ДЕКОМПОЗИЦИЯ МНОГОТЕМПОВЫХ МОДЕЛЕЙ УПРАВЛЯЕМЫХ И НАБЛЮДАЕМЫХ СИСТЕМ

Аннотация

В статье излагается метод декомпозиции многотемповой модели управляемой и наблюдаемой системы, линейной по быстрым переменным, основанный на теории интегральных многообразий быстрых и медленных движений. Исследуются управляемость и наблюдаемость системы вблизи начала координат. Приведен пример, иллюстрирующий полученные результаты.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ В связи с интенсивным развитием авиации, химической промышленности, нелинейной механики и других областей науки и техники возникла потребность в использовании математических моделей высокой размерности, описываемых системами дифференциальных уравнений, которые естественным образом возникают при моделировании и анализе объектов различной природы, способных одновременно совершать быстрые и медленные движения. В теории автоматического управления модели, описываемые системами сингулярно возмущенных уравнений возникают практически всегда. Примерами могут служить гироскопические, электромеханические и другие системы. Данная работа посвящена изучению свойств управляемости и наблюдаемости сингулярно возмущенной системы. Исследование производится на основе метода декомпозиции математических моделей, отображающих свойства систем. Декомпозиция является одним из основных приемов для изучения сложных систем и состоит в расщеплении исходной задачи на ряд независимых задач меньшей размерности. Декомпозиция сингулярно возмущенных систем подразумевает частотное разделение движений на быстрые и медленные. Цель работы: . Понижение размерности задачи управляемости и наблюдаемости многотемповой системы, линейной по быстрым переменным так, чтобы модель меньшей размерности с большой степенью точности отражала все свойства исходной системы. . Получение достаточных условий управляемости и наблюдаемости сингулярно возмущенных систем. РАСЩЕПЛЯЮЩЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ Рассмотрим модель многотемповой системы вида: (1) где - переменные состояния, соответствующие различным темпам движения, - медленная переменная, - самая быстрая переменная, - управляющие воздействия, - измеряемая координата, - векторные функции, - матричные функции соответствующих размерностей, - малые положительные параметры, Пусть для системы (1) выполняются условия [1]: 1) Собственные значения матрицы удовлетворяют неравенству 2) Собственные значения матрицы удовлетворяют неравенству … n) Собственные значения матрицы удовлетворяют неравенству n+1) Функции имеют достаточное число равномерно непрерывных и ограниченных частных производных по всем переменным при Используя метод декомпозиции [2] и асимптотические разложения медленных интегральных многообразий [3], произведем гладкую замену переменных: (2) где , После такой замены получим систему «блочно-треугольного» вида: (3) … … Здесь Функции можно искать как асимптотические разложения: из соответствующих уравнений: ( … + … УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ Исследуем управляемость и наблюдаемость [4] блочно-треугольной системы (3). Линеаризуем систему (3), т.е. приведем ее к виду Элементы матриц есть частные производные по переменным правых частей уравнений системы (3). Используя критерий Калмана получим, что если линеаризованная система для (3) является вполне управляемой и вполне наблюдаемой, то блочно-треугольная система (3) является локально вполне управляемой и локально вполне наблюдаемой вблизи начала координат. Так как система (3) получена из системы (1) с помощью обратимой замены переменных, то исходная система (1) локально вполне управляема и локально вполне наблюдаема вблизи начала координат. Пример. В качестве простого примера рассмотрим модель системы математических маятников, подвешенных к несущему телу перемещающемуся горизонтально с ускорением [5]: , где - коэффициенты, отличные от нуля, - угол отклонения маятника от вертикали, - скалярное управление, переводящее систему из начального положения в начало координат за минимальное время, Перепишем эту систему в виде С помощью замены переменной получим систему блочно-треугольного вида + Система нулевого приближения локально вполне управляема вблизи начала координат, значит блочно-треугольная система локально вполне управляема вблизи начала координат. Система первого приближения локально вполне наблюдаема вблизи начала координат, значит блочно-треугольная система локально вполне наблюдаема вблизи начала координат. Так как блочно-треугольная система получена из данной системы с помощью обратимой замены переменных, то исходная система локально вполне управляема и локально вполне наблюдаема вблизи начала координат. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Получены достаточные условия управляемости и наблюдаемости многотемповых систем, линейных по быстрым переменным. Приведен пример системы математических маятников, иллюстрирующий полученные результаты.