ON DIFFERENTIAL-NON-AUTONOMOUS REPRESENTATION INTEGRATIVE ACTIVITY OF NEUROPOPULATION BILINEAR SECOND-ORDER MODEL WITH A DELAY

Full Text

ВВЕДЕНИЕ Многомерные нейродинамические модели эволюции состояния синапсов, изменения скорости нейроимпульсов и т.п. в локальных популяциях нейронов [1] могут иметь форму систем интегро-дифференциальных уравнений [2]. Для данного дифференциального представления нейроморфных процессов актуальна задача разрешимости таких бесконечных систем. При этом используются различные техники современного функционального анализа, включая теоремы сравнения, монотонные итерационные методы, метод усечения, а также топологические методы фиксированной точки. Другой нейродинамический подход описывает нейропроцессы в терминах нейросетевой протомодели “черного ящика” с дальнейшей реализацией [3, с. 21] этих процессов в классе бесконечномерных дифференциальных моделей [4] с запаздыванием и без. В целом можно заключить, что нелинейные неавтономные дифференциальные уравнения в бесконечномерных гильбертовых пространствах весьма продуктивны в теоретико-прикладных задачах математической нейробиологии. При этом факторы нестационарности, полилинейности и запаздывания таких дифференциальных моделей, в том числе высших порядков [5], отражают интегративный процесс перестройки физико-химических взаимосвязей в синергетических комплексах синапсов/рецепторов [6] исследуемых (моделируемых) нейропопуляций. В контексте второго подхода отметим, что основоположник качественной теории дифференциальной реализации (КТДР) Р. Калман, констатируя, что в теории динамических систем задача реализации играет центральную роль [3, с. 267], сформулировал следующий подход [3, с. 286]: рассматривать задачу реализации как попытку угадать уравнения движения динамической системы по поведению ее входных и выходных сигналов или как построение физической модели, объясняющей экспериментальные данные типа “вход-выход” (протомодель “черного ящика”). Настоящий период развития КТДР в бесконечномерной постановке связан с созданием специального математического метаязыка - энтропийной теории расширений M2- операторов [4]. Данная теория существенным образом перестроила и укрепила теоретико-системные основания КТДР и обеспечила гармоничную связь геометрических идей M2-продолжимости [4] с методами теории апостериорного математического моделирования дифференциальных уравнений высших порядков [5] в бесконечномерных пространствах, причем делая упор на приложения [2, 6], а не на достижение максимальной общности изложения КТДР-результатов. Последнее обстоятельство не могло не наложить отпечаток на содержание данной работы. А именно, так как во многих задачах математической нейрофизиологии модель реализации дифференциального представления нейроморфных процессов типа “ответная реакция синапсов на раздражающее воздействие рецепторов” требует учитывать нелинейную взаимосвязь как от самой ответной реакции и скорости ее протекания, так и от раздражающего воздействия, то ниже основное внимание сосредоточено на исследовании модели дифференциальной реализации, зависящей от пяти нестационарных билинейных структур. Первая из них зависит от реакции (как вектор-функции времени), второй билинейный оператор зависит от этой реакции и скорости ее протекания, третий билинейный оператор зависит только от скорости протекания данной реакции и два других учитывают эти переменные в связи с влиянием на них фактора запаздывания нейроимпульсов синапсов и вектор-функции нейросигналов возбуждаемых рецепторов. Кроме того, КТДР-методы, рассматриваемые в духе бесконечномерной постановки обратных задач математической физики [4], сложнее, интереснее, глубиннее в приложениях и очень важны для понимания основных репрезентативных свойств самих дифференциальных моделей. Их конструкции могут служить отправными точками современного развития общей (аксиоматической) теории динамических систем (в духе [3]), попутно создавая этим конструкциям репутацию весьма полезного математического инструмента в прецизионном апостериорном нелинейном моделировании сложных бесконечномерных динамических моделей. 1. ТЕРМИНОЛОГИЧЕСКИЙ СЛОВАРЬ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Далее - вещественные сепарабельные гильбертовы пространства (т.е. нормы удовлетворяют “условию параллелограмма” [7, с. 162]); при этом ниже используем [7, c. 176] линейную изометрию (сохраняющую норму) пространств и . Как обычно - банахово пространство (с операторной нормой) всех линейных непрерывных операторов для двух банаховых пространств и , - пространство всех непрерывных билинейных отображений из декартового квадрата в пространство , ниже активно используем линейную изометрию [7, c. 650] пространств и . Обозначим через отрезок числовой прямой с мерой Лебега , через - -алгебру всех -измеримых подмножеств из , запись () означает . Сверх того примем, что - множество всех функций , первая производная которых является абсолютно-непрерывной функцией (относительно меры ) на интервале . Если ниже - банахово пространство, то через будем обозначать банахово пространство классов -эквивалентности интегрируемых по Бохнеру [8] отображений с нормой соответственно через - банахово пространство из этих классов с нормой . В данном контексте условимся, что Далее, считаем, что на временном интервале фиксировано a posteriori поведение исследуемой (моделируемой) локальной нейропопуляции в виде не ограниченного по мощности нелинейного пучка наблюдаемых нейродинамических процессов в пространстве состояний[1] , представленных парами вектор-функций типа “реакция, воздействие”, т.е. нейроморфной бихевиористической системой в виде -“черного ящика”, или формально: где (в терминологии [3]) - пара “траектория (состояние синапсов), управление (воздействие на рецепторы)”, - алеф нуль, - континуум; термин “нелинейный пучок” означает, что для траекторий пучка a priori не предполагается наличие принципа суперпозиции, - когда зависимость выходных x-переменных от входных u-воздействий суть линейная [3]. Кроме того, примем, что дифференциальная реализация -системы должна иметь второй порядок[2], т.е. содержать член , где оператор-функция обладает свойствами:[3] , при этом нарушение условия эквивалентности нормальной системе, а именно: , необременительно (допустимо); в данном контексте см. ниже замечание 1. Рассмотрим задачу: для фиксированной пары определить необходимые и достаточные условия, выраженные в терминах нелинейного пучка динамических процессов и оператор-функции , существования упорядоченного набора из восьми оператор-функций для которого осуществима билинейная дифференциальная реализация (БДР) второго порядка с запаздыванием , имеющая аналитическое представление вида:[4] (1) (1*) Условимся, что если моделируемые операторы БДР-системы (1)-(1*) предполагается искать в классе стационарных, то будем их строить в классе непрерывных, и при этом писать . В связи с предложенной математической постановкой разрешимости задачи существования нейроморфной динамической модели отметим, что каждая область математики, как правило, содержит свои ведущие проблемы, которые настолько трудны, что их полное решение даже и не ожидается, но которые стимулируют постоянный поток работ и служат главными вехами на пути прогресса в этой области. В рамках КТДР-исследований такой проблемой является проблема классификации непрерывных бихевиористических систем (в том числе нейродинамических протомоделей типа “черный ящик”), рассматриваемых так, как если бы они точно (прецизионно) совпадали с решениями идеализированных дифференциальных моделей, в том числе высших порядков с фактором запаздывания. В наиболее сильной форме она предполагает модельную классификацию таких систем с точностью до соответствующего класса дифференциальных реализаций, в частности, класса БДР-моделей (1)-(1*), в обосновании чего ниже служат КТДР-теоремы 1-2 и их следствия. Данная конструкция может стать отправной точкой в развитии геометрической теории нестационарных полилинейных векторных полей [9], параллельно развивая новый математический метаязык для прецизионного дифференциального моделирования нелинейных бесконечномерных динамических систем. 2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПРИЗНАК БДР-МОДЕЛИ: ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ Опишем теперь аналитическую схему решения вопроса о разрешимости (или неразрешимости) БДР-задачи (1)-(1*). Итак, пусть - гильбертово тензорное произведение [10, с. 54] гильбертовых пространств и с кросс-нормой , определяемой скалярным произведением [8] в . Сверх того, введем новые обозначения: ясно, что функциональное пространство (с топологией произведения) линейно гомеоморфно банахову пространству . Обозначим через - универсальное билинейное отображение ; на языке категорий морфизм определяет тензорное произведение как универсальный отталкивающий объект [10, с. 40]. Универсальность билинейного отображения состоит также в том, что данные соотношения важны для аналитического представления нелинейного функционального оператора Релея-Ритца в части конкретизации (в его конструкции) нормы . Далее считаем, что декартов квадрат наделен нормой . В данной постановке и, с учетом теоремы 2 [7, c. 245], для любого билинейного отображения всегда найдется линейный непрерывный оператор такой, что при этом для любой пары будут выполняться (согласно (1*)) включения: Данные построения подытоживает следующее утверждение. Лемма 1. Для любого набора и отображения существуют единственный кортеж оператор-функций и, соответственно, единственное линейное отображение имеющее аналитическое представление вида такое, что выполняется следующее функциональное равенство: которое, в свою очередь, индуцирует для оператор-функций из конструкций отображений и следующие операторные соотношения: . Везде далее (в контексте БДР-задачи (1)-(1*)) примем Следующая лемма обобщает бихевиористическое условие (7) [11]. Лемма 2. Пусть где Тогда имеет место . Далее, пусть (,) - положительный конус [12] классов -эквивалентности всех вещественных неотрицательных -измеримых на интервале функций с квазиупорядочением , при котором в том и только в том случае, если -почти всюду в . При этом для заданного подмножества через обозначим наименьшую верхнюю грань подмножества , если эта грань существует в конусе в структуре квазиупорядочения , в частности, легко установить, что имеет место соотношение В данной постановке рассмотрим решетку с ортодополнением [17, с. 339] вида: . Тогда - решетка с наименьшим и наибольшим элементами; здесь и далее - “нуль-функция” конуса . В контексте теоремы 17 [7, c. 68] и следствия 1 [7, c. 69] несложно извлечь более общее утверждение; ниже - наибольшая нижняя -грань. Лемма 3. Решетка - полная, т.е. . Пусть - энтропийный оператор Релея-Ритца [4]: где . Ясно, что имеет место равенство , при этом функции , назовем, соответственно, линейной и билинейной характеристиками оператора Релея-Ритца. В силу леммы 2 на интервале времени выполняется ; здесь в определении -конструкции носителя функции следуем [7, с. 137] (т.е. носитель определяется с точностью до множества меры нуль). Энтропийный оператор удовлетворяет весьма простым (но важным) соотношениям ниже будем различать в обозначениях образ точки и образ множества . Теория оператора Релея-Ритца нуждается в точном функционально-геометрическом языке, что заставляет уделять этому языку особое внимание. Поэтому прежде чем идти дальше, будет полезно ввести дополнительную терминологию. А именно, функциональный оператор индуцирует отображение , которое, по сложившейся в теории представлений традиции [10, c. 239], назовем проективизацией оператора Релея-Ритца: где - вещественное проективное пространство, ассоциированное с линейным многообразием (с топологией, индуцированной из пространства т.е. есть множество орбит мультипликативной группы , действующей на . В данной геометрической трактовке ключевым моментом являются топологические свойства пространства , разумеется, в первую очередь (в контексте предложения 1), его компактность, в частности, если имеет место , то компактное 2-многообразие устроено как лист Мёбиуса, к которому по его границе приклеен круг [13, c. 162]. Попутно отметим, что на можно ввести геометрическую структуру CW-комплекса [13, c. 140], что, в свою очередь, упрощает рассмотрение вопроса о геометрической реализации многообразия - теорема 9.7 [13, c. 149]. Теорема 1. Каждое из следующих трех первых условий влечет за собой два других: (i) БДР-задача (1)-(1*) разрешима относительно ; (ii) (iii) При этом, для выполнения необходимо чтобы (iv) . Замечание 1. Теорему 1 можно рассматривать как начальный этап в изучении проблемы[5], когда пучку управляемых траекторных кривых от неявного дифференциального уравнения высшего порядка требуется сопоставить явную нестационарную билинейную дифференциальную систему второго порядка с тем же пучком управляемых траекторных кривых . Доказательство. Будем пользоваться идеями работы [4]. Придерживаясь определения 1 [4], введем в рассмотрение конструкцию -оператора вида Остальные детали доказательства с небольшими уточнениями (с учетом приведенных выше лемм 1-3 для решетки ) содержит аналитическая схема -продолжимости в форме следствия 2 [4] и теоремы 3 [4] (принцип максимума энтропии). При этом необходимое условие (iv) для устанавливается модификацией доказательства теоремы 3 [11]. ■ Замечание 2. Необходимо отметить, что даже в случае имеет место положение ; но можно показать, что существует (теорема 17 [7, c. 68]) такое счетное множество , что, если в пространстве лежит , то вещественную функцию осуществляет следующая -конструкция: Замечание 3. Доказательство теоремы 1 легко модифицировать так, чтобы сформулировать аналог теоремы 3 [12], выражающий в терминах углового расстояния в гильбертовом пространстве условия существования билинейной системы (1), реализующей пучки , каждый из которых обладает своей БДР-моделью, в том числе, в математической постановке [11], когда моделируемые операторы дифференциальной системы (1) суть стационарные, т.е. , в частности, с оптимальной нормой [14]. В конкретных рассуждениях важен также следующий частный случай: Следствие 1. Если , и найдется , при котором то БДР-задача (1)-(1*) разрешима. Заметим, что при данное свойство в (контексте квазиупорядочения ) сродни свойству “сублинейности” [12] функциональных операторов. 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОПЕРАТОРА РЕЛЕЯ-РИТЦА В АНАЛИЗЕ РАЗРЕШИМОСТИ БДР-ЗАДАЧИ В случае компактности проективного многообразия (т.е. ) естественно попытаться связать это свойство с задачей построения решетки в контексте условий непрерывности проективизации оператора Релея-Ритца (см. также [15]). Ниже при выборе в предложении 1 метрической структуры в конусе , прибегли к теоремам 15, 16 [7, cс. 65, 67]; в данной постановке - полное сепарабельное метрическое пространство. Предложение 1. Пусть и конус наделен топологией, индуцированной сходимостью по мере , или, что эквивалентно, инвариантной[6] метрикой Тогда оператор будет непрерывным, если пучок таков, что (2) в частности, если (3) Отметим, что предложение 1 является развитием теоремы 3 [16], что подтверждает её методологическую важность в дифференциальном моделировании сложных динамических систем [3-5]. Одним из приложений этого результата является следующее утверждение. Следствие 2. Если при выполнении (2) или (3) оператор взаимно-однозначный, то - гомеоморфизм, а фундаментальная группа метрического пространства изоморфна аддитивной группе целых чисел при и группе вычетов при , причем, пространство ориентируемо, если размерность линейной оболочки четная, и неориентируемо, если эта размерность нечетная. Принимая во внимание, что непрерывная вещественная функция на компактном пространстве достигает своих наибольшего и наименьшего значений, приходим к заключению, что при выполнении (2) или (3) и учетом теоремы 5 [7, с. 28], для случая и при наличии найдутся такие точки , что будут верны оценки: . Заметим, что включение не гарантирует вложение (см. пример 1 из [16]). При этом отметим, что приводит к положению (4) В контексте теоремы 1 и предложения 1 можно уточнить условия существования решетки . В качестве отправной точки введем вспомогательную конструкцию: для натурального обозначим через конечное -плотное подмножество в метрическом пространстве ; подмножество найдется в силу предложения 1. Ниже означает предел последовательности в топологии, индуцированной метрикой . Теорема 2. Пусть и Тогда конус содержит решетку , если и только если , причём БДР-разрешимость приобретает вид: БДР-реализация (1)-(1*) существует тогда и только тогда, когда , что равносильно . С учетом теоремы Радона-Никодима [17, с. 38] получаем Следствие 3. Дифференциальная реализация (1)-(1*) существует, если и только если функционал суть абсолютно -непрерывная мера на . В завершении приведем примеры, снимающие возможное представление, что выше особое ударение мы всюду делали исключительно на идейном аспекте каждого понятия, тем самым невольно пренебрегая его рассмотрением с вычислительной точки зрения; всюду ниже считаем, что моделирование осуществляется с нулевым запаздыванием (т.е. ). Пример 1. Пусть - оператор гомотетии [12] с единичным коэффициентом, , Тогда функция (см. рис. 1) не принадлежит пространству и, следовательно, согласно теореме 1 и формуле (4), реализация (1) для неуправляемого процесса не существует. Пример 2. Изменим постановку примера 1 тем, что Тогда (см. рис. 2) и значит реализация (1) для управляемого процесса существует; нетрудно установить, что где - скалярное произведение в Отметим, что для более сложных вариантов задания пары (,) символьные вычисления функции (аналогичной рис. 1, 2) можно проводить средствами компьютерной алгебры в математической физике [18]. В данном контексте анализ разрешимости БДР-задачи примеров 1, 2 можно модифицировать для качественного анализа редукции точных многомерных решений диффузии со степенными нелинейностями к задаче Коши для счетной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с полилинейной структурой. Следующий пример характеризует факт наличия свойства нестационарности БДР-модели, как эндогенного фактора дифференциальной реализации пучка (см. пункт (iv) теоремы 1). Рис. 1. Рис. 2. Пример 3. Пусть и коэффициент гомотетии оператора равен 5, при этом Тогда (как несложно установить) функция согласно формулы (4) удовлетворяет неравенствам , где второе неравенство гарантирует (в силу пункта (iii) теоремы 1) существование некоторой БДР-модели, реализующей процесс-пучок , при этом первое неравенство, согласно пункта (iv) теоремы 1, показывает, что данная модель не может быть стационарной. Приведем пример, иллюстрирующий положение, когда свойство линейности дифференциальной модели реализации недостаточно для прецизионного построения уравнений динамики пучка , что важно при моделировании синергетического фактора нейропопуляции. Пример 4. Пусть - оператор гомотетии с коэффициентом 1, при этом , , Вначале покажем, что динамический пучок не может иметь линейную дифференциальную реализацию. С этой целью достаточно установить, что линейная характеристика , отвечающая оператору Релея-Ритца, индуцирует функцию с нулем порядка 2. Характеристическим условием данного положения будет следующая система уравнений (относительно параметров ): откуда, несложно вычислить, что , при этом точкой нуля будет . Теперь покажем, что БДР-модель (1) для пучка существует. Для этого достаточно установить, что сумма линейной и билинейной характеристик (параметризированных по ) оператора Релея-Ритца для пучка ограничена снизу некоторой функцией вида: На этом пути легко видеть, что при любых будет Можно проверить, что БДР-модель (1) для пучка имеет аналитическое представление: , где . Пример 5. Конструкция из сноски 1, позволяет построить общую дифференциальную реализацию (с вектором состояний X Å X Å X) для динамических пучков из примеров 2-4. Непосредственно из примера 4, как его методологическое обобщение, вытекают два важных теоретико-модельных вывода, с аналитической проверки которых по существу должен начинаться любой качественный анализ задачи БДР-моделирования (1)-(1*); при этом позволяющих сократить на базе чисто инженерных идей (основанных на опыте и здравом смысле) разрыв между теорией и практикой. Первый вывод состоит в том, что конечный динамический пучок может иметь на интервале интерполяционное представление в классе полиноминальных сплайн-функций [19]. Второй вывод выражает следующее утверждение: Предложение 2. Пусть динамический пучок удовлетворяет условию: , (5) где - характеристическая функция множества . Тогда дифференциальная реализация данного пучка не может иметь аналитическое представление (1)-(1*), в котором все билинейные операторы суть нулевые. Условие (5) можно ослабить (конструктивно усилить), сведя его к поиску средствами компьютерной алгебры нулей функции , параметризированной коэффициентами интерполяционного представления пучка в классе полиноминальных сплайн-функций; см. также полезные предложения 2.6.1 и 2.6.4 [19, сс. 67, 69] о расположении нулей полиномов. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Предложенные выше результаты подтверждают, что перманентно развиваемая КТДР может представлять универсальный язык для междисциплинарного обмена научными результатами в рамках энтропийного анализа. Действительно, она достаточно обща для того, чтобы не вносить своих собственных ограничений в математическое описание процессов апостериорного моделирования нелинейных бесконечномерных динамических систем, и в тоже время, в силу своей строгости, она устраняет возможность весьма распространённых разночтений в толковании такого ключевого понятия теории идентификации систем, как структурная идентифицируемость. При этом не позволяя этому понятию окрасится в субъективные тона, а напротив, придав ему полностью математически формализованный смысл [20], обеспечивая устойчивый интерес со стороны тех, кто ставит себе в КТДР не самые узкие цели. В целом можно убедиться, что понимание природы полилинейных моделей, как формы представления уравнений динамики сложных систем (в том числе нейроморфных), способствует прояснению интуитивных представлений об их динамике и мотивировке всего обсуждения. К тому же, не откажем себе в удовольствии заметить, что “билинейный аппарат” КТДР, получивший продвижение выше, доставляет, по меньшей мере, эстетическое удовлетворение; аналитик, преследующий чисто эстетические цели, содействует созиданию метаязыка, более приспособленного к тому, чтобы удовлетворить математические запросы нейромоделирования [21-23]. Для того чтобы пойти дальше, не сложно указать то теоретико-системное направление, которое может составить алгебраическую основу (без чрезмерного нагнетания средств алгебраической геометрии) следующего этапа развития качественной теории дифференциальной реализации высших порядков [5], в том числе, с неполным измерением вектора состояний [24]. А именно, переход в моделируемой нейроморфной динамике от билинейной структуры нелинейных связей к полилинейным[7] связям. Методологически этот переход состоит в использования геометрического языка тензорных структур пространств Фока [17] и проективных представлений [10] в контексте исследования метрический свойств энтропийного операторов Релея-Ритца [15] средствами компьютерной алгебры в математической физике [18].

About the authors

A. V Daneev

Irkutsk State Transport University

Email: daneev@mail.ru
Irkutsk, Russia

A. V Lakeev

Matrosov V.M. Institute for System Dynamics and Control Theory of SB RAS

Email: lakeyev@mail.ru
Irkutsk, Russia

V. A Rusanov

Matrosov V.M. Institute for System Dynamics and Control Theory of SB RAS

Email: v.rusanov@mail.ru
Irkutsk, Russia

P. A Plesnev

Irkutsk State Transport University

Email: pavel.plesnev@gmail.com
Irkutsk, Russia

References

Supplementary files