АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В НАНОЭЛЕКТРОННЫХ СТРУКТУРАХ НА БАЗЕ МЕМРЕЗИСТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
- Авторы: Бондарев А.В1, Ефанов В.Н2
-
Учреждения:
- Оренбургский государственный университет" (Кумертауский филиал)
- Уфимский государственный авиационный технический университет
- Выпуск: Том 23, № 2 (2021)
- Страницы: 91-97
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.eco-vector.com/1990-5378/article/view/88571
- DOI: https://doi.org/10.37313/1990-5378-2021-23-2-91-97
- ID: 88571
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Появление в последнее время широкого спектра наноэлектронных компонентов расширяют возможности информационно-вычислительных систем. В первую очередь это касается суперкомпьютеров с петафлопсовой производительностью. Для достижения такой производительности на базе современных микроэлектронных устройств создаются вычислительные комплексы, объединяющие до 100 тыс. процессоров, потребляющие около 100 мегаватт электрической энергии и занимающие порядка 300 кв. метров площади. Существенное увеличение производительности, снижение энергопотребления и уменьшение массо-габаритных показателей можно обеспечить при переходе от микроэлектронной к наноэлектронной элементной базе. К числу таких перспективных наноэлектронных компонентов относятся мемристоры. Мемристор (англ. memristor, от memory - память, и resistor - электрическое сопротивление) - пассивный элемент в микроэлектронике, способный изменять своё сопротивление в зависимости от протекавшего через него заряда. Длительное время мемристор считался теоретической моделью [7], которую нельзя реализовать практически, пока первый образец элемента, демонстрирующий свойства мемристора не был создан в 2008 году коллективом учёных во главе с Р. С. Уильямсом в исследовательской лаборатории фирмы Hewlett-Packard. Устройство не накапливает заряд как конденсатор, не поддерживает магнитный поток, как катушка индуктивности. Изменение свойств устройства обеспечивается химическими реакциями в тонкой двухслойной плёнке диоксида титана (5 нм). Один слой пленки устройства слегка обеднен кислородом и кислородные вакансии мигрируют между слоями при изменении напряжения. Данную реализацию мемристора относят к классу наноионных устройств. Наблюдающееся явление гистерезиса в мемристоре позволяет использовать его в том числе и в качестве ячейки памяти [9, 10-15, 20-21]. Уже изученные свойства мемристоров позволяют говорить о том, что на их основе можно создавать компьютеры принципиально новой архитектуры, по производительности значительно превышающие полупроводниковые. Благодаря регулярной структуре из пересекающихся нанопроводников изготовление мемристора достаточно простое, особенно в сравнении со сложной структурой современных процессоров на основе КМОП-технологии. В результате время записи/чтения в ячейке мемристорной памяти не превышает 5 нс. Число циклов записи/чтения превышает 1012, а время хранения информации больше 10 лет. Все это позволяет считать, что память на мемристорах станет единственным типом компьютерной памяти. Однако, применение подобных элементов в условиях реальной эксплуатации приводит к тому, что электрические параметры данных устройств меняются в широких пределах. Подобная неопределенность характеристик затрудняет схемотехнический анализ и весь процесс проектирования электронных устройств, в состав которых входят мемристорные компоненты. В связи с этим актуальной является задача оценки стабильности наноэлектронных структур на базе мемрезистивных элементов в условиях неопределенных внешних воздействий.
Ключевые слова
динамический режим, математическая модель электрического многополюсника, мемрезистивные ветви, условия интервальной неопределенности, мемристорные информационно-вычислительные системы, мемристорные модули, мемрезистивные ветви, наноэлектроника, квазилинейный режим, динамический режим, гибридный базис, приращения напряжений и токов, матрицы эквивалентных сопротивлений и проводимостей, статический режим, реактивные элементы, эквивалентная схема
Полный текст
В связи с тем, что мемристор из разряда гипотетических компонентов перешел в область практической реализации и уже значительное время применяется ведущими производителями наноэлектроники, на повестку дня выходит задача разработки математической модели, позволяющей исследовать процессы в электронных схемах, в состав которых входят мемристоры. Дело в том, что в отличие от обычных элементов электрических многополюсников, таких как линейные и нелинейные резисторы, емкости и индуктивности, параметрическое уравнение мемристора связывает изменение величины магнитного потока Ф и изменение заряда Q dФ = M(Q)⋅dQ (1) здесь M(Q) - параметр, получивший название мемристивность, оценивается следующим образом [25]: (2) где RON и ROFF - соответственно, низкое сопротивление проводящей области (недоокисленный слой Ti) и высокое сопротивление слоя диэлектрика TiO2; - подвижность кислородных вакансий; D - размер мемристора. Чтобы получить параметрическое уравнение мемристора, позволяющее использовать его совместно с параметрическими уравнениями других элементов электрических многополюсников, т.е. записанное относительно тока и напряжения, воспользуемся аналитическим описанием его вольт-амперной характеристики. Учитывая, что мемристор имеет ВАХ подобную фигуре Лиссажу [26], опишем эту характеристику следующей системой уравнений: (3) где и - постоянные коэффициенты ширины петли фигуры ВАХ; - частота тока и напряжения; - угол наклона фигуры ВАХ. Используя разложение синуса суммы во втором уравнении системы (3), получим параметрическое уравнение мемристора для номинального режима: . (4) Назовем выражение по аналогии с (1) обратной мемристивностью. Тогда параметрическое уравнение мемристора можно записать в таком компактном виде . (5) Для оценки стабильности наноэлектронных структур на базе мемрезистивных элементов в условиях неопределенных внешних воздействий рассмотрим уравнение (5) для возмущенного режима в конечных приращениях: , (6) где - приращение обратной мемрезистивности; - аналог зависимого источника тока; - аналог независимого источника тока. 1. ПОЛНОРАЗМЕРНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МНОГОПОЛЮСНИКА С МЕМРЕЗИСТИВНЫМИ ВЕТВЯМИ Полноразмерная математическая модель электрического многополюсника с мемрезистивными ветвями будет состоять из топологических и параметрических уравнений. Однако, в отличие от известного подхода [23] мы будем рассматривать эти уравнения в конечных приращениях. Так топологические уравнения в конечных приращениях принимают следующий вид , (7) где D - матрица главных сечений, dim D = (k-1); В - матрица главных контуров, dim B = (n-k+1) уравнений; n - число ветвей и k - число узлов топологического графа электрического многополюсника; , - приращения токов и напряжений в ветвях этого графа. В соответствии с характерными типами электрических ветвей осуществим декомпозицию векторов приращений токов и напряжений: , (8) где , - приращения напряжений и токов на индуктивных хордах; , - приращения напряжения и тока на емкостных ребрах; , , , - приращения напряжения и тока на резистивных ребрах и хордах; , , , - приращения напряжения и тока на нелинейных ребрах и хордах; , , , - приращения напряжения и тока на мемрезистивных ребрах и хордах. При этом матрицы D и В приобретают следующий блочный вид ; , (9) где - единичная матрица. В результате система топологических уравнений (7) относительно токов принимает вид: , (10) аналогично относительно напряжений: . (11) Дополним топологические уравнения совокупностью параметрических уравнений для рассмотренных выше типов электрических ветвей многополюсника. Для реактивных ветвей: , (12) где - матрица индуктивностей (, , ); - матрица емкостей (, , ); - матрицы эквивалентных сопротивлений и - эквивалентных проводимостей в схемах замещения нелинейных индуктивностей и емкостей; , - эквивалентные векторы источников токов и напряжений [1-4]. Для резистивных ветвей: , (13) где - матрица сопротивлений ветвей, - матрица проводимостей ветвей; , - эквивалентные векторы независимых источников напряжения и тока на резистивных ветвях [1-4]. Для нелинейных ветвей с учетом нелинейных мемрезистивностей (6) система гибридных уравнений примет вид: , (14) где; и - диагональные матрицы эквивалентных сопротивлений и проводимостей; и - диагональные матрицы эквивалентных обратных и прямых мемрезистивностей; - единичная матрица; , , ,, , , и - эквивалентные источники ЭДС и тока на нелинейных хордах и ребрах. Объединяя (10)-(14), получим с использованием метода декомпозиции ветвей направленного графа схемы, описанного в [20-23], полноразмерную математическую модель в конечных приращениях токов и напряжений в гибридном базисе: (15) где , , и ; - матрицы эквивалентных сопротивлений и - эквивалентных проводимостей нелинейных индуктивностей и емкостей; , - эквивалентные векторы источников токов и напряжений; , , и ; , , ; ; , , и . Теперь на основе полученной полноразмерной математической модели сформируем математическую модель многополюсника с мемрезистивными ветвями в динамическом режиме. 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МНОГОПОЛЮСНИКА С МЕМРЕЗИСТИВНЫМИ ВЕТВЯМИ В ДИНАМИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ Расчет динамических характеристик электронных схем во временной области заключается в определении вида переходных процессов в их структуре, возникающих под действием источников переменных сигналов и импульсных последовательностей. В результате подобного расчета находятся временные интервалы, необходимые для перевода схемы из одного статического режима в другой, или время, за которое токи и напряжения достигают заданного уровня. Часто представляет интерес форма переходного процесса. Развитие электромагнитных процессов во времени определяется не только характером изменения напряжений на емкостях и токов в индуктивностях, но и конечными приращениями этих параметров. В тех случаях, когда уровни переменных сигналов в схеме значительно меньше уровней постоянных токов и напряжений статического режима, анализ переходных процессов проводится в линеаризованной схеме, где все нелинейные элементы заменяются их малосигнальными моделями. При этом система уравнений состояния также становится линейной. Чтобы получить такую модель исследуемой схемы, описанную в [20, 21], необходимо сформировать гибридный базис, содержащий переменные состояния, и исключить все остальные переменные, относящиеся к резистивным ветвям эквивалентной схемы. Используя установленные в [21] условия существования математических моделей электрических многополюсников, построим линеаризованную модель для динамического режима электронной схемы. Реактивные элементы эквивалентной схемы - емкости и индуктивности - выделим в особые ветви. В результате оставшаяся часть эквивалентной схемы будет представлять собой линейный многополюсник с резистивными и мемрезистивными ветвями, включающий также зависимые и независимые источники. Емкости, параметрическое описание которых соответствует z-ветвям, должны быть отнесены к ребрам, что всегда может быть обеспечено при выполнении предположения об отсутствии главных емкостных контуров. Аналогично этому индуктивности должны быть отнесены к хордам. Чтобы обеспечить сформулированные требования нумерация ветвей должна начинаться с емкостей, а завершаться - индуктивностями. Исходя из вышесказанного, математическая модель многополюсника с мемрезистивными ветвями (15) в динамическом режиме примет вид: (16) Отличие модели (16) от обычных линеаризованных моделей, которые используются при оценке чувствительности электронных схем, заключается в том, она относится к классу интервальных систем линейных дифференциальных и алгебраических уравнений. Следовательно, она позволяет описывать поведение многополюсника во всем диапазоне изменения параметров электронного устройства. Для решения такой системы уравнений необходимо использовать специальные интервальные методы Эйлера и Хука-Дживса, основанные на интервальной арифметике Кахана. Суть интервальной арифметики Кахана состоит в том, что операции с интервалами, содержащими ноль, имеют тот же результат, что и в случае с другими интервалами. Это позволяет основную причину расширения интервальных оценок при выполнении вычислений за счет соблюдения определенных условий, которые не только гарантируют дистрибутивность операций, но и обеспечивают их монотонность по включению [21, 24]. 3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ВНЕШНЕГО ОЦЕНИВАНИЯ МНОЖЕСТВ РЕШЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ МНОГОПОЛЮСНИКА С МЕМРЕЗИСТИВНЫМИ ВЕТВЯМИ В ДИНАМИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ Учитывая интервальный характер полученной модели, в данном алгоритме используется метод Эйлера для интегрирования дифференциальных уравнений и метод конфигураций (метод Хука-Дживса), который является методом нулевого порядка и не требует вычисления интервальных производных при решении системы алгебраических уравнений [24]. Шаг 1. Полагаем и . Задаем начальные приближения искомых параметров. Шаг 2. Используя правила арифметики Кахана, находим внешнюю интервальную оценку производных ; . Шаг 3. Находим интервальное расширение векторов , , где Δ - шаг интегрирования. Шаг 4. Подставляем найденные вектора и во второе и третье уравнения системы (16), после чего исключаем вектор . В результате получаем интервальную систему алгебраических уравнений следующего вида Шаг 5. Решаем линейную интервальную систему, полученную на шаге 4, используя интервальный метод Гаусса. В результате находим интервальное расширение вектора Шаг 6. Находим интервальное расширение вектора . Шаг 7. Принимаем , . Шаг 8. Процесс закончен? Если «да», идти к шагу 9; иначе - к шагу 2. Шаг 9. Конец. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Предложенная в данной статье математическая модель подтверждает алгоритмическую разрешимость задачи исследования динамического режима для электрического многополюсника с мемрезистивными ветвями. Такая возможность появляется за счет декомпозиции исходной полноразмерной математической модели, в результате чего задача сводится к поэтапному решению интервальных систем дифференциальных и алгебраических уравнений. Изложенный подход раскрывает перспективы исследования характеристик наноэлектронных схем не только в составе отдельных компонентов, таких как элементы памяти, но и при оценке стабильности архитектуры информационно-вычислительных систем в целом. Дальнейшие направления исследований в этой области связаны с верификацией полученной модели применительно к конкретным типам наноэлектронных схем, одобренных для практического применения в высокопроизводительных вычислительных комплексах.×
Об авторах
А. В Бондарев
Оренбургский государственный университет" (Кумертауский филиал)
Email: bondarevav@kfosu.edu.ru
Кумертау, Россия
В. Н Ефанов
Уфимский государственный авиационный технический университет
Email: efanov@mail.ru
Уфа, Россия
Список литературы
- Bondarev A.V. Research problem of a robustness of electronic schemes by methods of interval calculations in the conditions of uncertainty / Proc. of the 17th International Workshop on Computer Science and Information Technologies. 2015. p. 145-149.
- Bondarev A., Efanov V. The Principles of Forming of the Mathematical Model of Nanoelectronic Components of Quantum Computer Systems with Memresistance Branches // Proc. of the 21st International Workshop on Computer Science and Information Technologies (CSIT 2019). Atlantis Highlightsin Computer Sciences, volume 3. p. 17-22.
- Bondarev A.V. Research problem of a robustness of electronic schemes by methods of interval calculations in the conditions of uncertainty/ Всборнике: CSIT'2015 Proceedings of the 17th International Workshop on Computer Science and Information Technologies. 2015. С. 145-149.
- Bondarev A.V., Muravyova E.A., Kadyrov R.R., Rahman P.A. The analysis of opportunities of construction and use of avionic systems based on COTS-modules/ARPN Journal of Engineering and Applied Sciences. 2016. Т. 11. № 1. С. 78-92.
- Borghetti J., Snider G.S., Kuekes P.J. et al. ‘Memristive’ switches enable ‘stateful’ logic operations via material implication. - Nature letters, 2010, v.464, p.873-876.
- Bourzac K. Memristor Memory Readied for Production. - www.technologyreview.com/computing/25018/.
- Chua L.O. Memristor - the missing circuit element. - IEEE Trans. CircuitTheory, 1971, v.18, p.507-519.
- G. Alefeld, G. Mayer, “Interval analysis: theory and applications” // Journal of Computational Applied Mathematics. - 2000. - Vol. 121. - P. 421-464.
- http://www.nanonewsnet.ru/articles/2011/memristor-nedostayushchii-element
- https://eduherald.ru/ru/article/view?id=17265
- Johnson R.C. End of the CPU? HP demos configurable memristor. - 4/9/2010, www.eetimes.com/electronicsnews/4088557/End-of-the-CPU-HP-demos-configurablememristor.
- Kuekes P. J., Snider G. S., Williams R. S. Crossbar nanocomputers. - Scientific American, 2005, v.293, p.72-78.
- Markoff J. H.P. Sees a Revolution in Memory Chip. - www.nytimes.com/2010/04/08/science/08chips.html?_r=1.
- Memristor. - en.wikipedia.org/wiki/Memristor.
- Merritt R. HP researcher predicts memory-centric processors. - 6/2/2010, www.eetimes.com/electronicsnews/4199856/HP-researcher-predicts-memory-centricprocessors.
- Strukov D.B., Snider G.S., Stewart D.R., Williams R. S. The missing memristor found. - Nature letters, 2008, v.453, p.80-83.
- Бондарев А.В. Обзор алгоритмов квантовых вычислений// Перспективы науки. № 7(118).2019. с. 27-31.
- Бондарев А.В. Обзор элементной базы квантовых компьютеров// XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. 2019. Т. 8. №3(47) с. 96-100.
- Бондарев А.В. Особенности построения архитектуры квантовых компьютеров// Современная наука: Серия Естественные и технические науки. № 6 июнь 2019 г. с. 52-55.
- Бондарев А.В., Ефанов В.Н. Принципы формирования математической модели наноэлектронных компонентов квантовых вычислительных комплексов с мемрезистивными ветвями// Системы управления и информационные технологии. 2020. № 1 (79). С. 4-10.
- Бондарев А.В. Система поддержки принятия решений при оценке робастности сложных бортовых радиоэлектронных систем на базе COTS-продуктов/ диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук/ Уфимский государственный авиационно-технический университет. Уфа, 2011.
- Сигорский В.П., Петренко А.И. Алгоритмы анализа электронных схем. - М.: Советское радио, 1976, 608 с.
- Чуа Л. О., Лин Пен-Мин. Машинный анализ электронных схем. Алгоритмы и вычислительные методы. Пер с англ. -М.: Энергия, 1980, 640 с.
- Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ. - http://www.ns с.ru/interval.
- Елисеев Н. Мемристоры и кроссбары: нанотехнологии для процессоров / Электроника: Наука, Технология, Бизнес. № 8, 2010. - с.: 84-89.
- Mazumder P. et al. Memristors: Devices, Models and Applications. - Proceedings of the IEEE, 2012, v. 100, №6, p.1911-1916.
Дополнительные файлы
