поля возбуждения и управления по направлению θ; ω - круговая частота; μ - магнитная проницаемость от эквивалентных механического напряжения сжатия; wr, wφ и wθ - перемещение точек структуры по радиусу r и углам φ и θ; r0 и с - средний радиус и длина кольцевого ЧЭ; μy - магнитная проницаемость от обмотки управления. Граничные условия при этом имеют вид (рис. 3): (43) (44) При малых углах φ имеем b ≈ L=. (45) Для компенсационного ферромагнитного ЧЭ3 в уравнениях (38-42) и граничных условиях (43-45) поле управления равняется нулю (рис. 1). Уравнение ферромагнетизма (40) для напряженной магнитоанизатропной структуры НМАС управляемого ЧЭ1 и компенсационного ЧЭ3 (рис. 1) решено исходя из энергетических соотношений в литературе и выражение (28) принимает вид [1, 3, 7]: ,(46) - изменение магнитной проницаемости НМАС, созданное эквивалентным механическим напряжением сжатия σэс усилия Р; λs - изотропная магнитострикция материала элементов; αs - коэффициент намагниченности материала; μн - начальная магнитная проницаемость элементов 1 и 3; r0 - средний радиус элемента; a и b - толщина и ширина элемента; μу и μк - магнитные проницаемости управляемого 1 и компенсационного 3 элементов (рис. 1). Уравнение теории упругости (42) рассмотрено с учетом 3-ей гипотезы прочности и его решение представлено в виде формул (25) и (27). Решение уравнений (38-40) с условиями (43-45) электромагнитного поля с учетом уравнений ферромагнетизма (41) и теории упругости (42) позволили рассчитать электрические и магнитные параметры НМАС и всего МФУ, которые представлены в литературе [7]. Рассмотренные модели НМАС были реализованы на опытных образцах МФУ и широко представлены в литературе [1-7], что позволило дать экспериментальную оценку этим моделям. Анализ моделей НМАС показал, что все они могут использоваться для расчета МФУ. Однако, наиболее сложной для практического применения является трехмерная модель НМАС в виде ферромагнитной пластины в декартовых координатах, так как она не полно отображает физические процессы в ней. Погрешность таких моделей НМАС достаточно велика и составляет до 25% [1, 2]. Модели НМАС в виде ферромагнитного кольца в полярных цилиндрических координатах в трехмерном пространстве полнее и точнее отображают физические процессы в ЧЭ, но анализ по существу сводится к двухмерной модели. Погрешность таких моделей при практической реализации может достигать до 15% [4]. Наиболее полную реальную картину физических явлений в НМАС отображают физическая и математическая модели НМАС в трехмерном пространстве в виде ферромагнитной кольцевой структуры в электромагнитном поле при силовом воздействии в полярных сферических координатах. Точность таких моделей гораздо выше и составляет до 10% [5].

About the authors

A. E. Dubinin

Samara State Transport University

Email: ats@samgups.ru
Samara, Russian Federation

A. A. Dubinin

Samara State Transport University

Email: ats@samgups.ru
Samara, Russian Federation

F. R. Akhmadullin

Samara State Transport University

Email: fanis83ar@mail.ru
Samara, Russian Federation

References

Supplementary files