ДИССИПАТИВНОСТЬ МНОГОТЕМПОВЫХ СИСТЕМ

Аннотация

В статье излагается метод определения функции запаса. Исследуется диссипативность многотемповых систем. Приведен пример, иллюстрирующий полученные результаты.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Теория сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений интенсивно развивается и методы ее активно применяются для решения задач из различных областей естествознания и техники. Это объясняется широким спектром приложений таких систем: гидродинамика, электроэнергетика, радиотехника, динамика полета и др. Сингулярно возмущенные системы могут быть получены естественным путем не только при моделировании, но и при исследовании объектов, которые совершают одновременно медленные и быстрые движения. Движение систем твердых тел представляет собой сложную композицию быстрых и медленных движений. Данная работа посвящена исследованию диссипативности многотемповых систем относительно функции расхода. Цель работы - найти функцию запаса линейной многотемповой системы. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим модель линейной многотемповой системы вида: (1) где постоянные матрицы соответствующих размерностей, - малые положительные параметры, и функция расхода где - постоянные матрицы, причем - симметрические, штрих означает транспонирование. Определение 1. Вещественно-значимая функция такая, что для любого любого начального состояния и любого допустимого управления выполняется называется функцией расхода системы (1). Определение 2. Система (1) называется диссипативной относительно функции расхода , если существует функция такая, что для любых для любых допустимых управлений и для любого выполняется неравенство где Функция называется функцией запаса системы (1), а неравенство называется неравенством диссипации. Пусть для системы (1) выполняются предположения, аналогичные условиям приведенные в работе [1]: Для любого и любого допустимого существует единственное решение системы (1). Это решение определено на и таково, что - локально-интегрируемая с квадратом функция. Система (1) глобально достижима из начала координат. Это означает, что для любых существуют и такие, что Введем функцию доступного запаса которая предполагается дифференцируемой по Функция расхода удовлетворяет условию: для любого найдется такое, что Собственные значения матрицы удовлетворяют неравенству ПАССИВНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Для построения функции запаса запишем необходимые и достаточные условия диссипативности [2] системы (1) относительно функции расхода : При получим систему Матрицу Р будем искать в виде где Полагая, что матрица - квадратная невырожденная матрица, из второго уравнения, получим обозначим и подставив и в первое уравнение, получим уравнение Лурье Обозначим, , Выполняя действия и приравнивая соответствующие блоки матриц, стоящих в левой и правой частях этого уравнения, получим подсистему с линейно независимыми уравнениями. Последнее уравнение этой системы - уравнение Лурье, положительно определенное решение которого существует и единственно [3], Подставляя эти решения в остальные уравнения, находим положительно определенные решения соответствующих уравнений Лурье Отсюда получаем, Следующая подсистема состоит из линейных уравнений: где матрицы-коэффициенты - постоянные матрицы. Все уравнения этой подсистемы являются линейными. Требуем, чтобы их решения были положительно определенными матрицами. -ая подсистема состоит из линейных уравнений где индексы матрицы - постоянные матрицы. Из этой системы однозначно определяются положительно определенные матрицы-решения Элементы положительно определенной матрицы могут быть найдены как асимптотические разложения по малым параметрам , Условием положительной определенности матрицы является положительная определенность ее главных блоков, т.е. блоков следовательно, функция запаса системы (1) найдена приближенно. Погрешность такого вычисления равна Пример. Рассмотрим систему, описываемую уравнениями: Эта система диссипативна относительно функции расхода с функцией запаса ЗАКЛЮЧЕНИЕ Проведено исследование диссипативности многотемповых систем относительно функции расхода. Найдена функция запаса линейной многотемповой системы. Приведен пример, иллюстрирующий полученные результаты.