ABOUT DRIVING A HYPERBOLIC SYSTEM TO IMPLEMENTATION WITH A POLYLINEAR INVARIANT REGULATOR TO TWO DIFFERENTLY ADJUSTABLE TRAJECTOR BEAMS

全文:

ȻȼȿȾȿɇɂȿ Ʉɚɱɟɫɬɜɟɧɧɚɹɬɟɨɪɢɹɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɣɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢɭɩɪɚɜɥɹɟɦɵɯɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɢɯɫɢ ɫɬɟɦɜɧɚɫɬɨɹɳɟɟɜɪɟɦɹɢɜɟɪɨɹɬɧɨɧɚɞɨɥɝɨɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬɞɨɜɨɥɶɧɨɚɤɬɢɜɧɭɸɨɛɥɚɫɬɶɢɫ ɫɥɟɞɨɜɚɧɢɣɜɨɛɥɚɫɬɢɨɛɪɚɬɧɵɯɡɚɞɚɱɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣɮɢɡɢɤɢ>@ ȼɞɚɧɧɨɦɤɨɧɬɟɤɫɬɟ ɧɚɫɬɨɹɳɚɹɪɚɛɨɬɚɩɪɨɞɨɥɠɚɟɬɢɡɵɫɤɚɧɢɹ>@ɩɨɫɤɨɥɶɤɭɟɺɰɟɥɶ-ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶɷɤɡɢɫɬɟɧɰɢɨ ɧɚɥɶɧɵɟɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɚɫɭɳɟɫɬɜɨɜɚɧɢɹɨɩɟɪɚɬɨɪɧɵɯɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ ɢɧɜɚɪɢɚɧɬɧɨɝɨɩɨ ɥɢɥɢɧɟɣɧɨɝɨɪɟɝɭɥɹɬɨɪɚIPɪɟɝɭɥɹɬɨɪɚɧɟɫɬɚɰɢɨɧɚɪɧɨɣɝɢɩɟɪɛɨɥɢɱɟɫɤɨɣɫɢɫɬɟɦɵɜɩɪɨ ɱɟɦ ɞɚɧɧɵɟɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɢɦɵɧɚɫɬɚɰɢɨɧɚɪɧɵɟɫɥɭɱɚɢ>-@ɂɧɜɚɪɢɚɧɬɧɨɫɬɶ ɪɟɝɭɥɹɬɨɪɚɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬɱɬɨɢɫɫɥɟɞɭɟɦɚɹɦɨɞɟɥɢɪɭɟɦɚɹɝɢɩɟɪɛɨɥɢɱɟɫɤɚɹɫɢɫɬɟɦɚɞɨɥɠ ɧɚɫɨɞɟɪɠɚɬɶɜɤɥɚɫɫɟɞɨɩɭɫɬɢɦɵɯɪɟɲɟɧɢɣɞɜɚɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɵɯɩɭɱɤɚɭɩɪɚɜɥɹɟɦɵɯɬɪɚ ɟɤɬɨɪɧɵɯɤɪɢɜɵɯɩɪɢɷɬɨɦɤɚɠɞɵɣɩɭɱɨɤɧɟɨɝɪɚɧɢɱɟɧɩɨɦɨɳɧɨɫɬɢɤɨɧɟɱɧɵɣ ɫɱɟɬɧɵɣ ɤɨɧɬɢɧɭɚɥɶɧɵɣɢɢɧɞɭɰɢɪɨɜɚɧɫɜɨɢɦɢɧɞɢɜɢɞɭɚɥɶɧɵɦɩɨɥɢɥɢɧɟɣɧɵɦɪɟɝɭɥɹɬɨɪɨɦ ɌȿɊɆɂɇɈɅɈȽɂəɂɉɈɋɌȺɇɈȼɄȺɁȺȾȺɑɂ ȾɚɥɟɟX_⋅_XY_⋅_YZi_⋅_Zi «n-ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɵɟɫɟɩɚɪɚɛɟɥɶɧɵɟɝɢɥɶɛɟɪɬɨɜɵ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚɩɪɟɞɝɢɥɶɛɟɪɬɨɜɨɫɬɶ>@ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɧɨɪɦɵ_⋅_X_⋅_Y_⋅_ZU Y×Z׫×Zn- ɝɢɥɶɛɟɪɬɨɜɨɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟɫɧɨɪɦɨɣ_yz«zn_U _y_Y ¦ i «n_zi_Z LYX-ɛɚɧɚɯɨɜɨɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨɫɨɩɟɪɚɬɨɪɧɨɣɧɨɪɦɨɣ_⋅_LYXɜɫɟɯɥɢɧɟɣɧɵɯɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɯ ɨɩɟɪɚɬɨɪɨɜɞɟɣɫɬɜɭɸɳɢɯɢɡYɜXɚɧɚɥɨɝɢɱɧɨLXX_⋅_LXXɢLZiX_⋅_LZXX i-iɚɹ ɞɟɤɚɪɬɨɜɚɫɬɟɩɟɧɶɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚXLX iZi-ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨɜɫɟɯɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɯiɥɢɧɟɣɧɵɯ ɩɨɥɢɥɢɧɟɣɧɵɯɨɬɨɛɪɚɠɟɧɢɣɢɡXɜZi ɉɭɫɬɶT >tt@-ɨɬɪɟɡɨɤɱɢɫɥɨɜɨɣɩɪɹɦɨɣRɫɦɟɪɨɣɅɟɛɟɝɚȝɢ℘μ-σɚɥɝɟɛɪɚɜɫɟɯȝ ɢɡɦɟɪɢɦɵɯɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɢɡTȿɫɥɢɧɢɠɟB_ɧɟɤɨɬɨɪɨɟɛɚɧɚɯɨɜɨɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨɬɨ ɱɟɪɟɡ/pTȝBpɛɭɞɟɦɨɛɨɡɧɚɱɚɬɶɛɚɧɚɯɨɜɨɮɚɤɬɨɪɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨɤɥɚɫɫɨɜȝ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢɜɫɟɯɢɧɬɟɝɪɢɪɭɟɦɵɯɩɨȻɨɯɧɟɪɭ>@ɨɬɨɛɪɚɠɟɧɢɣfT → Bɫɧɨɪɦɨɣ³T _fτ_pȝdτpɱɟɪɟɡ/∞TȝB-ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨɜɫɟɯɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɵɯɤɥɚɫɫɨɜȝɢɡɦɟɪɢɦɵɯɢ ɗɬɨɫɜɨɞɢɬɡɚɞɚɱɭɫɬɪɭɤɬɭɪɧɨɣɢɞɟɧɬɢɮɢɤɚɰɢɢɧɟɥɢɧɟɣɧɨɝɨɪɟɝɭɥɹɬɨɪɚɫɢɫɬɟɦɵɤɚɤɚɩɨɫɬɟɪɢɨɪɧɨɣɪɟɚ ɥɢɡɚɰɢɢɟɝɨɨɛɳɟɣɩɨɥɢɥɢɧɟɣɧɨɣɫɬɪɭɤɬɭɪɵɤɛɨɥɟɟɨɫɹɡɚɟɦɨɣɡɚɞɚɱɟɪɚɡɪɟɲɢɦɨɫɬɢɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢɚɞɚɩɬɚɰɢ ɨɧɧɵɯɧɚɫɬɪɚɢɜɚɟɦɵɯa posterioriɨɩɟɪɚɬɨɪɮɭɧɤɰɢɣɩɪɢɦɭɥɶɬɢɩɥɢɤɚɬɢɜɧɨɦɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɢiɥɢɧɟɣɧɵɯ ɚɞɞɢɬɢɜɧɵɯɱɥɟɧɨɜɷɬɨɣɫɬɪɭɤɬɭɪɵɞɪɭɝɨɣɛɨɥɟɟɪɚɞɢɤɚɥɶɧɵɣɩɨɞɯɨɞɫɜɹɡɚɧɫɢɞɟɧɬɢɮɢɤɚɰɢɟɣɨɩɟɪɚɬɨ ɪɨɜɢɡ iɤɪɚɬɧɵɯɬɟɧɡɨɪɧɵɯɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɣɝɢɥɶɛɟɪɬɨɜɵɯɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɜɱɚɫɬɧɨɫɬɢɩɨɞɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɩɪɨ ɫɬɪɚɧɫɬɜɚɎɨɤɚ>@ k ɉɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨLX ZɥɢɧɟɣɧɨɟɤɚɤɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨɮɭɧɤɰɢɣɫɨɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢɜɜɟɤɬɨɪɧɨɦɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟZ ɫɥɨɠɟɧɢɟɢɭɦɧɨɠɟɧɢɟɧɚɫɤɚɥɹɪɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɫɹɩɨɬɨɱɟɱɧɨɩɪɢɷɬɨɦɩɨɞB ∈LX kZɩɨɧɢɦɚɟɬɫɹɬɚɤɨɟɫɨɨɬ ɜɟɬɫɬɜɢɟz Bx«xkɦɟɠɞɭɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɦɢɫɢɫɬɟɦɚɦɢx«xkɷɥɟɦɟɧɬɨɜɢɡXɢɷɥɟɦɟɧɬɚɦɢɢɡZɤɨɬɨ ɪɨɟɥɢɧɟɣɧɨ ɩɨ ɤɚɠɞɨɦɭxiɩɪɢɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɵɯɨɫɬɚɥɶɧɵɯɷɥɟɦɟɧɬɚɯ ɢɞɥɹɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨc ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ _Bx«xk_Z ≤c_x_X«_xk_Xɷɬɨɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɞɥɹɤɚɠɞɨɝɨiɢɥɸɛɵɯx«xixi«xk∈Xɜɟɪɧɨxi Bx«xi«xk∈LXZ Данеев Алексей Васильевич, доктор физико-матема- Русанов Вячеслав Анатольевич, доктор физико-матетических наук, профессор. E-mail: daneev@mail.ru матических наук, главный научный сотрудник. Лакеев Анатолий Валентинович, доктор физико-ма- E-mail: v.rusanov@mail.ru тематических наук, главный научный сотрудник Ветров Александр Анатольевич, научный сотрудник. ŘżźŻƅ T := [t0, t1] - ŷŻŹŮŰŷų ƀűźŴŷūŷŲ ŸŹƈŵŷŲ R ź ŵŮŹŷŲ ŔŮŪŮŬũ w ű ℘μ - σ-ũŴŬŮŪŹũ ūźŮž w- űŰŵŮŹűŵƄž ŸŷŭŵŶŷůŮźŻū űŰ T. ŎźŴű ŶűůŮ (B, ||⋅||) - ŶŮųŷŻŷŹŷŮ ŪũŶũžŷūŷ ŸŹŷźŻŹũŶźŻūŷ, Żŷ ƀŮŹŮŰ Lp(T, w, B), p∈[1, ∞) ŪżŭŮŵ ŷŪŷŰŶũƀũŻƅ ŪũŶũžŷūŷ ŽũųŻŷŹ-ŸŹŷźŻŹũŶźŻūŷ ųŴũźźŷū w-ƆųūűūũŴŮŶŻŶŷźŻű ūźŮž űŶŻŮŬŹűŹżŮŵƄž Ÿŷ ŊŷžŶŮŹż [8] ŷŻŷŪŹũůŮŶűŲ f: T → B ź ŶŷŹŵŷŲ (³T ||f(τ)||pw(dτ))1/p, ƀŮŹŮŰ L∞(T, w, B) - ŸŹŷźŻŹũŶźŻūŷ ūźŮž ƆųūűūũŴŮŶŻŶƄž ųŴũźźŷū w-űŰŵŮŹűŵƄž ű w-źżƂŮźŻūŮŶŶŷ ŷŬŹũŶűƀŮŶŶƄž ŽżŶųſűŲ űŰ T ū B. œŹŷŵŮ ŻŷŬŷ, AC 1(T, X) - ŵŶŷůŮźŻūŷ ūźŮž ŽżŶųſűŲ ϕ: T → X, ŸŮŹūũƈ ŸŹŷűŰūŷŭŶũƈ ųŷŻŷŹƄž ƈūŴƈŮŻźƈ ũŪźŷŴƇŻŶŷ ŶŮŸŹŮ- ŹƄūŶŷŲ Ŷũ T ŽżŶųſűŮŲ (ŷŻŶŷźűŻŮŴƅŶŷ ŵŮŹƄ w), źūŮŹž ŻŷŬŷ, ŭŴƈ żŸŹŷƂŮŶűƈ ŸŹűŵŮŵ Π := AC1(T, X) × L2(T, w, Y) × L2(T, w, Z1) × … × L2(T, w, Zn). ŋūŮŭŮŵ ūźŸŷŵŷŬũŻŮŴƅŶƄŮ ųŷŶźŻŹżųſűű, źūƈŰũŶŶƄŮ ź źűźŻŮŵŷŲ ŷŪŷŰŶũƀŮŶűŲ. ŠŮŹŮŰ H2 := L2(T, w, Y) × L2(T, w, Z1) × … × L2(T, w, Zn) ŷŪŷŰŶũƀűŵ ŸŹŷźŻŹũŶźŻūŷ-ŸŹŷűŰūŮŭŮŶűŮ ź ŻŷŸŷŴŷŬűŮŲ, űŶŭżſűŹŷūũŶŶŷŲ ŶŷŹŵŷŲ ||(w0, …, wn)||H := (³T ||(w0(τ), …, wn(τ))_U w(dτ))1/2, (w0, …, wn) ∈ H2; ƈźŶŷ, ƀŻŷ H2 - ŬűŴƅŪŮŹŻŷūŷ ŸŹŷźŻŹũŶźŻūŷ (ū źűŴż [8] ųŷŶźŻŹżųſűű ŶŷŹŵƄ ||⋅||H). ōũŴŮŮ, ŹũźźŵŷŻŹűŵ ŪũŶũžŷūŷ ŸŹŷźŻŹũŶźŻūŷ-ŸŹŷűŰūŮŭŮŶűŮ L2 := L2(T, w, L(Y, X)) × L2(T, w, L(Z1, X)) × … × L2(T, w, L(Zn, X)) ųŴũźźŷū w-ƆųūűūũŴŮŶŻŶŷźŻű żŸŷŹƈŭŷƀŮŶŶƄž źűźŻŮŵ ŷŸŮŹũŻŷŹ-ŽżŶųſűŲ ź ŶŷŹŵŷŲ ||(B0, …, Bn)||L := (³T (||B0(τ)_LYX + ¦ i=1,…,n ||Bi(τ)_LZX )w(dτ))1/2. ŘżźŻƅ ŰũŭũŶƄ ŷŸŮŹũŻŷŹ-ŽżŶųſűű A0, A1 ∈ L1(T, w, L(X, X)), A2 ∈ L∞(T, w, L(X, X)), ŸŹű ƆŻŷŵ w-ŸŷƀŻű ūźƇŭż ū T ŷŸŮŹũŻŷŹ A0(t), t ∈ T źũŵŷźŷŸŹƈůŮŶŶƄŲ ű źŻŹŷŬŷ ŸŷŴŷůűŻŮŴƅŶŷ-ŷŸŹŮŭŮŴŮŶŶƄŲ, ũ ŻũųůŮ ŽűųźűŹŷūũŶƄ ŶũŻżŹũŴƅŶŷŮ ƀűźŴŷ n, i-ŴűŶŮŲŶƄŮ ŷŻŷŪŹũůŮŶűƈ Bi ∈ L(X i, Zi), i = 1, …, n ű N1 ⊂ {(x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ Π}, Card N1 ≤ ∞, (1) N2 ⊂ {(x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ Π}, Card N2 ≤ ∞, ŭūũ ŽűųźűŹŷūũŶŶƄž ūũŹűũŶŻũ ŸŷūŮŭŮŶűƈ űźźŴŮŭżŮŵŷŲ ŭűŶũŵűƀŮźųŷŲ źűźŻŮŵƄ ź ŻŹũŮųŻŷŹűƈŵű x, ŸŹŷŬŹũŵŵŶƄŵ żŸŹũūŴŮŶűŮŵ u ű ŸŷŰűſűŷŶŶƄŵű ŷŪŹũŻŶƄŵű źūƈŰƈŵű (ŽŷŹŵũŵű) B1(x), …, Bn(x, …, x), ŸŹű ƆŻŷŵ N1 ŀ N2 = ∅; ŰŭŮźƅ ű ŭũŴŮŮ Card Nj - ŵŷƂŶŷźŻƅ ŵŶŷůŮźŻūũ (Ÿżƀųũ) Nj. ŨźŶŷ, ƀŻŷ Bi(x, …, x) ∈ L∞(T, w, Zi), ∀i = 1, …, n, ∀(x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ Nj, j = 1, 2. ŜźŴŷūűŵźƈ ŭũŴŮŮ ŷŻŴűƀũŻƅ ū ŷŪŷŰŶũƀŮŶűƈž ūŮųŻŷŹ-ŽżŶųſűƇ (x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ Π ųũų ųŴũźź ƆųūűūũŴŮŶŻŶŷźŻű (mod w) ŷŻ ųŷŶųŹŮŻŶŷŬŷ ŸŹŮŭźŻũūűŻŮŴƈ űŰ ƆŻŷŬŷ ųŴũźźũ - «űŶŭűūűŭżũŴƅŶŷŲ» ūŮųŻŷŹŽżŶųſűű ūűŭũ: t (x(t), u(t), B1(x(t)), …, Bn(x(t), …, x(t))). ōũŴŮŮ ŸŹŮŭŸŷŴũŬũŮŵ, ƀŻŷ ū ŭŮŲźŻūűŻŮŴƅŶŷźŻű żŸŹũūŴƈŮŵƄŮ ŭűŶũŵűƀŮźųűŮ Ÿżƀųű N1, N2 - źżŻƅ ŹŮ- ƁŮŶűƈ ŷŭŶŷŲ ŬűŸŮŹŪŷŴűƀŮźųŷŲ źűźŻŮŵƄ ź ŹũŰŶƄŵű ŸŷŴűŴűŶŮŲŶƄŵű ŹŮŬżŴƈŻŷŹũŵű: A2d 2x/dt 2 + A1dx/dt + A0x = B01u + ¦ i=1,…,n Bi1Bi(x, …, x), (B01, …, Bn1) ∈ L2, ∀(x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ N1; (2) A2d 2x/dt 2 + A1dx/dt + A0x = B02u + ¦ i=1,…,n Bi2Bi(x, …, x), (B02, …, Bn2) ∈ L2, ∀(x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ N2, (B01, …, Bn1) ≠ (B02, …, Bn2); ŰŭŮźƅ ű ŭũŴŮŮ ź żƀƉŻŷŵ ŴŮŵŵƄ 1 [1] ū ũŶũŴűŻűƀŮźųŷŲ ųŷŶźŻŹżųſűű x-ŹŮƁŮŶűƈ źŴŮŭżŮŵ § 121 [9]. řũźźŵŷŻŹűŵ Űũŭũƀż: ŷŸŹŮŭŮŴűŻƅ (ū ŻŮŹŵűŶũž ūŮųŻŷŹ-ŽżŶųſűŲ ŷŪƃŮŭűŶŮŶŶŷŬŷ Ÿżƀųũ N) ũŶũŴűŻűƀŮźųűŮ żźŴŷūűƈ źżƂŮźŻūŷūũŶűƈ żŸŷŹƈŭŷƀŮŶŶŷŲ źűźŻŮŵƄ ŷŸŮŹũŻŷŹ-ŽżŶųſűŲ (B0+, …, Bn+) ∈ L2, ŭŴƈ ųŷŻŷŹŷŲ ŷźżƂŮźŻūűŵũ ŭűŽŽŮŹŮŶſűũŴƅŶũƈ ŹŮũŴűŰũſűƈ ŭűŶũŵűƀŮźųŷŬŷ Ÿżƀųũ N+ := N1 N2 ūűŭũ: A2d 2x/dt 2 + A1dx/dt + A0x = B0+u + ¦ i=1,…,n Bi+Bi(x, …, x), (3) ∀(x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ N+. ŘŷźŻũŶŷūųũ ŷŪŹũŻŶŷŲ Űũŭũƀű (3) ŸŹűūŷŭűŻ ų ŶŮųŷŻŷŹŷŵż ųŷŴűƀŮźŻūż ŵŮŻŷŭŷŴŷŬűƀŮźųűž źžŮŵ ŵũŻŮŵũŻűƀŮźųŷŬŷ ŵŷŭŮŴűŹŷūũŶűƈ3, ŸŹũūűŴƅŶŷ ŷŪƃƈźŶƈƇƂűž ŽűŰűƀŮźųżƇ ŭŮŲźŻūűŻŮŴƅŶŷźŻƅ, ūƄŹũŪũŻƄūũƈ ŶŷūżƇ ŵũŻŮŵũŻűƀŮźųżƇ űŶŻżűſűƇ ū ŷŪŴũźŻű ŷŪŹũŻŶƄž Űũŭũƀ ŬűŸŮŹŪŷŴűƀŮźųűž źűźŻŮŵ [10]. ŐũŵŮƀũŶűŮ 1. ŗŻŵŮŻűŵ, ƀŻŷ ŶŮŻ źŻŹżųŻżŹŶƄž ŸŹŮŸƈŻźŻūűŲ4, ƀŻŷŪƄ ŹũźŸŹŷźŻŹũŶűŻƅ ŸŷŴżƀŮŶŶƄŮ ŶűůŮ ŹŮŰżŴƅŻũŻƄ Ŷũ ųũƀŮźŻūŮŶŶżƇ ŻŮŷŹűƇ ŹŮũŴűŰũſűű IP-ŹŮŬżŴƈŻŷŹũ ŬűŸŮŹŪŷŴűƀŮźųŷŲ źűźŻŮŵƄ (3), ūųŴƇƀũƇƂŮŬŷ ū źūŷŲ źŷźŻũū ŸŷŴűŴűŶŮŲŶƄŮ ŷŸŮŹũŻŷŹƄ - ŸŹŷŬŹũŵŵŶŷ-ŸŷŰűſűŷŶŶƄŮ źūƈŰű űŰ L(X i × Y, Zi), ű źŷŭŮŹůũƂűŮ ū ųũƀŮźŻūŮ ŭŷŸŷŴŶűŻŮŴƅŶƄž ŸŮŹŮŵŮŶŶƄž k-ŹũŰ (k ≤ i) ŸŹŷűŰūŷŭŶżƇ dx/dt ű 1-ŹũŰ ŸŹŷŬŹũŵŵŶŷŮ żŸŹũūŴŮŶűŮ u; ƈźŶŷ, ƀŻŷ ū ŭũŶŶŷŲ ŸŷźŻũŶŷūųŮ B(x, …, dx/dt, …, u) ∈ L2(T, w, Zi) ŭŴƈ ŴƇŪŷŬŷ ŷŻŷŪŹũůŮŶűƈ B ∈ L(X i × Y, Zi). ŘŹű ƆŻŷŵ, ŮźŴű ŭŴƈ ŭűŽŽŮŹŮŶſűũŴƅŶŷŲ ŹŮũŴűŰũſűű (3) źŻũūűŻƅ Űũŭũƀż ŹũŰŹŮƁűŵŷźŻű ŹŮũŴűŰũſűű ŸŷŴűŴűŶŮŲŶƄž ŽŷŹŵ űŰ L(X i × Y, Zi), i = 1, …, n, Żŷ ŷźŶŷūŷŲ ŵũŻŮŵũŻűƀŮźųŷ- Ŭŷ ũŸŸũŹũŻũ ŵŷůŮŻ źŴżůűŻƅ ųŷŶźŻŹżųſűƈ ŻŮŶŰŷŹŶŷŬŷ ŸŹŷűŰūŮŭŮŶűƈ1 ŬűŴƅŪŮŹŻŷūƄž ŸŹŷźŻŹũŶźŻū [8], Ż.ų. ŮŬŷ źŻŹżųŻżŹũ źūŷŭűŻ űŰżƀŮŶűŮ ŸŷŴűŴűŶŮŲŶƄž ŷŻŷŪŹũůŮŶűŲ ų űŰżƀŮŶűƇ ŴűŶŮŲŶƄž ŷŻŷŪŹũůŮŶűŲ ŸżŻŮŵ ūūŮŭŮŶűƈ ŶŷūŷŲ ŷŸŮŹũſűű Ŷũ ųũŻŮŬŷŹűű ŴűŶŮŲŶƄž ŸŹŷźŻŹũŶźŻū. 2. ŘřŎōŋʼnřőśŎŔťŖŤŎ ŚŋŎōŎŖőŨ ŗŪŷŰŶũƀűŵ ƀŮŹŮŰ L(ś, w, R) ŸŹŷźŻŹũŶźŻūŷ ųŴũźźŷū w-ƆųūűūũŴŮŶŻŶŷźŻű ūźŮž ūŮƂŮźŻūŮŶŶƄž w- űŰŵŮŹűŵƄž Ŷũ ś ŽżŶųſűŲ ű ŸżźŻƅ ≤L - ųūũŰűżŸŷŹƈŭŷƀŮŶűŮ ū L(ś, w, R) ŻũųŷŮ, ƀŻŷ φ1 ≤L φ2, ŮźŴű φ1(t) ≤ φ2(t) wŸŷƀŻű ūźƇŭż ū ś. ŖũűŵŮŶƅƁżƇ ūŮŹžŶƇƇ ŬŹũŶƅ ŭŴƈ ŸŷŭŵŶŷůŮźŻūũ W ⊂ L(ś, w, R) ŷŪŷŰŶũƀűŵ ƀŮŹŮŰ supL W, ŮźŴű ƆŻũ ŬŹũŶƅ źżƂŮźŻūżŮŻ ŭŴƈ ŸŷŭŵŶŷůŮźŻūũ W ū źŻŹżųŻżŹŮ ƀũźŻűƀŶŷŬŷ żŸŷŹƈŭŷƀŮŶűƈ ≤L. ŗŸŹŮŭŮŴŮŶűŮ 1 [2]. řũźźŵŷŻŹűŵ ŷŸŮŹũŻŷŹ Ψ: Π → L(ś, w, R), ŸŷźŻŹŷŮŶŶƄŲ źŷŬŴũźŶŷ ŸŹũūűŴũ ||A2(t)d 2q(t)/dt 2 + A1(t)dq(t)/dt + A + Ψ(q, w0, …, wn)(t) := ®+ ¦ i=1,…,n ||wi, ŮźŴű (w0(t), …, wn(t)) ≠ 0 ∈ U; (4) ¯0 ∈ R, ŮźŴű (w0(t), …, wn(t)) = 0 ∈ U; źŴŮŭżƈ ŻŮŹŵűŶŷŴŷŬűű [12, 13] ŷŸŮŹũŻŷŹ (4) ŶũŰŷūŮŵ ŷŸŮŹũŻŷŹŷŵ řŮŴŮƈ-řűŻſũ. ŋ ųŷŶźŻŹżųſűű ŷŸŮŹũŻŷŹũ Ψ ųŷŹŹŮųŻŶŷ ūųŴƇƀŮŶűŮ d 2q/dt 2 ∈ L1(T, w, X) (ū źűŴż ŴŮŵŵƄ 1 [1]). ŘżźŻƅ N ⊂ {(x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ Π}, Card N ≤ ∞ ű Q - ŶŮųŷŻŷŹŷŮ (Ż.Ů. ŴƇŪŷŮ) ŸŷŬŴŷƂũƇƂŮŮ ŵŶŷůŮźŻūŷ ū Span N; ū ŬŮŷŵŮŻŹűű ŸŷŬŴŷƂũƇƂŮŬŷ ŵŶŷůŮźŻūũ źŴŮŭżŮŵ [8], Ż. = Span N. ŝűųźűŹżƈ ŻŮŹŵűŶŷŴŷŬűƇ (ŵŷŻűūũſűű źŵ. ū ŻŮŷŹŮŵŮ 2 [2]), ŪżŭŮŵ ŬŷūŷŹűŻƅ, ƀŻŷ Ÿżƀŷų żŸŹũūŴƈŮŵƄž ŭűŶũŵűƀŮźųűž ŸŹŷſŮźźŷū N ŹŮŬżŴƈŹŶƄŲ ŭŴƈ ŻŹŷŲųű ŷŸŮŹũŻŷŹ-ŽżŶųſűŲ (A0, A1, A2) ŬűŸŮŹŪŷŴűƀŮźųŷŲ źűźŻŮŵƄ (3) ū Żŷŵ ű ŻŷŴƅųŷ ū Żŷŵ źŴżƀũŮ, ŮźŴű űŵŮŮŻ ŵŮźŻŷ źŴŮŭżƇƂŮŮ ŸŷŴŷůŮŶűŮ: {t ∈ T: ||A2(t)d 2q(t)/dt 2 + A1(t)dq(t)/dt + A0(t)q(t)||X = 0} ⊃ ⊃ {t ∈ T: ||w0(t)||Y + ¦ i=1,…,n ||wi(t)||Z = 0} (mod w), ∀(q, w0, …, wn) ∈ Q. ŐũŵŮƀũŶűŮ 2. i) ŎcŴű, ŸŹű ũŶũŴűŰŮ ŭűŶũŵűƀŮźųŷŬŷ Ÿżƀųũ N, ŷŪŶũŹżůűūũŮŻźƈ, ƀŻŷ i=1,…,n supp ||Bi(x, …, x)||Z = = supp ||x||X (mod w), ∀(x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ N, Żŷ Ÿżƀŷų N ŪżŭŮŻ ŹŮŬżŴƈŹŶƄŵ ŭŴƈ ŴƇŪŷŲ ŻŹŷŲųű ŷŸŮŹũŻŷŹ-ŽżŶųſűŲ (A0, A1, A2) ∈ L1(T, w, L(X, X)) × L1(T, w, L(X, X)) × L∞(T, w, L(X, X)); ii) ū źűŴż ŻŮŷŹŮŵƄ 2 [2] ű ŸŹŮŭźŻũūŴŮŶűƈ (2) N1, N2 űŰ (1) źżŻƅ ŹŮŬżŴƈŹŶƄŮ ŭűŶũŵűƀŮźųűŮ Ÿżƀųű. ŘŹűūŮŭŮŵ ŶŮŷŪŹŮŵŮŶűŻŮŴƅŶƄŮ űźžŷŭŶƄŮ ŸŷŴŷůŮŶűƈ, żŻŷƀŶƈƇƂűŮ ŸŷŰűſűƇ i) ŰũŵŮƀũŶűƈ 2. ŋ [2] ųŷŹŷŻųŷ ŷŪźżůŭũŮŻźƈ ŭŹżŬũƈ (ŬŮŷŵŮŻŹűƀŮźųũƈ) ŻŹũųŻŷūųũ ŷŪŹũŻŶŷŲ Űũŭũƀű (3) ű ŭũŮŻźƈ ūũŹűũŶŻ ŮƉ ŹŮƁŮŶűƈ - ŻŮŷŹŮŵũ 3 [2]. ŋ ŹũŰŭŮŴŮ 4 ŭũŶŶũƈ ŻŹũųŻŷūųũ ŸŷŴżƀűŻ ŭũŴƅŶŮŲƁŮŮ ŹũŰūűŻűŮ (ŷŶŷ ūƄŸűźũŶŷ ū ŽŷŹŵżŴűŹŷūųŮ ŻŮŷŹŮŵƄ 2 ű ŮƉ źŴŮŭźŻūűƈ 3) ŸŹű ŷŸŹŮŭŮŴŮŶŶƄž ŷŬŹũŶűƀŮŶűƈž Ŷũ ŵŷƂŶŷźŻƅ ŭűŶũŵűƀŮźųűž Ÿżƀųŷū N1, N2. ŦŻŷŬŷ ŶŮŴƅŰƈ źųũŰũŻƅ ū ŷŻŶŷƁŮŶűű źŻŹżųŻżŹƄ ŹŮŬżŴƈŻŷŹũ ź ŸŹŷŬŹũŵŵŶŷ-ŸŷŰűſűŷŶŶƄŵű źūƈŰƈŵű űŰ L(X i×Y j, Zij), j ≥ 2, ŸŷźųŷŴƅųż ū ŭũŶŶŷŵ źŴżƀũŮ, Ż.Ů. ųŷŬŭũ ŷŪŴũźŻƅ ŷŸŹŮŭŮŴŮŶűƈ ŷŸŮŹũŻŷŹũ B ∈ L(X i×Y j, Zij), j ≥ 2 ūųŴƇƀũŮŻ j-ŹũŰ ŸŮŹŮŵŮŶŶżƇ (żŸŹũūŴŮŶűŮ) u, ŵŷůŮŻ ŶŮ ūƄŸŷŴŶƈŻƅźƈ (źŵ. ųŷŵŵŮŶŻũŹűŲ źŶŷźųű 2) żźŴŷūűŮ B(x, …, dx/dt, …, u) ∈ L2(T, w, Zij). ŔŮŵŵũ 1 (ŵŷŭűŽűųũſűƈ ŴŮŵŵƄ 1 [14]). ŎźŴű ker B1 = 0, Żŷ ŭűŶũŵűƀŮźųűŲ Ÿżƀŷų N ŪżŭŮŻ ŹŮŬżŴƈŹŶƄŵ ŭŴƈ ŴƇŪƄž ŷŸŮŹũŻŷŹ-ŽżŶųſűŲ A0, A1 ∈ L1(T, w, L(X, X)), A2 ∈ L∞(T, w, L(X, X)). ōŷųũŰũŻŮŴƅźŻūŷ. ŨźŶŷ, ƀŻŷ ŸŷŴŷůŮŶűŮ ker B1 = 0 ūŴŮƀŮŻ i=1,…,n supp ||Bi(x, …, x)||Z = = supp ||x||X (mod w), ∀(x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ N. ŘŷƆŻŷŵż ŭŷźŻũŻŷƀŶŷ ŸŷųũŰũŻƅ, ƀŻŷ ŭŴƈ ŴƇŪƄž ŽżŶųſűŲ f ∈ AC(T, X), g ∈ L(T, w, R) ŹũūŮŶźŻūŷ df(t)/dt = =0 ūƄŸŷŴŶƈŮŻźƈ w-ŸŷƀŻű ūźƇŭż ū Tfg :={t ∈ T: ||f(t)||X + |g(t)| = 0}; ƈźŶŷ, ƀŻŷ ū źŻŹżųŻżŹŮ ŭŷųũŰũŻŮŴƅźŻūũ ŻŮŷŹŮŵƄ ŸũŹũ (f, df/dt) ūƄŸŷŴŶƈŮŻ ŭūŷƈųżƇ ŹŷŴƅ - ŹŷŴƅ ŸũŹƄ (x, dx/dt) ű ŸũŹƄ (dx/dt, d 2x/dt 2). ŘżźŻƅ Tf := {t ∈ T: f(t) = 0}. ŘŷźųŷŴƅųż Tf ⊃ Tfg, Żŷ ū źŴżƀũŮ w(Tf) = 0 żŻūŮŹůŭŮŶűŮ {t ∈ T: ||df(t)/dt||X = =0} ⊃ Tfg (mod w) ŸŹŷŰŹũƀŶŷ. ŘŷƆŻŷŵż ŹũźźŵŷŻŹűŵ ūũŹűũŶŻ w(Tf) ≠ 0. ŗŪŷŰŶũƀűŵ ƀŮŹŮŰ T0 := {t ∈ Tf: ∃δ > 0, w((t-δ, t+δ) ŀ Tf) = 0}. ŘŷųũůŮŵ, ƀŻŷ w(T0) = 0. ōŴƈ ƆŻŷŬŷ ūƄŪŮŹŮŵ ųũůŭŷŵż t ∈ T0 ųŷŶźŻũŶŻż δ*t > 0 Żũų, ƀŻŷ w((t-δ*t, t+δ*t) ŀ Tf) = 0. ŖũŲŭƉŵ ŻũųűŮ ŹũſűŷŶũŴƅŶƄŮ ƀűźŴũ δ′t, δ′′t, ƀŻŷ δ′t ∈ (t-δ*t, t), δ′′t ∈ (t, t+δ*t) ű ŸżźŻƅ It := (δ′t, δ′′t). śŷŬŭũ źŮŵŮŲźŻūŷ űŶŻŮŹūũŴŷū {It}t∈T0 ŸŷųŹƄūũŮŻ ŵŶŷůŮźŻūŷ T0, ũ Ż.ų. ųũůŭƄŲ űŶŻŮŹūũŴ It ƈūŴƈŮŻźƈ ŷŻųŹƄŻƄŵ ź ŹũſűŷŶũŴƅŶƄŵű ųŷŶſũŵű, Żŷ źŮŵŮŲźŻūŷ {It}t∈T0 źŷŭŮŹůűŻ źƀƉŻŶŷŮ ŸŷŭźŮŵŮŲźŻūŷ {Iti}i=1,2,…, ŻũųůŮ ƈūŴƈƇƂŮŮźƈ ŸŷųŹƄŻűŮŵ ŵŶŷůŮźŻūũ T0. ōũŴŮŮ, ŸŷźųŷŴƅųż ŭŴƈ ŴƇŪŷŬŷ űŶŭŮųźũ i = 1, 2 , … ūƄŸŷŴŶƈŮŻźƈ Iti ⊂ (ti-δ*ti, ti+δ*ti), Żŷ w(Iti ŀ Tδ)= =0, ű ŰŶũƀűŻ źŸŹũūŮŭŴűūũ źŴŮŭżƇƂũƈ «ſŮŸŷƀųũ» w-ŷŻŶŷƁŮŶűŲ: w(T0) = w(T0 ŀ (i = 1, 2, …Iti)) = = w(i = 1, 2, …T0 ŀ Iti) ≤ Σi=1, 2, … w(T0 ŀ Iti) = 0, ŷŻųżŭũ w(T0) = 0. śŮŸŮŹƅ ŸŹŷūŮŭƉŵ ŰũūŮŹƁũƇƂżƇ ƀũźŻƅ ŭŷųũŰũŻŮŴƅźŻūũ. ŘżźŻƅ t ∈ Tf\\T0, ŻŷŬŭũ ŭŴƈ ŴƇŪŷŬŷ δ > 0 ŪżŭŮŻ w((t-δ, t+δ) ŀ Tf) > 0, ű ŸŷźųŷŴƅųż f∈ AC(T, X), Żŷ ŶũŲŭƉŻźƈ ŻũųŷŮ ŵŶŷůŮźŻūŷ T * ⊂ T, ƀŻŷ w(T *) = 0 ű ∀t ∈ Tf\\T * źżƂŮźŻūżŮŻ df(t)/dt. ŘŷųũůŮŵ, ƀŻŷ df(t)/dt = 0 ŭŴƈ t ∈ Tf\\(T0 T *). ōŮŲźŻūűŻŮŴƅŶŷ, ŭŴƈ ŴƇŪŷŬŷ ŶũŻżŹũŴƅŶŷŬŷ k űŵŮŮŵ w((t - 1/k, t + 1/k) ŀ Tf) > 0 ű, źŴŮŭŷūũŻŮŴƅŶŷ, ŶũŲŭƉŻźƈ ŵŷŵŮŶŻ tk ≠ t, |tk-t| < 1/k, tk ∈ Tf. Ŗŷ ŻŷŬŭũ ū źŻŹżųŻżŹŮ źűŴƅŶŷŲ ŻŷŸŷŴŷŬűű ŪżŭŮŻ ūƄŸŷŴŶƈŻźƈ ŸŹŮŭŮŴƅŶƄŲ ŸŮŹŮžŷŭ (ƀŻŷ, ū ųŷŶŮƀŶŷŵ űŻŷŬŮ, ű ŻŹŮŪŷūũŴŷźƅ ŸŷųũŰũŻƅ): df(t)/dt = lim{(f(t-Δt) - f(t))/Δt: Δt → 0} = = lim{(f(tk) - f(t))/(tk - t) = 0 ∈ X: k → ∞} = 0 ∈ X. ŚŴŮŭźŻūűŮ 1. ŎźŴű (x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ Ř ű ker B1 = 0, Żŷ ℘ν ⊂℘ν_, ŬŭŮ ν, ν_ - źŷŷŻūŮŻźŻūżƇƂűŮ ŴŮŪŮŬŷūźųű ŸŷŸŷŴŶŮŶŶƄŮ ŪűžŮūűŷŹűźŻűƀŮźųűŮ ŵŮŹƄ ūűŭũ =1,…,n ||Bi, ν_(S) := ³S ||A2(τ)d 2x(τ)/dτ 2 + A1(τ)dx(τ)/dτ + A0(τ)x(τ)||X w(dτ), S ∈℘μ, ŸŹű ƆŻŷŵ, ŮźŴű Im B1 = Z1, Żŷ ||A2d 2x/dt 2 + A1dx/dt + A0x||X =1,…,n ||Bi(x, …, x)(ś, w, R) ⇔ ⇔ ||A2d 2x/dt 2 + A1dx/dt + A0x||X + ||x_X + ¦ i=2,…,n ||Bi(x, …, x)(ś, w, R), ŭŴƈ ŴƇŪƄž ŷŸŮŹũŻŷŹ-ŽżŶųſűŲ A0, A1 ∈ L1(T, w, L(X, X)), A2 ∈ L∞(T, w, L(X, X)). őŰ ŽżŶųſűŷŶũŴƅŶŷŲ ųŷŶźŻŹżųſűű (4) ź ŷƀŮūűŭŶŷźŻƅƇ źŴŮŭżŮŻ, ƀŻŷ ŷŸŮŹũŻŷŹ řŮŴŮƈ-řűŻſũ żŭŷūŴŮŻūŷŹƈŮŻ ŸŹŷźŻƄŵ (Ŷŷ ūũůŶƄŵ) źŷŷŻŶŷƁŮŶűƈŵ: 0 ≤LΨ(φ), ŬŭŮ 0 ∈ L(T, w, R), φ ∈ Π, (5) Ψ(βφ) = Ψ(φ), 0 ≠ β ∈ R. śŮŷŹűƈ ŷŸŮŹũŻŷŹũ řŮŴŮƈ-řűŻſũ ŶżůŭũŮŻźƈ ū ŷƀŮŶƅ ŻŷƀŶŷŵ ŻŮŷŹŮŻűųŷ-ŵŶŷůŮźŻūŮŶŶŷŵ ƈŰƄųŮ, ƀŻŷ ŰũźŻũūŴƈŮŻ Ŷũź żŭŮŴűŻƅ ƆŻŷŵż ƈŰƄųż ŷźŷŪŷŮ ūŶűŵũŶűŮ. ŘŷƆŻŷŵż ŸŹŮůŭŮ ƀŮŵ űŭŻű ŭũŴƅƁŮ, Ŷũŵ ŪżŭŮŻ żŭŷŪŶŷ ūūŮźŻű ŭŷŸŷŴŶűŻŮŴƅŶżƇ ŻŮŹŵűŶŷŴŷŬűƇ. ŗŸŹŮŭŮŴŮŶűŮ 2 [12, 13]. ŗŸŮŹũŻŷŹ řŮŴŮƈ-řűŻſũ ŶũŰŷūŮŵ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŶƄŵ ź ūŮźŷŵ α ∈ R Ŷũ ŵŶŷůŮźŻūŮ E ⊂ Π, ŮźŴű ŭŴƈ ŴƇŪŷŲ ŸũŹƄ (φ1, φ2) ∈ E×E źŸŹũūŮŭŴűūŷ ŶŮŹũūŮŶźŻūŷ Ψ(φ1 + φ2) ≤L αΨ(φ1) + αΨ(φ2). ŔŮŵŵũ 2. ŘŷŴżũŭŭűŻűūŶŷźŻƅ (ź ŽűųźűŹŷūũŶŶƄŵ ūŮźŷŵ) ŷŸŮŹũŻŷŹũ řŮŴŮƈ-řűŻſũ ŮźŻƅ źūŷŲźŻūŷ ųŷŶŮƀŶŷŬŷ žũŹũųŻŮŹũ ŭŴƈ ŸŷŭŵŶŷůŮźŻū ŵŶŷůŮźŻūũ Π. ōŷųũŰũŻŮŴƅźŻūŷ. ŘżźŻƅ Ŷũ ŶŮųŷŻŷŹŷŵ ŵŶŷůŮźŻūŮ E ⊂ Π ŷŸŮŹũŻŷŹ řŮŴŮƈ-řűŻſũ Ψ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ ź ŶŮųŷŻŷŹƄŵ ūŮźŷŵ α, ŻŷŬŭũ ŭũŶŶƄŲ ŷŸŮŹũŻŷŹ ŪżŭŮŻ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ ź ƆŻűŵ ūŮźŷŵ Ŷũ ŴƇŪŷŵ ųŷŶŮƀŶŷŵ ŸŷŭŵŶŷůŮźŻūŮ űŰ E. Ś ŭŹżŬŷŲ źŻŷŹŷŶƄ, ŮźŴű Ψ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ ź ŻŮŵ ůŮ ūŮźŷŵ Ŷũ ŴƇŪŷŵ ųŷŶŮƀŶŷŵ ŸŷŭŵŶŷůŮźŻūŮ ŵŶŷůŮźŻūũ E, Żŷ ŭŴƈ ŴƇŪŷŲ ŸũŹƄ ūŮųŻŷŹ-ŽżŶųſűŲ (φ1, φ2) ∈ E×E ŪżŭŮŻ ūƄŸŷŴŶƈŻƅźƈ Ψ(φ1 + φ2) ≤L αΨ(φ1) + αΨ(φ2), ŸŷźųŷŴƅųż Ŷũ ŸŷŭŵŶŷůŮźŻūŮ {φ1, φ2} ⊂ E ŷŸŮŹũŻŷŹ Ψ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ ź ūŮźŷŵ α. ŋŰũűŵŷŷŻŶŷƁŮŶűŮ ŵŮůŭż ŴŮŵŵŷŲ 2 ű ŴŮŵŵŷŲ śŮŲžŵƇŴŴŮŹũ-śƅƇųű6 ŸŹűūŷŭűŻ ų ūũůŶŷŲ ŬŮŷŵŮŻŹűƀŮźųŷŲ žũŹũųŻŮŹűźŻűųŮ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŶŷźŻű ŷŸŮŹũŻŷŹũ řŮŴŮƈ-řűŻſũ, ũ űŵŮŶŶŷ: ū Π źżƂŮźŻūżƇŻ ŵũųźűŵũŴƅŶƄŮ ŵŶŷůŮźŻūũ, Ŷũ ųŷŻŷŹƄž ŷŸŮŹũŻŷŹ (4) ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ ź ŶŮųŷŻŷŹƄŵ ūŮźŷŵ α > 0, ŸŹű ƆŻŷŵ ŭũŶŶƄŮ ŵŶŷůŮźŻūũ ŶŮ ŵŷŬżŻ ŪƄŻƅ ŴűŶŮŲŶƄŵű ū źŴżƀũŮ α ∈ (0, 1); ƀŻŷŪƄ żŪŮŭűŻƅźƈ, ŭŷźŻũŻŷƀŶŷ ŹũźźŵŷŻŹŮŻƅ ŭŮŲźŻūűŮ Ψ Ŷũ ŸũŹŮ (φ, 0) ∈ E×E, φ ≠ 0 Űũ űźųŴƇƀŮŶűŮŵ ŻŹűūűũŴƅŶŷŬŷ ūũŹűũŶŻũ E= {0} ⊂ Π, űŵŮŶŶŷ ŸŷƆŻŷŵż ŶűůŮ ū ŴŮŵŵŮ 3 (ű Ÿŷ żŵŷŴƀũŶűƇ ŭũŴƅƁŮ) ŸŹŮŭŸŷŴũŬũŮŻźƈ, ƀŻŷ ūŮź ŸŷŴżũŭŭűŻűūŶŷźŻű ŷŸŮŹũŻŷŹũ Ψ - ŶŮųŷŻŷŹũƈ ŽűųźűŹŷūũŶŶũƈ ŸŷźŻŷƈŶŶũƈ α ∈ [1, ∞). ŔŮŵŵũ 3. ŘżźŻƅ α ∈ [1, ∞), ŻŷŬŭũ ū Π źżƂŮźŻūżŮŻ (ŶŮ ŮŭűŶźŻūŮŶŶŷŮ) ŵũųźűŵũŴƅŶŷŮ ŷŻŶŷźűŻŮŴƅŶŷ ŻŮŷŹŮŻűųŷ-ŵŶŷůŮźŻūŮŶŶŷŬŷ ūųŴƇƀŮŶűƈ ŴűŶŮŲŶŷŮ ŵŶŷůŮźŻūŷ E, Ŷũ ųŷŻŷŹŷŵ ŷŸŮŹũŻŷŹ řŮŴŮƈ-řűŻſũ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ ź ūŮźŷŵ α. ōŷųũŰũŻŮŴƅźŻūŷ. ŘżźŻƅ (q1, w01, …, wn1) - ŶŮŶżŴŮūŷŲ ƆŴŮŵŮŶŻ ū Π. śŷŬŭũ ū źűŴż (5) ŷŸŮŹũŻŷŹ Ψ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ ź ūŮźŷŵ α Ŷũ ŴűŶŮŲŶŷŲ ŷŪŷŴŷƀųŮ E1 Ŷũŭ (q1, w01, …, wn1). ōũŴŮŮ, ŸżźŻƅ (q2, w02, …, wn2) ∈ Π, (q2, w02, …, wn2) ∉ E1 ű Ψ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ Ŷũ E1 {(q2, w02, …, wn2)} ź ūŮźŷŵ α; ŮźŴű ŻũųŷūŷŬŷ ƆŴŮŵŮŶŻũ ŶŮ źżƂŮźŻūżŮŻ, Żŷ E1 - űźųŷŵŷŮ ŵũųźűŵũŴƅŶŷŮ ŵŶŷůŮźŻūŷ. ŋƄŪŮŹŮŵ ū E1 + E2, ŬŭŮ E2 - ŴűŶŮŲŶũƈ ŷŪŷŴŷƀųũ Ŷũŭ (q2, w02, …, wn2), ŸŹŷűŰūŷŴƅŶƄŲ ƆŴŮŵŮŶŻ β1(q1, w01, …, wn1) + β2(q2, w02, …, wn2), β1, β2 ∈ R, β2 ≠ 0. ŋ ŻũųŷŲ ŸŷźŻũŶŷūųŮ ū źŷŷŻūŮŻźŻūűű ź ŽŷŹŵżŴũŵű (5) ŪżŭżŻ ūƄŸŷŴŶƈŻƅźƈ źŷŷŻŶŷƁŮŶűƈ: Ψ(β1(q1, w01, …, wn1) + β2(q2, w02, …, wn2)) = = Ψ(β1β2-1(q1, w01, …, wn1) + (q2, w02, …, wn2)) ≤L ≤L αΨ(β1β2-1(q1, w01, …, wn1)) + αΨ(q2, w02, …, wn2)) = = αΨ(β1(q1, w01, …, wn1)) + αΨ(β2(q2, w02, …, wn2)), ŷŻųżŭũ źŴŮŭżŮŻ, ƀŻŷ ŷŸŮŹũŻŷŹ Ψ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ Ŷũ ŴűŶŮŲŶŷŵ ŵŶŷŬŷŷŪŹũŰűű E1 + E2 ź ūŮźŷŵ α. řũźźżůŭũƈ ũŶũŴŷŬűƀŶŷ, ŵŷůŶŷ ŸŷųũŰũŻƅ, ƀŻŷ ū ŸŹŮŭƄŭżƂűž ūƄųŴũŭųũž E1 ŵŷůŶŷ ŰũŵŮŶűŻƅ Ŷũ ŴƇŪŷŮ ŶŮŶżŴŮūŷŮ ŴűŶŮŲŶŷŮ ŸŷŭŵŶŷůŮźŻūŷ űŰ Π, Ŷũ ųŷŻŷŹŷŵ Ψ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ ź ūŮźŷŵ ŹũūŶƄŵ α. ŗźŻũŴƅŶƄŮ ŸŷźŻŹŷŮŶűƈ ŪżŭżŻ ųũźũŻƅźƈ ſŮŸŮŲ, ŸŷƆŻŷŵż ŸżźŻƅ P - źŮŵŮŲźŻūŷ ūźŮž żŸŷŹƈŭŷƀŮŶŶƄž ŸũŹ (E#, α#), ŬŭŮ E# - ŶŮŶżŴŮūŷŮ ŴűŶŮŲŶŷŮ ŵŶŷůŮźŻūŷ ū Π ű α# ∈ [1, ∞), ŸŹűƀƉŵ ŷŸŮŹũŻŷŹ řŮŴŮƈ-řűŻſũ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ Ŷũ E# ź ūŮźŷŵ α#. ŋūŮŭŮŵ ū P ƀũźŻűƀŶŷŮ żŸŷŹƈŭŷƀŮŶűŮ <<, źƀűŻũƈ (E#, α#) << (E##, α##) ⇔ E# ⊂ E##, α# = α##. Řŷ ŻŮŷŹŮŵŮ ŞũżźŭŷŹŽũ (ŸŹűŶſűŸ ŵũųźűŵżŵũ ŞũżźŭŷŹŽũ [15]) ū źŮŵŮŲźŻūŮ P źżƂŮźŻūżŮŻ Ω - ŵũųźűŵũŴƅŶũƈ ſŮŸƅ (ŵũųźűŵũŴƅŶŷŮ ŴűŶŮŲŶŷ żŸŷŹƈŭŷƀŮŶŶŷŮ ŵŶŷůŮźŻūŷ), źŷŭŮŹůũƂũƈ ſŮŸƅ (E1, α) << (E1 + E2, α). ŘżźŻƅ ŝ - ŵŶŷůŮźŻūŷ ūźŮž ŴűŶŮŲŶƄž ŵŶŷůŮźŻū Eγ ū Π, Żũųűž, ƀŻŷ (Eγ, α) ∈ Ω. śŷŬŭũ ŝ ŪżŭŮŻ ŴűŶŮŲŶŷ żŸŷŹƈŭŷƀŮŶŷ ŷŻŶŷźűŻŮŴƅŶŷ ŻŮŷŹŮŻűųŷ-ŵŶŷůŮźŻūŮŶŶŷŬŷ ūųŴƇƀŮŶűƈ, źŴŮŭŷūũŻŮŴƅŶŷ, ŷŪƃŮŭűŶŮŶűŮ E := {Eγ: Eγ ∈ ŝ} ŷŪŹũۿٯ (ŻŹűūűũŴƅŶƄŵ ŷŪŹũŰŷŵ) ŴűŶŮŲŶŷŮ ŵŶŷŬŷŷŪŹũŰűŮ ū Π. ōũŴŮŮ, ŮźŴű (φ1, φ2) ∈ E×E, Żŷ, ŷƀŮūűŭŶŷ, (φ1, φ2) ∈ Eγ×Eγ ŭŴƈ ŶŮųŷŻŷŹŷŬŷ ŵŶŷůŮźŻūũ Eγ ∈ ŝ, ŷŻųżŭũ ŸŹűžŷŭűŵ ų ūŮźŷūŷŲ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŶŷźŻű ŭŴƈ ŸũŹƄ (φ1, φ2) ŷŸŮŹũŻŷŹũ Ψ: Ψ(φ1 + φ2) ≤L αΨ(φ1) + αΨ(φ2) ű ŰŶũƀűŻ (E, α) ∈ Ω. ŘŹű ƆŻŷŵ ŮźŴű ŪƄ ŵŶŷŬŷŷŪŹũŰűŮ E ŶŮ ŷųũŰũŴŷźƅ ŵũųźűŵũŴƅŶƄŵ ū Π, Ŷũ ųŷŻŷŹŷŵ ŶũƁ ŷŸŮŹũŻŷŹ Ψ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ ź ūŮźŷŵ α, Żŷ ųŷŶźŻŹżųſűƈ ŴűŶŮŲŶŷŬŷ ŹũźƁűŹŮŶűƈ, żųũŰũŶŶũƈ ūƄƁŮ, ŸŷŰūŷŴűŴũ ŪƄ ŸŷŴżƀűŻƅ ū źŮŵŮŲźŻūŮ P ƆŴŮŵŮŶŻ (E*, α), ŭŴƈ ųŷŻŷŹŷŬŷ E* źŻŹŷŬŷ źŷŭŮŹůűŻ E, Ŷŷ ƆŻŷ ŸŹŷŻűūŷŹŮƀűŴŷ ŪƄ ŵũųźűŵũŴƅŶŷźŻű ſŮŸű Ω ū źŮŵŮŲźŻūŮ P. 3. śŎŗřŎŕʼn ŚŜŢŎŚśŋŗŋʼnŖőŨ IP-řŎŌŜŔŨśŗřʼn ŘŹŮŭŵŮŻ űźźŴŮŭŷūũŶűƈ ƆŻŷŬŷ ŹũŰŭŮŴũ - źżƂŮźŻūŷūũŶűŮ ŷŸŮŹũŻŷŹ-ŽżŶųſűŲ űŶūũŹűũŶŻŶŷŬŷ ŸŷŴűŴűŶŮŲŶŷŬŷ ŹŮŬżŴƈŻŷŹũ źűźŻŮŵƄ (3). ŖŮ źŻŹŮŵƈźƅ ų ŽŷŹŵżŴűŹŷūųŮ ŶũűŴżƀƁŮŬŷ ŸŷŴŷůűŻŮŴƅŶŷŬŷ ŹŮŰżŴƅŻũŻũ ū ƆŻŷŵ ŶũŸŹũūŴŮŶűű, ŭũŭűŵ ŮŬŷ ū ūűŭŮ ųŷŵŸũųŻŶŷŲ ŻŮŷŹŮŵƄ - ŸŹŷźŻŷŮ ŭŷźŻũŻŷƀŶŷŮ żźŴŷūűŮ; ūźŮ ƀũźŻű ŮŬŷ ŭŷųũŰũŻŮŴƅźŻūũ Ÿŷ źżƂŮźŻūż żůŮ ŸŷŭŬŷŻŷūŴŮŶƄ Ŷũŵű, ű ŷźŻũŴŷźƅ ŻŷŴƅųŷ źŷŮŭűŶűŻƅ űž. śŮŷŹŮŵũ 1. ŘżźŻƅ N1, N2 ⊂ Π - Ÿżƀųű ŭűŶũŵűƀŮźųűž ŸŹŷſŮźźŷū (1), (2). śŷŬŭũ Űũŭũƀũ (3) ŹũŰŹŮƁűŵũ, ŮźŴű ŷŸŮŹũŻŷŹ řŮŴŮƈ-řűŻſũ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ ź ŶŮųŷŻŷŹƄŵ ūŮźŷŵ Ŷũ ŴűŶŮŲŶŷŵ ŵŶŷŬŷŷŪŹũŰűű ŖũŸŷŵŶűŵ, ƀŻŷ ŴŮŵŵũ śŮŲžŵƇŴŴŮŹũ-śƅƇųű ƈūŴƈŮŻźƈ ũŴƅŻŮŹŶũŻűūŶŷŲ ŽŷŹŵŷŲ ũųźűŷŵƄ ūƄŪŷŹũ [15]. Span N1 + Span N2. ŐũŵŮƀũŶűŮ 3. ŗźŻũŮŻźƈ ŷŻųŹƄŻƄŵ ūŷŸŹŷź: ƆųūűūũŴŮŶŻŶũ Ŵű ŻŮŷŹŮŵũ 1 ŻŮŷŹŮŵŮ 3 [2] - ŹŮƁŮŶűŮ Űũŭũƀű űŶūũŹűũŶŻŶŷŬŷ ŹũźƁűŹŮŶűƈ ŭűŽŽŮŹŮŶſűũŴƅŶŷŲ ŹŮũŴűŰũſűű ū ŻŮŹŵűŶũž żŬŴŷūŷŲ ŵŮŻŹűųű ŸŷŭŸŹŷźŻŹũŶźŻū ŬűŴƅŪŮŹŻŷūũ ŸŹŷźŻŹũŶźŻūũ; ŸŹű ƆŻŷŵ ŻŮŷŹŮŵũ 1 żųũŰƄūũŮŻ Ŷũ ŰŶũƀűŵŷźŻƅ ( ū ŭżžŮ a majore ad minus) ųŷŶźŻŹżųſűű ūŮźũ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŶŷźŻű ŷŸŮŹũŻŷŹũ (4) ŸŹű ŷŪźżůŭŮŶűű ūŷŸŹŷźũ ŷ ŹũźƁűŹŮŶűű Ÿżƀųŷū ŭűŶũŵűƀŮźųűž ŸŹŷſŮźźŷū, ŭŷŸżźųũƇƂűž ŭűŽŽŮŹŮŶſűũŴƅŶżƇ ŹŮũŴűŰũſűƇ (3). ōŷųũŰũŻŮŴƅźŻūŷ ŻŮŷŹŮŵƄ 1. ŘŷźųŷŴƅųż ŴűŶŮŲŶƄŮ ŷŪŷŴŷƀųű Span N1 ű Span N2 - ŸŷŬŴŷƂũƇƂűŮ ŵŶŷůŮźŻūũ ū źŮŪŮ, Żŷ ū źűŴż ŻŮŷŹŮŵƄ 2 [2] ŶũŲŭżŻźƈ ŭūŮ ŽżŶųſűű φ1, φ2 ∈ L2(T, w, R), ŭŴƈ ųŷŻŷŹƄž ŪżŭżŻ ūƄŸŷŴŶƈŻƅźƈ źŴŮŭżƇƂűŮ ŭūũ ŽżŶųſűŷŶũŴƅŶƄž ŶŮŹũūŮŶźŻūũ2 supLΨ[Span N1] ≤L φ1, supLΨ[Span N2] ≤L φ2. ŋƄŪŮŹŮŵ ū ŵŶŷŬŷŷŪŹũŰűű Span N1 + Span N2 ū ųũƀŮźŻūŮ ŮŬŷ ŸŷŬŴŷƂũƇƂŮŬŷ ŵŶŷůŮźŻūũ źũŵŷ ƆŻŷ ŵŶŷŬŷŷŪŹũŰűŮ. śŷŬŭũ ū źűŴż ŸŷŴżũŭŭűŻűūŶŷźŻű Ψ (ź ūŮźŷŵ α) Ŷũ Span N1 + Span N2 ŸŷŴżƀũŮŵ supLΨ[Span N1 + Span N2] ≤L ≤L αsupLΨ[Span N1] + αsupLΨ[Span N2] ≤L α(φ1 + φ2), ŷŻųżŭũ, űźžŷŭƈ űŰ ŻŮŷŹŮŵƄ 2 [2], źŴŮŭżŮŻ (ź żƀŮŻŷŵ Span N = Span N1 + Span N2 ű ŸżŶųŻũ ii) ŰũŵŮƀũŶűƈ 2), ƀŻŷ ŵŶŷůŮźŻūŷ ŸŹŷſŮźźŷū N1 N2 ŷŪŴũŭũŮŻ ŭűŽŽŮŹŮŶſűũŴƅŶŷŲ ŹŮũŴűŰũſűŮŲ (3). ŚŴŮŭźŻūűŮ 2. ŘżźŻƅ ŵŶŷůŮźŻūũ N1, N2, …, Nk ⊂ Π űŵŮƇŻ ŹŮũŴűŰũſűű (2). śŷŬŭũ i=1,…,k Ni, - źŮŵŮŲźŻūŷ ŹŮƁŮŶűŲ źűźŻŮŵƄ (3) ŭŴƈ ŶŮųŷŻŷŹŷŲ żŸŷŹƈŭŷƀŮŶŶŷŲ źűźŻŮŵƄ (B0+, …, Bn+) ∈ L2, ŮźŴű Ψ ŸŷŴżũŭŭűŻűūŮŶ ź ūŮźŷŵ Ŷũ ŴűŶŮŲŶŷŵ ŵŶŷŬŷŷŪŹũŰűű źżŵŵƄ ŴűŶŮŲŶƄž ŷŪŷŴŷƀŮų ƆŻűž ŵŶŷůŮźŻū: Span N1 + Span N2 + … + Span Nk. ŚŴŮŭźŻūűŮ 2 ŸŷŰūŷŴƈŮŻ źŻŹŷűŻƅ ũŴŬŮŪŹż ŵŶŷůŮźŻū ŭűŶũŵűƀŮźųűž ŸŹŷſŮźźŷū ź ŮŭűŶűſŮŲ i=1,…,k Ni, ūźŮ ƆŴŮŵŮŶŻƄ ųŷŻŷŹŷŲ (ųũų źŷūŷųżŸŶŷźŻƅ ūźŮž ŸŷŭŵŶŷůŮźŻū ŮŭűŶűſƄ) ŷŪŴũŭũƇƂŮŲ ŹŮũŴűŰũſűŮŲ (3) ź ŽűųźűŹŷūũŶŶŷŲ ŵŷŭŮŴƅƇ (3), ŸŹű ƆŻŷŵ ūŷŸŹŷź ŷŪ «űŶŭűūűŭżũŴƅŶŷŵ» žũŹũųŻŮŹűźŻűƀŮźųŷŵ ŸŹűŰŶũųŮ ŭűŽŽŮŹŮŶſűũŴƅŶŷŲ ŹŮũŴűŰũſűű ŭŴƈ ųũůŭŷŬŷ ŷŻŭŮŴƅŶŷŬŷ Ÿżƀųũ Ni (i = 1, …, k) ŷźŷŪŮŶŶŷ ŸŹŷźŻŷ (ųŷŶźŻŹżųŻűūŶŷ) ŹŮƁũŮŻźƈ Ŷũ źŮŵŮŲźŻūŮ ŷŭŶŷƆŴŮŵŮŶŻŶƄž Ni = {(x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x))i}: Ψ((xi, ui, B1(x), …, Bn(x, …, x))i) ∈ L2(T, w, R), i = 1, …, k; ƀŻŷ ŮźŻƅ ũŶũŴűŻűƀŮźųűŲ ŽũųŻ ŻŮŷŹŮŵƄ 1 [2]. ŎźŴű ŭũŶŶƄŮ źŷŷŻŶŷƁŮŶűƈ (űŴű ŶŮųŷŻŷŹƄŮ űŰ Ŷűž) ŶŮ ūƄŸŷŴŶƈƇŻźƈ, ŵŷůŶŷ źŻũūűŻƅ Űũŭũƀż źűŶŻŮŰũ Bi ∈ L(X i, Zi), i = 1, …, n, ŷŪŮźŸŮƀűūũƇƂűž ŷŰŶũƀŮŶŶƄŮ żźŴŷūűƈ3, ŸŹű ƆŻŷŵ ŵŮŻŷŭŷŴŷŬűƀŮźųű ƆŻż Űũŭũƀż ŵŷůŶŷ ŻŹũųŻŷūũŻƅ ųũų źŻŹżųŻżŹŶżƇ űŭŮŶŻűŽűųũſűƇ4 ŶŮŴűŶŮŲŶŷŲ ųŷŵŸŷŶŮŶŻƄ żŹũūŶŮŶűƈ (3); ū ŭũŶŶŷŵ ųŷŶŻŮųźŻŮ źŵ. ŸŷŴŷůŮŶűƈ ŹũŪŷŻƄ [11]. 4. ŚŕŎŏŖŤŎ ŋŗŘřŗŚŤ śŮŸŮŹƅ ŸŷźŵŷŻŹűŵ, ųũųűŮ ũŶũŴűŻűƀŮźųűŮ ŹŮŰżŴƅŻũŻƄ ū ŹŮƁŮŶűű Űũŭũƀű źżƂŮźŻūŷūũŶűƈ ŹŮũŴűŰũſűű ŷŸŮŹũŻŷŹ-ŽżŶųſűŲ (B0+, …, Bn+) ∈ L2 ŬűŸŮŹŪŷŴűƀŮźųŷŲ źűźŻŮŵƄ (3) ŸŹűūŶŷźƈŻ żźŴŷūűƈ: N1 ⊂ {(x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ Π}, 1 ≤ Card N1 ≤ ʠ0 (ũŴŮŽ-ŶżŴƅ) - ŶŮ ŪŷŴŮŮ ƀŮŵ źƀŮŻŶƄŲ Ÿżƀŷų ŹŮƁŮ- ŶűŲ źűźŻŮŵƄ (2) ź żŸŷŹƈŭŷƀŮŶŶŷŲ źűźŻŮŵŷŲ ŷŸŮŹũŻŷŹ-ŽżŶųſűŲ (B01, …, Bn1) ∈ L2, N2 := (x*, u*, B1(x*), …, Bn(x*, …, x*)) ∈ Π - ŹŮƁŮŶűŮ źűźŻŮŵƄ (2) ź ŶũŪŷŹŷŵ ŷŸŮŹũŻŷŹ-ŽżŶųſűŲ (B02, …, Bn2) ∈ L2, ŸŹű ƆŻŷŵ (B02, …, Bn2) ≠ (B01, …, Bn1) ű (x*, u*, B1(x*), …, Bn(x*, …, x*)) ∉ Span N1; Ż.ŷ. «ŷŪƃŮŭűŶŮŶŶƄŲ» ŭűŶũŵűƀŮźųűŲ Ÿżƀŷų N ŴűŪŷ ųŷŶŮƀŶƄŲ, ŴűŪŷ źƀŮŻŶƄŲ. ŗƀŮūűŭŶŷ, ƀŻŷ ū ŴƇŪŷŲ ŻŷƀųŮ t ∈ T ūŷŰŵŷůŶŷ ŹũŰŴŷůŮŶűŮ ū ŬűŴƅŪŮŹŻŷūŷŵ ŸŹŷźŻŹũŶźŻūŮ U ūŮųŻŷŹũ (u*(t), B1(x*(t)), …, Bn(x*(t), …, x*(t))) Ŷũ ŸŹŷŮųſűƇ ū Span {(u(t), B1(x(t)), …, Bn(x(t), …, x(t))): (x, u, B1(x), …, Bn(x, …, x)) ∈ N1}, ųŷŻŷŹżƇ ŷŪŷŰŶũƀűŵ (u*(t), B1(x*(t)), …, Bn(x*(t), …, x*(t)))_, ű ŭŷŸŷŴŶŮŶűŮ (u*(t), B1(x*(t)), …, Bn(x*(t), …, x*(t)))⊥ := = (u*(t), B1(x*(t)), …, Bn(x*(t), …, x*(t))) - (u*(t), B1(x*(t)), …, Bn(x*(t), …, x*(t)))_. ŋ ŭũŶŶŷŲ ŸŷźŻũŶŷūųŮ ŶŮźŴŷůŶŷ żźŻũŶŷūűŻƅ, ƀŻŷ ūŮųŻŷŹ-ŽżŶųſűű t (u*(t), B1(x*(t)), …, Bn(x*(t), …, x*(t))_: T → U, t (u*(t), B1(x*(t)), …, Bn(x*(t), …, x*(t)))⊥: T → U ƈūŴƈƇŻźƈ w-űŰŵŮŹűŵƄŵű5. ōũŴŮŮ, ŷŪŷŰŶũƀűŵ ƀŮŹŮŰ Ŏ1(N1), Ŏ2(N2) ⊂ H2 ŸŷŭŸŹŷźŻŹũŶźŻūũ űŰ ŽŷŹŵżŴű- Źŷūųű ŻŮŷŹŮŵƄ 3 [2], ƀŮŹŮŰ Ŏ⊥(N2) - ŰũŵƄųũŶűŮ ū H2 ŴűŶŮŲŶŷŲ ŷŪŷŴŷƀųű Span {χ⋅(u*, B1(x*), …, Bn(x*, …, x*))⊥: χ ∈ F}, ŬŭŮ F ⊂ L(ś, w, R) - źŮŵŮŲźŻūŷ ųŴũźźŷū ƆųūűūũŴŮŶŻŶŷźŻű (mod w) ūźŮž žũŹũųŻŮŹűźŻűƀŮźųűž ŽżŶųſűŲ, űŶŭżſűŹŷūũŶŶƄž ƆŴŮŵŮŶŻũŵű σ-ũŴŬŮŪŹƄ ℘μ. ŔŮŵŵũ 4. ŘŷŭŸŹŷźŻŹũŶźŻūũ Ŏ1 ű Ŏ⊥ ŷŹŻŷŬŷŶũŴƅŶƄ ū ŬűŴƅŪŮŹŻŷūŷŵ ŸŹŷźŻŹũŶźŻūŮ H2. ŋŮŰŭŮ ŭũŴŮŮ ŭŴƈ ŭūżž ŰũŵųŶżŻƄž ŸŷŭŸŹŷźŻŹũŶźŻū űŰ ŸŹŷźŻŹũŶźŻūũ H2, Żũųűž, ƀŻŷ űž ŸŮŹŮźŮƀŮŶűŮ ŮźŻƅ {0} ⊂ H2, ũ ūŮųŻŷŹŶũƈ źżŵŵũ ŰũŵųŶżŻũ ū H2, żźŴŷūűŵźƈ ŰŶũų űž ūŮųŻŷŹŶŷŬŷ źŴŷůŮŶűƈ, ŷŪŷŰŶũƀũŻƅ ƀŮŹŮŰ ⊕, ū ƀũźŻŶŷźŻű, ŻŮŷŹŮŵũ 14.Ś [9] ű ŴŮŵŵũ 4 ŭŮŴũƇŻ ųŷŹŹŮųŻŶŷŲ ŰũŸűźƅ Ŏ1 ⊕ Ŏ⊥. Őũŭũŭűŵźƈ ūŷŸŹŷźŷŵ: ŸŹű ųũųűž ũŶũŴűŻűƀŮźųűž żźŴŷūűƈž, ŶũųŴũŭƄūũŮŵƄž Ŷũ ŵŶŷůŮźŻūũ żŸŹũūŴƈŮŵƄž ŭűŶũŵűƀŮźųűž ŸŹŷſŮźźŷū N1 ű N2, «ŹũźƁűŹŮŶŶŷŮ» źŮŵŮŲźŻūŷ ŸŹŷſŮźźŷū N+ ŷŪŴũŭũŮŻ ŭűŽŽŮŹŮŶſűũŴƅŶŷŲ ŹŮũŴűŰũſűŮŲ (3)? Ŗũ ŷŭŶŷŵ űŰ ŸżŻŮŲ ŬŮŷŵŮŻŹűƀŮźųŷŬŷ ŹŮƁŮŶűƈ ƆŻŷŲ Űũŭũƀű ūƄźŻżŸũŮŻ ŸŷźŻŹŷŮŶűŮ žũŹũųŻŮŹűźŻűƀŮźųŷŬŷ ŸŹűŰŶũųũ (źŵ. ŶűůŮ ŴŮŵŵż 5), ŷŸŹŮŭŮŴƈƇƂŮŬŷ ŹũūŮŶźŻūŷ Ŏ1 + Ŏ2 = Ŏ1 ⊕ Ŏ⊥, (5) ŸŷźųŷŴƅųż ŶũŴűƀűŮ ƀũźŻŶŷŲ ŽŷŹŵƄ ŹũūŮŶźŻūũ (5), ũ űŵŮŶŶŷ, ūűŭũ Ŏ1 ⊕ Ŏ2 = Ŏ1 ⊕ Ŏ⊥, (6) ŸŷŴŷůűŻŮŴƅŶŷ ŷŻūŮƀũŮŻ Ŷũ ŷŰŶũƀŮŶŶƄŲ ūƄƁŮ ūŷŸŹŷź ŷ ŭűŽŽŮŹŮŶſűũŴƅŶŷŲ ŹŮũŴűŰũſűű ŹũźƁűŹŮŶŶŷŬŷ Ÿżƀųũ N+ ū ųŷŶŻŮųźŻŮ Ÿŷŭžŷŭũ ų ŬŮŷŵŮŻŹűƀŮźųŷŵż ŹŮƁŮŶűƇ Űũŭũƀű źżƂŮźŻūŷūũŶűƈ ŷŪƂŮŬŷ ŸŷŴűŴűŶŮŲŶŷŬŷ ŹŮŬżŴƈŻŷŹũ ŭŴƈ ŭűŶũŵűƀŮźųűž Ÿżƀųŷū N1, N2, ŷźŶŷūũŶŶŷŬŷ Ŷũ ŻŮŷŹŮŵŮ 14.Ś [9] ű ŻŮŷŹŮŵŮ 3 [2]; ŶűůŮ ŷŭŶŷ žũŹũųŻŮŹŶŷŮ źūŷŲźŻūŷ ŹũūŮŶźŻūũ (6) ŷŪŶũŹżůűūũŮŻ ŻŮŷŹŮŵũ 2. ōũŴƅŶŮŲƁŮŮ űŰŴŷůŮŶűŮ ŻŹŮŪżŮŻ ŸŹűūŴŮƀŮŶűƈ ŭŷŸŷŴŶűŻŮŴƅŶƄž ųŷŶźŻŹżųſűŲ: ŸŹűŵŮŵ, ƀŻŷ LJ := {t ∈ T: (u*(t), B1(x*(t)), …, Bn(x*(t), …, x*(t)))⊥ = 0}, ű ŸżźŻƅ ν*⊥, ν* - ŴŮŪŮŬŷūźųűŮ ŸŷŸŷŴŶŮŶűƈ (Ŷũ źŷŷŻūŮŻźŻūżƇƂűž ŹũźƁűŹŮŶűƈž σ-ũŴŬŮŪŹ) ŵŮŹ ³_(u*(τ), B1(x*(τ)), …, Bn, S ³_(u*(τ), B1(x*(τ)), …, Bn. S ŔŮŵŵũ 5. řũūŮŶźŻūŷ Ŏ1 + Ŏ2 = Ŏ1 ⊕ Ŏ⊥ źŸŹũūŮŭŴűūŷ ū Żŷŵ ű ŻŷŴƅųŷ ū Żŷŵ źŴżƀũŮ, ŮźŴű L2(T, ν*⊥, R) = χ⊥⋅L2(T, ν*, R), ŬŭŮ χ⊥ - žũŹũųŻŮŹűźŻűƀŮźųũƈ ŽżŶųſűƈ ŵŶŷůŮźŻūũ T\\LJ. ŘŹűūŮŭŮŵ ŻŮŸŮŹƅ ūũŹűũŶŻ žũŹũųŻŮŹűźŻűƀŮźųűž żźŴŷūűŲ ŹũūŮŶźŻūũ (6) ź ŶũŪŹŷźųŷŵ ŭŷųũŰũŻŮŴƅźŻūũ. śŮŷŹŮŵũ 2. ŘŹű ūƄŸŷŴŶŮŶűű LJ = ∅ (mod w) źŸŹũūŮŭŴűūŷ ŸŹŮŭŴŷůŮŶűŮ: Ŏ1 ⊕ Ŏ2 = Ŏ1 ⊕ Ŏ⊥ ⇔ ⇔ L2(T, ν*⊥, R) = L2(T, ν*, R). ōŷųũŰũŻŮŴƅźŻūŷ. ŘŹŮŭŴŷůŮŶűŮ Ŏ1 + Ŏ2 = Ŏ1 ⊕ Ŏ⊥ ⇔ L2(T, ν*⊥, R) = L2(T, ν*, R) - ŸŹƈŵũƈ ųŷŶźŻũŻũſűƈ ŴŮŵŵƄ 5. Ś ŭŹżŬŷŲ źŻŷŹŷŶƄ, ŸŷŭŻūŮŹůŭŮŶűŮ ŽũųŻũ Ŏ1 ŀ Ŏ2 = {0} ⊂ H2 ūƄŻŮųũŮŻ űŰ {t ∈ T: (u*(t), B1(x*(t)), …, Bn(x*(t), …, x*(t)))⊥ = 0} = ∅ (mod w) ű źŴŮŭźŻūűƈ 3 ŻŮŷŹŮŵƄ III.5 (ŻŮŷŹŮŵũ ŞũŶũ-ŊũŶũžũ) [8]. ŔŮŵŵũ 5 ű ŻŮŷŹŮŵũ 2 ū ųŷŶŻŮųźŻŮ ŻŮŷŹŮŵƄ 14.Ś [9] ű ŻŮŷŹŮŵƄ 3 [2] ŭŮŴũƇŻ źŸŹũūŮŭŴűūƄŵ ŚŴŮŭźŻūűŮ 3. i) ŚŴŮŭżƇƂűŮ ŻŹű źūŷŲźŻūũ ƆųūűūũŴŮŶŻŶƄ: L2(T, ν*⊥, R) ⊂ χ⊥⋅L2(T, ν*, R) ⇔ ⇔ L2(T, ν*⊥, R) = χ⊥⋅L2(T, ν*, R) ⇔ ⇔ Ŏ1 + Ŏ2 = Ŏ1 ⊕ Ŏ⊥. ii) ŎźŴű LJ = ∅ (mod w), Żŷ ŶũŴűƀűŮ ŴƇŪŷŬŷ źūŷŲźŻūũ űŰ i) ŸŹŮūŹũƂũŮŻ ŭűŶũŵűƀŮźųűŲ Ÿżƀŷų N+ ū ŵŶŷůŮźŻūŷ ŶŮŴűŶŮŲŶƄž żŸŹũūŴƈŮŵƄž ŸŹŷſŮźźŷū ź ŭűŽŽŮŹŮŶſűũŴƅŶŷŲ ŹŮũŴűŰũſűŮŲ (3). ŌűŸŷŻŮŰũ (Ÿŷ źżƂŮźŻūż ŷŪŹũƂŮŶűŮ ŻŮŷŹŮŵƄ 3 [2] ű ƀũźŻű ii) źŴŮŭźŻūűƈ 3): «ŮźŴű LJ = ∅ (mod w) ű Ÿżƀŷų N+ ŷŪŴũŭũŮŻ ŹŮũŴűŰũſűŮŲ (3), Żŷ L2(T, ν*⊥, R) ⊂ L2(T, ν*, R)» ū ŷŪƂŮŵ źŴżƀũŮ ŶŮ ŸŷŭŻūŮŹůŭũŮŻźƈ, ƀŻŷ űŴŴƇźŻŹűŹżŮŻ źŴŮŭżƇƂűŲ ŸŹŷźŻŷŲ ŸŹűŵŮŹ. ŘŹűŵŮŹ. ŘżźŻƅ X = Y = Z = R, T = [-1, 1], n = 2. ŘŹűŵŮŵ, ƀŻŷ ŸũŹũŵŮŻŹƄ (ųŷƆŽŽűſűŮŶŻƄ) ŭűŽŽŮŹŮŶſűũŴƅŶŷŲ źűźŻŮŵƄ ű ŵŷŭŮŴűŹżŮŵƄŮ ŭűŶũŵűƀŮźųűŮ Ÿżƀųű űŵŮƇŻ ŸŹŮŭźŻũūŴŮŶűŮ: A0 = 2, A1 = 4, A2 = 2, B1 = 1, B2 = (1, 1), N1 = {t (e-2t, 0, e-2t, e-4t): t ∈ T}, N + 1, 4t + 2, t2 + 1, (t2 + 1)2): t ∈ T}. ŨźŶŷ, ƀŻŷ Ÿżƀųű N1, N2 űŵŮƇŻ ŭűŽŽŮŹŮŶſűũŴƅŶƄŮ ŹŮũŴűŰũſűű (2) ź ŹŮŬżŴƈŻŷŹũŵű (B01, B11, B21) = (1, 2, 0), (B02, B12, B22) = (2, 2, 0), ŸŹűƀŮŵ ŷŪƃŮŭűŶŮŶŶƄŲ ŭűŶũŵűƀŮźųűŲ Ÿżƀŷų N+ := N1 N2 űŵŮŮŻ ŹŮũŴűŰũſűƇ (3) ź ŹŮŬżŴƈŻŷŹŷŵ, ż ųŷŻŷŹŷŬŷ B0+ = B1+ = 2, B2+ = 0, ŸŹű ƆŻŷŵ ŷŪŮźŸŮƀŮŶƄ źŷŷŻŶŷƁŮŶűƈ: (u*(t), B1(x*(t)), B2(x*(t), x*(t)) = (4t + 2, t2 + 1, (t2 + 1)2), (u*(t), B1(x*(t)), B2(x*(t), x*(t))⊥ = (4t + 2, 0, 0), ƀŻŷ ŸŹűūŷŭűŻ ų ŷƀŮūűŭŶŷŵż ŽũųŻż LJ = ∅ (mod w) (žŷŻƈ LJ = {-2-1} ≠ ∅) ű ŸŹŷŰŹũƀŶŷŵż ŸŷŴŷůŮŶűƇ L2(T, ν*, R) = L2(T, w, R), L2(T, ν*⊥, R), ν*⊥ = ³(4τ + 2)2w(dτ). ŋ ŭũŶŶŷŲ ŸŷźŻũŶŷūųŮ 1/(4t + 2) ∈ L2(T, ν*⊥, R), 1/(4t + 2) ∉ L2(T, w, R), ŷŻųżŭũ L2(T, ν*⊥, R) ⊄ L2(T, ν*, R); ū źűŴż źŴŮŭźŻūűƈ 3 ŻũųůŮ ŸŹűžŷŭűŵ ų ŰũųŴƇƀŮŶűƇ, ƀŻŷ ŭŴƈ N1, N2 ŪżŭŮŻ Ŏ1 + Ŏ2 ≠ Ŏ1 ⊕ Ŏ2. œŹŷŵŮ ŻŷŬŷ, ŭũŶŶƄŲ ŸŹűŵŮŹ ŸŷųũŰƄūũŮŻ, ƀŻŷ ŻŮŷŹŮŵũ 3 [2] ū ŷŪƂŮŵ źŴżƀũŮ ŶŮ űŵŮ- ŮŻ ŷŪŹũƂŮŶűƈ.

作者简介

Aleksey Daneev

Irkutsk State Transport University

Email: daneev@mail.ru
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor Irkutsk

Anatoliy Lakeyev

Institute of System Dynamics and Control Theory named after V.M.Matrosov, Siberian branch of the Russian Academy of Sciences

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Chief Researcher Irkutsk

Vyacheslav Rusanov

Institute of System Dynamics and Control Theory named after V.M.Matrosov, Siberian branch of the Russian Academy of Sciences

Email: v.rusanov@mail.ru
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Chief Researcher Irkutsk

Alexand Vetrov

Institute of System Dynamics and Control Theory named after V.M.Matrosov, Siberian branch of the Russian Academy of Sciences

Researcher Irkutsk

参考

补充文件