VARIABLE LOADING OF NONLINEAR PLATES AND SHALLOW SHELLS

Full Text

В данной работе исследуется напряженное и деформированное состояние гибких пластин и пологих оболочек на прямоугольном плане, при многократном упругопластическом нагружении. Учитывается разгрузка, вторичные пластические деформации и сжимаемость материала. Для исследования напряженно - деформированного состояния при упругопластических деформациях пластин и оболочек необходимы физические уравнения связи напряжений с деформациями, которые определяются принятыми теориями пластичности. В работе [1] рассмотрено исследование геометрически нелинейных пластин и пологих оболочек при упругопластическом деформировании при статическом однократном нагружении. Разрешающие уравнения теории гибких пластин и оболочек получены на основе деформационной теории пластичности Генки-Ильюшина с учетом разгрузки и вторичных пластических деформаций. Определены верхние и нижние критические нагрузки, показаны зоны разгрузки и вторичных пластических деформаций. Напряженно-деформированное состояние при упругопластическом деформировании прямоугольных пластин при повторном нагружении исследовано в работе [2] для материалов с различными механическими характеристиками. В работах [3-5] для решения нелинейных задач теории оболочек используется метод последовательных нагружений, разработанный В.В. Петровым. Было показано, что сходимость процесса решения нелинейных уравнений заметно ухудшается при подходе к значениям критической нагрузки. В работах [6-8] рассматриваются устойчивость и закритическое поведение геометрически и физически нелинейных задач теории пологих оболочек. Для решения нелинейных уравнений применен метод общей итерации, разработанный М.С. Корнишиным. Метод общей итерации имеет достаточно хорошую сходимость при исследовании докритических, закритических состояний и при определении верхней и нижней критических нагрузок. В данной работе рассматривается упругопластическое деформирование гибких пластин и пологих оболочек на прямоугольном плане, включая закритические деформации при Переменном нагружении наружным давлением. Схема нагружения пологой оболочки на прямоугольном плане показана на рис. 1. При упругопластическом деформировании пластин и пологих оболочек на участке активного нагруженияOAN компоненты девиатора напряжений связаны с компонентами девиатора деформаций соотношениями, которые по теории малых упругопластических деформаций имеют вид i, j=1,2,3 где - модуль объемного сжатия, - средняя деформация, - среднее напряжение, - зависимость среднего напряжения от средней деформации. Зависимость между интенсивностями напряжений и деформаций принимается в виде,предложенном А.А. Ильюшиным , где - функция А.А. Ильюшина. Переход из упругого состояния в пластическоепринимаем в соответствии с критерием Губера - Мизесапо интенсивности напряжений или деформаций [9] - по интенсивности напряжений, - по интенсивности деформаций. При разгрузке на участке диаграммы NPR, включающем область вторичных пластических деформаций, связь между напряжениями и деформациями на плоскости с координатамиимеет вид , . Здесь введены разности , где величины компонентов тензора напряжений и деформаций при разгрузке, величины компонентов тензора напряжений и деформаций в конце первого нагружения. Остальные выражения для напряжений и деформаций при разгрузке те же самые, что и при первом нагружении, отмечаются чертой сверху. Используя общую теорему об упругопластической разгрузке, сформулированную В.В. Мос-квитиным, запишем связь между компонентами девиатора напряжений и компонентами девиатора деформаций при циклическом нагруженияв виде[10] , . Здесь введены разности гдевеличины компонентов тензора напряжений и деформаций при -ом нагружении, величины компонентов тензора напряжений и деформаций в конце предыдущего -го нагружения. Аналогично уравнениям теории малых упругопластических деформаций при циклическом нагружении имеют место следующие соотношения - интенсивность напряжений, - интенсивность деформаций, - среднее напряжение, средняя деформация. Связь между шаровыми составляющими тензора напряжений и тензора деформаций имеет вид . Зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций при - ом нагружениипринимает вид , где - функция А.А. Ильюшина при - ом нагружении. В течение полного цикла нагружения внешние силы могут принимать положительные и отрицательные значения. Выражения для компонент напряжений и деформаций при - ом нагружении примут вид . Преобразуем эти формулы,составляя последовательно соотношения, для определения напряжений и деформаций при произвольном- ом нагружении через компоненты напряжений и деформаций при первом нагружении . При исследовании упругопластического деформирования элементов конструкций, в случае циклического нагружения, необходимо учитывать изменение упругопластических свойств материала для каждого цикла нагружения. Должны быть известны диаграммы циклического деформирования для всего процессса многократного нагружения. На рис.2 приведены диаграммы растяжения при первом нагружении OAN, при разгрузке, последующем сжатии и вторичных пластических деформаций NPR и повторном нагружении RST. Рис. 2. Диаграммы растяжения при первом нагружении OAN, при разгрузке и последующем сжатии и вторичных пластических деформаций NPR и повторном нагружении RST В зависимости от законов изменения механических свойств, при циклических нагружениях, различают циклически идеальные материалы у которых упругопластические свойства не зависят от числа циклов нагружения. У циклически разупрочняемых материалов упругопластические свойства материала уменьшаются, ауциклически упрочняющихся - увеличиваются. Если при первом нагружении наступление текучести материала определяется величинами и , то в соответствии с принципом Мазинга при циклическом нагружении наступление текучести определяется величинами и . Принцип Мазинга удовлетворительно описывает свойства лишь циклически идеальных материалов. Введя экспериментальный параметр , В.В. Москвитин обобщил принцип Мазинга. В этом случае наступление предела текучести на плоскости с координатами и определяется значениями по напряжениям и по деформациям. Зависимость параметра от количества циклов нагружения принимаем в виде[9] . Постоянные и определяются экспериментально. В случае циклически идеального материала, . В случае циклически разупрочняемого материал , , а в случае упрочняемого - , . Рассмотренные соотношения деформационной теории пластичности широко применяются при решении прикладных задач расчета напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек при пластических деформациях. Более общими являются соотношения теории течения, которые связывают приращения компонент тензора деформаций с напряжениями и их приращениями, что позволяет описывать сложное нагружение. Деформационная теория строго применима лишь в случае простого нагружения. Однако, деформационная теория обладает относительной простотой исходных соотношений и дает результаты удовлетворительно согласующиеся с экспериментом и при нагружениях отличных от простого[11]. В задачах устойчивости соотношения деформационной теории приводят к меньшим значениям критических нагрузок, причем последние лучше согласуются с экспериментом, чем критические нагрузки, определенные по теории течения [12, 13]. При - ом нагружении компоненты напряжений запишем, выделяя упругую составляющую напряжений, в виде где дополнительные напряжения, учитывающие отклонения материала от закона Гука, наличие разгрузки и вторичных пластических деформаций. На основании принятых соотношений для напряжений, опуская индекс «n» можно представить усилия и моменты в сечении оболочки в виде , , где - усилия, действующие в срединной поверхности оболочки, - добавочные усилия в срединной поверхности, - изгибающие и крутящий моменты, - добавочные изгибающие моменты и добавочный крутящий момент, - поперечные силы, - добавочные поперечные силы. Добавочные силы и моменты учитывают историю нагружения оболочки - напряженноеи деформированное состояние оболочки на предыдущем n-1 -ом нагружении оболочки и нелинейности за счет пластических деформаций. При повторно переменном нагружении гибких пластин и пологих оболочек давлением, основная система дифференциальных уравнений теории тонких упругопластических оболочек с учетом разгрузки, вторичных пластических деформаций и сжимаемости материала примет вид . Приведенная система дифференциальных уравнений позволяет исследовать напряженно - деформированное состояние при циклическом нагружении гибких упругопластических пластин и пологих оболочек в областях докритических и закритических деформаций. Решение данных задач возможно при шаговом методе прослеживания процесса нагружения с использованием общих методов итерации. ВЫВОДЫ Предложенный метод позволяет проводить исследования напряженногои деформированного состояния при повторно переменном нагружении упругопластических пластин и гибких пологих оболочек при изгибе и закритических деформациях, изготовленных из циклически идеальных, упрочняющихся и разупрочняющихся материалов. Рис. 1. Пологая оболочка на прямоугольном плане

About the authors

Nikolai Ivanovich Dedov

Samara State Technical University

Email: nikolai_dedov@mail.ru
Candidate of Technical Sciences, Professor of the Department of Mechanics

Vera Nikolaevna Isutkina

Samara State Technical University

Email: vera_isutkina@mail.ru
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Department of Higher Mathematics and Applied Informatics

References

Supplementary files