ANALYSIS OF DYNAMIC PROCESSES IN NANOELECTRONIC STRUCTURES BASED ON MEMRESISTIVE ELEMENTS

Full Text

В связи с тем, что мемристор из разряда гипотетических компонентов перешел в область практической реализации и уже значительное время применяется ведущими производителями наноэлектроники, на повестку дня выходит задача разработки математической модели, позволяющей исследовать процессы в электронных схемах, в состав которых входят мемристоры. Дело в том, что в отличие от обычных элементов электрических многополюсников, таких как линейные и нелинейные резисторы, емкости и индуктивности, параметрическое уравнение мемристора связывает изменение величины магнитного потока Ф и изменение заряда Q dФ = M(Q)⋅dQ (1) здесь M(Q) - параметр, получивший название мемристивность, оценивается следующим образом [25]: (2) где RON и ROFF - соответственно, низкое сопротивление проводящей области (недоокисленный слой Ti) и высокое сопротивление слоя диэлектрика TiO2; - подвижность кислородных вакансий; D - размер мемристора. Чтобы получить параметрическое уравнение мемристора, позволяющее использовать его совместно с параметрическими уравнениями других элементов электрических многополюсников, т.е. записанное относительно тока и напряжения, воспользуемся аналитическим описанием его вольт-амперной характеристики. Учитывая, что мемристор имеет ВАХ подобную фигуре Лиссажу [26], опишем эту характеристику следующей системой уравнений: (3) где и - постоянные коэффициенты ширины петли фигуры ВАХ; - частота тока и напряжения; - угол наклона фигуры ВАХ. Используя разложение синуса суммы во втором уравнении системы (3), получим параметрическое уравнение мемристора для номинального режима: . (4) Назовем выражение по аналогии с (1) обратной мемристивностью. Тогда параметрическое уравнение мемристора можно записать в таком компактном виде . (5) Для оценки стабильности наноэлектронных структур на базе мемрезистивных элементов в условиях неопределенных внешних воздействий рассмотрим уравнение (5) для возмущенного режима в конечных приращениях: , (6) где - приращение обратной мемрезистивности; - аналог зависимого источника тока; - аналог независимого источника тока. 1. ПОЛНОРАЗМЕРНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МНОГОПОЛЮСНИКА С МЕМРЕЗИСТИВНЫМИ ВЕТВЯМИ Полноразмерная математическая модель электрического многополюсника с мемрезистивными ветвями будет состоять из топологических и параметрических уравнений. Однако, в отличие от известного подхода [23] мы будем рассматривать эти уравнения в конечных приращениях. Так топологические уравнения в конечных приращениях принимают следующий вид , (7) где D - матрица главных сечений, dim D = (k-1); В - матрица главных контуров, dim B = (n-k+1) уравнений; n - число ветвей и k - число узлов топологического графа электрического многополюсника; , - приращения токов и напряжений в ветвях этого графа. В соответствии с характерными типами электрических ветвей осуществим декомпозицию векторов приращений токов и напряжений: , (8) где , - приращения напряжений и токов на индуктивных хордах; , - приращения напряжения и тока на емкостных ребрах; , , , - приращения напряжения и тока на резистивных ребрах и хордах; , , , - приращения напряжения и тока на нелинейных ребрах и хордах; , , , - приращения напряжения и тока на мемрезистивных ребрах и хордах. При этом матрицы D и В приобретают следующий блочный вид ; , (9) где - единичная матрица. В результате система топологических уравнений (7) относительно токов принимает вид: , (10) аналогично относительно напряжений: . (11) Дополним топологические уравнения совокупностью параметрических уравнений для рассмотренных выше типов электрических ветвей многополюсника. Для реактивных ветвей: , (12) где - матрица индуктивностей (, , ); - матрица емкостей (, , ); - матрицы эквивалентных сопротивлений и - эквивалентных проводимостей в схемах замещения нелинейных индуктивностей и емкостей; , - эквивалентные векторы источников токов и напряжений [1-4]. Для резистивных ветвей: , (13) где - матрица сопротивлений ветвей, - матрица проводимостей ветвей; , - эквивалентные векторы независимых источников напряжения и тока на резистивных ветвях [1-4]. Для нелинейных ветвей с учетом нелинейных мемрезистивностей (6) система гибридных уравнений примет вид: , (14) где; и - диагональные матрицы эквивалентных сопротивлений и проводимостей; и - диагональные матрицы эквивалентных обратных и прямых мемрезистивностей; - единичная матрица; , , ,, , , и - эквивалентные источники ЭДС и тока на нелинейных хордах и ребрах. Объединяя (10)-(14), получим с использованием метода декомпозиции ветвей направленного графа схемы, описанного в [20-23], полноразмерную математическую модель в конечных приращениях токов и напряжений в гибридном базисе: (15) где , , и ; - матрицы эквивалентных сопротивлений и - эквивалентных проводимостей нелинейных индуктивностей и емкостей; , - эквивалентные векторы источников токов и напряжений; , , и ; , , ; ; , , и . Теперь на основе полученной полноразмерной математической модели сформируем математическую модель многополюсника с мемрезистивными ветвями в динамическом режиме. 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МНОГОПОЛЮСНИКА С МЕМРЕЗИСТИВНЫМИ ВЕТВЯМИ В ДИНАМИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ Расчет динамических характеристик электронных схем во временной области заключается в определении вида переходных процессов в их структуре, возникающих под действием источников переменных сигналов и импульсных последовательностей. В результате подобного расчета находятся временные интервалы, необходимые для перевода схемы из одного статического режима в другой, или время, за которое токи и напряжения достигают заданного уровня. Часто представляет интерес форма переходного процесса. Развитие электромагнитных процессов во времени определяется не только характером изменения напряжений на емкостях и токов в индуктивностях, но и конечными приращениями этих параметров. В тех случаях, когда уровни переменных сигналов в схеме значительно меньше уровней постоянных токов и напряжений статического режима, анализ переходных процессов проводится в линеаризованной схеме, где все нелинейные элементы заменяются их малосигнальными моделями. При этом система уравнений состояния также становится линейной. Чтобы получить такую модель исследуемой схемы, описанную в [20, 21], необходимо сформировать гибридный базис, содержащий переменные состояния, и исключить все остальные переменные, относящиеся к резистивным ветвям эквивалентной схемы. Используя установленные в [21] условия существования математических моделей электрических многополюсников, построим линеаризованную модель для динамического режима электронной схемы. Реактивные элементы эквивалентной схемы - емкости и индуктивности - выделим в особые ветви. В результате оставшаяся часть эквивалентной схемы будет представлять собой линейный многополюсник с резистивными и мемрезистивными ветвями, включающий также зависимые и независимые источники. Емкости, параметрическое описание которых соответствует z-ветвям, должны быть отнесены к ребрам, что всегда может быть обеспечено при выполнении предположения об отсутствии главных емкостных контуров. Аналогично этому индуктивности должны быть отнесены к хордам. Чтобы обеспечить сформулированные требования нумерация ветвей должна начинаться с емкостей, а завершаться - индуктивностями. Исходя из вышесказанного, математическая модель многополюсника с мемрезистивными ветвями (15) в динамическом режиме примет вид: (16) Отличие модели (16) от обычных линеаризованных моделей, которые используются при оценке чувствительности электронных схем, заключается в том, она относится к классу интервальных систем линейных дифференциальных и алгебраических уравнений. Следовательно, она позволяет описывать поведение многополюсника во всем диапазоне изменения параметров электронного устройства. Для решения такой системы уравнений необходимо использовать специальные интервальные методы Эйлера и Хука-Дживса, основанные на интервальной арифметике Кахана. Суть интервальной арифметики Кахана состоит в том, что операции с интервалами, содержащими ноль, имеют тот же результат, что и в случае с другими интервалами. Это позволяет основную причину расширения интервальных оценок при выполнении вычислений за счет соблюдения определенных условий, которые не только гарантируют дистрибутивность операций, но и обеспечивают их монотонность по включению [21, 24]. 3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ВНЕШНЕГО ОЦЕНИВАНИЯ МНОЖЕСТВ РЕШЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ МНОГОПОЛЮСНИКА С МЕМРЕЗИСТИВНЫМИ ВЕТВЯМИ В ДИНАМИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ Учитывая интервальный характер полученной модели, в данном алгоритме используется метод Эйлера для интегрирования дифференциальных уравнений и метод конфигураций (метод Хука-Дживса), который является методом нулевого порядка и не требует вычисления интервальных производных при решении системы алгебраических уравнений [24]. Шаг 1. Полагаем и . Задаем начальные приближения искомых параметров. Шаг 2. Используя правила арифметики Кахана, находим внешнюю интервальную оценку производных ; . Шаг 3. Находим интервальное расширение векторов , , где Δ - шаг интегрирования. Шаг 4. Подставляем найденные вектора и во второе и третье уравнения системы (16), после чего исключаем вектор . В результате получаем интервальную систему алгебраических уравнений следующего вида Шаг 5. Решаем линейную интервальную систему, полученную на шаге 4, используя интервальный метод Гаусса. В результате находим интервальное расширение вектора Шаг 6. Находим интервальное расширение вектора . Шаг 7. Принимаем , . Шаг 8. Процесс закончен? Если «да», идти к шагу 9; иначе - к шагу 2. Шаг 9. Конец. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Предложенная в данной статье математическая модель подтверждает алгоритмическую разрешимость задачи исследования динамического режима для электрического многополюсника с мемрезистивными ветвями. Такая возможность появляется за счет декомпозиции исходной полноразмерной математической модели, в результате чего задача сводится к поэтапному решению интервальных систем дифференциальных и алгебраических уравнений. Изложенный подход раскрывает перспективы исследования характеристик наноэлектронных схем не только в составе отдельных компонентов, таких как элементы памяти, но и при оценке стабильности архитектуры информационно-вычислительных систем в целом. Дальнейшие направления исследований в этой области связаны с верификацией полученной модели применительно к конкретным типам наноэлектронных схем, одобренных для практического применения в высокопроизводительных вычислительных комплексах.

About the authors

A. V Bondarev

Orenburg State University (Kumertau Branch))

Email: bondarevav@kfosu.edu.ru
Kumertau, Russia

V. N Efanov

Ufa State Aviation Technical University

Email: efanov@mail.ru
Ufa

References

Supplementary files