DISSIPABILITY OF MULTITEMPO SYSTEMS

Abstract

A method of discovery of stock function is applied to study of multitempo linear systems. Dissipability of multiparameter linear systems is investigated. The application of the method is illustrated on example.

Full Text

ВВЕДЕНИЕ Теория сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений интенсивно развивается и методы ее активно применяются для решения задач из различных областей естествознания и техники. Это объясняется широким спектром приложений таких систем: гидродинамика, электроэнергетика, радиотехника, динамика полета и др. Сингулярно возмущенные системы могут быть получены естественным путем не только при моделировании, но и при исследовании объектов, которые совершают одновременно медленные и быстрые движения. Движение систем твердых тел представляет собой сложную композицию быстрых и медленных движений. Данная работа посвящена исследованию диссипативности многотемповых систем относительно функции расхода. Цель работы - найти функцию запаса линейной многотемповой системы. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим модель линейной многотемповой системы вида: (1) где постоянные матрицы соответствующих размерностей, - малые положительные параметры, и функция расхода где - постоянные матрицы, причем - симметрические, штрих означает транспонирование. Определение 1. Вещественно-значимая функция такая, что для любого любого начального состояния и любого допустимого управления выполняется называется функцией расхода системы (1). Определение 2. Система (1) называется диссипативной относительно функции расхода , если существует функция такая, что для любых для любых допустимых управлений и для любого выполняется неравенство где Функция называется функцией запаса системы (1), а неравенство называется неравенством диссипации. Пусть для системы (1) выполняются предположения, аналогичные условиям приведенные в работе [1]: Для любого и любого допустимого существует единственное решение системы (1). Это решение определено на и таково, что - локально-интегрируемая с квадратом функция. Система (1) глобально достижима из начала координат. Это означает, что для любых существуют и такие, что Введем функцию доступного запаса которая предполагается дифференцируемой по Функция расхода удовлетворяет условию: для любого найдется такое, что Собственные значения матрицы удовлетворяют неравенству ПАССИВНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Для построения функции запаса запишем необходимые и достаточные условия диссипативности [2] системы (1) относительно функции расхода : При получим систему Матрицу Р будем искать в виде где Полагая, что матрица - квадратная невырожденная матрица, из второго уравнения, получим обозначим и подставив и в первое уравнение, получим уравнение Лурье Обозначим, , Выполняя действия и приравнивая соответствующие блоки матриц, стоящих в левой и правой частях этого уравнения, получим подсистему с линейно независимыми уравнениями. Последнее уравнение этой системы - уравнение Лурье, положительно определенное решение которого существует и единственно [3], Подставляя эти решения в остальные уравнения, находим положительно определенные решения соответствующих уравнений Лурье Отсюда получаем, Следующая подсистема состоит из линейных уравнений: где матрицы-коэффициенты - постоянные матрицы. Все уравнения этой подсистемы являются линейными. Требуем, чтобы их решения были положительно определенными матрицами. -ая подсистема состоит из линейных уравнений где индексы матрицы - постоянные матрицы. Из этой системы однозначно определяются положительно определенные матрицы-решения Элементы положительно определенной матрицы могут быть найдены как асимптотические разложения по малым параметрам , Условием положительной определенности матрицы является положительная определенность ее главных блоков, т.е. блоков следовательно, функция запаса системы (1) найдена приближенно. Погрешность такого вычисления равна Пример. Рассмотрим систему, описываемую уравнениями: Эта система диссипативна относительно функции расхода с функцией запаса ЗАКЛЮЧЕНИЕ Проведено исследование диссипативности многотемповых систем относительно функции расхода. Найдена функция запаса линейной многотемповой системы. Приведен пример, иллюстрирующий полученные результаты.