О ПРИВЕДЕНИИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ К РЕАЛИЗАЦИИ С ПОЛИЛИНЕЙНЫМ РЕГУЛЯТОРОМ ИНВАРИАНТНЫМ К ДВУМ РАЗНО-РЕГУЛИРУЕМЫМ ТРАЕКТОРНЫМ ПУЧКАМ

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ȻȼȿȾȿɇɂȿ Ʉɚɱɟɫɬɜɟɧɧɚɹɬɟɨɪɢɹɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɣɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢɭɩɪɚɜɥɹɟɦɵɯɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɢɯɫɢ ɫɬɟɦɜɧɚɫɬɨɹɳɟɟɜɪɟɦɹɢɜɟɪɨɹɬɧɨɧɚɞɨɥɝɨɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬɞɨɜɨɥɶɧɨɚɤɬɢɜɧɭɸɨɛɥɚɫɬɶɢɫ ɫɥɟɞɨɜɚɧɢɣɜɨɛɥɚɫɬɢɨɛɪɚɬɧɵɯɡɚɞɚɱɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣɮɢɡɢɤɢ>@ ȼɞɚɧɧɨɦɤɨɧɬɟɤɫɬɟ ɧɚɫɬɨɹɳɚɹɪɚɛɨɬɚɩɪɨɞɨɥɠɚɟɬɢɡɵɫɤɚɧɢɹ>@ɩɨɫɤɨɥɶɤɭɟɺɰɟɥɶ-ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶɷɤɡɢɫɬɟɧɰɢɨ ɧɚɥɶɧɵɟɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɚɫɭɳɟɫɬɜɨɜɚɧɢɹɨɩɟɪɚɬɨɪɧɵɯɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ ɢɧɜɚɪɢɚɧɬɧɨɝɨɩɨ ɥɢɥɢɧɟɣɧɨɝɨɪɟɝɭɥɹɬɨɪɚIPɪɟɝɭɥɹɬɨɪɚɧɟɫɬɚɰɢɨɧɚɪɧɨɣɝɢɩɟɪɛɨɥɢɱɟɫɤɨɣɫɢɫɬɟɦɵɜɩɪɨ ɱɟɦ ɞɚɧɧɵɟɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɢɦɵɧɚɫɬɚɰɢɨɧɚɪɧɵɟɫɥɭɱɚɢ>-@ɂɧɜɚɪɢɚɧɬɧɨɫɬɶ ɪɟɝɭɥɹɬɨɪɚɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬɱɬɨɢɫɫɥɟɞɭɟɦɚɹɦɨɞɟɥɢɪɭɟɦɚɹɝɢɩɟɪɛɨɥɢɱɟɫɤɚɹɫɢɫɬɟɦɚɞɨɥɠ ɧɚɫɨɞɟɪɠɚɬɶɜɤɥɚɫɫɟɞɨɩɭɫɬɢɦɵɯɪɟɲɟɧɢɣɞɜɚɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɵɯɩɭɱɤɚɭɩɪɚɜɥɹɟɦɵɯɬɪɚ ɟɤɬɨɪɧɵɯɤɪɢɜɵɯɩɪɢɷɬɨɦɤɚɠɞɵɣɩɭɱɨɤɧɟɨɝɪɚɧɢɱɟɧɩɨɦɨɳɧɨɫɬɢɤɨɧɟɱɧɵɣ ɫɱɟɬɧɵɣ ɤɨɧɬɢɧɭɚɥɶɧɵɣɢɢɧɞɭɰɢɪɨɜɚɧɫɜɨɢɦɢɧɞɢɜɢɞɭɚɥɶɧɵɦɩɨɥɢɥɢɧɟɣɧɵɦɪɟɝɭɥɹɬɨɪɨɦ ɌȿɊɆɂɇɈɅɈȽɂəɂɉɈɋɌȺɇɈȼɄȺɁȺȾȺɑɂ ȾɚɥɟɟX_⋅_XY_⋅_YZi_⋅_Zi «n-ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɵɟɫɟɩɚɪɚɛɟɥɶɧɵɟɝɢɥɶɛɟɪɬɨɜɵ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚɩɪɟɞɝɢɥɶɛɟɪɬɨɜɨɫɬɶ>@ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɧɨɪɦɵ_⋅_X_⋅_Y_⋅_ZU Y×Z׫×Zn- ɝɢɥɶɛɟɪɬɨɜɨɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟɫɧɨɪɦɨɣ_yz«zn_U _y_Y ¦ i «n_zi_Z LYX-ɛɚɧɚɯɨɜɨɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨɫɨɩɟɪɚɬɨɪɧɨɣɧɨɪɦɨɣ_⋅_LYXɜɫɟɯɥɢɧɟɣɧɵɯɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɯ ɨɩɟɪɚɬɨɪɨɜɞɟɣɫɬɜɭɸɳɢɯɢɡYɜXɚɧɚɥɨɝɢɱɧɨLXX_⋅_LXXɢLZiX_⋅_LZXX i-iɚɹ ɞɟɤɚɪɬɨɜɚɫɬɟɩɟɧɶɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚXLX iZi-ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨɜɫɟɯɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɯiɥɢɧɟɣɧɵɯ ɩɨɥɢɥɢɧɟɣɧɵɯɨɬɨɛɪɚɠɟɧɢɣɢɡXɜZi ɉɭɫɬɶT >tt@-ɨɬɪɟɡɨɤɱɢɫɥɨɜɨɣɩɪɹɦɨɣRɫɦɟɪɨɣɅɟɛɟɝɚȝɢ℘μ-σɚɥɝɟɛɪɚɜɫɟɯȝ ɢɡɦɟɪɢɦɵɯɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɢɡTȿɫɥɢɧɢɠɟB_ɧɟɤɨɬɨɪɨɟɛɚɧɚɯɨɜɨɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨɬɨ ɱɟɪɟɡ/pTȝBpɛɭɞɟɦɨɛɨɡɧɚɱɚɬɶɛɚɧɚɯɨɜɨɮɚɤɬɨɪɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨɤɥɚɫɫɨɜȝ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢɜɫɟɯɢɧɬɟɝɪɢɪɭɟɦɵɯɩɨȻɨɯɧɟɪɭ>@ɨɬɨɛɪɚɠɟɧɢɣfT → Bɫɧɨɪɦɨɣ³T _fτ_pȝdτpɱɟɪɟɡ/∞TȝB-ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨɜɫɟɯɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɵɯɤɥɚɫɫɨɜȝɢɡɦɟɪɢɦɵɯɢ ɗɬɨɫɜɨɞɢɬɡɚɞɚɱɭɫɬɪɭɤɬɭɪɧɨɣɢɞɟɧɬɢɮɢɤɚɰɢɢɧɟɥɢɧɟɣɧɨɝɨɪɟɝɭɥɹɬɨɪɚɫɢɫɬɟɦɵɤɚɤɚɩɨɫɬɟɪɢɨɪɧɨɣɪɟɚ ɥɢɡɚɰɢɢɟɝɨɨɛɳɟɣɩɨɥɢɥɢɧɟɣɧɨɣɫɬɪɭɤɬɭɪɵɤɛɨɥɟɟɨɫɹɡɚɟɦɨɣɡɚɞɚɱɟɪɚɡɪɟɲɢɦɨɫɬɢɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢɚɞɚɩɬɚɰɢ ɨɧɧɵɯɧɚɫɬɪɚɢɜɚɟɦɵɯa posterioriɨɩɟɪɚɬɨɪɮɭɧɤɰɢɣɩɪɢɦɭɥɶɬɢɩɥɢɤɚɬɢɜɧɨɦɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɢiɥɢɧɟɣɧɵɯ ɚɞɞɢɬɢɜɧɵɯɱɥɟɧɨɜɷɬɨɣɫɬɪɭɤɬɭɪɵɞɪɭɝɨɣɛɨɥɟɟɪɚɞɢɤɚɥɶɧɵɣɩɨɞɯɨɞɫɜɹɡɚɧɫɢɞɟɧɬɢɮɢɤɚɰɢɟɣɨɩɟɪɚɬɨ ɪɨɜɢɡ iɤɪɚɬɧɵɯɬɟɧɡɨɪɧɵɯɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɣɝɢɥɶɛɟɪɬɨɜɵɯɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɜɱɚɫɬɧɨɫɬɢɩɨɞɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɩɪɨ ɫɬɪɚɧɫɬɜɚɎɨɤɚ>@ k ɉɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨLX ZɥɢɧɟɣɧɨɟɤɚɤɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨɮɭɧɤɰɢɣɫɨɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢɜɜɟɤɬɨɪɧɨɦɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟZ ɫɥɨɠɟɧɢɟɢɭɦɧɨɠɟɧɢɟɧɚɫɤɚɥɹɪɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɫɹɩɨɬɨɱɟɱɧɨɩɪɢɷɬɨɦɩɨɞB ∈LX kZɩɨɧɢɦɚɟɬɫɹɬɚɤɨɟɫɨɨɬ ɜɟɬɫɬɜɢɟz Bx«xkɦɟɠɞɭɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɦɢɫɢɫɬɟɦɚɦɢx«xkɷɥɟɦɟɧɬɨɜɢɡXɢɷɥɟɦɟɧɬɚɦɢɢɡZɤɨɬɨ ɪɨɟɥɢɧɟɣɧɨ ɩɨ ɤɚɠɞɨɦɭxiɩɪɢɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɵɯɨɫɬɚɥɶɧɵɯɷɥɟɦɟɧɬɚɯ ɢɞɥɹɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨc ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ _Bx«xk_Z ≤c_x_X«_xk_Xɷɬɨɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɞɥɹɤɚɠɞɨɝɨiɢɥɸɛɵɯx«xixi«xk∈Xɜɟɪɧɨxi Bx«xi«xk∈LXZ Данеев Алексей Васильевич, доктор физико-матема- Русанов Вячеслав Анатольевич, доктор физико-матетических наук, профессор. E-mail: daneev@mail.ru матических наук, главный научный сотрудник. Лакеев Анатолий Валентинович, доктор физико-ма- E-mail: v.rusanov@mail.ru тематических наук, главный научный сотрудник Ветров Александр Анатольевич, научный сотрудник. ŘżźŻƅ T := [t0, t1] - ŷŻŹŮŰŷų ƀűźŴŷūŷŲ ŸŹƈŵŷŲ R ź ŵŮŹŷŲ ŔŮŪŮŬũ w ű ℘μ - σ-ũŴŬŮŪŹũ ūźŮž w- űŰŵŮŹűŵƄž ŸŷŭŵŶŷůŮźŻū űŰ T. ŎźŴű ŶűůŮ (B, ||⋅||) - ŶŮųŷŻŷŹŷŮ ŪũŶũžŷūŷ ŸŹŷźŻŹũŶźŻūŷ, Żŷ ƀŮŹŮŰ Lp(T, w, B), p∈[1, ∞) ŪżŭŮŵ ŷŪŷŰŶũƀũŻƅ ŪũŶũžŷūŷ ŽũųŻŷŹ-ŸŹŷźŻŹũŶźŻūŷ ųŴũźźŷū w-ƆųūűūũŴŮŶŻŶŷźŻű ūźŮž űŶŻŮŬŹűŹżŮŵƄž Ÿŷ ŊŷžŶŮŹż [8] ŷŻŷŪŹũůŮŶűŲ f: T → B ź ŶŷŹŵŷŲ (³T ||f(τ)||pw(dτ))1/p, ƀŮŹŮŰ L∞(T, w, B) - ŸŹŷźŻŹũŶźŻūŷ ūźŮž ƆųūűūũŴŮŶŻŶƄž ųŴũźźŷū w-űŰŵŮŹűŵƄž ű w-źżƂŮźŻūŮŶŶŷ ŷŬŹũŶűƀŮŶŶƄž ŽżŶųſűŲ űŰ T ū B. œŹŷŵŮ ŻŷŬŷ, AC 1(T, X) - ŵŶŷůŮźŻūŷ ūźŮž ŽżŶųſűŲ ϕ: T → X, ŸŮŹūũƈ ŸŹŷűŰūŷŭŶũƈ ųŷŻŷŹƄž ƈūŴƈŮŻźƈ ũŪźŷŴƇŻŶŷ ŶŮŸŹŮ- ŹƄūŶŷŲ Ŷũ T ŽżŶųſűŮŲ (ŷŻŶŷźűŻŮŴƅŶŷ ŵŮŹƄ w), źūŮŹž ŻŷŬŷ, ŭŴƈ żŸŹŷƂŮŶűƈ ŸŹűŵŮŵ Π := AC1(T, X) × L2(T, w, Y) × L2(T, w, Z1) × … × L2(T, w, Zn). ŋūŮŭŮŵ ūźŸŷŵŷŬũŻŮŴƅŶƄŮ ųŷŶźŻŹżųſűű, źūƈŰũŶŶƄŮ ź źűźŻŮŵŷŲ ŷŪŷŰŶũƀŮŶűŲ. ŠŮŹŮŰ H2 := L2(T, w, Y) × L2(T, w, Z1) × … × L2(T, w, Zn) ŷŪŷŰŶũƀűŵ ŸŹŷźŻŹũŶźŻūŷ-ŸŹŷűŰūŮŭŮŶűŮ ź ŻŷŸŷŴŷŬűŮŲ, űŶŭżſűŹŷūũŶŶŷŲ ŶŷŹŵŷŲ ||(w0, …, wn)||H := (³T ||(w0(τ), …, wn(τ))_U w(dτ))1/2, (w0, …, wn) ∈ H2; ƈźŶŷ, ƀŻŷ H2 - ŬűŴƅŪŮŹŻŷūŷ ŸŹŷźŻŹũŶźŻūŷ (ū źűŴż [8] ųŷŶźŻŹżųſűű ŶŷŹŵƄ ||⋅||H). ōũŴŮŮ, ŹũźźŵŷŻŹűŵ ŪũŶũžŷūŷ ŸŹŷźŻŹũŶźŻūŷ-ŸŹŷűŰūŮŭŮŶűŮ L2 := L2(T, w, L(Y, X)) × L2(T, w, L(Z1, X)) × … × L2(T, w, L(Zn, X)) ųŴũźźŷū w-ƆųūűūũŴŮŶŻŶŷźŻű żŸŷŹƈŭŷƀŮŶŶƄž źűźŻŮŵ ŷŸŮŹũŻŷŹ-ŽżŶųſűŲ ź ŶŷŹŵŷŲ ||(B0, …, Bn)||L := (³T (||B0(τ)_LYX + ¦ i=1,…,n ||Bi(τ)_LZX )w(dτ))1/2. ŘżźŻƅ ŰũŭũŶƄ ŷŸŮŹũŻŷŹ-ŽżŶųſűű A0, A1 ∈ L1(T, w, L(X, X)), A2 ∈ L∞(T, w, L(X, X)), ŸŹű ƆŻŷŵ w-ŸŷƀŻű ūźƇŭż ū T ŷŸŮŹũŻŷŹ A0(t), t ∈ T źũŵŷźŷŸŹƈůŮŶŶƄŲ ű źŻŹŷŬŷ ŸŷŴŷůűŻŮŴƅŶŷ-ŷŸŹŮŭŮŴŮŶŶƄŲ, ũ ŻũųůŮ ŽűųźűŹŷūũŶƄ ŶũŻżŹũŴƅŶŷŮ ƀűźŴŷ n, i-ŴűŶŮŲŶƄŮ ŷŻŷŪŹũůŮŶűƈ Bi ∈ L(X i, Zi), i = 1, …, n ű N1 ⊂ {(x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ Π}, Card N1 ≤ ∞, (1) N2 ⊂ {(x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ Π}, Card N2 ≤ ∞, ŭūũ ŽűųźűŹŷūũŶŶƄž ūũŹűũŶŻũ ŸŷūŮŭŮŶűƈ űźźŴŮŭżŮŵŷŲ ŭűŶũŵűƀŮźųŷŲ źűźŻŮŵƄ ź ŻŹũŮųŻŷŹűƈŵű x, ŸŹŷŬŹũŵŵŶƄŵ żŸŹũūŴŮŶűŮŵ u ű ŸŷŰűſűŷŶŶƄŵű ŷŪŹũŻŶƄŵű źūƈŰƈŵű (ŽŷŹŵũŵű) B1(x), …, Bn(x, …, x), ŸŹű ƆŻŷŵ N1 ŀ N2 = ∅; ŰŭŮźƅ ű ŭũŴŮŮ Card Nj - ŵŷƂŶŷźŻƅ ŵŶŷůŮźŻūũ (Ÿżƀųũ) Nj. ŨźŶŷ, ƀŻŷ Bi(x, …, x) ∈ L∞(T, w, Zi), ∀i = 1, …, n, ∀(x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ Nj, j = 1, 2. ŜźŴŷūűŵźƈ ŭũŴŮŮ ŷŻŴűƀũŻƅ ū ŷŪŷŰŶũƀŮŶűƈž ūŮųŻŷŹ-ŽżŶųſűƇ (x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ Π ųũų ųŴũźź ƆųūűūũŴŮŶŻŶŷźŻű (mod w) ŷŻ ųŷŶųŹŮŻŶŷŬŷ ŸŹŮŭźŻũūűŻŮŴƈ űŰ ƆŻŷŬŷ ųŴũźźũ - «űŶŭűūűŭżũŴƅŶŷŲ» ūŮųŻŷŹŽżŶųſűű ūűŭũ: t (x(t), u(t), B1(x(t)), …, Bn(x(t), …, x(t))). ōũŴŮŮ ŸŹŮŭŸŷŴũŬũŮŵ, ƀŻŷ ū ŭŮŲźŻūűŻŮŴƅŶŷźŻű żŸŹũūŴƈŮŵƄŮ ŭűŶũŵűƀŮźųűŮ Ÿżƀųű N1, N2 - źżŻƅ ŹŮ- ƁŮŶűƈ ŷŭŶŷŲ ŬűŸŮŹŪŷŴűƀŮźųŷŲ źűźŻŮŵƄ ź ŹũŰŶƄŵű ŸŷŴűŴűŶŮŲŶƄŵű ŹŮŬżŴƈŻŷŹũŵű: A2d 2x/dt 2 + A1dx/dt + A0x = B01u + ¦ i=1,…,n Bi1Bi(x, …, x), (B01, …, Bn1) ∈ L2, ∀(x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ N1; (2) A2d 2x/dt 2 + A1dx/dt + A0x = B02u + ¦ i=1,…,n Bi2Bi(x, …, x), (B02, …, Bn2) ∈ L2, ∀(x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ N2, (B01, …, Bn1) ≠ (B02, …, Bn2); ŰŭŮźƅ ű ŭũŴŮŮ ź żƀƉŻŷŵ ŴŮŵŵƄ 1 [1] ū ũŶũŴűŻűƀŮźųŷŲ ųŷŶźŻŹżųſűű x-ŹŮƁŮŶűƈ źŴŮŭżŮŵ § 121 [9]. řũźźŵŷŻŹűŵ Űũŭũƀż: ŷŸŹŮŭŮŴűŻƅ (ū ŻŮŹŵűŶũž ūŮųŻŷŹ-ŽżŶųſűŲ ŷŪƃŮŭűŶŮŶŶŷŬŷ Ÿżƀųũ N) ũŶũŴűŻűƀŮźųűŮ żźŴŷūűƈ źżƂŮźŻūŷūũŶűƈ żŸŷŹƈŭŷƀŮŶŶŷŲ źűźŻŮŵƄ ŷŸŮŹũŻŷŹ-ŽżŶųſűŲ (B0+, …, Bn+) ∈ L2, ŭŴƈ ųŷŻŷŹŷŲ ŷźżƂŮźŻūűŵũ ŭűŽŽŮŹŮŶſűũŴƅŶũƈ ŹŮũŴűŰũſűƈ ŭűŶũŵűƀŮźųŷŬŷ Ÿżƀųũ N+ := N1 N2 ūűŭũ: A2d 2x/dt 2 + A1dx/dt + A0x = B0+u + ¦ i=1,…,n Bi+Bi(x, …, x), (3) ∀(x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ N+. ŘŷźŻũŶŷūųũ ŷŪŹũŻŶŷŲ Űũŭũƀű (3) ŸŹűūŷŭűŻ ų ŶŮųŷŻŷŹŷŵż ųŷŴűƀŮźŻūż ŵŮŻŷŭŷŴŷŬűƀŮźųűž źžŮŵ ŵũŻŮŵũŻűƀŮźųŷŬŷ ŵŷŭŮŴűŹŷūũŶűƈ3, ŸŹũūűŴƅŶŷ ŷŪƃƈźŶƈƇƂűž ŽűŰűƀŮźųżƇ ŭŮŲźŻūűŻŮŴƅŶŷźŻƅ, ūƄŹũŪũŻƄūũƈ ŶŷūżƇ ŵũŻŮŵũŻűƀŮźųżƇ űŶŻżűſűƇ ū ŷŪŴũźŻű ŷŪŹũŻŶƄž Űũŭũƀ ŬűŸŮŹŪŷŴűƀŮźųűž źűźŻŮŵ [10]. ŐũŵŮƀũŶűŮ 1. ŗŻŵŮŻűŵ, ƀŻŷ ŶŮŻ źŻŹżųŻżŹŶƄž ŸŹŮŸƈŻźŻūűŲ4, ƀŻŷŪƄ ŹũźŸŹŷźŻŹũŶűŻƅ ŸŷŴżƀŮŶŶƄŮ ŶűůŮ ŹŮŰżŴƅŻũŻƄ Ŷũ ųũƀŮźŻūŮŶŶżƇ ŻŮŷŹűƇ ŹŮũŴűŰũſűű IP-ŹŮŬżŴƈŻŷŹũ ŬűŸŮŹŪŷŴűƀŮźųŷŲ źűźŻŮŵƄ (3), ūųŴƇƀũƇƂŮŬŷ ū źūŷŲ źŷźŻũū ŸŷŴűŴűŶŮŲŶƄŮ ŷŸŮŹũŻŷŹƄ - ŸŹŷŬŹũŵŵŶŷ-ŸŷŰűſűŷŶŶƄŮ źūƈŰű űŰ L(X i × Y, Zi), ű źŷŭŮŹůũƂűŮ ū ųũƀŮźŻūŮ ŭŷŸŷŴŶűŻŮŴƅŶƄž ŸŮŹŮŵŮŶŶƄž k-ŹũŰ (k ≤ i) ŸŹŷűŰūŷŭŶżƇ dx/dt ű 1-ŹũŰ ŸŹŷŬŹũŵŵŶŷŮ żŸŹũūŴŮŶűŮ u; ƈźŶŷ, ƀŻŷ ū ŭũŶŶŷŲ ŸŷźŻũŶŷūųŮ B(x, …, dx/dt, …, u) ∈ L2(T, w, Zi) ŭŴƈ ŴƇŪŷŬŷ ŷŻŷŪŹũůŮŶűƈ B ∈ L(X i × Y, Zi). ŘŹű ƆŻŷŵ, ŮźŴű ŭŴƈ ŭűŽŽŮŹŮŶſűũŴƅŶŷŲ ŹŮũŴűŰũſűű (3) źŻũūűŻƅ Űũŭũƀż ŹũŰŹŮƁűŵŷźŻű ŹŮũŴűŰũſűű ŸŷŴűŴűŶŮŲŶƄž ŽŷŹŵ űŰ L(X i × Y, Zi), i = 1, …, n, Żŷ ŷźŶŷūŷŲ ŵũŻŮŵũŻűƀŮźųŷ- Ŭŷ ũŸŸũŹũŻũ ŵŷůŮŻ źŴżůűŻƅ ųŷŶźŻŹżųſűƈ ŻŮŶŰŷŹŶŷŬŷ ŸŹŷűŰūŮŭŮŶűƈ1 ŬűŴƅŪŮŹŻŷūƄž ŸŹŷźŻŹũŶźŻū [8], Ż.ų. ŮŬŷ źŻŹżųŻżŹũ źūŷŭűŻ űŰżƀŮŶűŮ ŸŷŴűŴűŶŮŲŶƄž ŷŻŷŪŹũůŮŶűŲ ų űŰżƀŮŶűƇ ŴűŶŮŲŶƄž ŷŻŷŪŹũůŮŶűŲ ŸżŻŮŵ ūūŮŭŮŶűƈ ŶŷūŷŲ ŷŸŮŹũſűű Ŷũ ųũŻŮŬŷŹűű ŴűŶŮŲŶƄž ŸŹŷźŻŹũŶźŻū. 2. ŘřŎōŋʼnřőśŎŔťŖŤŎ ŚŋŎōŎŖőŨ ŗŪŷŰŶũƀűŵ ƀŮŹŮŰ L(ś, w, R) ŸŹŷźŻŹũŶźŻūŷ ųŴũźźŷū w-ƆųūűūũŴŮŶŻŶŷźŻű ūźŮž ūŮƂŮźŻūŮŶŶƄž w- űŰŵŮŹűŵƄž Ŷũ ś ŽżŶųſűŲ ű ŸżźŻƅ ≤L - ųūũŰűżŸŷŹƈŭŷƀŮŶűŮ ū L(ś, w, R) ŻũųŷŮ, ƀŻŷ φ1 ≤L φ2, ŮźŴű φ1(t) ≤ φ2(t) wŸŷƀŻű ūźƇŭż ū ś. ŖũűŵŮŶƅƁżƇ ūŮŹžŶƇƇ ŬŹũŶƅ ŭŴƈ ŸŷŭŵŶŷůŮźŻūũ W ⊂ L(ś, w, R) ŷŪŷŰŶũƀűŵ ƀŮŹŮŰ supL W, ŮźŴű ƆŻũ ŬŹũŶƅ źżƂŮźŻūżŮŻ ŭŴƈ ŸŷŭŵŶŷůŮźŻūũ W ū źŻŹżųŻżŹŮ ƀũźŻűƀŶŷŬŷ żŸŷŹƈŭŷƀŮŶűƈ ≤L. ŗŸŹŮŭŮŴŮŶűŮ 1 [2]. řũźźŵŷŻŹűŵ ŷŸŮŹũŻŷŹ Ψ: Π → L(ś, w, R), ŸŷźŻŹŷŮŶŶƄŲ źŷŬŴũźŶŷ ŸŹũūűŴũ ||A2(t)d 2q(t)/dt 2 + A1(t)dq(t)/dt + A + Ψ(q, w0, …, wn)(t) := ®+ ¦ i=1,…,n ||wi, ŮźŴű (w0(t), …, wn(t)) ≠ 0 ∈ U; (4) ¯0 ∈ R, ŮźŴű (w0(t), …, wn(t)) = 0 ∈ U; źŴŮŭżƈ ŻŮŹŵűŶŷŴŷŬűű [12, 13] ŷŸŮŹũŻŷŹ (4) ŶũŰŷūŮŵ ŷŸŮŹũŻŷŹŷŵ řŮŴŮƈ-řűŻſũ. ŋ ųŷŶźŻŹżųſűű ŷŸŮŹũŻŷŹũ Ψ ųŷŹŹŮųŻŶŷ ūųŴƇƀŮŶűŮ d 2q/dt 2 ∈ L1(T, w, X) (ū źűŴż ŴŮŵŵƄ 1 [1]). ŘżźŻƅ N ⊂ {(x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ Π}, Card N ≤ ∞ ű Q - ŶŮųŷŻŷŹŷŮ (Ż.Ů. ŴƇŪŷŮ) ŸŷŬŴŷƂũƇƂŮŮ ŵŶŷůŮźŻūŷ ū Span N; ū ŬŮŷŵŮŻŹűű ŸŷŬŴŷƂũƇƂŮŬŷ ŵŶŷůŮźŻūũ źŴŮŭżŮŵ [8], Ż. = Span N. ŝűųźűŹżƈ ŻŮŹŵűŶŷŴŷŬűƇ (ŵŷŻűūũſűű źŵ. ū ŻŮŷŹŮŵŮ 2 [2]), ŪżŭŮŵ ŬŷūŷŹűŻƅ, ƀŻŷ Ÿżƀŷų żŸŹũūŴƈŮŵƄž ŭűŶũŵűƀŮźųűž ŸŹŷſŮźźŷū N ŹŮŬżŴƈŹŶƄŲ ŭŴƈ ŻŹŷŲųű ŷŸŮŹũŻŷŹ-ŽżŶųſűŲ (A0, A1, A2) ŬűŸŮŹŪŷŴűƀŮźųŷŲ źűźŻŮŵƄ (3) ū Żŷŵ ű ŻŷŴƅųŷ ū Żŷŵ źŴżƀũŮ, ŮźŴű űŵŮŮŻ ŵŮźŻŷ źŴŮŭżƇƂŮŮ ŸŷŴŷůŮŶűŮ: {t ∈ T: ||A2(t)d 2q(t)/dt 2 + A1(t)dq(t)/dt + A0(t)q(t)||X = 0} ⊃ ⊃ {t ∈ T: ||w0(t)||Y + ¦ i=1,…,n ||wi(t)||Z = 0} (mod w), ∀(q, w0, …, wn) ∈ Q. ŐũŵŮƀũŶűŮ 2. i) ŎcŴű, ŸŹű ũŶũŴűŰŮ ŭűŶũŵűƀŮźųŷŬŷ Ÿżƀųũ N, ŷŪŶũŹżůűūũŮŻźƈ, ƀŻŷ i=1,…,n supp ||Bi(x, …, x)||Z = = supp ||x||X (mod w), ∀(x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ N, Żŷ Ÿżƀŷų N ŪżŭŮŻ ŹŮŬżŴƈŹŶƄŵ ŭŴƈ ŴƇŪŷŲ ŻŹŷŲųű ŷŸŮŹũŻŷŹ-ŽżŶųſűŲ (A0, A1, A2) ∈ L1(T, w, L(X, X)) × L1(T, w, L(X, X)) × L∞(T, w, L(X, X)); ii) ū źűŴż ŻŮŷŹŮŵƄ 2 [2] ű ŸŹŮŭźŻũūŴŮŶűƈ (2) N1, N2 űŰ (1) źżŻƅ ŹŮŬżŴƈŹŶƄŮ ŭűŶũŵűƀŮźųűŮ Ÿżƀųű. ŘŹűūŮŭŮŵ ŶŮŷŪŹŮŵŮŶűŻŮŴƅŶƄŮ űźžŷŭŶƄŮ ŸŷŴŷůŮŶűƈ, żŻŷƀŶƈƇƂűŮ ŸŷŰűſűƇ i) ŰũŵŮƀũŶűƈ 2. ŋ [2] ųŷŹŷŻųŷ ŷŪźżůŭũŮŻźƈ ŭŹżŬũƈ (ŬŮŷŵŮŻŹűƀŮźųũƈ) ŻŹũųŻŷūųũ ŷŪŹũŻŶŷŲ Űũŭũƀű (3) ű ŭũŮŻźƈ ūũŹűũŶŻ ŮƉ ŹŮƁŮŶűƈ - ŻŮŷŹŮŵũ 3 [2]. ŋ ŹũŰŭŮŴŮ 4 ŭũŶŶũƈ ŻŹũųŻŷūųũ ŸŷŴżƀűŻ ŭũŴƅŶŮŲƁŮŮ ŹũŰūűŻűŮ (ŷŶŷ ūƄŸűźũŶŷ ū ŽŷŹŵżŴűŹŷūųŮ ŻŮŷŹŮŵƄ 2 ű ŮƉ źŴŮŭźŻūűƈ 3) ŸŹű ŷŸŹŮŭŮŴŮŶŶƄž ŷŬŹũŶűƀŮŶűƈž Ŷũ ŵŷƂŶŷźŻƅ ŭűŶũŵűƀŮźųűž Ÿżƀųŷū N1, N2. ŦŻŷŬŷ ŶŮŴƅŰƈ źųũŰũŻƅ ū ŷŻŶŷƁŮŶűű źŻŹżųŻżŹƄ ŹŮŬżŴƈŻŷŹũ ź ŸŹŷŬŹũŵŵŶŷ-ŸŷŰűſűŷŶŶƄŵű źūƈŰƈŵű űŰ L(X i×Y j, Zij), j ≥ 2, ŸŷźųŷŴƅųż ū ŭũŶŶŷŵ źŴżƀũŮ, Ż.Ů. ųŷŬŭũ ŷŪŴũźŻƅ ŷŸŹŮŭŮŴŮŶűƈ ŷŸŮŹũŻŷŹũ B ∈ L(X i×Y j, Zij), j ≥ 2 ūųŴƇƀũŮŻ j-ŹũŰ ŸŮŹŮŵŮŶŶżƇ (żŸŹũūŴŮŶűŮ) u, ŵŷůŮŻ ŶŮ ūƄŸŷŴŶƈŻƅźƈ (źŵ. ųŷŵŵŮŶŻũŹűŲ źŶŷźųű 2) żźŴŷūűŮ B(x, …, dx/dt, …, u) ∈ L2(T, w, Zij). ŔŮŵŵũ 1 (ŵŷŭűŽűųũſűƈ ŴŮŵŵƄ 1 [14]). ŎźŴű ker B1 = 0, Żŷ ŭűŶũŵűƀŮźųűŲ Ÿżƀŷų N ŪżŭŮŻ ŹŮŬżŴƈŹŶƄŵ ŭŴƈ ŴƇŪƄž ŷŸŮŹũŻŷŹ-ŽżŶųſűŲ A0, A1 ∈ L1(T, w, L(X, X)), A2 ∈ L∞(T, w, L(X, X)). ōŷųũŰũŻŮŴƅźŻūŷ. ŨźŶŷ, ƀŻŷ ŸŷŴŷůŮŶűŮ ker B1 = 0 ūŴŮƀŮŻ i=1,…,n supp ||Bi(x, …, x)||Z = = supp ||x||X (mod w), ∀(x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ N. ŘŷƆŻŷŵż ŭŷźŻũŻŷƀŶŷ ŸŷųũŰũŻƅ, ƀŻŷ ŭŴƈ ŴƇŪƄž ŽżŶųſűŲ f ∈ AC(T, X), g ∈ L(T, w, R) ŹũūŮŶźŻūŷ df(t)/dt = =0 ūƄŸŷŴŶƈŮŻźƈ w-ŸŷƀŻű ūźƇŭż ū Tfg :={t ∈ T: ||f(t)||X + |g(t)| = 0}; ƈźŶŷ, ƀŻŷ ū źŻŹżųŻżŹŮ ŭŷųũŰũŻŮŴƅźŻūũ ŻŮŷŹŮŵƄ ŸũŹũ (f, df/dt) ūƄŸŷŴŶƈŮŻ ŭūŷƈųżƇ ŹŷŴƅ - ŹŷŴƅ ŸũŹƄ (x, dx/dt) ű ŸũŹƄ (dx/dt, d 2x/dt 2). ŘżźŻƅ Tf := {t ∈ T: f(t) = 0}. ŘŷźųŷŴƅųż Tf ⊃ Tfg, Żŷ ū źŴżƀũŮ w(Tf) = 0 żŻūŮŹůŭŮŶűŮ {t ∈ T: ||df(t)/dt||X = =0} ⊃ Tfg (mod w) ŸŹŷŰŹũƀŶŷ. ŘŷƆŻŷŵż ŹũźźŵŷŻŹűŵ ūũŹűũŶŻ w(Tf) ≠ 0. ŗŪŷŰŶũƀűŵ ƀŮŹŮŰ T0 := {t ∈ Tf: ∃δ > 0, w((t-δ, t+δ) ŀ Tf) = 0}. ŘŷųũůŮŵ, ƀŻŷ w(T0) = 0. ōŴƈ ƆŻŷŬŷ ūƄŪŮŹŮŵ ųũůŭŷŵż t ∈ T0 ųŷŶźŻũŶŻż δ*t > 0 Żũų, ƀŻŷ w((t-δ*t, t+δ*t) ŀ Tf) = 0. ŖũŲŭƉŵ ŻũųűŮ ŹũſűŷŶũŴƅŶƄŮ ƀűźŴũ δ′t, δ′′t, ƀŻŷ δ′t ∈ (t-δ*t, t), δ′′t ∈ (t, t+δ*t) ű ŸżźŻƅ It := (δ′t, δ′′t). śŷŬŭũ źŮŵŮŲźŻūŷ űŶŻŮŹūũŴŷū {It}t∈T0 ŸŷųŹƄūũŮŻ ŵŶŷůŮźŻūŷ T0, ũ Ż.ų. ųũůŭƄŲ űŶŻŮŹūũŴ It ƈūŴƈŮŻźƈ ŷŻųŹƄŻƄŵ ź ŹũſűŷŶũŴƅŶƄŵű ųŷŶſũŵű, Żŷ źŮŵŮŲźŻūŷ {It}t∈T0 źŷŭŮŹůűŻ źƀƉŻŶŷŮ ŸŷŭźŮŵŮŲźŻūŷ {Iti}i=1,2,…, ŻũųůŮ ƈūŴƈƇƂŮŮźƈ ŸŷųŹƄŻűŮŵ ŵŶŷůŮźŻūũ T0. ōũŴŮŮ, ŸŷźųŷŴƅųż ŭŴƈ ŴƇŪŷŬŷ űŶŭŮųźũ i = 1, 2 , … ūƄŸŷŴŶƈŮŻźƈ Iti ⊂ (ti-δ*ti, ti+δ*ti), Żŷ w(Iti ŀ Tδ)= =0, ű ŰŶũƀűŻ źŸŹũūŮŭŴűūũ źŴŮŭżƇƂũƈ «ſŮŸŷƀųũ» w-ŷŻŶŷƁŮŶűŲ: w(T0) = w(T0 ŀ (i = 1, 2, …Iti)) = = w(i = 1, 2, …T0 ŀ Iti) ≤ Σi=1, 2, … w(T0 ŀ Iti) = 0, ŷŻųżŭũ w(T0) = 0. śŮŸŮŹƅ ŸŹŷūŮŭƉŵ ŰũūŮŹƁũƇƂżƇ ƀũźŻƅ ŭŷųũŰũŻŮŴƅźŻūũ. ŘżźŻƅ t ∈ Tf\\T0, ŻŷŬŭũ ŭŴƈ ŴƇŪŷŬŷ δ > 0 ŪżŭŮŻ w((t-δ, t+δ) ŀ Tf) > 0, ű ŸŷźųŷŴƅųż f∈ AC(T, X), Żŷ ŶũŲŭƉŻźƈ ŻũųŷŮ ŵŶŷůŮźŻūŷ T * ⊂ T, ƀŻŷ w(T *) = 0 ű ∀t ∈ Tf\\T * źżƂŮźŻūżŮŻ df(t)/dt. ŘŷųũůŮŵ, ƀŻŷ df(t)/dt = 0 ŭŴƈ t ∈ Tf\\(T0 T *). ōŮŲźŻūűŻŮŴƅŶŷ, ŭŴƈ ŴƇŪŷŬŷ ŶũŻżŹũŴƅŶŷŬŷ k űŵŮŮŵ w((t - 1/k, t + 1/k) ŀ Tf) > 0 ű, źŴŮŭŷūũŻŮŴƅŶŷ, ŶũŲŭƉŻźƈ ŵŷŵŮŶŻ tk ≠ t, |tk-t| < 1/k, tk ∈ Tf. Ŗŷ ŻŷŬŭũ ū źŻŹżųŻżŹŮ źűŴƅŶŷŲ ŻŷŸŷŴŷŬűű ŪżŭŮŻ ūƄŸŷŴŶƈŻźƈ ŸŹŮŭŮŴƅŶƄŲ ŸŮŹŮžŷŭ (ƀŻŷ, ū ųŷŶŮƀŶŷŵ űŻŷŬŮ, ű ŻŹŮŪŷūũŴŷźƅ ŸŷųũŰũŻƅ): df(t)/dt = lim{(f(t-Δt) - f(t))/Δt: Δt → 0} = = lim{(f(tk) - f(t))/(tk - t) = 0 ∈ X: k → ∞} = 0 ∈ X. ŚŴŮŭźŻūűŮ 1. ŎźŴű (x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ Ř ű ker B1 = 0, Żŷ ℘ν ⊂℘ν_, ŬŭŮ ν, ν_ - źŷŷŻūŮŻźŻūżƇƂűŮ ŴŮŪŮŬŷūźųű ŸŷŸŷŴŶŮŶŶƄŮ ŪűžŮūűŷŹűźŻűƀŮźųűŮ ŵŮŹƄ ūűŭũ =1,…,n ||Bi, ν_(S) := ³S ||A2(τ)d 2x(τ)/dτ 2 + A1(τ)dx(τ)/dτ + A0(τ)x(τ)||X w(dτ), S ∈℘μ, ŸŹű ƆŻŷŵ, ŮźŴű Im B1 = Z1, Żŷ ||A2d 2x/dt 2 + A1dx/dt + A0x||X =1,…,n ||Bi(x, …, x)(ś, w, R) ⇔ ⇔ ||A2d 2x/dt 2 + A1dx/dt + A0x||X + ||x_X + ¦ i=2,…,n ||Bi(x, …, x)(ś, w, R), ŭŴƈ ŴƇŪƄž ŷŸŮŹũŻŷŹ-ŽżŶųſűŲ A0, A1 ∈ L1(T, w, L(X, X)), A2 ∈ L∞(T, w, L(X, X)). őŰ ŽżŶųſűŷŶũŴƅŶŷŲ ųŷŶźŻŹżųſűű (4) ź ŷƀŮūűŭŶŷźŻƅƇ źŴŮŭżŮŻ, ƀŻŷ ŷŸŮŹũŻŷŹ řŮŴŮƈ-řűŻſũ żŭŷūŴŮŻūŷŹƈŮŻ ŸŹŷźŻƄŵ (Ŷŷ ūũůŶƄŵ) źŷŷŻŶŷƁŮŶűƈŵ: 0 ≤LΨ(φ), ŬŭŮ 0 ∈ L(T, w, R), φ ∈ Π, (5) Ψ(βφ) = Ψ(φ), 0 ≠ β ∈ R. śŮŷŹűƈ ŷŸŮŹũŻŷŹũ řŮŴŮƈ-řűŻſũ ŶżůŭũŮŻźƈ ū ŷƀŮŶƅ ŻŷƀŶŷŵ ŻŮŷŹŮŻűųŷ-ŵŶŷůŮźŻūŮŶŶŷŵ ƈŰƄųŮ, ƀŻŷ ŰũźŻũūŴƈŮŻ Ŷũź żŭŮŴűŻƅ ƆŻŷŵż ƈŰƄųż ŷźŷŪŷŮ ūŶűŵũŶűŮ. ŘŷƆŻŷŵż ŸŹŮůŭŮ ƀŮŵ űŭŻű ŭũŴƅƁŮ, Ŷũŵ ŪżŭŮŻ żŭŷŪŶŷ ūūŮźŻű ŭŷŸŷŴŶűŻŮŴƅŶżƇ ŻŮŹŵűŶŷŴŷŬűƇ. ŗŸŹŮŭŮŴŮŶűŮ 2 [12, 13]. ŗŸŮŹũŻŷŹ řŮŴŮƈ-řűŻſũ ŶũŰŷūŮŵ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŶƄŵ ź ūŮźŷŵ α ∈ R Ŷũ ŵŶŷůŮźŻūŮ E ⊂ Π, ŮźŴű ŭŴƈ ŴƇŪŷŲ ŸũŹƄ (φ1, φ2) ∈ E×E źŸŹũūŮŭŴűūŷ ŶŮŹũūŮŶźŻūŷ Ψ(φ1 + φ2) ≤L αΨ(φ1) + αΨ(φ2). ŔŮŵŵũ 2. ŘŷŴżũŭŭűŻűūŶŷźŻƅ (ź ŽűųźűŹŷūũŶŶƄŵ ūŮźŷŵ) ŷŸŮŹũŻŷŹũ řŮŴŮƈ-řűŻſũ ŮźŻƅ źūŷŲźŻūŷ ųŷŶŮƀŶŷŬŷ žũŹũųŻŮŹũ ŭŴƈ ŸŷŭŵŶŷůŮźŻū ŵŶŷůŮźŻūũ Π. ōŷųũŰũŻŮŴƅźŻūŷ. ŘżźŻƅ Ŷũ ŶŮųŷŻŷŹŷŵ ŵŶŷůŮźŻūŮ E ⊂ Π ŷŸŮŹũŻŷŹ řŮŴŮƈ-řűŻſũ Ψ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ ź ŶŮųŷŻŷŹƄŵ ūŮźŷŵ α, ŻŷŬŭũ ŭũŶŶƄŲ ŷŸŮŹũŻŷŹ ŪżŭŮŻ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ ź ƆŻűŵ ūŮźŷŵ Ŷũ ŴƇŪŷŵ ųŷŶŮƀŶŷŵ ŸŷŭŵŶŷůŮźŻūŮ űŰ E. Ś ŭŹżŬŷŲ źŻŷŹŷŶƄ, ŮźŴű Ψ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ ź ŻŮŵ ůŮ ūŮźŷŵ Ŷũ ŴƇŪŷŵ ųŷŶŮƀŶŷŵ ŸŷŭŵŶŷůŮźŻūŮ ŵŶŷůŮźŻūũ E, Żŷ ŭŴƈ ŴƇŪŷŲ ŸũŹƄ ūŮųŻŷŹ-ŽżŶųſűŲ (φ1, φ2) ∈ E×E ŪżŭŮŻ ūƄŸŷŴŶƈŻƅźƈ Ψ(φ1 + φ2) ≤L αΨ(φ1) + αΨ(φ2), ŸŷźųŷŴƅųż Ŷũ ŸŷŭŵŶŷůŮźŻūŮ {φ1, φ2} ⊂ E ŷŸŮŹũŻŷŹ Ψ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ ź ūŮźŷŵ α. ŋŰũűŵŷŷŻŶŷƁŮŶűŮ ŵŮůŭż ŴŮŵŵŷŲ 2 ű ŴŮŵŵŷŲ śŮŲžŵƇŴŴŮŹũ-śƅƇųű6 ŸŹűūŷŭűŻ ų ūũůŶŷŲ ŬŮŷŵŮŻŹűƀŮźųŷŲ žũŹũųŻŮŹűźŻűųŮ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŶŷźŻű ŷŸŮŹũŻŷŹũ řŮŴŮƈ-řűŻſũ, ũ űŵŮŶŶŷ: ū Π źżƂŮźŻūżƇŻ ŵũųźűŵũŴƅŶƄŮ ŵŶŷůŮźŻūũ, Ŷũ ųŷŻŷŹƄž ŷŸŮŹũŻŷŹ (4) ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ ź ŶŮųŷŻŷŹƄŵ ūŮźŷŵ α > 0, ŸŹű ƆŻŷŵ ŭũŶŶƄŮ ŵŶŷůŮźŻūũ ŶŮ ŵŷŬżŻ ŪƄŻƅ ŴűŶŮŲŶƄŵű ū źŴżƀũŮ α ∈ (0, 1); ƀŻŷŪƄ żŪŮŭűŻƅźƈ, ŭŷźŻũŻŷƀŶŷ ŹũźźŵŷŻŹŮŻƅ ŭŮŲźŻūűŮ Ψ Ŷũ ŸũŹŮ (φ, 0) ∈ E×E, φ ≠ 0 Űũ űźųŴƇƀŮŶűŮŵ ŻŹűūűũŴƅŶŷŬŷ ūũŹűũŶŻũ E= {0} ⊂ Π, űŵŮŶŶŷ ŸŷƆŻŷŵż ŶűůŮ ū ŴŮŵŵŮ 3 (ű Ÿŷ żŵŷŴƀũŶűƇ ŭũŴƅƁŮ) ŸŹŮŭŸŷŴũŬũŮŻźƈ, ƀŻŷ ūŮź ŸŷŴżũŭŭűŻűūŶŷźŻű ŷŸŮŹũŻŷŹũ Ψ - ŶŮųŷŻŷŹũƈ ŽűųźűŹŷūũŶŶũƈ ŸŷźŻŷƈŶŶũƈ α ∈ [1, ∞). ŔŮŵŵũ 3. ŘżźŻƅ α ∈ [1, ∞), ŻŷŬŭũ ū Π źżƂŮźŻūżŮŻ (ŶŮ ŮŭűŶźŻūŮŶŶŷŮ) ŵũųźűŵũŴƅŶŷŮ ŷŻŶŷźűŻŮŴƅŶŷ ŻŮŷŹŮŻűųŷ-ŵŶŷůŮźŻūŮŶŶŷŬŷ ūųŴƇƀŮŶűƈ ŴűŶŮŲŶŷŮ ŵŶŷůŮźŻūŷ E, Ŷũ ųŷŻŷŹŷŵ ŷŸŮŹũŻŷŹ řŮŴŮƈ-řűŻſũ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ ź ūŮźŷŵ α. ōŷųũŰũŻŮŴƅźŻūŷ. ŘżźŻƅ (q1, w01, …, wn1) - ŶŮŶżŴŮūŷŲ ƆŴŮŵŮŶŻ ū Π. śŷŬŭũ ū źűŴż (5) ŷŸŮŹũŻŷŹ Ψ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ ź ūŮźŷŵ α Ŷũ ŴűŶŮŲŶŷŲ ŷŪŷŴŷƀųŮ E1 Ŷũŭ (q1, w01, …, wn1). ōũŴŮŮ, ŸżźŻƅ (q2, w02, …, wn2) ∈ Π, (q2, w02, …, wn2) ∉ E1 ű Ψ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ Ŷũ E1 {(q2, w02, …, wn2)} ź ūŮźŷŵ α; ŮźŴű ŻũųŷūŷŬŷ ƆŴŮŵŮŶŻũ ŶŮ źżƂŮźŻūżŮŻ, Żŷ E1 - űźųŷŵŷŮ ŵũųźűŵũŴƅŶŷŮ ŵŶŷůŮźŻūŷ. ŋƄŪŮŹŮŵ ū E1 + E2, ŬŭŮ E2 - ŴűŶŮŲŶũƈ ŷŪŷŴŷƀųũ Ŷũŭ (q2, w02, …, wn2), ŸŹŷűŰūŷŴƅŶƄŲ ƆŴŮŵŮŶŻ β1(q1, w01, …, wn1) + β2(q2, w02, …, wn2), β1, β2 ∈ R, β2 ≠ 0. ŋ ŻũųŷŲ ŸŷźŻũŶŷūųŮ ū źŷŷŻūŮŻźŻūűű ź ŽŷŹŵżŴũŵű (5) ŪżŭżŻ ūƄŸŷŴŶƈŻƅźƈ źŷŷŻŶŷƁŮŶűƈ: Ψ(β1(q1, w01, …, wn1) + β2(q2, w02, …, wn2)) = = Ψ(β1β2-1(q1, w01, …, wn1) + (q2, w02, …, wn2)) ≤L ≤L αΨ(β1β2-1(q1, w01, …, wn1)) + αΨ(q2, w02, …, wn2)) = = αΨ(β1(q1, w01, …, wn1)) + αΨ(β2(q2, w02, …, wn2)), ŷŻųżŭũ źŴŮŭżŮŻ, ƀŻŷ ŷŸŮŹũŻŷŹ Ψ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ Ŷũ ŴűŶŮŲŶŷŵ ŵŶŷŬŷŷŪŹũŰűű E1 + E2 ź ūŮźŷŵ α. řũźźżůŭũƈ ũŶũŴŷŬűƀŶŷ, ŵŷůŶŷ ŸŷųũŰũŻƅ, ƀŻŷ ū ŸŹŮŭƄŭżƂűž ūƄųŴũŭųũž E1 ŵŷůŶŷ ŰũŵŮŶűŻƅ Ŷũ ŴƇŪŷŮ ŶŮŶżŴŮūŷŮ ŴűŶŮŲŶŷŮ ŸŷŭŵŶŷůŮźŻūŷ űŰ Π, Ŷũ ųŷŻŷŹŷŵ Ψ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ ź ūŮźŷŵ ŹũūŶƄŵ α. ŗźŻũŴƅŶƄŮ ŸŷźŻŹŷŮŶűƈ ŪżŭżŻ ųũźũŻƅźƈ ſŮŸŮŲ, ŸŷƆŻŷŵż ŸżźŻƅ P - źŮŵŮŲźŻūŷ ūźŮž żŸŷŹƈŭŷƀŮŶŶƄž ŸũŹ (E#, α#), ŬŭŮ E# - ŶŮŶżŴŮūŷŮ ŴűŶŮŲŶŷŮ ŵŶŷůŮźŻūŷ ū Π ű α# ∈ [1, ∞), ŸŹűƀƉŵ ŷŸŮŹũŻŷŹ řŮŴŮƈ-řűŻſũ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ Ŷũ E# ź ūŮźŷŵ α#. ŋūŮŭŮŵ ū P ƀũźŻűƀŶŷŮ żŸŷŹƈŭŷƀŮŶűŮ <<, źƀűŻũƈ (E#, α#) << (E##, α##) ⇔ E# ⊂ E##, α# = α##. Řŷ ŻŮŷŹŮŵŮ ŞũżźŭŷŹŽũ (ŸŹűŶſűŸ ŵũųźűŵżŵũ ŞũżźŭŷŹŽũ [15]) ū źŮŵŮŲźŻūŮ P źżƂŮźŻūżŮŻ Ω - ŵũųźűŵũŴƅŶũƈ ſŮŸƅ (ŵũųźűŵũŴƅŶŷŮ ŴűŶŮŲŶŷ żŸŷŹƈŭŷƀŮŶŶŷŮ ŵŶŷůŮźŻūŷ), źŷŭŮŹůũƂũƈ ſŮŸƅ (E1, α) << (E1 + E2, α). ŘżźŻƅ ŝ - ŵŶŷůŮźŻūŷ ūźŮž ŴűŶŮŲŶƄž ŵŶŷůŮźŻū Eγ ū Π, Żũųűž, ƀŻŷ (Eγ, α) ∈ Ω. śŷŬŭũ ŝ ŪżŭŮŻ ŴűŶŮŲŶŷ żŸŷŹƈŭŷƀŮŶŷ ŷŻŶŷźűŻŮŴƅŶŷ ŻŮŷŹŮŻűųŷ-ŵŶŷůŮźŻūŮŶŶŷŬŷ ūųŴƇƀŮŶűƈ, źŴŮŭŷūũŻŮŴƅŶŷ, ŷŪƃŮŭűŶŮŶűŮ E := {Eγ: Eγ ∈ ŝ} ŷŪŹũۿٯ (ŻŹűūűũŴƅŶƄŵ ŷŪŹũŰŷŵ) ŴűŶŮŲŶŷŮ ŵŶŷŬŷŷŪŹũŰűŮ ū Π. ōũŴŮŮ, ŮźŴű (φ1, φ2) ∈ E×E, Żŷ, ŷƀŮūűŭŶŷ, (φ1, φ2) ∈ Eγ×Eγ ŭŴƈ ŶŮųŷŻŷŹŷŬŷ ŵŶŷůŮźŻūũ Eγ ∈ ŝ, ŷŻųżŭũ ŸŹűžŷŭűŵ ų ūŮźŷūŷŲ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŶŷźŻű ŭŴƈ ŸũŹƄ (φ1, φ2) ŷŸŮŹũŻŷŹũ Ψ: Ψ(φ1 + φ2) ≤L αΨ(φ1) + αΨ(φ2) ű ŰŶũƀűŻ (E, α) ∈ Ω. ŘŹű ƆŻŷŵ ŮźŴű ŪƄ ŵŶŷŬŷŷŪŹũŰűŮ E ŶŮ ŷųũŰũŴŷźƅ ŵũųźűŵũŴƅŶƄŵ ū Π, Ŷũ ųŷŻŷŹŷŵ ŶũƁ ŷŸŮŹũŻŷŹ Ψ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ ź ūŮźŷŵ α, Żŷ ųŷŶźŻŹżųſűƈ ŴűŶŮŲŶŷŬŷ ŹũźƁűŹŮŶűƈ, żųũŰũŶŶũƈ ūƄƁŮ, ŸŷŰūŷŴűŴũ ŪƄ ŸŷŴżƀűŻƅ ū źŮŵŮŲźŻūŮ P ƆŴŮŵŮŶŻ (E*, α), ŭŴƈ ųŷŻŷŹŷŬŷ E* źŻŹŷŬŷ źŷŭŮŹůűŻ E, Ŷŷ ƆŻŷ ŸŹŷŻűūŷŹŮƀűŴŷ ŪƄ ŵũųźűŵũŴƅŶŷźŻű ſŮŸű Ω ū źŮŵŮŲźŻūŮ P. 3. śŎŗřŎŕʼn ŚŜŢŎŚśŋŗŋʼnŖőŨ IP-řŎŌŜŔŨśŗřʼn ŘŹŮŭŵŮŻ űźźŴŮŭŷūũŶűƈ ƆŻŷŬŷ ŹũŰŭŮŴũ - źżƂŮźŻūŷūũŶűŮ ŷŸŮŹũŻŷŹ-ŽżŶųſűŲ űŶūũŹűũŶŻŶŷŬŷ ŸŷŴűŴűŶŮŲŶŷŬŷ ŹŮŬżŴƈŻŷŹũ źűźŻŮŵƄ (3). ŖŮ źŻŹŮŵƈźƅ ų ŽŷŹŵżŴűŹŷūųŮ ŶũűŴżƀƁŮŬŷ ŸŷŴŷůűŻŮŴƅŶŷŬŷ ŹŮŰżŴƅŻũŻũ ū ƆŻŷŵ ŶũŸŹũūŴŮŶűű, ŭũŭűŵ ŮŬŷ ū ūűŭŮ ųŷŵŸũųŻŶŷŲ ŻŮŷŹŮŵƄ - ŸŹŷźŻŷŮ ŭŷźŻũŻŷƀŶŷŮ żźŴŷūűŮ; ūźŮ ƀũźŻű ŮŬŷ ŭŷųũŰũŻŮŴƅźŻūũ Ÿŷ źżƂŮźŻūż żůŮ ŸŷŭŬŷŻŷūŴŮŶƄ Ŷũŵű, ű ŷźŻũŴŷźƅ ŻŷŴƅųŷ źŷŮŭűŶűŻƅ űž. śŮŷŹŮŵũ 1. ŘżźŻƅ N1, N2 ⊂ Π - Ÿżƀųű ŭűŶũŵűƀŮźųűž ŸŹŷſŮźźŷū (1), (2). śŷŬŭũ Űũŭũƀũ (3) ŹũŰŹŮƁűŵũ, ŮźŴű ŷŸŮŹũŻŷŹ řŮŴŮƈ-řűŻſũ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ ź ŶŮųŷŻŷŹƄŵ ūŮźŷŵ Ŷũ ŴűŶŮŲŶŷŵ ŵŶŷŬŷŷŪŹũŰűű ŖũŸŷŵŶűŵ, ƀŻŷ ŴŮŵŵũ śŮŲžŵƇŴŴŮŹũ-śƅƇųű ƈūŴƈŮŻźƈ ũŴƅŻŮŹŶũŻűūŶŷŲ ŽŷŹŵŷŲ ũųźűŷŵƄ ūƄŪŷŹũ [15]. Span N1 + Span N2. ŐũŵŮƀũŶűŮ 3. ŗźŻũŮŻźƈ ŷŻųŹƄŻƄŵ ūŷŸŹŷź: ƆųūűūũŴŮŶŻŶũ Ŵű ŻŮŷŹŮŵũ 1 ŻŮŷŹŮŵŮ 3 [2] - ŹŮƁŮŶűŮ Űũŭũƀű űŶūũŹűũŶŻŶŷŬŷ ŹũźƁűŹŮŶűƈ ŭűŽŽŮŹŮŶſűũŴƅŶŷŲ ŹŮũŴűŰũſűű ū ŻŮŹŵűŶũž żŬŴŷūŷŲ ŵŮŻŹűųű ŸŷŭŸŹŷźŻŹũŶźŻū ŬűŴƅŪŮŹŻŷūũ ŸŹŷźŻŹũŶźŻūũ; ŸŹű ƆŻŷŵ ŻŮŷŹŮŵũ 1 żųũŰƄūũŮŻ Ŷũ ŰŶũƀűŵŷźŻƅ ( ū ŭżžŮ a majore ad minus) ųŷŶźŻŹżųſűű ūŮźũ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŶŷźŻű ŷŸŮŹũŻŷŹũ (4) ŸŹű ŷŪźżůŭŮŶűű ūŷŸŹŷźũ ŷ ŹũźƁűŹŮŶűű Ÿżƀųŷū ŭűŶũŵűƀŮźųűž ŸŹŷſŮźźŷū, ŭŷŸżźųũƇƂűž ŭűŽŽŮŹŮŶſűũŴƅŶżƇ ŹŮũŴűŰũſűƇ (3). ōŷųũŰũŻŮŴƅźŻūŷ ŻŮŷŹŮŵƄ 1. ŘŷźųŷŴƅųż ŴűŶŮŲŶƄŮ ŷŪŷŴŷƀųű Span N1 ű Span N2 - ŸŷŬŴŷƂũƇƂűŮ ŵŶŷůŮźŻūũ ū źŮŪŮ, Żŷ ū źűŴż ŻŮŷŹŮŵƄ 2 [2] ŶũŲŭżŻźƈ ŭūŮ ŽżŶųſűű φ1, φ2 ∈ L2(T, w, R), ŭŴƈ ųŷŻŷŹƄž ŪżŭżŻ ūƄŸŷŴŶƈŻƅźƈ źŴŮŭżƇƂűŮ ŭūũ ŽżŶųſűŷŶũŴƅŶƄž ŶŮŹũūŮŶźŻūũ2 supLΨ[Span N1] ≤L φ1, supLΨ[Span N2] ≤L φ2. ŋƄŪŮŹŮŵ ū ŵŶŷŬŷŷŪŹũŰűű Span N1 + Span N2 ū ųũƀŮźŻūŮ ŮŬŷ ŸŷŬŴŷƂũƇƂŮŬŷ ŵŶŷůŮźŻūũ źũŵŷ ƆŻŷ ŵŶŷŬŷŷŪŹũŰűŮ. śŷŬŭũ ū źűŴż ŸŷŴżũŭŭűŻűūŶŷźŻű Ψ (ź ūŮźŷŵ α) Ŷũ Span N1 + Span N2 ŸŷŴżƀũŮŵ supLΨ[Span N1 + Span N2] ≤L ≤L αsupLΨ[Span N1] + αsupLΨ[Span N2] ≤L α(φ1 + φ2), ŷŻųżŭũ, űźžŷŭƈ űŰ ŻŮŷŹŮŵƄ 2 [2], źŴŮŭżŮŻ (ź żƀŮŻŷŵ Span N = Span N1 + Span N2 ű ŸżŶųŻũ ii) ŰũŵŮƀũŶűƈ 2), ƀŻŷ ŵŶŷůŮźŻūŷ ŸŹŷſŮźźŷū N1 N2 ŷŪŴũŭũŮŻ ŭűŽŽŮŹŮŶſűũŴƅŶŷŲ ŹŮũŴűŰũſűŮŲ (3). ŚŴŮŭźŻūűŮ 2. ŘżźŻƅ ŵŶŷůŮźŻūũ N1, N2, …, Nk ⊂ Π űŵŮƇŻ ŹŮũŴűŰũſűű (2). śŷŬŭũ i=1,…,k Ni, - źŮŵŮŲźŻūŷ ŹŮƁŮŶűŲ źűźŻŮŵƄ (3) ŭŴƈ ŶŮųŷŻŷŹŷŲ żŸŷŹƈŭŷƀŮŶŶŷŲ źűźŻŮŵƄ (B0+, …, Bn+) ∈ L2, ŮźŴű Ψ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ ź ūŮźŷŵ Ŷũ ŴűŶŮŲŶŷŵ ŵŶŷŬŷŷŪŹũŰűű źżŵŵƄ ŴűŶŮŲŶƄž ŷŪŷŴŷƀŮų ƆŻűž ŵŶŷůŮźŻū: Span N1 + Span N2 + … + Span Nk. ŚŴŮŭźŻūűŮ 2 ŸŷŰūŷŴƈŮŻ źŻŹŷűŻƅ ũŴŬŮŪŹż ŵŶŷůŮźŻū ŭűŶũŵűƀŮźųűž ŸŹŷſŮźźŷū ź ŮŭűŶűſŮŲ i=1,…,k Ni, ūźŮ ƆŴŮŵŮŶŻƄ ųŷŻŷŹŷŲ (ųũų źŷūŷųżŸŶŷźŻƅ ūźŮž ŸŷŭŵŶŷůŮźŻū ŮŭűŶűſƄ) ŷŪŴũŭũƇƂŮŲ ŹŮũŴűŰũſűŮŲ (3) ź ŽűųźűŹŷūũŶŶŷŲ ŵŷŭŮŴƅƇ (3), ŸŹű ƆŻŷŵ ūŷŸŹŷź ŷŪ «űŶŭűūűŭżũŴƅŶŷŵ» žũŹũųŻŮŹűźŻűƀŮźųŷŵ ŸŹűŰŶũųŮ ŭűŽŽŮŹŮŶſűũŴƅŶŷŲ ŹŮũŴűŰũſűű ŭŴƈ ųũůŭŷŬŷ ŷŻŭŮŴƅŶŷŬŷ Ÿżƀųũ Ni (i = 1, …, k) ŷźŷŪŮŶŶŷ ŸŹŷźŻŷ (ųŷŶźŻŹżųŻűūŶŷ) ŹŮƁũŮŻźƈ Ŷũ źŮŵŮŲźŻūŮ ŷŭŶŷƆŴŮŵŮŶŻŶƄž Ni = {(x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x))i}: Ψ((xi, ui, B1(x), …, Bn(x, …, x))i) ∈ L2(T, w, R), i = 1, …, k; ƀŻŷ ŮźŻƅ ũŶũŴűŻűƀŮźųűŲ ŽũųŻ ŻŮŷŹŮŵƄ 1 [2]. ŎźŴű ŭũŶŶƄŮ źŷŷŻŶŷƁŮŶűƈ (űŴű ŶŮųŷŻŷŹƄŮ űŰ Ŷűž) ŶŮ ūƄŸŷŴŶƈƇŻźƈ, ŵŷůŶŷ źŻũūűŻƅ Űũŭũƀż źűŶŻŮŰũ Bi ∈ L(X i, Zi), i = 1, …, n, ŷŪŮźŸŮƀűūũƇƂűž ŷŰŶũƀŮŶŶƄŮ żźŴŷūűƈ3, ŸŹű ƆŻŷŵ ŵŮŻŷŭŷŴŷŬűƀŮźųű ƆŻż Űũŭũƀż ŵŷůŶŷ ŻŹũųŻŷūũŻƅ ųũų źŻŹżųŻżŹŶżƇ űŭŮŶŻűŽűųũſűƇ4 ŶŮŴűŶŮŲŶŷŲ ųŷŵŸŷŶŮŶŻƄ żŹũūŶŮŶűƈ (3); ū ŭũŶŶŷŵ ųŷŶŻŮųźŻŮ źŵ. ŸŷŴŷůŮŶűƈ ŹũŪŷŻƄ [11]. 4. ŚŕŎŏŖŤŎ ŋŗŘřŗŚŤ śŮŸŮŹƅ ŸŷźŵŷŻŹűŵ, ųũųűŮ ũŶũŴűŻűƀŮźųűŮ ŹŮŰżŴƅŻũŻƄ ū ŹŮƁŮŶűű Űũŭũƀű źżƂŮźŻūŷūũŶűƈ ŹŮũŴűŰũſűű ŷŸŮŹũŻŷŹ-ŽżŶųſűŲ (B0+, …, Bn+) ∈ L2 ŬűŸŮŹŪŷŴűƀŮźųŷŲ źűźŻŮŵƄ (3) ŸŹűūŶŷźƈŻ żźŴŷūűƈ: N1 ⊂ {(x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ Π}, 1 ≤ Card N1 ≤ ʠ0 (ũŴŮŽ-ŶżŴƅ) - ŶŮ ŪŷŴŮŮ ƀŮŵ źƀŮŻŶƄŲ Ÿżƀŷų ŹŮƁŮ- ŶűŲ źűźŻŮŵƄ (2) ź żŸŷŹƈŭŷƀŮŶŶŷŲ źűźŻŮŵŷŲ ŷŸŮŹũŻŷŹ-ŽżŶųſűŲ (B01, …, Bn1) ∈ L2, N2 := (x*, u*, B1(x*), …, Bn(x*, …, x*)) ∈ Π - ŹŮƁŮŶűŮ źűźŻŮŵƄ (2) ź ŶũŪŷŹŷŵ ŷŸŮŹũŻŷŹ-ŽżŶųſűŲ (B02, …, Bn2) ∈ L2, ŸŹű ƆŻŷŵ (B02, …, Bn2) ≠ (B01, …, Bn1) ű (x*, u*, B1(x*), …, Bn(x*, …, x*)) ∉ Span N1; Ż.ŷ. «ŷŪƃŮŭűŶŮŶŶƄŲ» ŭűŶũŵűƀŮźųűŲ Ÿżƀŷų N ŴűŪŷ ųŷŶŮƀŶƄŲ, ŴűŪŷ źƀŮŻŶƄŲ. ŗƀŮūűŭŶŷ, ƀŻŷ ū ŴƇŪŷŲ ŻŷƀųŮ t ∈ T ūŷŰŵŷůŶŷ ŹũŰŴŷůŮŶűŮ ū ŬűŴƅŪŮŹŻŷūŷŵ ŸŹŷźŻŹũŶźŻūŮ U ūŮųŻŷŹũ (u*(t), B1(x*(t)), …, Bn(x*(t), …, x*(t))) Ŷũ ŸŹŷŮųſűƇ ū Span {(u(t), B1(x(t)), …, Bn(x(t), …, x(t))): (x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ N1}, ųŷŻŷŹżƇ ŷŪŷŰŶũƀűŵ (u*(t), B1(x*(t)), …, Bn(x*(t), …, x*(t)))_, ű ŭŷŸŷŴŶŮŶűŮ (u*(t), B1(x*(t)), …, Bn(x*(t), …, x*(t)))⊥ := = (u*(t), B1(x*(t)), …, Bn(x*(t), …, x*(t))) - (u*(t), B1(x*(t)), …, Bn(x*(t), …, x*(t)))_. ŋ ŭũŶŶŷŲ ŸŷźŻũŶŷūųŮ ŶŮźŴŷůŶŷ żźŻũŶŷūűŻƅ, ƀŻŷ ūŮųŻŷŹ-ŽżŶųſűű t (u*(t), B1(x*(t)), …, Bn(x*(t), …, x*(t))_: T → U, t (u*(t), B1(x*(t)), …, Bn(x*(t), …, x*(t)))⊥: T → U ƈūŴƈƇŻźƈ w-űŰŵŮŹűŵƄŵű5. ōũŴŮŮ, ŷŪŷŰŶũƀűŵ ƀŮŹŮŰ Ŏ1(N1), Ŏ2(N2) ⊂ H2 ŸŷŭŸŹŷźŻŹũŶźŻūũ űŰ ŽŷŹŵżŴű- Źŷūųű ŻŮŷŹŮŵƄ 3 [2], ƀŮŹŮŰ Ŏ⊥(N2) - ŰũŵƄųũŶűŮ ū H2 ŴűŶŮŲŶŷŲ ŷŪŷŴŷƀųű Span {χ⋅(u*, B1(x*), …, Bn(x*, …, x*))⊥: χ ∈ F}, ŬŭŮ F ⊂ L(ś, w, R) - źŮŵŮŲźŻūŷ ųŴũźźŷū ƆųūűūũŴŮŶŻŶŷźŻű (mod w) ūźŮž žũŹũųŻŮŹűźŻűƀŮźųűž ŽżŶųſűŲ, űŶŭżſűŹŷūũŶŶƄž ƆŴŮŵŮŶŻũŵű σ-ũŴŬŮŪŹƄ ℘μ. ŔŮŵŵũ 4. ŘŷŭŸŹŷźŻŹũŶźŻūũ Ŏ1 ű Ŏ⊥ ŷŹŻŷŬŷŶũŴƅŶƄ ū ŬűŴƅŪŮŹŻŷūŷŵ ŸŹŷźŻŹũŶźŻūŮ H2. ŋŮŰŭŮ ŭũŴŮŮ ŭŴƈ ŭūżž ŰũŵųŶżŻƄž ŸŷŭŸŹŷźŻŹũŶźŻū űŰ ŸŹŷźŻŹũŶźŻūũ H2, Żũųűž, ƀŻŷ űž ŸŮŹŮźŮƀŮŶűŮ ŮźŻƅ {0} ⊂ H2, ũ ūŮųŻŷŹŶũƈ źżŵŵũ ŰũŵųŶżŻũ ū H2, żźŴŷūűŵźƈ ŰŶũų űž ūŮųŻŷŹŶŷŬŷ źŴŷůŮŶűƈ, ŷŪŷŰŶũƀũŻƅ ƀŮŹŮŰ ⊕, ū ƀũźŻŶŷźŻű, ŻŮŷŹŮŵũ 14.Ś [9] ű ŴŮŵŵũ 4 ŭŮŴũƇŻ ųŷŹŹŮųŻŶŷŲ ŰũŸűźƅ Ŏ1 ⊕ Ŏ⊥. Őũŭũŭűŵźƈ ūŷŸŹŷźŷŵ: ŸŹű ųũųűž ũŶũŴűŻűƀŮźųűž żźŴŷūűƈž, ŶũųŴũŭƄūũŮŵƄž Ŷũ ŵŶŷůŮźŻūũ żŸŹũūŴƈŮŵƄž ŭűŶũŵűƀŮźųűž ŸŹŷſŮźźŷū N1 ű N2, «ŹũźƁűŹŮŶŶŷŮ» źŮŵŮŲźŻūŷ ŸŹŷſŮźźŷū N+ ŷŪŴũŭũŮŻ ŭűŽŽŮŹŮŶſűũŴƅŶŷŲ ŹŮũŴűŰũſűŮŲ (3)? Ŗũ ŷŭŶŷŵ űŰ ŸżŻŮŲ ŬŮŷŵŮŻŹűƀŮźųŷŬŷ ŹŮƁŮŶűƈ ƆŻŷŲ Űũŭũƀű ūƄźŻżŸũŮŻ ŸŷźŻŹŷŮŶűŮ žũŹũųŻŮŹűźŻűƀŮźųŷŬŷ ŸŹűŰŶũųũ (źŵ. ŶűůŮ ŴŮŵŵż 5), ŷŸŹŮŭŮŴƈƇƂŮŬŷ ŹũūŮŶźŻūŷ Ŏ1 + Ŏ2 = Ŏ1 ⊕ Ŏ⊥, (5) ŸŷźųŷŴƅųż ŶũŴűƀűŮ ƀũźŻŶŷŲ ŽŷŹŵƄ ŹũūŮŶźŻūũ (5), ũ űŵŮŶŶŷ, ūűŭũ Ŏ1 ⊕ Ŏ2 = Ŏ1 ⊕ Ŏ⊥, (6) ŸŷŴŷůűŻŮŴƅŶŷ ŷŻūŮƀũŮŻ Ŷũ ŷŰŶũƀŮŶŶƄŲ ūƄƁŮ ūŷŸŹŷź ŷ ŭűŽŽŮŹŮŶſűũŴƅŶŷŲ ŹŮũŴűŰũſűű ŹũźƁűŹŮŶŶŷŬŷ Ÿżƀųũ N+ ū ųŷŶŻŮųźŻŮ Ÿŷŭžŷŭũ ų ŬŮŷŵŮŻŹűƀŮźųŷŵż ŹŮƁŮŶűƇ Űũŭũƀű źżƂŮźŻūŷūũŶűƈ ŷŪƂŮŬŷ ŸŷŴűŴűŶŮŲŶŷŬŷ ŹŮŬżŴƈŻŷŹũ ŭŴƈ ŭűŶũŵűƀŮźųűž Ÿżƀųŷū N1, N2, ŷźŶŷūũŶŶŷŬŷ Ŷũ ŻŮŷŹŮŵŮ 14.Ś [9] ű ŻŮŷŹŮŵŮ 3 [2]; ŶűůŮ ŷŭŶŷ žũŹũųŻŮŹŶŷŮ źūŷŲźŻūŷ ŹũūŮŶźŻūũ (6) ŷŪŶũŹżůűūũŮŻ ŻŮŷŹŮŵũ 2. ōũŴƅŶŮŲƁŮŮ űŰŴŷůŮŶűŮ ŻŹŮŪżŮŻ ŸŹűūŴŮƀŮŶűƈ ŭŷŸŷŴŶűŻŮŴƅŶƄž ųŷŶźŻŹżųſűŲ: ŸŹűŵŮŵ, ƀŻŷ LJ := {t ∈ T: (u*(t), B1(x*(t)), …, Bn(x*(t), …, x*(t)))⊥ = 0}, ű ŸżźŻƅ ν*⊥, ν* - ŴŮŪŮŬŷūźųűŮ ŸŷŸŷŴŶŮŶűƈ (Ŷũ źŷŷŻūŮŻźŻūżƇƂűž ŹũźƁűŹŮŶűƈž σ-ũŴŬŮŪŹ) ŵŮŹ ³_(u*(τ), B1(x*(τ)), …, Bn, S ³_(u*(τ), B1(x*(τ)), …, Bn. S ŔŮŵŵũ 5. řũūŮŶźŻūŷ Ŏ1 + Ŏ2 = Ŏ1 ⊕ Ŏ⊥ źŸŹũūŮŭŴűūŷ ū Żŷŵ ű ŻŷŴƅųŷ ū Żŷŵ źŴżƀũŮ, ŮźŴű L2(T, ν*⊥, R) = χ⊥⋅L2(T, ν*, R), ŬŭŮ χ⊥ - žũŹũųŻŮŹűźŻűƀŮźųũƈ ŽżŶųſűƈ ŵŶŷůŮźŻūũ T\\LJ. ŘŹűūŮŭŮŵ ŻŮŸŮŹƅ ūũŹűũŶŻ žũŹũųŻŮŹűźŻűƀŮźųűž żźŴŷūűŲ ŹũūŮŶźŻūũ (6) ź ŶũŪŹŷźųŷŵ ŭŷųũŰũŻŮŴƅźŻūũ. śŮŷŹŮŵũ 2. ŘŹű ūƄŸŷŴŶŮŶűű LJ = ∅ (mod w) źŸŹũūŮŭŴűūŷ ŸŹŮŭŴŷůŮŶűŮ: Ŏ1 ⊕ Ŏ2 = Ŏ1 ⊕ Ŏ⊥ ⇔ ⇔ L2(T, ν*⊥, R) = L2(T, ν*, R). ōŷųũŰũŻŮŴƅźŻūŷ. ŘŹŮŭŴŷůŮŶűŮ Ŏ1 + Ŏ2 = Ŏ1 ⊕ Ŏ⊥ ⇔ L2(T, ν*⊥, R) = L2(T, ν*, R) - ŸŹƈŵũƈ ųŷŶźŻũŻũſűƈ ŴŮŵŵƄ 5. Ś ŭŹżŬŷŲ źŻŷŹŷŶƄ, ŸŷŭŻūŮŹůŭŮŶűŮ ŽũųŻũ Ŏ1 ŀ Ŏ2 = {0} ⊂ H2 ūƄŻŮųũŮŻ űŰ {t ∈ T: (u*(t), B1(x*(t)), …, Bn(x*(t), …, x*(t)))⊥ = 0} = ∅ (mod w) ű źŴŮŭźŻūűƈ 3 ŻŮŷŹŮŵƄ III.5 (ŻŮŷŹŮŵũ ŞũŶũ-ŊũŶũžũ) [8]. ŔŮŵŵũ 5 ű ŻŮŷŹŮŵũ 2 ū ųŷŶŻŮųźŻŮ ŻŮŷŹŮŵƄ 14.Ś [9] ű ŻŮŷŹŮŵƄ 3 [2] ŭŮŴũƇŻ źŸŹũūŮŭŴűūƄŵ ŚŴŮŭźŻūűŮ 3. i) ŚŴŮŭżƇƂűŮ ŻŹű źūŷŲźŻūũ ƆųūűūũŴŮŶŻŶƄ: L2(T, ν*⊥, R) ⊂ χ⊥⋅L2(T, ν*, R) ⇔ ⇔ L2(T, ν*⊥, R) = χ⊥⋅L2(T, ν*, R) ⇔ ⇔ Ŏ1 + Ŏ2 = Ŏ1 ⊕ Ŏ⊥. ii) ŎźŴű LJ = ∅ (mod w), Żŷ ŶũŴűƀűŮ ŴƇŪŷŬŷ źūŷŲźŻūũ űŰ i) ŸŹŮūŹũƂũŮŻ ŭűŶũŵűƀŮźųűŲ Ÿżƀŷų N+ ū ŵŶŷůŮźŻūŷ ŶŮŴűŶŮŲŶƄž żŸŹũūŴƈŮŵƄž ŸŹŷſŮźźŷū ź ŭűŽŽŮŹŮŶſűũŴƅŶŷŲ ŹŮũŴűŰũſűŮŲ (3). ŌűŸŷŻŮŰũ (Ÿŷ źżƂŮźŻūż ŷŪŹũƂŮŶűŮ ŻŮŷŹŮŵƄ 3 [2] ű ƀũźŻű ii) źŴŮŭźŻūűƈ 3): «ŮźŴű LJ = ∅ (mod w) ű Ÿżƀŷų N+ ŷŪŴũŭũŮŻ ŹŮũŴűŰũſűŮŲ (3), Żŷ L2(T, ν*⊥, R) ⊂ L2(T, ν*, R)» ū ŷŪƂŮŵ źŴżƀũŮ ŶŮ ŸŷŭŻūŮŹůŭũŮŻźƈ, ƀŻŷ űŴŴƇźŻŹűŹżŮŻ źŴŮŭżƇƂűŲ ŸŹŷźŻŷŲ ŸŹűŵŮŹ. ŘŹűŵŮŹ. ŘżźŻƅ X = Y = Z = R, T = [-1, 1], n = 2. ŘŹűŵŮŵ, ƀŻŷ ŸũŹũŵŮŻŹƄ (ųŷƆŽŽűſűŮŶŻƄ) ŭűŽŽŮŹŮŶſűũŴƅŶŷŲ źűźŻŮŵƄ ű ŵŷŭŮŴűŹżŮŵƄŮ ŭűŶũŵűƀŮźųűŮ Ÿżƀųű űŵŮƇŻ ŸŹŮŭźŻũūŴŮŶűŮ: A0 = 2, A1 = 4, A2 = 2, B1 = 1, B2 = (1, 1), N1 = {t (e-2t, 0, e-2t, e-4t): t ∈ T}, N + 1, 4t + 2, t2 + 1, (t2 + 1)2): t ∈ T}. ŨźŶŷ, ƀŻŷ Ÿżƀųű N1, N2 űŵŮƇŻ ŭűŽŽŮŹŮŶſűũŴƅŶƄŮ ŹŮũŴűŰũſűű (2) ź ŹŮŬżŴƈŻŷŹũŵű (B01, B11, B21) = (1, 2, 0), (B02, B12, B22) = (2, 2, 0), ŸŹűƀŮŵ ŷŪƃŮŭűŶŮŶŶƄŲ ŭűŶũŵűƀŮźųűŲ Ÿżƀŷų N+ := N1 N2 űŵŮŮŻ ŹŮũŴűŰũſűƇ (3) ź ŹŮŬżŴƈŻŷŹŷŵ, ż ųŷŻŷŹŷŬŷ B0+ = B1+ = 2, B2+ = 0, ŸŹű ƆŻŷŵ ŷŪŮźŸŮƀŮŶƄ źŷŷŻŶŷƁŮŶűƈ: (u*(t), B1(x*(t)), B2(x*(t), x*(t)) = (4t + 2, t2 + 1, (t2 + 1)2), (u*(t), B1(x*(t)), B2(x*(t), x*(t))⊥ = (4t + 2, 0, 0), ƀŻŷ ŸŹűūŷŭűŻ ų ŷƀŮūűŭŶŷŵż ŽũųŻż LJ = ∅ (mod w) (žŷŻƈ LJ = {-2-1} ≠ ∅) ű ŸŹŷŰŹũƀŶŷŵż ŸŷŴŷůŮŶűƇ L2(T, ν*, R) = L2(T, w, R), L2(T, ν*⊥, R), ν*⊥ = ³(4τ + 2)2w(dτ). ŋ ŭũŶŶŷŲ ŸŷźŻũŶŷūųŮ 1/(4t + 2) ∈ L2(T, ν*⊥, R), 1/(4t + 2) ∉ L2(T, w, R), ŷŻųżŭũ L2(T, ν*⊥, R) ⊄ L2(T, ν*, R); ū źűŴż źŴŮŭźŻūűƈ 3 ŻũųůŮ ŸŹűžŷŭűŵ ų ŰũųŴƇƀŮŶűƇ, ƀŻŷ ŭŴƈ N1, N2 ŪżŭŮŻ Ŏ1 + Ŏ2 ≠ Ŏ1 ⊕ Ŏ2. œŹŷŵŮ ŻŷŬŷ, ŭũŶŶƄŲ ŸŹűŵŮŹ ŸŷųũŰƄūũŮŻ, ƀŻŷ ŻŮŷŹŮŵũ 3 [2] ū ŷŪƂŮŵ źŴżƀũŮ ŶŮ űŵŮ- ŮŻ ŷŪŹũƂŮŶűƈ.

Об авторах

Алексей Васильевич Данеев

Иркутский государственный университет путей сообщения

Email: daneev@mail.ru
доктор физико-математических наук, профессор Иркутск

Анатолий Валентинович Лакеев

Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова СО РАН

доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Иркутск

Вячеслав Анатольевич Русанов

Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова СО РАН

Email: v.rusanov@mail.ru
доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Иркутск

Александр Анатольевич Ветров

Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова СО РАН

научный сотрудник Иркутск

Список литературы

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