# Accounting for wire saggingоn span of 220 kV OHL whendetermining current, induced in ground wire by phase current magnetic fields

## Abstract

Overhead ground-wire cable (GW) is more prone to ice formation compared to 220 kV overhead lines. Ice-melting methods for GW using special power source have certain engineering constraints and required is connection of overhead line. Preventive heating of GW to above-zero temperature is an equivalent method to ice-melting. Preventive heating shall be provided by induction from electromagnetic field (EMF) of 220 kV overhead lines while in service. Induction methods of 220 kV OHL GW heating have been summarized and briefly described. Mathematical models of GW inductive heating do not consider the influence of wire and GW saggingon EMF parameters and equivalent circuit “ground wire-earth”. Therefore, sufficient mathematical model is required to use induction method of GW heating at 220 kV OHL segment. We propose induction heating for GW of double-circuit 220 kV OHL inclosed circuit “ground wire-additional conductor” top reventice formation. Mathematical model have been developed to calculate current, induced in circuit “ground wire-additional conductor” by magnetic fields of 220 kV OHL current while in service. Influence of wire and GW saggingon EMF parameters and equivalent circuit “ground wire-additional conductor” has been estimated. Due to mathematical model we could estimate induced current to prevent ice formation on GW of double-circuit 220 kV OHL while in service. Closed circuit “ground wire-additional conductor” is recommended for practical use, with capacitor loop included into circuit, its capacitance to be determined based on voltage resonance conditions.

## Full Text

Основным способом борьбы с гололедообразованием на проводах и грозозащитных тросах является плавка гололеда на отключенной ВЛ 220 кВ. Известно [1], что грозозащитный трос (грозотрос) по сравнению с проводами ВЛ более подвержен гололедообразованию, поэтому в эксплуатации плавка гололеда на грозотросе проводится чаще, чем на проводах ВЛ 220 кВ.

Применяемые на практике схемы плавки гололеда на грозотросе ВЛ основаны на использовании специального источника электроэнергии и имеют технические ограничения [2, 3]. Грозозащитные тросы ВЛ 220 кВ изолированы от земли и имеют класс изоляции более низкий, чем провода ВЛ. Поэтому при подключении источника электроэнергии к грозотросу ВЛ 220 кВ приходится ограничивать длину участков плавки, так как повышение напряжения источника электроэнергии требует усиления изоляции грозотроса и вызывает необходимость увеличения пробивных напряжений искровых промежутков, защищающих эту изоляцию [2]. Это ограничение препятствует плавке гололеда на грозотросе ВЛ 220 кВ непосредственно от источника электроэнергии и побуждает к поиску принципиально других способов.

Альтернативой плавке гололеда является индукционный способ подогрева грозотроса в контуре «грозотрос – земля» до положительной температуры наведенным током от электромагнитных полей проводов ВЛ 110-500 кВ в рабочем режиме [4–8]. Электроэнергия при индукционном способе подогрева грозотроса вводится в контур «грозотрос – земля» не локально (в начале участка контура), как это происходит при непосредственном присоединении источника электроэнергии к грозотросу, а по всей длине участка грозотроса. Это позволяет применять индукционный способ подогрева грозотроса ВЛ 220 кВ, заземленного не только по концам контура, но и внутри контура. Реализация индукционного способа подогрева грозотроса на эксплуатируемой ВЛ 220 кВ заключается: в выборе участка трассы ВЛ с интенсивным гололедообразованием; в создании замкнутого контура с грозотросом для протекания наведенного тока; в выборе электрического режима работы ВЛ (нормальный симметричный, искусственно несимметричный).

Математические модели индукционного способа подогрева грозотроса, рассматриваемые в работах [4–8], основаны на определении параметров схем замещения контуров «провод – грозотрос» и «грозотрос – земля» по формулам J.R. Carson [9, 10]. Недостатком указанных математических моделей является неучёт влияния провисания проводов и грозотроса на параметры электромагнитного поля на промежуточных пролетах ВЛ 220 кВ. Поэтому разработка адекватной математической модели для реализации индукционного способа профилактического подогрева грозотроса на участке ВЛ 220 кВ является актуальным научным исследованием.

В системообразующих электрических сетях, проходящих в гололедоопасном районе 3–4-й категории [11] России, применяются двухцепные ВЛ 220 кВ с промежуточной опорой типа П220-2,4-9,3 [12]. Расположение фазных проводников и грозотроса на опоре П220-2,4-9,3 в декартовой системе координат приведено на рис. 1.

Рис. 1. Схема расположения проводов цепи ${A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}\left({A}_{2}{B}_{2}{C}_{2}\right)$ и грозотроса ${T}_{1}$ на опоре П220-2,4-9,3

Для предотвращения образования гололеда на двухцепных ВЛ 220 кВ предлагается сформировать замкнутый и заземленный с одной стороны в нормальном режиме контур, состоящий из грозотроса ${T}_{1}$ и изолированного проводника ${T}_{2}$, проложенного по поверхности земли (рис. 2) [13]. ЭДС, наведенная в контуре ${T}_{1}$${T}_{2}$, является результатом взаимодействия электростатического и электромагнитного полей проводников фаз ВЛ 220 кВ. Величина ЭДС, наведенной электростатическим полем, значительно меньше величины ЭДС, наведенной электромагнитным полем токов фаз ВЛ 220 кВ, поэтому допускается в расчетах ее не учитывать [14].

Рис. 2. Схема соединения грозотроса ${T}_{1}$ и проводника ${T}_{2}$ на участке ${l}_{k}$ ВЛ 220 кВ

В реальных условиях провода цепи ${A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}\left({A}_{2}{B}_{2}{C}_{2}\right)$ и грозотрос ${T}_{1}$ ВЛ 220 кВ не являются прямолинейными, а провисают под действием собственного веса в промежуточных пролетах линии (рис. 3). Проводник ${T}_{2}$, расположенный на поверхности земли (в грунте), может считаться прямолинейным.

Рис. 3. Кривая провисания грозотроса ${T}_{1}$ в одном пролете ВЛ в пространстве (а) и в плоскости YOZ (б) декартовой системы координат: $d$–длина пролета; ${h}_{T1}$– расстояние от низшей точки грозотроса Т1 до оси OZ; ${Y}_{T1}$– высота точки крепления грозотроса Т1

Известно [15, 16], что механическое напряжение в материале провода (грозотроса) в любой точке пролета ВЛ обусловлено только растяжением и направлено по касательной к кривой в рассматриваемой точке. Поэтому в качестве математической модели для анализа провисания проводов и грозозащитных тросов ВЛ высокого напряжения их представляют в виде идеально гибкой однородной нерастяжимой тяжелой нити. Гибкая однородная нерастяжимая тяжелая нить с закрепленными концами в однородном гравитационном поле описывается уравнением цепной линии [16].

В канонической форме уравнение цепной линии пролета ВЛ в декартовой системе координат имеет вид [17]

$y=h\cdot ch\left(\frac{z}{h}\right)=\frac{h}{2}\left({e}^{\frac{z}{h}}+{e}^{-\frac{z}{h}}\right)$.

В принятой системе координат функция цепной линии каждого провода цепи ${A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}\left({A}_{2}{B}_{2}{C}_{2}\right)$ и грозотроса ${T}_{1}$ ВЛ 220 кВ (рис. 3) примет вид

$y={h}_{i}\cdot ch\left(\frac{1}{{h}_{i}}\left(z-\frac{d}{2}\right)\right)$, (1)

где ${h}_{i}$ – минимальная высота каждого провода цепи ${A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}\left({A}_{2}{B}_{2}{C}_{2}\right)$ и грозотроса ${T}_{1}$ в точке $z-\frac{d}{2}$.

Вычисление вектора магнитной индукции $\stackrel{\to }{B}$ цепной линии представляет собой частный случай задачи об электромагнитном поле проводящего контура произвольной конфигурации (рис. 4), аналитическое решение которой описывается законом Био – Савара – Лапласа [18]:

$\stackrel{\to }{B}=\frac{\stackrel{˙}{I}}{4\pi }{\oint }_{l}\frac{\left[d\stackrel{\to }{l}\cdot \stackrel{\to }{r}\right]}{{r}^{2}}$, (2)

где $d\stackrel{\to }{l}$ – длина элемента проводника, направление этого вектора совпадает с положительным направлением тока $I$; $\stackrel{\to }{r}$ – единичный вектор, направленный из рассматриваемого элемента в точку наблюдения А; $r$ – расстояние от этого элемента до указанной точки.

Рис. 4. Иллюстрация применения закона Био – Савара – Лапласа для криволинейного проводника с током

Когда проводящий контур имеет сложную конфигурацию, применение выражения (2) для получения аналитического решения связано с известными затруднениями при вычислении интеграла [19]. Эти затруднения заставляют переходить к численным методам нахождения интеграла, основанным на разбиении контура на элементарные отрезки и вычислении создаваемых ими электромагнитных полей, реализованным в специализированном программном обеспечении, например COMSOL Multiphysics [20].

В проекции на плоскость $YOZ$ провода цепи ${A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}\left({A}_{2}{B}_{2}{C}_{2}\right)$ и грозотрос ${T}_{1}$ ВЛ 220 кВ отображаются кривыми (рис. 5, а), описываемыми уравнением (1).

Рис. 5. Проекция проводов цепи ${A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}\left({A}_{2}{B}_{2}{C}_{2}\right)$, грозотроса ${T}_{1}$ и проводника ${T}_{2}$ двухцепной ВЛ 220кВ в плоскости YOZ в декартовой (а) и криволинейной (б) системах координат

Для получения аналитического решения выражения (2), описывающего вектор магнитной индукции поля ВЛ 220 кВ с учетом провисания проводов фаз, перейдем от декартовой системы координат к криволинейной системе координат. Неизвестные криволинейные координаты могут быть получены из набора декартовых координат с помощью преобразования, которое локально обратимо (имеет взаимно-однозначное отображение) в каждой точке пространства. Это означает, что можно преобразовать точку, заданную в декартовой системе координат, в ее криволинейные координаты и обратно [17].

Примем, что в криволинейной системе координат ось $OZ$ отображается в виде кривой, описываемой уравнением:

$y=-{h}_{i}\cdot ch\left(\frac{1}{{h}_{i}}\left(z-\frac{d}{2}\right)\right)$.

Тогда в криволинейной системе координат провода цепи ${A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}\left({A}_{2}{B}_{2}{C}_{2}\right)$ и грозотрос ${T}_{1}$ в проекции на плоскость YOZ будут отображаться прямолинейными, а проводник ${T}_{2}$ – кривой, описываемой уравнением

$y=-{h}_{i}\cdot ch\left(\frac{1}{{h}_{i}}\left(z-\frac{d}{2}\right)\right)-{y}_{{T}_{1}}$.

Иллюстрация, поясняющая переход от декартовой системы координат к криволинейной, для одного пролета ВЛ длиной $d$ приведена на рис. 5, б.

В криволинейной системе координат каждый провод цепи ${A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}\left({A}_{2}{B}_{2}{C}_{2}\right)$ ВЛ 220 кВ представляется в виде длинного прямолинейного проводника с током I, создающего в точке А окружающего пространства свое магнитное поле (рис. 6), вектор магнитной индукции $\stackrel{˙}{B}$ которого определяется по выражению [18, 21]

$B={\mu }_{0}\frac{\stackrel{˙}{I}}{2\pi r}$,

где ${r}^{2}={\left({x}_{c}-x\right)}^{2}+{\left(y-{y}_{c}\right)}^{2}$.

Из подобия треугольников $ABC$ и $ADE$ получим:

. (3)

Составляющие вектора магнитной индукции поля $\stackrel{˙}{B}$ по оси Х в точке A, принадлежащей отрезку $\left[{y}_{{T}_{1}},{y}_{{T}_{2}}\right]$ (рис. 2), создаваемые токами цепи ${A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}\left({A}_{2}{B}_{2}{C}_{2}\right)$ ВЛ 220 кВ, определяются выражениями:

${\stackrel{˙}{B}}_{X{A}_{1}}={\mu }_{0}\frac{{\stackrel{˙}{I}}_{A}}{2\pi }\cdot \frac{y-{y}_{a}}{{\left({a}_{1}-x\right)}^{2}+{\left(y-{y}_{a}\right)}^{2}}$;

${\stackrel{˙}{B}}_{X{B}_{1}}={\mu }_{0}\frac{{\stackrel{˙}{I}}_{B}}{2\pi }\cdot \frac{y-{y}_{b}}{{\left({b}_{1}-x\right)}^{2}+{\left(y-{y}_{b}\right)}^{2}}$;

${\stackrel{˙}{B}}_{X{B}_{1}}={\mu }_{0}\frac{{\stackrel{˙}{I}}_{c}}{2\pi }\cdot \frac{y-{y}_{c}}{{\left({c}_{1}-x\right)}^{2}+{\left(y-{y}_{c}\right)}^{2}}$;

${\stackrel{˙}{B}}_{X{A}_{2}}={\mu }_{0}\frac{{\stackrel{˙}{I}}_{A}}{2\pi }\cdot \frac{y-{y}_{a}}{{\left({a}_{2}-x\right)}^{2}+{\left(y-{y}_{a}\right)}^{2}}$;

${\stackrel{˙}{B}}_{X{B}_{2}}={\mu }_{0}\frac{{\stackrel{˙}{I}}_{B}}{2\pi }\cdot \frac{y-{y}_{b}}{{\left({b}_{2}-x\right)}^{2}+{\left(y-{y}_{b}\right)}^{2}}$;

${\stackrel{˙}{B}}_{X{B}_{2}}={\mu }_{0}\frac{{\stackrel{˙}{I}}_{c}}{2\pi }\cdot \frac{y-{y}_{c}}{{\left({c}_{2}-x\right)}^{2}+{\left(y-{y}_{c}\right)}^{2}}$.

Рис. 6. Вектор магнитной индукции поля $\stackrel{˙}{B}$ в т. А от тока в проводнике С

Вектор магнитной индукции результирующего электромагнитного поля ${\stackrel{˙}{B}}_{XA}$ в точке А определяется суммой векторов магнитных индукций (принцип суперпозиции), создаваемых током каждого проводника ВЛ 220 кВ в отдельности:

${\stackrel{˙}{B}}_{XA}=\sum _{i=1}^{6}{\stackrel{˙}{B}}_{Xi}$.

Элементарный магнитный поток $d{\stackrel{˙}{\Phi }}_{X}$, проходящий через элементарную поверхность плоскости $ABCD$ площадью $dS=d\cdot dr$, можно определить по формуле:

$d{\stackrel{˙}{\Phi }}_{X}={\stackrel{˙}{B}}_{XA}dS$.

Полный магнитный поток ${\stackrel{˙}{\Phi }}_{Xd}$, созданный электромагнитными полями токов каждой фазы двухцепной ВЛ 220 кВ и пронизывающий перпендикулярно плоскость контура ${T}_{1}$${T}_{2}$ длиной $d$ (рис. 2), определяется выражением

${\stackrel{˙}{\Phi }}_{Xd}={\stackrel{˙}{\Phi }}_{XABCD}-{\stackrel{˙}{\Phi }}_{X{T}_{2}}$,

${\stackrel{˙}{\Phi }}_{XABCD}=\underset{0}{\overset{{y}_{{T}_{1}}}{\int }}{\stackrel{˙}{B}}_{XA}\underset{0}{\overset{d}{\int }}dzdy=d\underset{0}{\overset{{y}_{{T}_{1}}}{\int }}{\stackrel{˙}{B}}_{XA}dy$,

${\stackrel{˙}{\Phi }}_{XT2}=\underset{0}{\overset{d}{\int }}\underset{0}{\overset{{y}_{{T}_{2}\left(z\right)}}{\int }}{\stackrel{˙}{B}}_{XA}dzdy$.

С учетом выражения (3) в замкнутом контуре ${T}_{1}-{T}_{2}$ длиной $d$ наводится ЭДС ${\stackrel{˙}{E}}_{d}$:

${\stackrel{˙}{E}}_{d}=-\frac{d{\stackrel{˙}{\Phi }}_{Xd}}{dt}=-j\omega \left(d\underset{0}{\overset{{y}_{{T}_{1}}}{\int }}{\stackrel{˙}{B}}_{XA}dy-\underset{0}{\overset{d}{\int }}\underset{0}{\overset{{y}_{{T}_{2}\left(z\right)}}{\int }}{\stackrel{˙}{B}}_{XA}dzdy$.

ЭДС ${\stackrel{˙}{E}}_{k}$, наведенная в замкнутом контуре ${T}_{1}-{T}_{2}$ длиной ${\stackrel{˙}{E}}_{k}$, состоящем из n промежуточных пролетов ВЛ 220 кВ, определится по выражению

${\stackrel{˙}{E}}_{k}=n{\stackrel{˙}{E}}_{d}$.

Для нахождения индуктивного сопротивления ${\stackrel{˙}{X}}_{k}$ замкнутого плоского контура ${T}_{1}-{T}_{2}$, приведенного на рис. 2, определим его собственную индуктивность $L$ по выражению [22, 23]

$L=\frac{{\mu }_{0}l}{2\pi }\left(ln\frac{2S}{l}-0,15\right)-G$,

где l – периметр контура; S – площадь контура; G – индуктивность провода круглого сечения при частоте 50 Гц, при которой ток распределен равномерно по сечению провода, определяется выражением

$G=\frac{{\mu }_{0}l}{2\pi }\left(lnr-0,25\right)$,

где r – радиус проводника .

С учетом (19) выражение для определения L примет вид:

$L=\frac{{\mu }_{0}l}{2\pi }\left(ln\frac{2S}{l}+0,1\right)$.

Площадь контура S (рис. 2) определяется по выражению

$S={y}_{{T}_{1}}{l}_{k}-n{S}_{ABCD}$,

в котором площадь ${S}_{ABCD}$ криволинейной трапеции ABCD (рис. 5, а) вычисляется по формуле

${S}_{ABCD}={h}_{{T}_{1}}{l}_{BC}=2{{h}_{{T}_{1}}}^{2}\text{sh}\frac{d}{2{h}_{{T}_{1}}}$,

где ${l}_{BC}$ – длина дуги BC (рис. 5, а) определяется выражением

${l}_{BC}=2{h}_{{T}_{1}}\text{sh}\frac{d}{2{h}_{T\text{1}}}$.

Периметр контура l (рис. 2) определяется выражением

$l=2{y}_{{T}_{\text{1}}}+{l}_{k}+n{l}_{BC}$.

Активное сопротивление проводника грозотроса ${T}_{1}$ с учетом его провисания на участке длиной ${l}_{k}$, состоящем из n промежуточных пролетов ВЛ 220 кВ:

${R}_{{T}_{1}}={r}_{0}n{l}_{BC}$,

где ${r}_{0}$ – погонное активное сопротивление грозотроса, Ом/км.

Ток ${\stackrel{˙}{I}}_{k}$, протекающий в замкнутой электрической цепи контура ${T}_{1}-{T}_{2}$ (рис. 2), определяется по выражению

${\stackrel{˙}{I}}_{k}=\frac{{\stackrel{˙}{E}}_{k}}{{R}_{{T}_{1}}+{R}_{{T}_{2}}+j{X}_{k}}$.

Значение тока ${\stackrel{˙}{I}}_{k}$ возможно увеличить компенсацией индуктивности контура ${X}_{k}$, достигаемой включением в цепь контура емкости C, величина которой определяется из условия создания резонанса напряжения.

### Выводы

Разработана математическая модель для определения параметров электромагнитного поля и схемы замещения «грозотрос – дополнительный проводник» с учетом провисания проводов и грозотроса в промежуточном пролете двухцепной ВЛ 220 кВ. Применение математической модели позволяет определить величину наведенного тока для последующей оценки возможности предотвращения гололедообразования на грозозащитном тросе двухцепной ВЛ 220 кВ в рабочем режиме.

Для повышения эффективности индукционного способа подогрева грозотроса на двухцепной ВЛ 220 кВ целесообразно компенсировать индуктивность контура «грозотрос – дополнительный проводник» включением в цепь контура конденсаторной установки, величина емкости которой определяется из условия создания резонанса напряжения.

×

### Evgenij A. Krotkov

Samara State Technical University

Email: krotkov.e.a@gmail.com

PhD (Tech.), Associate Professor

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

Samara State Technical University

PhD (Tech.), Associate Professor

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

### Aleksandr A. Shchobak

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: shonSamara@gmail.com

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

## References

1. Andrievskij V.N. Ekspluataciya vozdushnyh linij elektroperedachi. M.: Energiya, 1976. 616 pp.
2. Levchenko I.I., Zasypkin A.S., Alliluev A.A., Sacuk E.I. Diagnostika, rekonstrukciya iekspluataciya vozdushnyh linij elektroperedachi v gololednyh rajonah. Novocherkassk: YURGTU, 2006. 494 pp.
3. Masoud Farzaneh. Atmospheric Icing of Power Networks // Springer Science Business Media B.V. 2008. 388 p.
4. Shovkoplyas S.S. Ice melting on a grounded lightning protection cable by induced current from superimposed reactive current in phase conductors // Izv. vuzov. Elektromekhanika. Specvypusk «Diagnostika energooborudovaniya». 2008. P. 23–24.
5. Shovkoplyas S.S. Ice melting on ground wires by induced high frequency current // Izv. vuzov. Elektromekhanika. Specvypusk «Elektrosnabzhenie». 2010. P. 17–18.
6. Balyberdin L.L., Galanov V.I., Krajchik YU.S., Krasnova B.P., Lozinova N.G., Mazurov M.I. Induction melting of ice on lightning protection cables of overhead power lines // Elektricheskie stancii. 2002. No 1. P. 31–37.
7. Shovkoplyas S.S. A method for preventing icing on lightning protection cables of an overhead power transmission line of ultra-high voltage by induced currents without taking it out of operation // Energetik. 2018. No 8. P. 13–20.
8. Zasypkin A.S., Zasypkin A.S. (jr.). Preventive heating of lightning protection cables of overhead lines by induced current // Izv. vuzov. Elektromekhanika. 2018. Vol. 61, no 2. P. 99–106.
9. Carson J.R. Wave propagation in over head wires withg round return // The Bell System Technical Journal, 1926. Vol. 5, No. 4. P. 539–554.
10. Hayasi S. Volny v liniyah elektroperedachi. M.: Gosenergoizdat, 1960, 343 pp.
11. STO 56947007-29.240.01.189-2014. Metodicheskie ukazaniya po primeneniyu al'bomov kart klimaticheskogo rajonirovaniya territorii po subektam RF. OAO «NTC FSK EES». Prikaz OAO «FSK EES» ot 03.10.2014. No 444. 95 pp.
12. STO 56947007-29.240.55.255-2018. Stal'nye reshetchatye opory novoj unifikacii VL 220 kV. Ukazaniya po primeneniyu opornovoj unifikacii pri proektirovanii VL 220 kV. Filial AO «NTC FSK EES» – SibNIIE. 2018. 323 pp.
13. Dmitriev M.V., Rodchihin S.V. Lightning protection cables VL 35-750 kV. Choice of grounding locations // Novosti Elektrotekhniki. 2017. No 2(104). P. 2–5.
14. Misrihanov M.Sh., Rubcova N.B., Tokarskij A.Yu. Obespechenie elektromagnitnoj bezopasnosti elektrosetevyh obektov. M., Vologda: Infra-Inzheneriya, 2019. 508 pp.
15. Merkin D.R. Vvedenie v mekhaniku gibkoj niti. M.: Nauka, 1980. 240 pp.
16. Boshnyakovich A.D. Raschet provodov podstanciji bolshih perekhodov LEP. L.: Energiya, 1975. 248 pp.
17. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike (dlya nauchnyh rabotnikov I inzhenerov). M.: Nauka, 1974. 832 pp.
18. Savel'ev I.V. Kurs obshchej fiziki . Ucheb. Posobie dlya studentov vtuzov v 3-h t. 2-e izd., pererab. Vol 2. M.: Nauka, 1982. 273 pp.
19. Krasnitskij Yu.A. Catenary magnetic field at low frequencies // Transport and Telecommunication. 2003. Vol. 4, no 1. P. 9–15.
20. COMSOL Multiphysics – Platform for creation of computational models and applications. https://www.comsol.ru (accessedJanuar11, 2022).
21. Demirchyan K.S., Nejman L.R., Korovkin N.V., Chechurin V.L. Teoreticheskie osnovy elektrotekhniki. Vol. 3. Teoriya elektromagnitnogo polya. Sankt-Peterburg: Piter, 2003. 377 pp.
22. Cejtlin L.A. Induktivnosti provodov i konturov. L.: Gosenergoizdat. 1950. 229 pp.
23. Cicikyan G.N., Baranov Yu.D. Comparative analysis of expressions for calculating the inductances of rectangular wires and circuits // Elektrichestvo. 2018. No 2. P. 59–63.

## Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. Fig. 1

2. Fig. 2

3. Fig. 3

4. Fig. 4

5. Fig. 5

6. Fig. 6