DECOMPOSITION OF MULTIRATE MODELS OF CONTROLLABLE AND OBSERVABLE SYSTEMS

Abstract

A method of integral manifold is applied to study of multitempo linear on fast variables systems. The use of this method permits us to solve a problem of decomposition of multirate controllable and observable systems. Local controllability and local observability of these systems is investigated. The application of the method is illustrated on example.

Full Text

ВВЕДЕНИЕ В связи с интенсивным развитием авиации, химической промышленности, нелинейной механики и других областей науки и техники возникла потребность в использовании математических моделей высокой размерности, описываемых системами дифференциальных уравнений, которые естественным образом возникают при моделировании и анализе объектов различной природы, способных одновременно совершать быстрые и медленные движения. В теории автоматического управления модели, описываемые системами сингулярно возмущенных уравнений возникают практически всегда. Примерами могут служить гироскопические, электромеханические и другие системы. Данная работа посвящена изучению свойств управляемости и наблюдаемости сингулярно возмущенной системы. Исследование производится на основе метода декомпозиции математических моделей, отображающих свойства систем. Декомпозиция является одним из основных приемов для изучения сложных систем и состоит в расщеплении исходной задачи на ряд независимых задач меньшей размерности. Декомпозиция сингулярно возмущенных систем подразумевает частотное разделение движений на быстрые и медленные. Цель работы: . Понижение размерности задачи управляемости и наблюдаемости многотемповой системы, линейной по быстрым переменным так, чтобы модель меньшей размерности с большой степенью точности отражала все свойства исходной системы. . Получение достаточных условий управляемости и наблюдаемости сингулярно возмущенных систем. РАСЩЕПЛЯЮЩЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ Рассмотрим модель многотемповой системы вида: (1) где - переменные состояния, соответствующие различным темпам движения, - медленная переменная, - самая быстрая переменная, - управляющие воздействия, - измеряемая координата, - векторные функции, - матричные функции соответствующих размерностей, - малые положительные параметры, Пусть для системы (1) выполняются условия [1]: 1) Собственные значения матрицы удовлетворяют неравенству 2) Собственные значения матрицы удовлетворяют неравенству … n) Собственные значения матрицы удовлетворяют неравенству n+1) Функции имеют достаточное число равномерно непрерывных и ограниченных частных производных по всем переменным при Используя метод декомпозиции [2] и асимптотические разложения медленных интегральных многообразий [3], произведем гладкую замену переменных: (2) где , После такой замены получим систему «блочно-треугольного» вида: (3) … … Здесь Функции можно искать как асимптотические разложения: из соответствующих уравнений: ( … + … УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ Исследуем управляемость и наблюдаемость [4] блочно-треугольной системы (3). Линеаризуем систему (3), т.е. приведем ее к виду Элементы матриц есть частные производные по переменным правых частей уравнений системы (3). Используя критерий Калмана получим, что если линеаризованная система для (3) является вполне управляемой и вполне наблюдаемой, то блочно-треугольная система (3) является локально вполне управляемой и локально вполне наблюдаемой вблизи начала координат. Так как система (3) получена из системы (1) с помощью обратимой замены переменных, то исходная система (1) локально вполне управляема и локально вполне наблюдаема вблизи начала координат. Пример. В качестве простого примера рассмотрим модель системы математических маятников, подвешенных к несущему телу перемещающемуся горизонтально с ускорением [5]: , где - коэффициенты, отличные от нуля, - угол отклонения маятника от вертикали, - скалярное управление, переводящее систему из начального положения в начало координат за минимальное время, Перепишем эту систему в виде С помощью замены переменной получим систему блочно-треугольного вида + Система нулевого приближения локально вполне управляема вблизи начала координат, значит блочно-треугольная система локально вполне управляема вблизи начала координат. Система первого приближения локально вполне наблюдаема вблизи начала координат, значит блочно-треугольная система локально вполне наблюдаема вблизи начала координат. Так как блочно-треугольная система получена из данной системы с помощью обратимой замены переменных, то исходная система локально вполне управляема и локально вполне наблюдаема вблизи начала координат. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Получены достаточные условия управляемости и наблюдаемости многотемповых систем, линейных по быстрым переменным. Приведен пример системы математических маятников, иллюстрирующий полученные результаты.