MODELING CRITICAL PHENOMENA IN A GENERALIZED VAN DER POL MODEL

Full Text

1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ В рамках настоящей работы будет рассматриваться класс трехтемповых быстро-медленных автономных динамических систем, зависящих от одного дополнительного скалярного параметра р: (1) где под точкой подразумевается дифференцирование по времени t, параметр 0 < e << 1 обуславливает малое возмущение системы, а х, у и z - быстрая, медленная и сверхмедленная переменные соответственно. Напомним, что траектория сингулярно возмущенной системы называется траекторией-уткой, если она вначале проходит вдоль притягивающего листа медленного инвариантного многообразия, а затем - вдоль его отталкивающего листа, причем пройденные расстояния в обоих случаях сравнимы с единицей [1, с. 110]. Само понятие траектории-утки (фр. canard) было впервые использовано французскими математиками в работах [2, 3]. Использование траекторий-уток получило весьма широкое распространение при моделировании критических явлений различной природы [1, 4, 18, 19]. Естественным обобщением траекторий-уток, которые по сути являются одномерными инвариантными многообразиями, являются их многомерные аналоги - инвариантные многообразия со сменой устойчивости [5-7], эпизодически возникающие в случае нетривиальной размерности медленной переменной. Подобно траекториям-уткам, такие многообразия располагаются одновременно как вблизи притягивающего, так и вблизи отталкивающего листов медленного инвариантного многообразия [1, с. 280]. Особым классом подобных многообразий следует считать уточные поверхности, которые характеризуются тем, что через каждую их точку проходит траектория-утка. Фактически, такие поверхности целиком состоят из траекторий-уток, каждая из которых моделирует критическое, но при этом безопасное протекание некоторого процесса. Подобный подход к моделированию критических явлений был впервые применен в работе [8], а затем многократно использован в работах [9-11]. Пусть - достаточно гладкая функция, задаваемая равенством Говорят, что определяет кривизну фазового потока исходной динамической системы в соответствующей точке. Как хорошо известно [12, 13], функция является глобальным инвариантом, то есть имеет место тождество Это равенство лежит в основе метода кривизны потока. Используя его, можно получить систему алгебраических уравнений [14, 15], решения которой позволяют параметризовать инвариантное многообразие с некоторой точностью. Предположим, что скалярный параметр р допустимо использовать в качестве управляющего воздействия для исходной модели (1). Подобрав надлежащим образом функцию р = р(х, у, z, e), можно достичь того, что разрыв инвариантного многообразия вдоль кривой срыва будет устранен одновременно во всех точках. Таким образом, в некоторых случаях удается склеить притягивающий и отталкивающий листы инвариантного многообразия вдоль всей кривой срыва, получив тем самым инвариантное многообразие со сменой устойчивости. Подобный подход в контексте метода кривизны потока был впервые применен в работах [9-11] для нахождения инвариантных поверхностей со сменой устойчивости в модели трехмерного автокаталитического реактора, самосопряженной модели ФитцХью-Нагумо и модели Копера. 2. ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ ВАН ДЕР ПОЛЯ Важность осциллятора Ван дер Поля для прикладных задач сложно переоценить. Он нашел свое применение в моделировании множества физических, биологических, геологических и сейсмологических процессов. В настоящей статье мы будем рассматривать один из частных случаев обобщенной модели Ван дер Поля, первоначально упомянутый в работе [16] и затем частично исследованный в работе [17]: (2) В этой упрощенной модели является бифуркационным параметром, скалярные величины p > 0, q < 0 и r > 0 полагаются действительными порядка О (1) при e 0, а малое возмущение определяется вещественнозначным параметром 0 < e << 1. В рамках данной работы мы ограничимся рассмотрением области , интересной с физической точки зрения. Очевидно, что медленное многообразие модели (2) является цилиндрической поверхностью, образующей для которой служит кубичес-кая парабола Кривая срыва модели (2) является совокупностью двух прямых и, очевидно [1, с. 19], определяется из системы Для нас представляет интерес только одна из этих прямых, имеющая непустое пересечение с областью и определяемая вектор-функцией Для инвариантного многообразия системы (2) мы будем использовать параметрическое представление, которое удобно искать в виде разложения по степеням малого параметра: (3) Воспользуемся методом кривизны потока [14, с. 192]. В соответствии с ним первые два коэффициента разложения будут иметь вид: (4) (5) Как видим (см. рисунок 1), полученное инвариантное многообразие системы претерпевает разрыв вдоль кривой срыва за исключением единственной точки, соответствующей z = 1. Траектория-утка, соответствующая данным рисунка и полученная в работе [17], ожидаемо проходит именно через эту точку. Воспользуемся подходом, изложенным в работе [15], чтобы устранить разрыв вдоль всей кривой срыва. Для этого вместо параметра р исходной системы подставим функцию Это позволит устранить разрыв в функции (5), причем вышеуказанная подстановка оставляет в силе налагаемое моделью (2) ограничение р > 0, если только мы находимся в интересующей нас области . Подставив функцию p(z) в коэффициенты (4) и (5), мы можем выписать первое приближение (3) инвариантного многообразия, не имеющее разрыва вдоль кривой срыва (см. рисунок 2). Таким образом, можно говорить о том, что найденная функция (6) является нулевым приближением склеивающей. Более того, если для исходной модели (2) зафиксировать некоторую точку на кривой срыва и вычислить уточное значение, то соответствующая величина p(z) будет близка к этому значению. Это означает, что полученное инвариантное многообразие не просто имеет смену устойчивости вдоль кривой срыва, но и целиком состоит из траекторий-уток, то есть принадлежит к классу уточных поверхностей. 3. ВЫВОДЫ Для частного случая обобщенной модели Ван дер Поля при помощи метода кривизны потока была получена склеивающая функция Она позволила склеить притягивающий и отталкивающий листы интегрального многообразия вдоль всей линии срыва и тем самым построить инвариантное многообразие со сменой устойчивости: Рис. 1. Медленная поверхность (зеленая), инвариантное многообразие (желтое) и кривая срыва, e = 0.141, р = 1.5, q = -1, r = 0.2, m = 0.036 Рис. 2. Медленная поверхность (зеленая), инвариантное многообразие со сменой устойчивости (желтое) и траектория, e = 0.141, q = -1, r = 0.2, m = 0.036, начальные условия x0 = 0.33, у0 = 1.035, z0 = 0.204342

About the authors

Mikhail Olegovich Balabaev

Samara National Research University named after Academician S.P. Korolyov

Email: m.o.balabaev@gmail.com
Postgraduate Student of the Department of Differential Equations and Control Theory

References

Supplementary files